山東省青島市膠州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中模擬檢測(cè)試題三含解析

PAGE18-山東省青島市膠州市試驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中模擬檢測(cè)試題（三）（含解析）（時(shí)間：120分鐘滿分150分）一、單選題（每小題5分，共40分）1.設(shè)是純虛數(shù)，是虛數(shù)單位，若是實(shí)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，依據(jù)復(fù)數(shù)除法將復(fù)數(shù)表示為一般形式，由題意得出該復(fù)數(shù)的虛部為零，可求出實(shí)數(shù)的值，由此可得出復(fù)數(shù)的值.【詳解】為純虛數(shù)，設(shè)（且），則，又實(shí)數(shù)，，即，因此，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用復(fù)數(shù)類型求復(fù)數(shù)，同時(shí)也考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.2.在△中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：首先將圖畫出來，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，求得，之后應(yīng)用向量的加法運(yùn)算法則三角形法則，得到，之后將其合并，得到，下一步應(yīng)用相反向量，求得，從而求得結(jié)果.詳解：依據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，所以，故選A.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)平面對(duì)量基本定理的有關(guān)問題，涉及到的學(xué)問點(diǎn)有三角形的中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，須要仔細(xì)對(duì)待每一步運(yùn)算.3.已知非零向量，滿意，且，則的形態(tài)是A.三邊均不相等的三角形 B.直角三角形C.等腰（非等邊）三角形 D.等邊三角形【答案】D【解析】【分析】先依據(jù)，推斷出的角平分線與垂直，進(jìn)而推斷三角形為等腰三角形進(jìn)而依據(jù)向量的數(shù)量積公式求得，推斷出三角形的形態(tài)．【詳解】解：，，分別為單位向量，的角平分線與垂直，，，，，三角形為等邊三角形．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面對(duì)量的數(shù)量積的運(yùn)算，三角形形態(tài)的推斷．考查了學(xué)生綜合分析實(shí)力，屬于中檔題．4.已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視狀況分別如圖1和如圖2所示，為了了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成緣由，用分層抽樣的方法抽取的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的中學(xué)生近視人數(shù)分別為（）A.， B.， C.， D.，【答案】B【解析】【詳解】試題分析：由題意知，樣本容量為，其中中學(xué)生人數(shù)為，中學(xué)生的近視人數(shù)為，故選B.【考點(diǎn)定位】本題考查分層抽樣與統(tǒng)計(jì)圖，屬于中等題.5.現(xiàn)有2名女老師和1名男老師參與說題競(jìng)賽,共有2道備選題目,若每位選手從中有放回地隨機(jī)選出一道題進(jìn)行說題,其中恰有一男一女抽到同一道題的概率為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】列舉基本領(lǐng)件，利用古典概型概率公式求解即可【詳解】記兩道題分別為A，B，全部抽取務(wù)狀況為，，，，，，，，(其中第1個(gè)，第2個(gè)分別表示兩個(gè)女老師抽取的題目，第3個(gè)表示男老師抽取的題目)，共有8種，其中滿意恰有一男一女抽到同一道題目的狀況為，，，，共4種.故所求事務(wù)概率為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典型概率的計(jì)算，列舉法是確定基本領(lǐng)件的常用方法，屬于基礎(chǔ)題.6.已知所在平面內(nèi)的一點(diǎn)滿意，則（）A.1∶2∶3 B.1∶2∶1 C.2∶1∶1 D.1∶1∶2【答案】B【解析】【分析】延長(zhǎng)至，可得出點(diǎn)是的重心，再依據(jù)重心的性質(zhì)可得出結(jié)論。【詳解】延長(zhǎng)至，使得，于是有，即點(diǎn)是的重心，依據(jù)重心的性質(zhì)，有.由是的中點(diǎn)，得.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了三角形重心和向量的關(guān)系，主要是用向量表達(dá)重心的數(shù)量關(guān)系。另外本題是奔馳定理干脆推導(dǎo)得出。7.已知外接圓半徑為6的三邊為，面積為,且,則面積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理可得，再依據(jù)面積公式和余弦定理可得，利用同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式可得，最終利用基本不等式可得的最大值，從而可得面積的最大值.