八年級上冊數(shù)學《全等三角形》知識歸納與題型突破含解析

第十二章全等三角形知識歸納與題型突破（題型清單）01思維導圖02知識速記一、全等圖形形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合.能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形.要點詮釋：一個圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀、大小都沒有改變，即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.兩個全等形的周長相等，面積相等.二、全等三角形能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形.三、全等三角形的性質(zhì)全等三角形的對應邊相等；全等三角形的對應角相等.要點詮釋：全等三角形對應邊上的高相等，對應邊上的中線相等，周長相等，面積相等全等三角形的性質(zhì)是今后研究其它全等圖形的重要工具.四、全等三角形的判定五、全等三角形的證明思路→→→SSS→→→找夾邊的另一角→找邊的對角→→已知兩角→六、全等三角形證明方法全等三角形是平面幾何內(nèi)容的基礎，這是因為全等三角形是研究特殊三角形、四邊形、相似圖形、圓等圖形性質(zhì)的有力工具，是解決與線段、角相關問題的一個出發(fā)點.運用全等三角形，可以證明線段相等、線段的和差倍分關系、角相等、兩直線位置關系等常見的幾何問題.可以適當總結(jié)證明方法.1．證明線段相等的方法：(1)證明兩條線段所在的兩個三角形全等.(2)利用角平分線的性質(zhì)證明角平分線上的點到角兩邊的距離相等3)等式性質(zhì).2．證明角相等的方法：(1)利用平行線的性質(zhì)進行證明.(2)證明兩個角所在的兩個三角形全等.(3)利用角平分線的判定進行證明4)同角（等角）的余角（補角）相等5)對頂角相等.3．證明兩條線段的位置關系（平行、垂直）的方法；可通過證明兩個三角形全等，得到對應角相等，再利用平行線的判定或垂直定義證明.4．輔助線的添加:(1)作公共邊可構(gòu)造全等三角形；(2倍長中線法；()作以角平分線為對稱軸的翻折變換全等三角形；(4)利用截長(或補短)法作旋轉(zhuǎn)變換的全等三角形.5.證明三角形全等的思維方法:（1）直接利用全等三角形判定和證明兩條線段或兩個角相等，需要我們敏捷、快速地發(fā)現(xiàn)兩條線段和兩個角所在的兩個三角形及它們?nèi)鹊臈l件.（2）如果要證明相等的兩條線段或兩個角所在的三角形全等的條件不充分時，則應根據(jù)圖形的其它性質(zhì)或先證明其他的兩個三角形全等以補足條件.（3）如果現(xiàn)有圖形中的任何兩個三角形之間不存在全等關系，此時應添置輔助線，使之出現(xiàn)全等三角形，通過構(gòu)造出全等三角形來研究平面圖形的性質(zhì).七、角平分線概念：從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成完全相同的角，這條射線叫做這個角的角平分線。角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊的距離相等；數(shù)學語言：∵∠MOP=∠NOP，⊥OMPB⊥ON∴=PB判定定理：到角兩邊距離相等的點在角的平分線上．數(shù)學語言：∵PA⊥OMPB⊥ONPA=PB∴∠MOP=∠NOP八、角平分線常考四種輔助線：1.圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。2.角平分線加垂線，三線合一試試看。3.角平分線平行線，等腰三角形來添。4.也可將圖對折看，對稱以后關系出現(xiàn)。03題型歸納題型一全等圖形識別23-24七年級下·陜西寶雞期中）下列各組圖形中，屬于全等圖形的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】本題考查了全等圖形．根據(jù)全等圖形的定義（能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形）逐項判斷即可得．