2024-2025學(xué)年北京市海淀區(qū)中關(guān)村中學(xué)高二（上）開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年北京市海淀區(qū)中關(guān)村中學(xué)高二（上）開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)2i1?i(i是虛數(shù)單位)的虛部是(

)A.1 B.?i C.2 D.?2i2.已知向量a=(?5,5)，b=(0,?3)，則a與b的夾角為(

)A.π4 B.π3 C.2π33.已知函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,?π2<φ<πA.ω=23，φ=?π6

B.ω=23，φ=π6

C.ω=4.已知cosα=45，α∈(3π2,2π)，則A.?1010 B.1010 5.若函數(shù)f(x)=2sin(ωx+π3)(ω>0)在區(qū)間[?π4,A.(0,103] B.(0,23]6.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知∠B=30°，△ABC的面積為32，且sinA+sinC=2sinB，則b的值為(

)A.4+23 B.4?23 C.7.若x，y∈R，則“l(fā)gx+lg(y?1)=0”是“x(y?1)=1”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.為了解某地高三學(xué)生的期末語(yǔ)文考試成績(jī)，研究人員隨機(jī)抽取了100名學(xué)生對(duì)其進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)所得數(shù)據(jù)制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知不低于90分為及格，則這100名學(xué)生期末語(yǔ)文成績(jī)的及格率為(

)A.40% B.50% C.60% D.65%9.“α+β=π2+2kπ，k∈Z”是“sinα=cosβ”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10.在△ABC中，cosB=?12，AB=BC=2，已知點(diǎn)P滿足AP=λAB+(1?λ)AC，且A.14 B.13 C.12二、填空題：本題共6小題，每小題6分，共36分。11.已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，|z?i|=1，則z的虛部為_(kāi)_____．12.在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=5：7：8，則∠B的大小是______．13.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若b=6，sinA=2sinC，B=π3，則△ABC的面積為_(kāi)_____．14.如圖，在某個(gè)海域，一艘漁船以60海里/時(shí)的速度，沿方位角為150°的方向航行，行至A處發(fā)現(xiàn)一個(gè)小島C在其東偏南15°方向，半小時(shí)后到達(dá)B處，發(fā)現(xiàn)小島C在其東北方向，則B處離小島C的距離為_(kāi)_____海里．

15.邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC中，|BD|=1，CE=EA，則16.如果存在函數(shù)g(x)=ax+b(a,b為常數(shù))，使得對(duì)函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意x都有f(x)≤g(x)成立，那么稱(chēng)g(x)為函數(shù)f(x)的一個(gè)“線性覆蓋函數(shù)”.給出如下四個(gè)結(jié)論：

①函數(shù)f(x)=2x存在“線性覆蓋函數(shù)”；

②對(duì)于給定的函數(shù)f(x)，其“線性覆蓋函數(shù)”可能不存在，也可能有無(wú)數(shù)個(gè)；

③g(x)=12x+12為函數(shù)f(x)=x的一個(gè)“線性覆蓋函數(shù)”；

④若三、解答題：本題共4小題，共64分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17.(本小題16分)

已知函數(shù)f(x)=asinxcosx+cos(2x+π6)，且f(π4)=32．

(1)求a的值和18.(本小題16分)

已知A，B，C分別為△ABC三邊a，b，c所對(duì)的角，向量m=(sinA,sinB)，n=(cosB,cosA)，且m?n=sin2C．

(1)求角C的大??；

(2)若sinA+sinB=2sinC，且CA19.(本小題16分)

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知b=2,sinA+sinBsinB+sinC=ca?2．

(1)求角A．

(2)從以下三個(gè)條件中任選一個(gè)，求△ABC的面積．

①邊BC上的中線AD=1；②sinB=13；③角A的平分線AD=1，點(diǎn)20.(本小題16分)

對(duì)于函數(shù)f(x)，g(x)，若存在實(shí)數(shù)m，n，使得函數(shù)?(x)=mf(x)+ng(x)，則稱(chēng)?(x)為f(x)，g(x)的“合成函數(shù)”．

(1)已知f(x)=x?3，g(x)=3?2x，試判斷?(x)=x?6是否為f(x)，g(x)的“合成函數(shù)”？若是，求實(shí)數(shù)m，n的值；若不是，說(shuō)明理由；

(2)已知f(x)=sin(x?π4)，g(x)=cosx，?(x)為f(x)，g(x)的“合成函數(shù)”，且m=1，n=2，若關(guān)于x的方程f(x+π4)?g(x)+k?(x)=0在x∈[0,π2]上有解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

(3)已知f(x)=x，g(x)=3x，?(x)為f(x)，g(x)的“合成函數(shù)”(其中m>0，n>0)，?(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)，?(x)參考答案1.A

2.D

3.A

4.B

5.B

6.D

7.A

8.C

9.A

10.D

11.1212.π313.614.1015.?16.②③

17.解：(1)因?yàn)閒(π4)=32，所以f(π4)=asinπ4cosπ4+cos(π2+π6)=32，

即12a?12=32，解得a=4，

所以f(x)=4sinxcosx+cos18.解：(1)由m=(sinA,sinB)，n=(cosB,cosA)，

得m?n=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC，

又m?n=sin2C，∴sin2C=2sinCcosC=sinC，

∵0<C<π，則sinC≠0，可得cosC=12，即C=π3；

(2)∵sinA+sinB=2sinC，∴2c=a+b，

又CA?(AB?AC19.解：(1)由題意sinA+sinBsinB+sinC=ca?2，

由正弦定理可得a+bb+c=ca?2，即a+22+c=ca?2，

則a2?c2=2c+4，

由余弦定理得a2=4+c2?4ccosA，所以a2?c2=4?4ccosA，

所以2c+4=4?4ccosA，所以cosA=?12，

又因?yàn)?<A<π，所以A=2π3；

(2)若選①：由邊BC邊上的中線AD=1，如圖，

所以AD=12(AB+AC)，即12=14(c2+4?2c)，

即c2?2c=0，又因?yàn)閏>0，所以c=2，

由(1)知cosA=?12，所以sinA=32，

所以S△ABC=12bcsinA=12×2×2×32=3；

若選②：當(dāng)sinB=13，由cosA=?120.解：(1)假設(shè)?(x)=x?6為f(x)，g(x)的“合成函數(shù)”，

則?(x)=x?6=m(x?3)+n(3?2x)=(m?2n)x+3(n?m)，

所以m?2n=13(n?m)=?6，解得m=3，n=1，

所以?(x)=x?6為f(x)，g(x)的“合成函數(shù)”，且m=3，n=1；

(2)因?yàn)閒(x)=sin(x?π4)，且m=1，n=2，

所以?(x)=sin(x?π4)+2cosx=22(sinx+cosx)，

由f(x+π4)?g(x)+k?(x)=0，

得sinxcosx+22k(sinx+cosx)=0(?)，

令t=si