2022屆河南省頂級名校高三下學期階段性聯(lián)考三數(shù)學文試題解析版

2022屆河南省頂級名校高三下學期階段性聯(lián)考三數(shù)學（文）試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先化簡集合，再由交集的概念，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，，所以.故選：C.2．若復(fù)數(shù)滿足，，則的虛部為（

）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】求出，化簡，得到的虛部.【詳解】，∴虛部為故選：D3．已知l、m是兩條不同的直線，是平面，，，則“”是“”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)空間中線面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，利用充分條件和必要條件的定義直接判斷即可.【詳解】依題意，l、m是兩條不同的直線，是平面，，，若，則與可以相交，也可以平行，故推不出；若，由線面垂直的性質(zhì)定理可知，.故“”是“”的必要不充分條件.故選：C.4．在等差數(shù)列中，，表示數(shù)列的前項和，則（

）A．43 B．44 C．45 D．46【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，求得，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】由等差數(shù)列中，滿足，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，所以，則.故選：C.5．若向量，滿足，且，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知條件結(jié)合數(shù)量積公式化簡即可求解.【詳解】因為，，即，，求得，所以向量與的夾角為.故選：B6．已知，，兩直線，，且，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．8 D．9【答案】D【分析】根據(jù)兩直線的方程得出，，由兩直線垂直的斜率關(guān)系，得出，再利用整體乘“1”法和基本不等式，即可求出的最小值.【詳解】解：由題可知，，，，，則，，，則，即，，∵，，∴，當且僅當時取等號，所以的最小值為9.故選：D.7．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是B．是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是C．是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是D．是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是【答案】C【分析】將函數(shù)解析式化為分段函數(shù)型，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可判斷；【詳解】解：將函數(shù)去掉絕對值得，畫出函數(shù)的圖象，如圖，觀察圖象可知，函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，故函數(shù)為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，故選：C8．我國古代著作《莊子天下篇》引用過一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭．”其含義是：一尺長的木棍，每天截去它的一半，永遠也截不完．在這個問題中，記第n天后剩余木棍的長度為，數(shù)列的前n項和為，則使得不等式成立的正整數(shù)n的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】依題意可得：數(shù)列是首項、公比為的等比數(shù)列，即可得到通項公式及前項和公式，即可得到不等式，解得即可；【詳解】解：由題設(shè)可得：數(shù)列是首項、公比為的等比數(shù)列，∴，，又由可得：，解得：，∵，∴，故選：B．9．函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后所得圖象關(guān)于直線對稱，則函數(shù)的一個遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)的圖象向左平移個單位長度后所得圖象關(guān)于直線對稱，求得，再求的遞增區(qū)間，對賦值，求得答案.【詳解】的圖象向左平移個單位長度后所得圖象的解析式為，又其圖象關(guān)系直線對稱，，得，又，得，得，令，得，，令，得，即函數(shù)的一個遞增區(qū)間是.故選：C.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象變換，對稱性和單調(diào)性，屬于中檔題.10．如圖，底面為矩形的四棱錐，側(cè)棱底面，，.設(shè)該四棱錐的外接球半徑為，內(nèi)切球半徑為，則的值（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將四棱錐外接球半徑的計算轉(zhuǎn)化為長方體外接球半徑的計算，即長方體的體對角線長度的一半即為半徑；內(nèi)切球的半徑可采用等體積法轉(zhuǎn)化，運用公式求解.【詳解】因為棱錐的側(cè)棱底面，且底面為正方形，所以該幾何體的外接球半徑等于長、寬、高分別為，，的長方體的外接球半徑，因為，，所以外接球半徑：，解得:，設(shè)內(nèi)切球球心為點，內(nèi)切球半徑為，則球心到每一個側(cè)面的距離都為，則有：，又，，所以,故,所以．故選：D．【點睛】對于一些常見幾何體的外接球半徑、內(nèi)切球半徑的結(jié)論如下：（1）長、寬、高分別為，，的長方體的外接球半徑為；（2）直棱柱的外接球半徑滿足：，其中為直棱柱的高，為底面圖形內(nèi)切圓的半徑.（3）棱錐的內(nèi)切球半徑滿足：，其中為該棱錐的體積，為該棱錐的表面積.11．若函數(shù)在上無極值，則實數(shù)的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求，由分析可得恒成立，利用即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由可得，恒成立，為開口向上的拋物線，若函數(shù)在上無極值，則恒成立，所以，解得：，所以實數(shù)的取值范圍為，故選：D.12．已知拋物線的準線與圓只有一個公共點，設(shè)是拋物線上一點，為拋物線的焦點，若（為坐標原點），則點的坐標是（