【詳解】解：A、兩個圖形的大小不相同，不能夠完全重合，不是全等圖形，則此項不符合題意；B、兩個圖形的大小不相同，不能夠完全重合，不是全等圖形，則此項不符合題意；C、兩個圖形能夠完全重合，是全等圖形，則此項符合題意；D、兩個圖形的形狀不相同，不能夠完全重合，不是全等圖形，則此項不符合題意；故選：．鞏固訓練123-24七年級下·全國課后作業(yè)）下列各選項中的兩個圖形屬于全等形的是（）A．B．D．C．【答案】B【分析】本題考查圖形全等，涉及全等圖形的定義，根據(jù)能夠完全重合的兩個圖形是全等圖形，逐項驗證即可得到答案，熟記全等圖形的定義是解決問題的關鍵．【詳解】解：根據(jù)全等圖形的定義可知，只有這兩個圖形能夠完全重合，故選：．223-24七年級下·四川成都·期中）下列各組圖形中，是全等圖形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】本題考查全等圖形的概念，形狀和大小完全相同的圖形是全等圖形，據(jù)此即可求解．【詳解】解：根據(jù)全等圖形的概念，只有B選項中的兩個圖形形狀和大小完全相同，是全等圖形，故選：．32024七年級下·全國專題練習）下列各組的兩個圖形屬于全等圖形的是（）A．B．D．C．【答案】B【分析】本題主要考查了全等形的定義，掌握能夠完全重合的圖形是全等形成為解題的關鍵．運用全等形的定義逐項判斷即可解答．【詳解】解：A、兩只眼睛下面的嘴巴不能完全重合，故本選項錯誤；B、兩個圖形能夠完全重合，故本選項正確C、兩個正方形的邊長不相等，不能完全重合，故本選項錯誤；C、圓內(nèi)兩條相交的線段不能完全重合，故本選項錯誤．故選D．題型二全等三角形的概念23-24七年級下·陜西西安期中）下列判斷正確的個數(shù)是（（1）形狀相同的兩個三角形是全等形；）（2）全等圖形的周長都相等；（3）面積相等的兩個等腰三角形是全等形；（4）全等三角形對應邊上的高、中線及對應角平分線分別相等．A．1個B．2個C．3個D4個【答案】B【分析】本題考查了全等圖形的判定與性質(zhì)，利用全等圖形的判定與性質(zhì)即可確定正確的選項．）形狀相同的兩個三角形不一定是全等形，故錯誤；（2）全等圖形的周長都相等，故正確；（3）面積相等的兩個等腰三角形不一定是全等形，故錯誤；（4）全等三角形對應邊上的高、中線及對應角平分線分別相等，故正確；故選：B鞏固訓練123-24七年級下·江蘇泰州·階段練習）下列說法中正確的是（）A．全等三角形是指形狀相同的兩個三角形C．全等三角形是指面積相等的兩個三角形B．全等三角形的面積相等D．等邊三角形都全等【答案】B據(jù)全等三角形的定義和性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：A、全等三角形是指形狀和大小相同的兩個三角形，該選項錯誤；B、全等三角形的面積相等，該選項正確；C、面積相等的兩個三角形不一定都是全等三角形，該選項錯誤；D、等邊三角形不一定都是全等三角形，該選項錯誤．故選：．223-24八年級上·甘肅定西·階段練習）下列說法正確的是（）A．形狀相同的兩個三角形全等B．面積相等的兩個三角形全等D．所有的等邊三角形全等C．全等三角形的周長相等、面積相等【答案】C【分析】本題考查三角形全等的概念及性質(zhì)，根據(jù)三角形全等的概念和性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】A法錯誤；B選項：全等的兩個三角形面積相等，但面積相等的兩個三角形不一定全等，故本選項說法錯誤；C選項：全等三角形的周長相等，面積相等，本選項說法正確；D選項：等邊三角形的形狀相同，但大小不同，故本選項說法錯誤.故選：C323-24八年級上·陜西安康·期中）下列說法正確的是（）A．全等三角形是指形狀、大小相同的三角形B．兩個全等三角形的面積不一定相等C．周長相等的兩個三角形是全等三角形D．所有的等邊三角形都是全等三角形【答案】A【分析】根據(jù)能夠完全重合的兩個三角形是全等三角形，對各選項分析判斷后利用排除法求解．【詳解】A、形狀相同大小相等的三角形能夠完全重合，是全等三角形，故本選項正確；B、兩個全等三角形的面積一定相等，故本選項錯誤；C、周長相等的三角形，形狀不一定相同，大小不一定相等，所以不一定是全等三角形，故本選項錯誤；D形，故本選項錯誤．故選：．