模型18 軸對稱-將軍飲馬模型-解析版

軸對稱模型（十八）——將軍飲馬模型類型一：（河）和兩旁模型1如圖，定點A，B分布在定直線l的兩側，在直線l上找一點P，使得PA＋PB的值最小.【作法】如圖，連接AB，與直線l的交點即為所求點P.模型2如圖，定點A，B分布在定直線l的同側，在直線l上找一點P，使得PA+PB的值最小【作法】如圖，作點B關于直線l的對稱點B＇，連接AB＇，與直線l的交點即為所求點P.模型3如圖，點P為角內一點，在射線OA，OB上分別找點M，N，使得△PMN的周長最小.【作法】如圖，分別作點P關于兩射線OA，OB的對稱點P?和P?，連接P?P?，與兩射線的交點即為所求點M，N。此圖結論：1.OP＝OP1＝OP2PM＋PN＋MN＝P1M＋BN＋MN＋≥P1P2∠P1OA＝POA,∠P2OB＝POB,∠P1OP2＝2∠AOB對稱：△OMP≌△OMP1模型4類型4：在∠MON的內部有點A和點B，在OM上找一點C，在ON上找一點D，使得四邊形ABCD周長最短．作法：作點A關于OM的對稱點A’，作點B關于ON的對稱點B’

，連接A’B’，與OM交于點C，與ON交于點D，連接AC，BD，AB，四邊形ABCD即為所求．模型5在∠MON的內部有一點A，在OM上找一點B，在ON上找一點C，使得AB＋BC最短．點A是定點，OM，ON是定線，點B、點C是OM、ON上要找的點，是動點．作法：作點A關于OM的對稱點A’，過點A’作A’C⊥ON，交OM于點B，B、C即為所求。模型6（造橋選址）直線l1∥l2，在直線l1上找一個點C，直線l2上找一個點D，使得CD⊥l2,且AC＋BD＋CD最短．作法：將點A沿CD方向向下平移CD長度d至點A’，連接A’B，交l2于點D，過點D作DC⊥l2于點C，連接AC．則橋CD即為所求．此時最小值為A’B+CD模型7已知A、B是兩個定點，在定直線l上找兩個動點M與N，且MN長度等于定長d（動點M位于動點N左側），使AM+MN+NB的值最小.作法一：將點A向右平移長度d得到點A’，作A’關于直線l的對稱點A’’，連接A’’B，交直線l于點N，將點N向左平移長度d，得到點M。作法二：作點A關于直線l的對稱點A1，將點A1向右平移長度d得到點A2，連接A2B，交直線l于點Q，將點Q向左平移長度d，得到點Q。eq\o\ac(○,巧)eq\o\ac(○,記)eq\o\ac(○,口)eq\o\ac(○,訣)和兩旁【總結】研究幾何最值：⑴兩點之間，線段最短⑵垂線段最短類型二：差同旁模型8在定直線l上找一個動點P，使動點P到兩個定點A與B的距離之差最小，即|PA-PB|最小.作法：連接AB，作AB的中垂線與l的交點，即為所求點P此時|PA-PB|=0模型9在定直線l上找一個動點C，使動點C到兩個定點A與B的距離之差最大，即|PA-PB|最大作法：延長BA交l于點C，點C即為所求，即點B、A、C三點共線時，最大值為AB的長度。模型10：在定直線l上找一個動點C，使動點C到兩個定點A與B的距離之差最大，即|PA-PB|最大作法：作點B關于l的對稱點B，連接AB，交交l于點P即為所求，最大值為AB的長度。1．（2021·湖南·寧遠縣上宜中學九年級階段練習）A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，使從A到B的路徑AMNB最短的是（假定河的兩岸是平行線，橋與河岸垂直）（）A．B．C．D．【答案】D【分析】過A作河的垂線AH，要使最短，MN⊥直線a，AI＝MN，連接BI即可得出N，作出AM、MN、BN即可．【詳解】解：根據垂線段最短，得出MN是河的寬時，MN最短，即MN⊥直線a（或直線b），只要AM+BN最短即可，即過A作河岸a的垂線AH，垂足為H，在直線AH上取點I，使AI等于河寬．連接IB交河的b邊岸于N，作MN垂直于河岸交a邊的岸于M點，所得MN即為所求．故選：D．【點睛】本題主要考查了最短路徑的問題，運用到了兩點之間線段最短，平行四邊形等知識點，解此題的關鍵在于熟練掌握其知識點．2．（2022·湖北黃石·七年級期末）如圖，河道的同側有、兩地，現(xiàn)要鋪設一條引水管道，從地把河水引向、兩地．下列四種方案中，最節(jié)省材料的是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】垂線段最短，指的是從直線外一點到這條直線所作的垂線段最短．它是相對于這點與直線上其他各點的連線而言．【詳解】解：依據垂線段最短，以及兩點之間，線段最短，可得最節(jié)省材料的是：故選：D．【點睛】本題主要考查了垂線段最短的運用，實際問題中涉及線路最短問題時，其理論依據應從“兩點之間，線段最短”和“垂線段最短”這兩個中去選擇．