《高等數(shù)學(xué)》(第三版)教案第八章全

第8章矩陣與線性方程組8.1.1矩陣的概念課題8.1.1矩陣的概念教學(xué)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)（1）理解并掌握矩陣的概念；（2）掌握幾類特殊矩陣的表示形式；（3）學(xué)會(huì)用矩陣方法解決問(wèn)題.能力目標(biāo)通過(guò)教學(xué)活動(dòng)使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活的聯(lián)系不可分割性，培養(yǎng)學(xué)生善于觀察能力教學(xué)重點(diǎn)矩陣的概念、幾類特殊矩陣教學(xué)難點(diǎn)用矩陣方法解決問(wèn)題教法學(xué)法探究式問(wèn)題教學(xué)法、小組學(xué)習(xí)法。2課時(shí)。教學(xué)反思用實(shí)例引入矩陣的概念，在教學(xué)中啟發(fā)學(xué)生用矩陣方法解決數(shù)學(xué)或?qū)嶋H問(wèn)題，在講解特殊矩陣時(shí)要求學(xué)生會(huì)寫(xiě)出相應(yīng)的具體特殊矩陣形式.教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)意圖一、知識(shí)回顧向量表示二、情境引入兩個(gè)兒童A和B一起玩“石頭—剪刀—布”的游戲，當(dāng)A,B各自選定一種出法的時(shí)候，就確定了一個(gè)“局勢(shì)”，可以據(jù)此定出各自的輸贏，我們規(guī)定勝者得2分，負(fù)者得-2分，平手時(shí)得0分.如何用數(shù)表形式對(duì)上述中表示各種可能的“局勢(shì)”下A的得分情況進(jìn)行表述？三、合作探究（講授新課）1.學(xué)習(xí)新知(一)、矩陣的概念A(yù)得分情況可用表4-1表示如下：表４－1ABABB石頭剪刀布石頭022剪刀202布220為了研究方便，把表中的數(shù)據(jù)用數(shù)表形式描述為：．?dāng)?shù)學(xué)上把這種數(shù)表稱為矩陣.由個(gè)數(shù)排成的一個(gè)行、列的矩形數(shù)表稱為行列矩陣，簡(jiǎn)稱矩陣,常用大寫(xiě)字母等表示,行列矩陣也記作，(或),其中為矩陣的行數(shù)，為矩陣的列數(shù)，稱為矩陣的第行第列元素（或簡(jiǎn)稱為元）．(二)、相等矩陣兩個(gè)矩陣的行數(shù)和列數(shù)分別相等時(shí)，就稱它們是同型矩陣．如果矩陣與是同型矩陣，且各對(duì)應(yīng)元素也相等，則稱矩陣與相等，記作．【例1】設(shè)，，如果，求,,,．解：由必有解方程組,得．(三)、特殊矩陣(1)方陣當(dāng)時(shí)，，稱矩陣為階方陣，元素稱為主對(duì)角線上的元素，簡(jiǎn)稱為主對(duì)角元．(2)行矩陣、列矩陣當(dāng)時(shí)，，只有一行的矩陣稱為行矩陣．當(dāng)時(shí)，，只有一列的矩陣稱為列矩陣．(3)對(duì)角矩陣除了主對(duì)角線上的元素以外，其余元素全為零的方陣稱為對(duì)角矩陣.(4)單位矩陣主對(duì)角元全為1的n階對(duì)角矩陣稱為n階單位矩陣，簡(jiǎn)稱n階單位陣，記作．例如表示3階單位陣.(5)零矩陣所有元素都是零的矩陣稱為零矩陣,記為O.例如是3行2列的零矩陣.2.探究例題gggggggg（單位：kw?h）、天然氣（單位：m3）的使用情況如表4-2所示．表４－2物業(yè)月份物業(yè)月份水（t）電(kw?h)天然氣（m3）7月10180188月9190169月1017015用矩陣的形式來(lái)描述上述數(shù)據(jù).解：上述數(shù)據(jù)可以用3階方陣來(lái)表示:．【例3】在線性方程組中，如果把它的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)按按原來(lái)順序?qū)懗?，就可以得到一個(gè)m行、n+1列的矩陣：．四、課堂練習(xí)1.