【詳解】因?yàn)橥饨訄A的半徑為，所以可化為：，即，由余弦定理可得，因，故，即，而，故，由可以得到，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查解三角形中的正弦定理、余弦定理、面積公式以及基本不等式，屬于中檔題.8.在中，，，，則在方向上的投影是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將轉(zhuǎn)化為，將兩邊平方，證得，在直角三角形中，求得夾角的余弦值，以及，代入公式求得題目所求在方向上的投影.【詳解】，兩邊平方并化簡(jiǎn)得，即，故三角形為直角三角形，所以，.所以在方向上的投影.故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查平面對(duì)量的數(shù)量積，考查向量投影的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.二、多選題（每小題5分，共20分）9.已知復(fù)數(shù)(a,,i為虛數(shù)單位),且,下列命題正確的是()A.z不行能為純虛數(shù) B.若z的共軛復(fù)數(shù)為,且,則z是實(shí)數(shù)C.若,則z是實(shí)數(shù) D.可以等于【答案】BC【解析】【分析】依據(jù)純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)等學(xué)問，選出正確選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí),,此時(shí)為純虛數(shù),A錯(cuò)誤;若z的共軛復(fù)數(shù)為,且,則,因此,B正確;由是實(shí)數(shù),且知,z是實(shí)數(shù),C正確;由得,又,因此,,無解,即不行以等于,D錯(cuò)誤.故選：BC【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)學(xué)問，屬于基礎(chǔ)題.10.（多選題）關(guān)于平面對(duì)量，下列命題中錯(cuò)誤的是（）A.若，則存在使得. B.若為非零向量且，則的夾角為直角.C.若，則 D.【答案】CD【解析】【分析】利用共線向量定理和向量數(shù)量積的定義與運(yùn)算律逐項(xiàng)推斷后可得正確的選項(xiàng).【詳解】由共線向量定理可知選項(xiàng)A正確；因?yàn)闉榉橇阆蛄?，故?dāng)時(shí)，它們的夾角為，所以，選項(xiàng)B正確；因?yàn)?，所以，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于非零向量，當(dāng)與不共線，且時(shí)，，所以，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：CD.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)向量數(shù)量積的運(yùn)算律的辨析，留意數(shù)量積運(yùn)算有交換律，但沒有消去律和結(jié)合律，本題屬于基礎(chǔ)題.11.點(diǎn)O在所在的平面內(nèi),則以下說法正確的有()A.若,則點(diǎn)O為的重心B.若,則點(diǎn)O為的垂心C.若,則點(diǎn)O為的外心D.若,則點(diǎn)O為的內(nèi)心【答案】AC【解析】【分析】逐項(xiàng)進(jìn)行分析即可.【詳解】解：選項(xiàng)A，設(shè)D為的中點(diǎn)，由于，所以為邊上中線的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)D)，所以O(shè)為的重心；選項(xiàng)B，向量分別表示在邊和上的單位向量，設(shè)為和，則它們的差是向量，則當(dāng)，即時(shí)，點(diǎn)O在的平分線上，同理由，知點(diǎn)O在的平分線上，故O為的內(nèi)心；選項(xiàng)C，是以為鄰邊的平行四邊形的一條對(duì)角線，而是該平行四邊形的另一條對(duì)角線，表示這個(gè)平行四邊形是菱形，即，同理有，于是O為的外心；選項(xiàng)D，由得，∴，即，∴．同理可證，∴，，，即點(diǎn)O是的垂心；故選：AC．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面對(duì)量在三角形中的應(yīng)用，考查向量的數(shù)量積，考查三角形的“五心”，屬于中檔題．12.甲、乙兩班實(shí)行電腦漢字錄入競(jìng)賽，參賽學(xué)生每分鐘錄入漢字的個(gè)數(shù)經(jīng)統(tǒng)計(jì)計(jì)算后填入下表，某同學(xué)依據(jù)表中數(shù)據(jù)分析得出的結(jié)論正確的是（）班級(jí)參與人數(shù)中位數(shù)方差平均數(shù)甲55149191135乙55151110135A.甲、乙兩班學(xué)生成果的平均數(shù)相同B.甲班的成果波動(dòng)比乙班的成果波動(dòng)大C.乙班優(yōu)秀的人數(shù)多于甲班優(yōu)秀的人數(shù)（每分鐘輸入漢字?jǐn)?shù)≥150個(gè)為優(yōu)秀）D.甲班成果的眾數(shù)小于乙班成果的眾數(shù)【答案】ABC【解析】【分析】依據(jù)圖表干脆計(jì)算平均數(shù)、方差和眾數(shù)與甲、乙兩班學(xué)生每分鐘輸入漢字?jǐn)?shù)≥150個(gè)的人數(shù)分析即可.【詳解】甲、乙兩班學(xué)生成果的平均數(shù)都是35，故兩班成果的平均數(shù)相同，A正確；，甲班成果不如乙班穩(wěn)定，即甲班的成果波動(dòng)較大，B正確.