3．（2022·云南昆明·八年級期末）如圖，已知點、分別是等邊三角形中、邊的中點，，點是線段上的動點，則的最小值為（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【分析】連接CE交AD于點F，連接BF，此時BF＋EF的值最小，最小值為CE．【詳解】解：連接CE交AD于點F，連接BF，∵△ABC是等邊三角形，D為BC中點，∴BF＝CF，∴BF＋EF＝CF＋EF＝CE，此時BF＋EF的值最小，最小值為CE，∵D、E分別是等邊△ABC中BC、AB邊的中點，∴AD＝CE，∵AD＝6，∴CE＝6，∴BF＋EF的最小值為6，故選：B．【點睛】本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握軸對稱求最短距離的方法，等邊三角形的性質是解題的關鍵．1．（2021·湖北荊門·八年級期中）如圖，在等腰中，，，于，點、分別是線段、上的動點，則的最小值是____．【答案】3【分析】如圖，作，垂足為，交于點，過點作，垂足為，則為所求的最小值，根據含的直角三角形的性質求出即可．【詳解】解：如圖，作，垂足為，交于點，過點作，垂足為，則為所求的最小值．∵，，∴是的平分線，∴，∴，∵，∴是點到直線的最短距離，∵，，∴，∴，∴．∴的最小值是．故答案為：．【點睛】本題最短路線問題，涉及等腰三角形三線合一的性質，角平分線的判定和性質，垂線段最短，含的直角三角形的性質等知識．解題的關鍵是從已知條件并結合圖形思考，通過三線合一的性質和垂線段最短，確定線段和的最小值．2．（2020·海南三亞·八年級期末）如圖，四邊形ABCD中，，，E、F分別是AD、AB上的動點，當的周長最小時，的度數是______．【答案】40°##40度【分析】要使△CEF的周長最小，即利用點的對稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出C關于BA和AD的對稱點N，M，即可得出，最后利用△CMN內角和即可得出答案．【詳解】作C關于BA和AD的對稱點N，M，連接MN，交AD于E1，交AB于F1，則MN即為△CEF的周長最小值．∵，，∴∠DCB=110°，由對稱可得：CF1=F1N，E1C=E1M，∴，∵，∴，∴，即當的周長最小時，的度數是40°，故答案為：40°．【點睛】本題考查的是軸對稱-最短路線問題，涉及到平面內最短路線問題求法以及三角形的外角的性質、等邊對等角等知識，根據已知得出的周長最小時，E，F(xiàn)的位置是解題關鍵．3．（2022·貴州省三穗中學八年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，在坐標系中A（1，1），B（4，2），C（3，4）．(1)在圖中畫出關于x軸的對稱圖形，并分別寫出對應點A1、B1、C1的坐標．(2)求．(3)在y軸上是否存在一點p，使得AP+CP最小，若存在，請在圖中描出點P，若不存在請說明理由．【答案】(1)見解析，A1（1，-1），B1（4，-2）C1(3，-4)(2)3.5(3)存在，見解析【分析】（1）依據軸對稱的性質進行作圖，即可得到；（2）利用三角形面積公式求解；（3）作點A關于y軸的對稱點，連接，交y軸于點P，則可得解．（1）解：如圖，即為所求：，，的坐標分別為：（1，-1）、（4，-2）、（3，-4）；（2）解：；（3）解：存在．如上圖，作點A關于y軸的對稱點，連接，則與y軸的交點即是點P的位置．【點睛】本題考查了作圖-軸對稱變換、軸對稱-最短路線問題，解決本題的關鍵是掌握軸對稱的性質．4．（2022·四川樂山·七年級期末）（1）唐朝詩人李顧的詩古從軍行開頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數學問題：如圖所示，詩中大意是將軍從山腳下的點出發(fā)，帶著馬走到河邊點飲水后，再回到點宿營，請問將軍怎樣走才能使總路程最短？請你通過畫圖，在圖中找出點，使的值最小，不說明理由；（2）實踐應用，如圖，點為內一點，請在射線、上分別找到兩點、，使的周長最小，不說明理由；（3）實踐應用：如圖，在中，，，，，平分，、分別是、邊上的動點，求的最小值．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）的最小值為【分析】（1）作點關于直線小河的對稱點，連接，交于，則最??；（2）分別作點關于，的對稱點和，連接交于，于，連接，，，則的周長最??