把線性方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)按原來(lái)的順序?qū)懗梢粋€(gè)3行5列的矩陣．2.寫(xiě)出矩陣的元素．3.當(dāng)時(shí)，的值各為多少？五、課堂小結(jié)1、矩陣的概念；2、幾類特殊矩陣；3、運(yùn)用矩陣方法解決問(wèn)題——復(fù)雜問(wèn)題矩陣六、布置作業(yè)高等數(shù)學(xué)習(xí)題集“作業(yè)8.1.1”中的1，2，3，4向量表示形式也是特殊矩陣的一種表示形式，在此復(fù)習(xí)向量的表示也作為引入新課的一個(gè)內(nèi)容用引例引入新課，增加學(xué)生學(xué)習(xí)興趣引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)表來(lái)表述數(shù)據(jù)說(shuō)明數(shù)表特點(diǎn)，引出矩陣概念，過(guò)渡自然講授相等矩陣概念，強(qiáng)調(diào)行數(shù)與列數(shù)分別相等幾個(gè)常見(jiàn)的特殊矩陣，要求熟練掌握此處說(shuō)明行矩陣（列）矩陣與行（列）向量是同一內(nèi)容不同的說(shuō)法講解時(shí)要求學(xué)生寫(xiě)出具體的矩陣通過(guò)應(yīng)用舉例，用矩陣來(lái)表述實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)據(jù)關(guān)系時(shí)，要理解行和列元素所代表的實(shí)際意義在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用例子相應(yīng)的課堂練習(xí)鞏固所學(xué)知識(shí)總結(jié)課堂內(nèi)容，加深所學(xué)知識(shí)課題8.1.2矩陣的運(yùn)算教學(xué)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)（1）熟練掌握矩陣的加減、乘法、數(shù)乘、轉(zhuǎn)置運(yùn)算及其規(guī)律；（2）會(huì)用Excel軟件求解矩陣的運(yùn)算.能力目標(biāo)通過(guò)教學(xué)活動(dòng)使學(xué)生體會(huì)矩陣運(yùn)算與數(shù)的運(yùn)算區(qū)別，培養(yǎng)學(xué)生善于思考、分析問(wèn)題能力，以及計(jì)算能力.教學(xué)重點(diǎn)矩陣的運(yùn)算教學(xué)難點(diǎn)矩陣乘法運(yùn)算以及在實(shí)際中的應(yīng)用教法學(xué)法講授法教學(xué)法，小組學(xué)習(xí)法。4課時(shí)。教學(xué)反思在教學(xué)中進(jìn)行比較矩陣的運(yùn)算與數(shù)的運(yùn)算的區(qū)別，學(xué)生在矩陣乘法運(yùn)算在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用會(huì)有所困難，注重在這方面的引導(dǎo).教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)意圖一、知識(shí)回顧矩陣概念及特殊矩陣二、情境引入英國(guó)某個(gè)城鎮(zhèn)中，每年有20%的已婚女姓離婚，30%的單身女性結(jié)婚．城鎮(zhèn)中有8000位已婚女性和3000位單身女性．假設(shè)所有女性的總數(shù)為一常數(shù)，一年后有多少已婚女性和單身女性呢？三、合作探究（講授新課）1.學(xué)習(xí)新知（一）、矩陣加（減）法設(shè)，均為矩陣，和中對(duì)應(yīng)元素相加（減）所得到的新矩陣，稱為矩陣與的和（差），記作，即＝．矩陣加法滿足下列運(yùn)算律：（1）交換律：；（2）結(jié)合律：；注意：只有同型的兩個(gè)矩陣才能進(jìn)行矩陣的加法運(yùn)算．【例1】設(shè)，求，．解：，．（二）、-數(shù)乘矩陣設(shè)，是任意的一個(gè)實(shí)數(shù)，用數(shù)乘以矩陣的所有元素所得到的新矩陣，稱為的數(shù)乘矩陣，記作，即．?dāng)?shù)乘矩陣滿足下列運(yùn)算律：（A、B為矩陣，、為常數(shù)）（1）分配律，；（2）結(jié)合律．