甲、乙兩班人數(shù)相同，但甲班的中位數(shù)為149，乙班的中位數(shù)為151，從而易知乙班不少于150個(gè)的人數(shù)要多于甲班，C正確；由題表看不出兩班學(xué)生成果的眾數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：ABC【點(diǎn)睛】本題主要考查了依據(jù)平均數(shù)、方差和眾數(shù)分析實(shí)際意義的問題,屬于基礎(chǔ)題型.三、填空題（每小題5分，共20小題）13.已知復(fù)數(shù)z的模為1，則的最大值是________，最小值是________.【答案】(1).4(2).0【解析】【分析】首先設(shè)，結(jié)合z的模為1，即可求得的軌跡，結(jié)合圖像即可求解.【詳解】設(shè)，則，則，故所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以(0,1)為圓心，1為半徑的圓上，故到原點(diǎn)的最大距離為2，最小距離為0，所以的最大值是4，最小值是0.故答案為：4,0【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，恰當(dāng)轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，屬于中檔題.14.若向量＝(k，3)，＝(1，4)，＝(2，1)，已知2－3與的夾角為鈍角，則k的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】由夾角為鈍角，則數(shù)量積為負(fù)數(shù)，再解除(2－3)∥對(duì)應(yīng)的參數(shù)值，即可求得結(jié)果.【詳解】∵2－3與的夾角為鈍角，∴(2－3)<0，即(2k－3，－6)·(2，1)<0，解得k＜3.又若(2－3)∥，則2k－3＝－12，即k＝－.當(dāng)k＝－時(shí)，2－3＝(－12，－6)＝－6，此時(shí)2－3與反向，不合題意.綜上，k的取值范圍為∪.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)向量夾角范圍求參數(shù)范圍，屬基礎(chǔ)題.15.某醫(yī)院急救中心隨機(jī)抽取20位病人等待急診的時(shí)間記錄如下表：等待時(shí)間/分頻數(shù)用上述分組資料計(jì)算出病人平均等待時(shí)間的估計(jì)值______，病人等待時(shí)間方差的估計(jì)值______.【答案】(1).9.5(2).28.5【解析】【分析】干脆套用平均數(shù)公式與方差公式，即可得到本題答案.【詳解】（1）；（2）故答案為：（1）9.5；（2）28.5【點(diǎn)睛】本題主要考查平均數(shù)公式與方差公式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.16.如圖，在中，，D為邊上的點(diǎn)，E為上的點(diǎn)，且，，，則_______；若，則______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】可得出，在三角形中，由余弦定理可求出的值，在中，利用正弦定理求出的值，再由三角形的外角定理得出，從而得知為鈍角，然后利用兩角差的余弦公式得出的值.【詳解】由題意可得，在中，由余弦定理得，即，整理得，解得（負(fù)值舍去）；，在中，由正弦定理得，即，所以.因?yàn)辄c(diǎn)在邊上，所以，而，所以只能為鈍角，所以，.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，同時(shí)也涉及了利用三角形的外角定理來求三角函數(shù)值，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.四、解答題（17題10分，其它題目每題12分，共70分）17.已知復(fù)數(shù)，，其中為實(shí)數(shù)，為虛數(shù)單位.（1）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，求的取值范圍；（2）若是實(shí)數(shù)（是的共扼復(fù)數(shù)），求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的象限得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，解出即可；（2）依據(jù)是實(shí)數(shù)，得出該復(fù)數(shù)的虛部為零，可求出實(shí)數(shù)的值，再利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可計(jì)算出的值.【詳解】（1）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則，解得，即.故實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2），，.是實(shí)數(shù)，，解得，，.【點(diǎn)睛】本題考查利用復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的概念求參數(shù)，同時(shí)也考查了復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的計(jì)算，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.18.設(shè)是兩個(gè)不共線的向量，已知.（1）求證：，，三點(diǎn)共線；（2）若，且，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）證明，，三點(diǎn)共線，只需證明與共線，依據(jù)向量減法的三角形法則求出，利用向量共線定理可證.

