模型29 平行四邊形-中點四邊形模型-原卷版

平行四邊形模型（二十九）——中點四邊形模型中點四邊形：依次連接四邊形四邊中點連線的四邊形得到中點四邊形.◎結論1：點M、N、P、Q是任意四邊形的中點，則四邊形MNPQ是平行四邊形.如上圖：【證明】∵MN∥12PQ∥12∴四邊形MNPQ為平行四邊形。如上圖【證明】∵MQ∥12BD，MQ＝1PN∥12BD，PN＝1∴MQ∥PN，MQ＝PN∴四邊形MNPQ為平行四邊形【證明】∵MN∥12AC,MN＝1PQ∥12AC，PQ＝1∴MN∥PQ，MN＝PQ∴四邊形MNPQ為平行四邊形◎結論2：對角線垂直的四邊形的中點四邊形是矩形【證明】由上：平行四邊形MNPQ∵AC∥PQ∴∠2＝∠1＝90°∵MQ∥BD∴∠3＝∠2＝90°∴MNPQ為矩形.◎結論3：對角線相等的四邊形的中點四邊形是菱形【證明】由上：平行四邊形MNPQ∵MQ＝12BD，MN＝1∴MQ＝MN∴四邊形MNPQ為菱形。◎結論4：對角線垂直且相等的四邊形的中點四邊形是正方形?！咀C明】由結論3可知對角線相等的四邊形的中點四邊形是菱形，所以四邊相等，再結合結論2對角線垂直的四邊形的中點四邊形是矩形，所以四邊形MNPQ為正方形。1．（2022·貴州·遵義五十七中八年級期中）我們把順次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫做中點四邊形，下列說法正確的是A．任意一個四邊形的中點四邊形是菱形B．任意一個平行四邊形的中點四邊形是平行四邊形C．對角線相等的四邊形的中點四邊形是矩形D．對角線垂直的四邊形的中點四邊形是正方形2．（2017·山東·淄博市臨淄區(qū)皇城鎮(zhèn)第一中學九年級期中）若順次連接一個四邊形的四邊中點所組成的四邊形是矩形，則原四邊形一定是（

）A．一般平行四邊形 B．對角線互相垂直的四邊形 C．對角線相等的四邊形 D．矩形3．（2021·新疆農業(yè)大學附屬中學八年級期中）如圖，連接四邊形ABCD各邊中點，得到四邊形EFGH，還要添加一個條件_____，能使四邊形EFGH是矩形．1．（2021·廣西桂林·八年級期末）如圖，四邊形ABCD的四邊中點分別為E、F、G、H，順次連接E、F、G、H．（1）判斷四邊形EFGH形狀，并說明理由；（2）若AC＝BD，判斷四邊形EFGH形狀，并說明理由．2．（2021·河北石家莊·八年級期中）四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA邊的中點，順次連接各邊中點得到的新四邊形EFGH稱為中點四邊形．（1）我們知道：無論四邊形ABCD怎樣變化，它的中點四邊形EFGH都是平行四邊形．特殊的：①當對角線時，四邊形ABCD的中點四邊形為__________形；②當對角線時，四邊形ABCD的中點四邊形是__________形．（2）如圖：四邊形ABCD中，已知，且，請利用（1）中的結論，判斷四邊形ABCD的中點四邊形EFGH的形狀并進行證明．3．（2021·江蘇·高港實驗學校八年級階段練習）如圖1，在四邊形中，如果對角線和相交并且相等，那么我們把這樣的四邊形稱為等角線四邊形．（1）①在“平行四邊形、矩形、菱形”中，______一定是等角線四邊形（填寫圖形名稱）；②若、、、分別是等角線四邊形四邊、、、的中點，當對角線、還要滿足______時，四邊形是正方形．（2）如圖2，已知在中，，，，為平面內一點．①若四邊形是等角線四邊形，且，求符合條件的等角線四邊形的面積．②設點是所在平面上的任意一點且，若四邊形是等角線四邊形，求出四邊形面積的最大值，并說明理由．1．我們給出如下定義：順次連接任意一個四邊形各邊中所得的四邊形叫中點四邊形．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點，中點四邊形EFGH是．（2）如圖2，點P是四邊形ABCD內一點，且滿足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，點E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，C