【例2】設(shè)，求矩陣．其中，.解：由得．（三）、-矩陣的乘法某鄉(xiāng)有甲、乙、丙三個(gè)村，今年農(nóng)作物產(chǎn)量如表4-3所示：表４-3農(nóng)作物產(chǎn)量表單位：t農(nóng)作物運(yùn)輸價(jià)格及收購(gòu)價(jià)格用以下矩陣表示（單位：百元/t）．如何求三個(gè)村四種農(nóng)作物運(yùn)輸價(jià)格和收購(gòu)價(jià)格（單位：百元）？上述問(wèn)題中費(fèi)用用矩陣來(lái)表示，即可記為，具體表示如下：運(yùn)輸價(jià)格運(yùn)輸價(jià)格收購(gòu)價(jià)格收購(gòu)價(jià)格故上述運(yùn)算過(guò)程給出了矩陣與矩陣乘法的一個(gè)實(shí)際應(yīng)用背景．設(shè)矩陣，，稱矩陣為矩陣與的乘積，記作，其中．注意：（1）只有當(dāng)矩陣的列數(shù)等于矩陣的行數(shù)時(shí)，才有意義．（2）矩陣的行數(shù)等于的行數(shù)，列數(shù)等于矩陣的列數(shù)．【例3】設(shè),，求．解：【例4】設(shè)，，求與．解：,無(wú)意義．由此例可以看出，矩陣乘積一般不滿足交換律，即．特殊地，．矩陣乘法滿足以下運(yùn)算律：（1）結(jié)合律：；（為常數(shù)）；（2）分配律：，．（四）、-矩陣的轉(zhuǎn)置的行與列依次互換位置，得到n乘m矩陣，稱為A的轉(zhuǎn)置，記作,即.例如，矩陣，則．可以驗(yàn)證，轉(zhuǎn)置矩陣有如下運(yùn)算性質(zhì)：（1）；（2）；（3）（為常數(shù)）；（4）；2.探究例題現(xiàn)在來(lái)解決引入的問(wèn)題：可構(gòu)造矩陣A：第一行元素分別為1年后仍處于婚姻狀態(tài)的已婚女性和已婚的單身女性的百分比.第二行元素分別為1年后離婚的已婚女性和未婚的單身女性的百分比.因此有，一年后已婚女性和單身女性人數(shù)可以用乘以計(jì)算：故一年后將有7300位已婚女性和3700位單身女性.四、課堂練習(xí)1．設(shè)，求2．設(shè)；(1）計(jì)算(2）若.（3）設(shè)，求五、課堂小結(jié)1.矩陣的加法2.數(shù)乘矩陣3.矩陣的乘法4.矩陣的轉(zhuǎn)置六、布置作業(yè)高等數(shù)學(xué)習(xí)題集“作業(yè)8.1.2”中的1，2，6與“作業(yè)8.1.2”中的3，4，52.拓展作業(yè)根據(jù)本節(jié)內(nèi)容和自己的專業(yè)、特長(zhǎng)，上網(wǎng)閱讀、查找相關(guān)資料3.上機(jī)操作利用Excel求解矩陣的加法、數(shù)乘、乘法引例導(dǎo)入激發(fā)學(xué)生興趣定義運(yùn)算并講述運(yùn)算律，在此與數(shù)的加法進(jìn)行比較教學(xué)，以便更好掌握知識(shí)數(shù)乘矩陣體現(xiàn)了數(shù)與矩陣的聯(lián)系應(yīng)用舉例鞏固數(shù)乘矩陣的定義用實(shí)例引入，更好理解矩陣相乘定義矩陣相乘數(shù)學(xué)例子矩陣相乘在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)矩陣?yán)镌氐囊饬x，并引導(dǎo)學(xué)生思考---兩年后該城鎮(zhèn)的已婚女性和單身女性的數(shù)量課堂鞏固練習(xí)總結(jié)矩陣幾種運(yùn)算的定義和運(yùn)算規(guī)律課題8.2矩陣的秩教學(xué)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)（1）理解矩陣初等行變換的三種形式；（2）學(xué)會(huì)利用初等行變換方法化階梯形矩陣和行簡(jiǎn)化階梯形矩陣；（3）了解矩陣的秩的定義；（4）掌握利用初等行變換求矩陣的秩．