題型三全等三角形的性質(zhì)△△DEB，23-24七年級下·四川資陽期末）如圖，已知點A在BE上，ABC(1)試說明：DE∥BC；(2)若BC=12，AE=7，求DE的長【答案】(1)見解析(2)DE=5【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．（1）根據(jù)全等三角形的對應角相等得到∠E=∠EBC，然后根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行得到結(jié)論即可；（2）根據(jù)全等三角形的對應邊相等得到BEBC12，DEAB，然后利用線段的和差即可得到結(jié)果．===△△DEB，）證明：∵ABC∴∠E=∠EBC，∴DE∥BC；△△DEB，（2）解：∵ABC∴BEBC12，DEAB，===又∵AE7，=∴DEABBEAE12?7=5．==?=鞏固訓練123-24七年級下·福建泉州·期末）如圖，△ABC△DEF，其中點、、D在一條直線上．(1)若FEAD,F58，求A的大??；⊥∠=°∠(2)若AD9cm,BE，求AE的長．==【答案】(1)32°(2)2cm【分析】此題考查了全等三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．（1）先根據(jù)垂直以及直角三角形兩銳角互余求出D90°?∠∠=F=32°，再利用全等三角形對應角相等即可得到∠A的大??；（2）利用全等三角形的性質(zhì)得到AB=DE，則AB?BE=DE?BE，即可得到1AEBD==(AD?BE)=2(cm)．2FE⊥AD,）解：∵∴DEF90，∠=°∵F58，∠=°∴D90∠=°?∠F=32°，△△ABC≌DEF∵∴∠A=∠D=32°△△（2ABC≌DEF，∴AB=DE∴AB?BE=DE?BE，112∴AEBD==(AD?BE)=(95)2(cm)?=2223-24七年級下·陜西榆林·期末）如圖，已知ABCDBE，點D在邊AC上，BC與DE交于點P，∠ABE=162°∠CBD=36°，．(1)求∠CBE的度數(shù)；(2)若ADDC5，=8，求△CDP與△BEP的周長之和．【答案】(1)63°(2)31【分析】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的對應角相等，對應邊相等是解本題的關鍵．（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到ABC∠=∠DBE，計算即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出、、、BE，根據(jù)三角形的周長公式計算即可．）解：∵ABE162，∠=°∠CBD=36°，∴ABD∠+∠CBE126．=°∵ABCDBE，∴ABC∠=∠DBE，∴∠ABC?∠CBD=∠DBE?∠CBD，即ABD∠=∠CBE，1∴CBE∠=×126°=63．°2（2）解：∵ABCDBE，∴DEACADDC10，BE=BC=8，==+=∴△CDP與△BEP的周長和DCDPPCBPPEBE，=+++++=DC+DE+BC+BE=5+10+8+8=31．323-24七年級下·四川樂山·期末）如圖所示，ABCDEB，點E在AB邊上，DE與AC交于點F．(1)若AE=4，BC=6，求線段DE的長；(2)若∠A=25°，∠AFD=100°，求∠DBE的度數(shù)．【答案】(1)10(2)∠DBE=50°【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)；BE=BC=DE=ABAB=AE+BE（1ABCDEB，得到（2）由ABCDEB，得到A進而即可求解．，而，即可得到DE的長；∠=D=，由三角形外角的性質(zhì)得到°∠AFD=∠A+∠D+∠EBD=100°，△ABC≌△DEB∴DE=AB，BC=EB=6∴AB=AE+EB=4+6=10∴DEAB10.==（2△ABC≌△DEB∴∠D=∠A=25°∠AFD=∠A+∠AEF，∠AEF=∠D+∠EBD∴∠AFD=∠A+∠D+∠DBE=100°∴∠DBE=50°.題型四添加一個條件使兩三角形全等2023·浙江·D在AB上，E在AC∠B=∠C______后，可用“”判斷ACD．【答案】BECD或AEAD==B∠=∠C，A∠=∠A【詳解】解：∵B∠=∠C，A∠=∠A，∴若用“”判斷ACD，可補充的條件是BECD或AEAD；==故答案為：BECD或AEAD．==【點睛】本題考查了全等三角形的判定，熟知掌握判定三角形全等的條件是解題的關鍵．