）A．或 B．或C． D．【答案】B【分析】先求出拋物線的焦點，根據(jù)拋物線的方程設(shè)，則，，再由，可求得的值，即可得答案.【詳解】解：拋物線的準線方程為．方程可化為．由題意，知圓心到準線的距離，解得，所以拋物線的方程為，焦點為．設(shè)，則，，所以，解得，所以點的坐標為或．故選B．二、填空題13．已知，若向量與共線，則____________．【答案】【分析】首先根據(jù)向量共線的坐標表示得到方程，求出，再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算計算可得；【詳解】解：因為且，所以，解得，所以，所以;故答案為：14．已知是函數(shù)的一個極值點，則實數(shù)_____．【答案】【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)是函數(shù)的一個極值點，得到，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，因為是函數(shù)的一個極值點，所以，解得，經(jīng)檢驗當時，是函數(shù)的一個極值點．故答案為：.【點睛】本題主要考查了利用函數(shù)的極值點求解參數(shù)問題，其中解答中熟記函數(shù)的極值點的概念，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運算能力.15．在中，角所對的邊分別為，且滿足：

，則的面積為____________．【答案】【分析】先由及正弦定理求得，再由求得，由面積公式求解即可.【詳解】由及正弦定理得即，又，即，又，故即．由正弦定理及，得故故答案為：.16．如圖，是正方體的棱上的一點，且平面，則異面直線與所成角的余弦值為______．【答案】【詳解】不妨設(shè)正方體的棱長為，如圖，當為中點時，平面，則為直線與所成的角，在中，，故答案為.【方法點晴】本題主要考查異面直線所成的角，屬于難題.求異面直線所成的角主要方法有兩種：一是向量法，根據(jù)幾何體的特殊性質(zhì)建立空間直角坐標系后，分別求出兩直線的方向向量，再利用空間向量夾角的余弦公式求解；二是傳統(tǒng)法，利用平行四邊形、三角形中位線等方法找出兩直線成的角，再利用平面幾何性質(zhì)求解.三、解答題17．如圖，四棱錐中，平面，，，，為上一點，且．（1）證明：平面平面；（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）證明出平面，利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）計算出，利用錐體的體積公式可求得三棱錐的體積.【詳解】（1）平面，平面，，在直角梯形中，，，，，所以，為等腰直角三角形，且，，，在中，，，，由余弦定理可得，，則，，平面，平面，平面平面；（2），由（1）可知平面，所以三棱錐的高為，平面，、平面，，，，，，，【點睛】方法點睛：證明面面垂直常用的方法：（1）面面垂直的定義；（2）面面垂直的判定定理.在證明面面垂直時，一般假設(shè)面面垂直成立，然后利用面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，即為所證的線面垂直，組織論據(jù)證明即可.18．已知等差數(shù)列中，公差，，且，，成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若為數(shù)列的前項和，且存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的基本量和，列出方程，即可解得和的值，進而可得通項公式.（2）根據(jù)裂項相消求和的方式得到，然后根據(jù)不等式成立，分參后求最值，即可求解.【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列首項為，由題意可得即又因為，所以故．(2)∵，∴．因為存在，使得成立．即存在，使得成立．即存在，使得成立．（當且僅當時取等號）．故，即實數(shù)的取值范圍是．19．隨著全民運動健康意識的提高，馬拉松運動在全國各大城市逐漸興起，參與馬拉松訓(xùn)練與比賽的人數(shù)逐年增加，為此某市對人們參加馬拉松運動的情況進行了統(tǒng)計調(diào)查，其中一項調(diào)查是調(diào)查人員從參與馬拉松運動的人中隨機抽取人，對其每周參與馬拉松長跑訓(xùn)練的天數(shù)進行統(tǒng)計，得到以下統(tǒng)計表：平均每周進行長跑訓(xùn)練天數(shù)不大于天天或天不少于天人數(shù)若某人平均每周進行長跑訓(xùn)練天數(shù)不少于天，則稱其為“熱烈參與者”，否則稱為“非熱烈參與者”（1）經(jīng)調(diào)查，該市約有萬人參與馬拉松運動，估計其中“熱烈參與者”的人數(shù)；（2）根據(jù)上表的數(shù)據(jù)，填寫下列列聯(lián)表，并通過計算判斷是否能在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為“熱烈參與馬拉松”與性別有關(guān)？熱烈參與者非熱烈參與者合計男140女55合計附：（n為樣本容量）0.5000.4000.2500.