能力目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算能力，以及善于觀察能力教學(xué)重點(diǎn)用初等行變換方法化階梯形矩陣，矩陣的秩的求法教學(xué)難點(diǎn)用初等行變換方法化行簡(jiǎn)化階梯形矩陣，矩陣的秩的求法教法學(xué)法啟發(fā)式教學(xué)法，小組討論學(xué)法。2課時(shí)。教學(xué)反思先熟悉初等行變換的三種形式，用循序漸近的方法舉例講解，講解時(shí)要求學(xué)生注意矩陣變換過(guò)程，學(xué)生在用初等行變換求矩陣的秩是個(gè)難點(diǎn)，講解時(shí)特別強(qiáng)調(diào)階梯形矩陣的形式教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)意圖一、知識(shí)回顧復(fù)習(xí)特殊矩陣二、情境引入線性方程組的解有以下三種情況：唯一解、無(wú)窮多解、無(wú)解，如何判斷線性方程組有解無(wú)解，或解多解少？三、合作探究（講授新課）1.學(xué)習(xí)新知（一）、矩陣的初等行變換矩陣的初等行變換是指對(duì)矩陣施行如下三種變換：（1）對(duì)換變換：交換矩陣兩行,如交換兩行，可記為（eq\o\ac(○,i)eq\o\ac(○,j)）；（2）倍乘變換：用一個(gè)非零數(shù)乘以矩陣的某一行；如第行乘以，可記為eq\o\ac(○,i)；（3）倍加變換：把矩陣的某一行乘以數(shù)后加到另一行上去,如第行乘以后加到第行上，可記為eq\o\ac(○,i)+eq\o\ac(○,j)．（二）、階梯形矩陣和行簡(jiǎn)化階梯形矩陣滿足以下條件的矩陣稱為階梯形矩陣：（1）矩陣的零行若存在,均在矩陣的最下方；（2）各個(gè)非零行的第一個(gè)非零元素所在列的下方元素全為零例如矩陣，，，都是階梯形矩陣．如果階梯形矩陣還滿足以下條件，稱為行簡(jiǎn)化階梯形矩陣：（1）各非零行的第一個(gè)非零元素都是；（2）所有第一個(gè)非零元素所在列的其余元素都是0．例如矩陣，是行簡(jiǎn)化階梯形矩陣，而矩陣，都不是行簡(jiǎn)化階梯形矩陣．行簡(jiǎn)化階梯形矩陣是一種特殊的階梯形矩陣,其特點(diǎn)是矩陣中非零行的第一個(gè)非零元素都是1,而這些非零元“1”所在的列的其它元素均為0.利用初等行變換可以把矩陣化為階梯形矩陣，進(jìn)而化為行簡(jiǎn)化階梯形矩陣．2.探究例題【例1】用矩陣的初等行變換將矩陣先化為階梯形矩陣，再化為行簡(jiǎn)化階梯形矩陣．解：3.學(xué)習(xí)新知矩陣的階梯形矩陣中所含非零行的個(gè)數(shù)，稱為矩陣的秩，記作.由定義可知求矩陣的秩，只需把它化為階梯形矩陣，階梯形矩陣中非零行的個(gè)數(shù)，就是矩陣的秩．例如，，，.對(duì)于階方陣，如果，那么稱為滿秩矩陣，或稱非奇異矩陣．上述的B，都是滿秩矩陣4.探究例題【例1】設(shè)，判斷是否為滿秩矩陣．解:，故是滿秩矩陣.【例2】設(shè)，,求,.解:.故=3．.故=3．事實(shí)上，我們觀察到矩陣是由矩陣增加一列而構(gòu)成，在利用初等行變換求矩陣的秩的過(guò)程中可以觀察到，刪除每一步最后一列正是矩陣經(jīng)過(guò)初等行變換的變化過(guò)程.換句話說(shuō)，今后只要利用初等行變換將矩陣化為階梯形矩陣，就可以同時(shí)得到A與的秩.四.課堂練習(xí)1．用矩陣的初等行變換將矩陣化為階梯形矩陣.2．用矩陣的初等行變換將矩陣化為行簡(jiǎn)化階梯形矩陣.3．求下列矩陣的秩（1）；（2）；（3）．五、課堂小結(jié)1.初等變換的三種形式：對(duì)換、數(shù)乘、倍加；2.用初等行變換化矩陣為階梯形矩陣和行簡(jiǎn)化階梯形矩陣；3.用初等行變換求矩陣的秩．六、布置作業(yè)高等數(shù)學(xué)習(xí)題集“作業(yè)8.2.1”中的1、2“作業(yè)8.2.2”中的1.