鞏固訓練12023·黑龍江雞西?？既＃┤鐖D，點B,F,C,E在一條直線上，已知BF=CEAC=DF，請你添加一,△△個適當?shù)臈l件_________ABC≌DEF【答案】ACB∠=∠DFE（答案不唯一）【分析】由BFCE可得=BC=EF，再根據(jù)三角形全等的證明，可知可以添加條件為：兩邊及其夾角（ACB∠=∠DFEAB=DE）即可解答．【詳解】解：∵BFCE，=∴BCEF，=∵ACDF，=()或AB=DE可證明ABC?DEFSSS)．(∴可添加條件為：ACB∠=∠DFE可證明ABC?DEF故答案為：ACB∠=∠DFE【點睛】本題主要考查的是三角形全等判定，掌握證明全等三角形的方法有：SSS,SAS,AAS,ASA,特別是SSA不能判定三角形全等是解題的關鍵．22023·北京大興·統(tǒng)考二模）如圖，點B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，AC∥DF，BE=CF，只需添加△△一個條件即可證明ABC≌DEF，這個條件可以是________【答案】ACDF或∠A=∠=D或∠ABC=∠DEF或ABDE【分析】根據(jù)SAS，AAS或ASA添加條件即可求解．ACDF【詳解】解：∵，∴ACB∠=∠DFE，∵BECF，=∴BEECCFEC，即+=+BC=EF，則有邊角AS兩個條件，要添加一個條件分三種情況，（1）根據(jù)“SAS”，則可添加：ACDF，=（2）根據(jù)“ASA”，則可添加：ABC∠=∠DEF或ABDE，（3）根據(jù)“AAS”，則可添加：∠A=∠D，∠ABC=∠DEF故答案為：ACDF或=或ABDE或∠A=∠D【點睛】本題考查了全等三角形的判定，解此題的關鍵是熟練掌握全等三角形的幾種判斷方法．3（2023秋∠A=∠D=90°“HL”證明△ABCDCB_______________“”證明△ABCDCB，應添加條件：_______________________．【答案】ABDC（或=AC=DB）∠ACB=∠DBC∠ABC=∠DCB（或）【分析】根據(jù)：斜邊與直角邊對應相等的兩個直角三角形全等，使△ABCDCB，已知A∠=∠D=90°，BC=BC，添加的條件是直角邊相等即可；要使用“”，需要添加角相等即可．【詳解】解：已知∠A=∠D=90，BC=BC°，要使用“HL”，添加的條件是直角邊相等，AC=DB故答案為：ABDC（或=要使用“”，需要添加角相等，添加的條件為：∠ACB=∠DBC∠ABC=∠DCB（或∠ABC=∠DCB故答案為：ACB∠=∠DBC（或5取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應相等，則必須再找一組對邊對應相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應鄰邊．題型五用SAS證明兩三角形全等2023·廣東廣州·?？寄M預測）如圖，已知OAOC，=OB=OD∠AOB=∠COD，．求證：△AOBCOD．【答案】證明見解析．【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理SAS推出即可．【詳解】證明：在和△COD中，OA=OC∠AOB=∠CODOB=OD，()∴△AOB≌△CODSAS．【點睛】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關鍵，注意：全等三角形的判定定理有AAS,SSS，兩直角三角形全等還有,,等．鞏固訓練12023·吉林松原BFCE在同一直線上，ACDF相交于點GAB⊥BE，垂足為B，DE⊥BE，垂足為E，且AB=DE，BFCE．=△△求證：ABC≌DEF．【答案】見解析【分析】根據(jù)AB⊥BE，DE⊥BE∠B=∠E，根據(jù)BFCE△=BC=FE=，結(jié)合ABDE△ABC()DEF．根據(jù)判定【詳解】證明：AB⊥BE，DE⊥BE，∴∠B=∠E，BF=CE，BF+FC=FC+CE，∴BC=FE，在ABC和DEF中，BC=FE∠=∠BE，AB=DE∴△ABC△DEFSAS)．【點睛】本題考查三角形全等的判定，熟記三角形全等的判定定理是解題的關鍵．2（2023春·山東濟南·BEF在一條直線上，AC∥DFAC=DF，BE=CF．求證：△ABC△DEF．