專題24同角三角函數(shù)的基本關(guān)系7種常見考法歸類（65題）（原卷版）

專題24同角三角函數(shù)的基本關(guān)系7種常見考法歸類（65題）考點一已知一個三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值考點二利用平方關(guān)系求參數(shù)考點三利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡、求值考點四正、余弦齊次式的計算考點五由條件等式求正、余弦考點六sinθ±cosθ型求值問題考點七三角函數(shù)恒等式的證明知識點1：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系關(guān)系式文字表述平方關(guān)系sin2α＋cos2α＝1同一個角α的正弦、余弦的平方和等于1商數(shù)關(guān)系eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))同一個角α的正弦、余弦的商等于角α的正切注意以下三點：（1）“同角”有兩層含義：一是“角相同”，二是對“任意”一個角(在使函數(shù)有意義的前提下)關(guān)系式都成立，即與角的表達(dá)形式無關(guān)，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．（2）sin2α是(sinα)2的簡寫，讀作“sinα的平方”，不能將sin2α寫成sinα2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，兩者是不同的，要弄清它們的區(qū)別，并能正確書寫．（3）注意同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式都是對于使它們有意義的角而言的，sin2α＋cos2α＝1對一切α∈R恒成立，而tanα＝eq\f(sinα,cosα)僅對α≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)成立．知識點2：關(guān)系式的常用等價變形1、2、解題策略1、已知某個三角函數(shù)值求其余三角函數(shù)值的步驟第一步：由已知三角函數(shù)的符號，確定其角終邊所在的象限；第二步：依據(jù)角的終邊所在象限分類討論；第三步：利用同角三角函數(shù)關(guān)系及其變形公式，求出其余三角函數(shù)值。注：(1)若已知sinα＝m，可以先應(yīng)用公式cosα＝±eq\r(1－sin2α)，求得cosα的值，再由公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)求得tanα的值．(2)若已知cosα＝m，可以先應(yīng)用公式sinα＝±eq\r(1－cos2α)，求得sinα的值，再由公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)求得tanα的值．(3)若已知tanα＝m，可以應(yīng)用公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝m?sinα＝mcosα及sin2α＋cos2α＝1，求得cosα＝±eq\f(1,\r(1＋m2))，sinα＝±eq\f(m,\r(1＋m2))的值．(4)注意要根據(jù)角終邊所在的象限，判斷三角函數(shù)的符號．2、利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系化簡、證明的常用方法(1)化切為弦，減少函數(shù)名稱．(2)對含根號的，應(yīng)先把被開方式化為完全平方，再去掉根號．(3)對含有高次的三角函數(shù)式，可借助于因式分解，或構(gòu)造平方關(guān)系，以降冪化簡．3、正、余弦齊次式的計算(1)已知tanα＝m，可以求eq\f(asinα＋bcosα,csinα＋dcosα)或eq\f(asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α,dsin2α＋esinαcosα＋fcos2α)的值，將分子分母同除以cosα或cos2α，化成關(guān)于tanα的式子，從而達(dá)到求值的目的．(2)對于asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α進(jìn)行代替后分子分母同時除以cos2α，得到關(guān)于tanα的式子，從而可以求值．(3)齊次式的化切求值問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．4、sinθ±cosθ與sinθcosθ之間的關(guān)系(1)(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ；(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ，利用該公式，已知其中一個，能求另外二個，即“知一求二”．(2)求sinθ＋cosθ或sinθ－cosθ的值，要注意判斷它們的符號．5、三角函數(shù)恒等式證明證明三角恒等式的過程，實質(zhì)上是化異為同的過程，證明恒等式常用以下方法：①證明一邊等于另一邊，一般是由繁到簡．②證明左、右兩邊等于同一個式子(左、右歸一)．③比較法：即證左邊－右邊＝0或eq\f(左邊,右邊)＝1(右邊≠0)．④證明與已知等式等價的另一個式子成立，從而推出原式成立．考點一已知一個三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值1．（2024·四川·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知，則的值為（

）A． B． C． D．2.（2023·全國·高一課堂例題）已知是第二象限角，且，則的值是（

）A． B． C． D．3．（2024·上海松江·高三校考期中）已知，且，則的值為（

）A． B． C． D．4．（2024·湖北·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知，且，則（

）A． B． C． D．5.（2023·全國·高一課堂例題）已知，并且是第四象限角，求，．6.（2023春·四川遂寧·高一射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，，則的值為（