線性方程組的解的討論離不開(kāi)一個(gè)重要概念---秩，求秩常見(jiàn)方法用初等變換法，初等變換的三種變換定義要對(duì)比講解階梯形矩陣概念不好理解，講述時(shí)可以舉階梯形與不是階梯形矩陣的例子，以便比較比較階梯形與行簡(jiǎn)化階梯形矩陣的特征用初等變換來(lái)化階梯形矩陣講述滿秩矩陣定義時(shí)，還要啟發(fā)學(xué)生觀察滿秩矩陣的特點(diǎn)詳細(xì)的步驟讓學(xué)生養(yǎng)成認(rèn)真學(xué)習(xí)習(xí)慣課堂鞏固練習(xí)小結(jié)課堂內(nèi)容，小結(jié)時(shí)特別強(qiáng)調(diào)秩的定義課題8.3逆矩陣教學(xué)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)（1）理解逆矩陣概念；（2）了解逆矩陣的性質(zhì)；（3）會(huì)判定逆矩陣的存在性；（4）熟練掌握求逆矩陣的方法．能力目標(biāo)通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析，培養(yǎng)學(xué)生善于觀察問(wèn)題和分析問(wèn)題的能力，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生自覺(jué)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生利用軟件輔助求解數(shù)學(xué)中的問(wèn)題教學(xué)重點(diǎn)逆矩陣的判定和求逆矩陣教學(xué)難點(diǎn)求逆矩陣教法學(xué)法演示教學(xué)法、小組學(xué)習(xí)法.。2課時(shí)。教學(xué)反思教學(xué)中要說(shuō)明逆矩陣存在情況下進(jìn)行求解，因?yàn)榍竽婢仃囈彩欠爆嵉囊粋€(gè)過(guò)程，所以要求學(xué)生求解每步都要求認(rèn)真仔細(xì)，否則計(jì)算量更大，同時(shí)要求結(jié)果要驗(yàn)驗(yàn)是否為逆矩陣教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)意圖一、知識(shí)回顧矩陣初等行變換二、情境引入破譯密文與構(gòu)造密鑰是當(dāng)今密碼學(xué)的熱點(diǎn)，如何用矩陣?yán)碚搧?lái)解析密碼學(xué)中的“加密”和“解密”呢？三、合作探究1.學(xué)習(xí)新知（一）、逆矩陣概念對(duì)于矩陣，如果存在矩陣，使得，則稱為可逆矩陣，矩陣稱為的逆矩陣，記作，即．由定義知：（1）單位矩陣可逆，且；（2）如果是可逆矩陣，那么也是可逆矩陣．并且與互為逆陣，即，；（3）可逆矩陣一定是方陣，可逆矩陣的逆是唯一的；【例１】設(shè)，，判斷與是否互為逆矩陣？解：，，由定義知與互為逆矩陣．（二）、可逆矩陣的性質(zhì)設(shè)和為同階可逆方陣，數(shù)．則（1）；（2）；（3）；（4）．（三）、矩陣可逆的判別矩陣的逆存在性問(wèn)題也是線性代數(shù)中研究的重要內(nèi)容，為了判別逆的存在性，這里引入一個(gè)新概念-----行列式．(１).行列式設(shè)二階方陣，定義一個(gè)的二階行列式：det=，并規(guī)定的二階行列式的值為.設(shè)三階方陣，定義一個(gè)的三階行列式:det，并規(guī)定的三階行列式的值為【例2】求行列式和．解：，.對(duì)于階方陣，同樣可以定義一個(gè)階行列式：，其值可以用軟件Excel求解．(2).矩陣可逆的判別定理定理1：矩陣可逆的充要條件是．定理2：矩陣可逆的充要條件是A為滿秩矩陣．（四）、用初等行變換法求矩陣的逆為了方便研究，我們把階方陣與同階的單位矩陣寫(xiě)成一個(gè)矩陣，中間用豎線隔開(kāi)，即，然后利用初等行變換，若能化成單位矩陣，則說(shuō)明可逆，在相同的變換下，原來(lái)的就化成了，簡(jiǎn)寫(xiě)為．2.探究例題【例3】求矩陣的逆矩陣．解:所以可逆，且．【例4】求解矩陣方程X=．解：設(shè),，則原方程可寫(xiě)為所以，由于可逆，則由得，從而．矩陣密碼法是信息編碼與解碼的技巧，其中的一種就是基于利用可逆矩陣的方法，先在26個(gè)英文字母與數(shù)字間建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，例如可以是：若要發(fā)出信息“ILOVEYOU”;使用上述代碼，則此信息碼為：“9,12,15,22,5,25,15,21”,此種編碼很容易被別人破譯．