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）人；（2）列聯(lián)表見解析；能.【分析】（1）先求出樣本中熱烈參與者的頻率再乘以即可求解；（2）根據(jù)已知條件補全列聯(lián)表，計算的值，與臨界值比較即可判斷.【詳解】（1）樣本中熱烈參與者的頻率為，所以該市萬人參與馬拉松運動，熱烈參與者的人數(shù)人，所以“熱烈參與者”的人數(shù)為人（2）根據(jù)已知條件可知參與馬拉松運到的女性有人，所以女性中熱烈參與者有人，男性中熱烈參與者有人，進而可得列聯(lián)表如下：熱烈參與者非熱烈參與者合計男女合計所以能在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為“熱烈參與馬拉松”與性別有關(guān).20．已知點到的距離與它到直線的距離之比為．（1）求點的軌跡的方程；（2）若是軌跡與軸負半軸的交點，過點的直線與軌跡交于兩點，求證：直線的斜率之和為定值．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）由橢圓的第二定義建立方程化簡即可；（2）先設(shè)出直線方程，再與橢圓方程聯(lián)立得到兩根之和與兩根之積，然后直線與直線的斜率之和用兩根之和與兩根之積表示出代，再代入計算化簡可得定值.【詳解】（1）設(shè)點，由題意可得．化簡整理可得,所以點的軌跡的方程為．（2）由（1）可得，A(-3,0),過點D的直線斜率存在且不為0，故可設(shè)l的方程為，，由得，，，而由于直線過點，所以，所以（即為定值）.【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵一是直線與橢圓聯(lián)立，二是準確的運算.21．已知函數(shù)．（1）若曲線在點處的切線為，求；（2）當時，若關(guān)于的不等式在上恒成立，試求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)點處的切線為，由求得m，再求得點P的坐標，代入切線方程求解；（2）將在上恒成立，轉(zhuǎn)化為，在上恒成立，令，用導(dǎo)數(shù)法求其最小值即可.【詳解】（1）∵函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，∴由題意可得，即．則，點坐標為∵點在直線上∴故（2）當時，∵關(guān)于的不等式在上恒成立，∴，在上恒成立，設(shè)，則，由的導(dǎo)數(shù)為，當時，，函數(shù)遞增，當時，函數(shù)遞減，則，即，∴當時，，則在遞增，所以，則．【點睛】若在區(qū)間D上有最值，則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分離常數(shù)，即將問題轉(zhuǎn)化為：（或），則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.22．在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)．以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（1）當時，求出的普通方程，并說明該曲線的圖形形狀；（2）當時，P是曲線上一點，Q是曲線上一點，求的最小值．【答案】（1）該曲線是以A(2，0)，B(0，1)為端點的線段；（2）．【分析】（1）當時，消去參數(shù)，可直接得出的普通方程；從而可確定該曲線的圖形形狀；（2）當時，先得曲線的參數(shù)方程，設(shè)點P坐標；再將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，利用點到直線的距離公式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）當時，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），其中，，消得，即該曲線是以A(2，0)，B(0，1)為端點的線段；（2）當時，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)，因為P是曲線上一點，所以可設(shè)，又由化為直角坐標方程可得：，即表示直線；因為Q是曲線上一點，所以，當時，有最小值，即的最小值為.【點睛】思路點睛：利用參數(shù)的方法求解曲線上一點與直線上一點距離的最值問題時，一般根據(jù)曲線的參數(shù)方程設(shè)出曲線上任意一點的坐標，再由點到直線的距離公式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求出最值.23．已知函數(shù)，．（1）解不等式：；（2）記的最小值為，若實數(shù)滿足，試證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）先將函數(shù)解析式寫成分段函數(shù)的形式，分，，三種情況，求解不等式，即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，確定的最小值，得到，再由展開后利用基本不等式即可求出最小值，從而可得結(jié)