）A． B． C． D．7.（2023春·云南曲靖·高一校考階段練習(xí)）若是第四象限的角，且，則.8．（2024·上海靜安·高三上海市市西中學(xué)?？奸_學(xué)考試）設(shè)為第二象限角，若，則.9．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）（1）已知，在第四象限，求，的值；（2）已知，在第二象限，求，的值；（3）已知，求，的值；（4）已知，求，的值．10.（2023秋·甘肅天水·高一秦安縣第一中學(xué)?？计谀┯嬎悖?1)已知，，求的值.(2)已知，求，的值考點二利用平方關(guān)系求參數(shù)11.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，是關(guān)于x的方程的兩根，則實數(shù)．12.（2023春·上?！じ咭簧虾Ｊ芯礃I(yè)中學(xué)校考期中）若及是關(guān)于x的方程的兩個實根，則實數(shù)k的值為13.【多選】（2023秋·河南周口·高一統(tǒng)考期末）已知，，且，下面選項正確的是（

）A． B．或C． D．14.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是第四象限角，則．15.（2023秋·上海徐匯·高二上海市南洋模范中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，且為第二象限角，則.16.（2023·高一課時練習(xí)）已知，且是第二象限角，求實數(shù)a的值.17.（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最小值為，此時．考點三利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡求值18.（2023秋·高一課時練習(xí)）當(dāng)x為第二象限角時，（

）A．1 B．0C．2 D．－219．（2024·江蘇·高一專題練習(xí)）化簡：(1)－；(2)；(3)．20．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）化簡與求值(1)；(2)．21．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）化簡：．22．（2024·寧夏銀川·高三銀川一中?？茧A段練習(xí)）若，則α不可能是（

）A． B． C． D．23．（2024·全國·高一課堂例題）化簡：(1)；(2)．24.（2023春·遼寧丹東·高一統(tǒng)考期末）已知，且是第三象限的角，則．考點四正、余弦齊次式的計算25．（2024·山東青島·高二?？计谥校┮阎瑒t.26.（2023秋·廣西·高二廣西大學(xué)附屬中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知，則的值為（

）A． B．1 C． D．27．（2024·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)?？计谥校┮阎?，則.28．（2024·北京·高一北京市十一學(xué)校?？计谀┮阎瑒t.29.（2023秋·陜西咸陽·高三?？茧A段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．30．（2024·上海奉賢·高三上海市奉賢中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，那么．31．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如果，那么，，．32．（2024·廣東廣州·高三廣州市第十六中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．33.（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知，求下列各式的值.（1）；（2）.34．（2024·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱七十三中?？计谥校┮阎?1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．35.（2023秋·高一課時練習(xí)）若，則.36．（2024·四川南充·高一四川省南充高級中學(xué)校考開學(xué)考試）已知，則（

）A． B． C． D．37．（2024·遼寧大連·高一大連八中校考階段練習(xí)）已知角終邊上,且，求的值．38.（2023秋·江西·高二寧岡中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知，求下列各式的值.(1)；(2).考點五由條件等式求正、余弦39．（2024·上海青浦·高一上海市青浦高級中學(xué)校考期中）若，則40．（2024·四川南充·高一統(tǒng)考期末）若，則.41.（2023秋·廣東廣州·高三廣州大學(xué)附屬中學(xué)?？奸_學(xué)考試）設(shè)，則．42.（2023秋·四川眉山·高二?？奸_學(xué)考試）已知，且，則（

）A． B． C． D．43．（2024·高一課時練習(xí)）若，，則（

）A． B． C． D．44．（2024·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若，則（

）A． B． C． D．45．（2024·湖北黃岡·高一?？茧A段練習(xí)）已知，那么的值為（

）A．6 B．4 C．2 D．0考點六sinθ±cosθ型求值問題46.（2023·全國·高一課堂例題）已知，求的值．47.（2023·全國·高一課堂例題）的三個內(nèi)角為，若，則的值為（）A．B．C．D．48.（2024·全國·高一專題練習(xí)）若，化簡：（）A．B．C．D．49.（2023春·貴州遵義·高一統(tǒng)考期中）已知為第四象限角，且，則.50．（2024·江蘇·高一專題練習(xí)）已知（），求和的值．51．（2024·遼寧鞍山·鞍山一中?？级＃┮阎堑谒南笙藿牵覞M足，則．52．（2024·新疆塔城·高一塔城地區(qū)第一高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，且則的值為（

）A． B． C． D．53.（2023春·四川眉山·高一校考階段練習(xí)）已知，.(1)求的值(2)求54．【多選】（2024·山東濟(jì)南·高一濟(jì)南三中校考期末）已知，且，則（

）A． B．C． D．55．【多選】（2024·江西上饒·高一上饒市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）已知，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．56．【多選】（2024·山東德州·高一校考階段練習(xí)）已知，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．57．（2024·廣東深圳·高一深圳外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知是關(guān)于x的方程的兩個根，則．58.（2023春·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期中）已知，，求下列各式的值：(1)；(2)．59.（2023·全國·高一專題練習(xí)）若，則.60.（2024·全國·高一專題練習(xí)）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》一書時介紹了“趙爽弦