我們可以用矩陣乘法對(duì)明文“ILOVEYOU”進(jìn)行加密，進(jìn)行加密后傳送.然后合法用戶進(jìn)行解密，具體做法如下:（1）選擇一個(gè)可逆矩陣作為加密矩陣，如選擇：記明文的編碼為(空格對(duì)應(yīng)于0)(2)即密文編碼為”24,3,-3,37,-17,-10,21,-21,0”.(3)合法用戶解密:只用左乘上述矩陣便可得到“明碼”.四、課堂練習(xí)1．利用矩陣的初等行變換判斷下列矩陣是否可逆，若可逆，求其逆.(1)；(2);(3)；(4)．2．已知矩陣方程X=，求矩陣X．五、課堂小結(jié)1.逆矩陣概念2.可逆矩陣的性質(zhì)3.矩陣可逆的判別4.用初等變換法求矩陣的逆六、布置作業(yè)高等數(shù)學(xué)習(xí)題集“作業(yè)8.3”中的1，2利用Excel求解課堂練習(xí)復(fù)習(xí)初等行變換以便更好掌握新課羅列逆矩陣性質(zhì)，忽略證明行列式的引入也為逆矩陣的判別提供了很不錯(cuò)的方法要求會(huì)計(jì)算低階的行列式，高階的可通過(guò)輔助軟件實(shí)現(xiàn)用初等行變換求矩陣的逆時(shí)強(qiáng)調(diào)最后結(jié)果要檢驗(yàn)，把結(jié)果與已知矩陣相乘看是否為單位陣逆矩陣在求解矩陣方程中的應(yīng)用矩陣在密碼學(xué)中的簡(jiǎn)單應(yīng)用，這部分知識(shí)的引入，一方面讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，另一方面激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，引導(dǎo)學(xué)生思考：再找出一個(gè)3階矩陣作為加密矩陣，并求出密文編碼小結(jié)本課時(shí)內(nèi)容課題8.4線性方程組解的討論教學(xué)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)（1）了解線性方程組解的判定；（2）學(xué)會(huì)求線性方程組的解．能力目標(biāo)通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析，培養(yǎng)學(xué)生善于觀察問(wèn)題和分析問(wèn)題的能力，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生具有用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力教學(xué)重點(diǎn)線性方程組解的判定和求解線性方程組教學(xué)難點(diǎn)求解線性方程組教法學(xué)法講練結(jié)合法教學(xué)、合作學(xué)習(xí)法.2課時(shí)。教學(xué)反思教學(xué)中體現(xiàn)線性方程組的求解與矩陣初等變換是相關(guān)的，同時(shí)強(qiáng)調(diào)線性方程組在實(shí)際中的應(yīng)用教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)意圖一、知識(shí)回顧初等行變換的三種變換二、情境引入我國(guó)古代數(shù)學(xué)家張丘建寫(xiě)的《算經(jīng)》一書(shū)中曾經(jīng)解答了下面的題目:雞翁一值錢(qián)五,雞母一值錢(qián)三,雞雛三值錢(qián)一,百錢(qián)買百雞,問(wèn)雞翁、雞母、雞雛各幾何?'三、合作探究（講授新課）1.學(xué)習(xí)新知（一）、線性方程組的矩陣表示上述問(wèn)題就是求由三個(gè)未知量二個(gè)方程所構(gòu)成的方程組的非負(fù)整數(shù)解的問(wèn)題.對(duì)于一般線性方程組(4.1)記，，根據(jù)矩陣的乘法，線性方程組(4.1)可表示成矩陣形式：(4.2)式(4.2)稱為線性方程組(4.1)的矩陣表示，矩陣A稱為系數(shù)矩陣，矩陣稱為增廣矩陣．當(dāng)線性方程組(4.1)的常數(shù)項(xiàng)均為0時(shí)，即(4.3)稱它為齊次線性方程組，它的矩陣形式為顯然，任何一個(gè)線性方程組都有唯一的增廣矩陣與之對(duì)應(yīng)．