（2）由，則，再將條件代入，由是兩個(gè)不共線的向量，從而可求解.【詳解】解析（1）由已知得..又與有公共點(diǎn)，，，三點(diǎn)共線.（2）由（1）可知，又，∴可設(shè)，，即，解得.【點(diǎn)睛】本題考查向量共線定理、減法的三角形法則，考查學(xué)生分析解決問題的實(shí)力．屬于基礎(chǔ)題.19.對(duì)某校高三年級(jí)學(xué)生參與社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽取M名學(xué)生作為樣本，得到這M名學(xué)生參與社區(qū)服務(wù)的次數(shù)，依據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖.分組

頻數(shù)

頻率

[10,15)

10

0.25

[15,20)

24

n

[20,25)

m

p

[25,30]

2

0.05

合計(jì)

M

1

(1)求出表中M，p及圖中a的值；(2)若該校高三學(xué)生有240人，試估計(jì)該校高三學(xué)生參與社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間[10,15)內(nèi)的人數(shù)；(3)估計(jì)這次學(xué)生參與社區(qū)服務(wù)人數(shù)的眾數(shù)、中位數(shù)以及平均數(shù)．【答案】見解析【解析】(1)由分組[10,15)內(nèi)的頻數(shù)是10，頻率是0.25，知＝0.25，所以M＝40.因?yàn)轭l數(shù)之和為40，所以10＋24＋m＋2＝40，解得m＝4，p＝＝0.10.因?yàn)閍是對(duì)應(yīng)分組[15,20)的頻率與組距的商，所以a＝＝0.12.(2)因?yàn)樵撔８呷龑W(xué)生有240人，在[10,15)內(nèi)的頻率是0.25，所以估計(jì)該校高三學(xué)生參與社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在此區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為60.(3)估計(jì)這次學(xué)生參與社區(qū)服務(wù)人數(shù)的眾數(shù)是＝17.5.因?yàn)閚＝＝0.6，所以樣本中位數(shù)是15＋≈17.1，估計(jì)這次學(xué)生參與社區(qū)服務(wù)人數(shù)的中位數(shù)是17.1.樣本平均人數(shù)是12.5×0.25＋17.5×0.6＋22.5×0.1＋27.5×0.05＝17.25，估計(jì)這次學(xué)生參與社區(qū)服務(wù)人數(shù)的平均數(shù)是17.25.考點(diǎn)：中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù).20.已知分別為內(nèi)角對(duì)邊，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）已知點(diǎn)在邊上，，，求．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）1【解析】【分析】（Ⅰ）由余弦定理化簡(jiǎn)已知可得，可求得，結(jié)合范圍，可求的值．（Ⅱ）由已知可求得，由余弦定理求得的值，可求的值，在中，由余弦定理可得的值．【詳解】解：（Ⅰ）∵，∴整理可得：，∴，∵，∴，（Ⅱ）∵，，，可得：，∴由余弦定理，可得，可得：，∴解得：（負(fù)值舍去），∴，∴中，由余弦定理可得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理及方程思想，還考查了計(jì)算實(shí)力及轉(zhuǎn)化實(shí)力，屬于中檔題．21.中學(xué)生研學(xué)旅行是通過集體旅行、集中食宿方式開展的探討性學(xué)習(xí)和旅行體驗(yàn)相結(jié)合的校外教化活動(dòng)，是學(xué)校教化和校外教化連接的創(chuàng)新形式，是綜合實(shí)踐育人的有效途徑.每年暑期都會(huì)有大量中學(xué)生參與研學(xué)旅行活動(dòng).為了解某地區(qū)中學(xué)生暑期研學(xué)旅行支出狀況，在該地區(qū)各個(gè)中學(xué)隨機(jī)抽取了部分中學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，從中統(tǒng)計(jì)得到中學(xué)生暑期研學(xué)旅行支出（單位：百元）頻率分布直方圖如圖所示.（1）利用分層抽樣在，，三組中抽取5人，應(yīng)從這三組中各抽取幾人？（2）從（1）抽取的5人中隨機(jī)選出2人，對(duì)其消費(fèi)狀況進(jìn)行進(jìn)一步分析，求這2人不在同一組的概率；（3）假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)都用該區(qū)間的左端點(diǎn)值代替，估計(jì)該地區(qū)中學(xué)生暑期研學(xué)旅行支出的平均值.【答案】（1）從這三組