；（3）過點C作，交于，于，連接ME，則最小，證明≌，可得，，可證得△COM≌△EOM，從而得到當點N，M，E共線時，CM+MN最小，最小值為EN，且當EN⊥AC時，NE最小，再根據，可得，即可求解．【詳解】解：（1）如圖，作點關于直線小河的對稱點，連接，交于，則最??；理由：根據作法得：，∴，∴當點共線時，最?。唬?）如圖，分別作點關于，的對稱點和，連接交于，于，連接，，，則的周長最小；理由：根據作法得：，，∴，∴當點共線時，的周長最??；（3）如圖，過點C作，交于，于，連接ME，則最小，，平分，，在和中，，≌，，，∵，OM=OM，∴△COM≌△EOM，，，∴當點N，M，E共線時，CM+MN最小，最小值為EN，且當EN⊥AC時，NE最小，過點C作CF⊥AB于點F，∵，，，，∴，即，解得：，∵，，∴的最小值為．【點睛】本題考查了軸對稱性質，全等三角形的判定和性質等知識，解決問題的關鍵是熟練掌握“將軍飲馬”及其變形的模型．1．（2018·廣東廣州·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＞CD，AD＝AB+CD．（1）利用尺規(guī)作∠ADC的平分線DE，交BC于點E，連接AE（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）的條件下，①證明：AE⊥DE；②若CD＝2，AB＝4，點M，N分別是AE，AB上的動點，求BM+MN的最小值．【答案】（1）答案見解析；（2）①證明見解析；②．【分析】（1）利用尺規(guī)作出∠ADC的角平分線即可；（2）①延長DE交AB的延長線于F．只要證明AD=AF，DE=EF，利用等腰三角形三線合一的性質即可解決問題；②作點B關于AE的對稱點K，連接EK，作KH⊥AB于H，DG⊥AB于G．連接MK．由MB=MK，推出MB+MN=KM+MN，根據垂線段最短可知：當K、M、N共線，且與KH重合時，KM+MN的值最小，最小值為KH的長.【詳解】（1）如圖，∠ADC的平分線DE如圖所示，（2）延長DE交AB的延長線于F，∵CD∥AF，∴∠CDE＝∠F，∵∠CDE＝∠ADE，∴∠ADF＝∠F，∴AD＝AF，∵AD＝AB+CD＝AB+BF，∴CD＝BF，∵∠DEC＝∠BEF，∴△DEC≌△FEB，∴DE＝EF，∵AD＝AF，∴AE⊥DE；②作點B關于AE的對稱點K，連接EK，作KH⊥AB于H，DG⊥AB于G．連接MK，∵AD＝AF，DE＝EF，∴AE平分∠DAF，則△AEK≌△AEB，∴AK＝AB＝4，在Rt△ADG中，DG，∵KH∥DG，∴，∴，∴KH，∵MB＝MK，∴MB+MN＝KM+MN，∴當K、M、N共線，且與KH重合時，KM+MN的值最小，最小值為KH的長，∴BM+MN的最小值為．【點睛】本題考查作圖-基本作圖，軸對稱最短問題，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會利用軸對稱解決最短問題，屬于中考?？碱}型．2．（2017·江蘇徐州·中考真題）如圖，將邊長為的正三角形紙片按如下順序進行兩次折疊，展開后，得折痕（如圖①），點為其交點.（1）探求與的數量關系，并說明理由；（2）如圖②，若分別為上的動點.①當的長度取得最小值時，求的長度；②如圖③，若點在線段上，，則的最小值=.【答案】（1）AO=2OD，理由見解析；（2）①；②．【分析】（1）根據等邊三角形的性質得到∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，得到AO=OB，根據直角三角形的性質即可得到結論；（2）如圖②，作點D關于BE的對稱點D′，過D′作D′N⊥BC于N交BE于P，則此時PN+PD的長度取得最小值，根據線段垂直平分線的性質得BD=BD′，推出△BDD′是等邊三角形，得到BN=BD=，于是得到結論；（3）如圖③，作Q關于BC的對稱點Q′，作D關于BE的對稱點D′，連接Q′D′，即為QN+NP+PD的最小值．根據軸對稱的定義得到∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，得到△BQQ′為等邊三角形，△BDD′為等邊三角形，解直角三角形即可得到結論．【詳解】（1）AO=2OD，理由：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，∴AO=OB，∵BD=CD，∴AD⊥BC，∴∠BDO=90°，∴OB=2OD，∴OA=2OD；（2）如圖②，作點D關于BE的對稱點D′，過D′作D′N⊥BC于N交BE于P，則此時PN+PD的長度取得最小值，∵BE垂直平分DD′，∴BD