寫(xiě)出線性方程組的矩陣形式與增廣矩陣．解：設(shè)，，，則方程組的矩陣形式為：AX=B增廣矩陣為．（二）、線性方程組解的判定對(duì)于線性方程組的解，有如下兩個(gè)定理．定理1設(shè)、分別是線性方程組（1）的系數(shù)矩陣與增廣矩陣，那么（1）線性方程組(4.1)無(wú)解（或）；（2）線性方程組(4.1)有惟一解；（3）線性方程組(4.1)有無(wú)窮多解.由于齊次線性方程組(4.3)的,故齊次線性方程組一定有零解.定理2設(shè)是齊次線性方程組(4.3)的系數(shù)矩陣，那么（1）齊次線性方程組(4.3)只有零解；（2）齊次線性方程組(4.3)有非零解.注意：上述的是指未知量的個(gè)數(shù),而不是方程組中的方程個(gè)數(shù)．【例2】判斷以下線性方程組是否有解？若有解，是惟一解還是有無(wú)窮多解？（1）；（2）（3）解：（1）用初等行變換將增廣矩陣化成階梯形矩陣，即.，根據(jù)定理1，方程組無(wú)解．事實(shí)上，若把矩陣寫(xiě)成其對(duì)應(yīng)的線性方程組，矩陣的第三行對(duì)應(yīng)一個(gè)矛盾方程，故方程組無(wú)解.(2)利用初等行變換，將方程組的增廣矩陣化成階梯形矩陣，即.由定理1知，方程組有惟一解．利用初等行變換，將方程組的增廣矩陣化成階梯形矩陣，即,由定理1知，方程組有無(wú)窮多解.（三）、求線性方程組的解【例3】求例2（2）中線性方程組的解．解：對(duì)例2（2）中所得的階梯形矩陣?yán)^續(xù)施行初等行變換，化成行簡(jiǎn)化階梯形矩陣：，與原方程同解的方程組，故方程組的解為【例4】求例2（3）中線性方程組的解.解：對(duì)例2（3）中所得的階梯形矩陣?yán)^續(xù)施行初等行變換，化成行簡(jiǎn)化階梯形矩陣：與原方程組同解的方程組為：令，得原方程組的解為：其中為任意常數(shù),這種解的形式稱為線性方程組的通解或一般解.【例5】求解齊次線性方程組解：該齊次線性方程組的系數(shù)矩陣與原方程組同解的方程組為：令，得原方程組的通解為：，其中為任意常數(shù)．2.探究例題【例6】木工，電工，水泥工互相裝修他們自已的房子，每人總工作10天，每人日工資為300—370元，每人的日工資應(yīng)使得每人的總收入與總支出相等，表44為分配方案，問(wèn)他們的日工資分別為多少？表４－4木工電工水泥工在木工家工作天數(shù)216在電工家工作天數(shù)451在水泥家工作天數(shù)443解：設(shè)木工，電工，水泥的日工資分別為，依題意，則其對(duì)應(yīng)的線性方程組為：化為齊次線性方程組為：其對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣為，把化為階梯形矩陣：與原方程組同解的方程組為設(shè)，得原方程組的通解為：由于每人日工資為300—370元，可取=360，上述方法求解得，即每人日工資分別為310元、320元、360元.四、課堂練習(xí)1．求線性方程組的解（1）；（2）2.求齊次線性方程組的解五、課堂小結(jié)1.線性方程組的矩陣表示2.線性方程組解的判定3.求線性方程組的解六、布置作業(yè)高等數(shù)學(xué)習(xí)題集“作業(yè)8.4”中的1，2利用Excel求解課堂練習(xí)用一道典型的古代數(shù)學(xué)問(wèn)題引入新課線性方程組的系數(shù)用矩陣來(lái)表示線性方程組解的解判定，這部分內(nèi)容要求學(xué)生熟練掌握定理結(jié)論，不作展開(kāi)證明用初等變換方法及結(jié)合定理1對(duì)線性方程組解的情況進(jìn)行判定無(wú)解的情況唯一解的情況無(wú)窮解的情況唯一解求解結(jié)果無(wú)窮多解的解表示求解齊次線性方程組，當(dāng)無(wú)窮多解時(shí)注意其解的表示方式線性方程組求解的實(shí)例結(jié)合實(shí)際情況進(jìn)行求解講完此道例題后可以引導(dǎo)學(xué)生思考：“情境引入”的求解課堂相應(yīng)練習(xí)進(jìn)行鞏固以提問(wèn)的方式來(lái)小結(jié)本次課的內(nèi)容