【答案】見解析AC∥DF得到ACB∠=∠DFEBE=CFBC=EFAC=DFSAS即可證△ABC≌DEF．【詳解】證明：∵AC∥DF，△明∴ACB∠=∠DFE，∵BECF，=∴BEECCFEC，+=+∴BCEF，=∵ACDF，=△ABC≌DEF．SAS)△∴【點睛】此題考查了全等三角形的判定，根據(jù)題意找到證明全等需要的條件是解題的關鍵．題型六用ASA證明兩三角形全等2023春·廣東惠州八年級校考期中）如圖，BC∥EFCF在AD上，AF=DC，∠A=∠D△△求證：ABC≌DEF．【答案】見解析【分析】首先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得ACB∠=∠DFE，利用等式的性質(zhì)可得AC=DF，然后再利用ASA判△ABC≌DEF即可．△定【詳解】證明：∵BC∥EF，∴∠ACB=∠DFEAF=DC，，∴AF+CF=DC+CF，即ACDF，=∠A=∠DAC=DF∠ACB=∠DFE在ABC和DEF中，，△△()ABC≌DEF．∴【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．鞏固訓練1（2023·、D、B、EAD=BE，∠A=∠EDF，∠E=∠ABC.求證：ACDF．=【答案】見解析AD=BE知AB=ED∠A=∠EDF，∠E=∠ABC“ASA”ABC≌DEF可判定據(jù)兩三角形全等對應邊相等可得ACDF．=【詳解】證明：AD=BE，∴AD+BD=BE+BD，即AB=ED，在ABC和DEF中，∠ABC=∠EAB=ED∠A=∠EDF，∴△DEF(ASA)ABC≌△，∴AC=DF．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．2（浙江溫州·ABC和ECD中，∠ABC=EDC=90°B為CE中點，BC=CD．(1)求證：△ABC△ECD．(2)若CD=2，求AC的長．【答案】(1)見解析(2)4，見解析）根據(jù)ASA判定即可；△△()（2）根據(jù)ABC≌ECD和點B為CE中點即可求出．）證明：∵ABC∠=EDC90，=°BC=CD，∠C=∠C，△ABC≌ECD△()∴（2）解：∵CD=2，△△()ABC≌ECD，∴BCCD2，∵點B為CE中點，BE=BC=CD===AC=CE，∴2，∴CE4，=∴AC4；=【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定條件是解答本題的關鍵．題型七用AAS證明兩三角形全等2023·廣東汕頭·廣東省汕頭市聿懷初級中學?？既＃┤鐖D，點E在ABC邊AC上，AE=BC，BC∥AD，∠CED=∠BAD．求證：△【答案】證明見解析DAC∠=∠C∠D=∠BAC“AAS”證明ΑBCDEA．【詳解】證明：BC∥AD，∴∠DAC=∠C，∠CED=∠BAD，∠CED=∠D+∠DAC，∠BAD=∠DAC+∠BAC，∴∠D=∠BAC，在ABC和中，∠BAC=∠D∠C=∠DACBC=AE，．()【點睛】本題考查了全等三角形的判定，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題關鍵．鞏固訓練12023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）如圖，AB=BD，DE∥AB，∠C=∠E．(1)求證：ABC?BDE．(2)當∠A=80°，∠ABE=120°時，求∠EDB的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)40°）根據(jù)平行線的性質(zhì)，利用三角形全等的判定定理即可證明；（2）根據(jù)三角形全等的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可求解）解：∵DE∥AB，∴BDE∠=∠ABC，又∵EC，BDAB，∠=∠=∴ABC?BDE．（2）解：∵∠A=80，ABC?BDE，°∴A∠=∠BDE80，=°∵ABE120，∠=°∴∠ABD=40°，∵DE∥AB，∴EDB40．∠=°【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握各知識點，利用好數(shù)形結(jié)合的思想是解本題的關鍵．22023秋·八年級課時練習）如圖，已知點C是線段AB上一點，∠DCE=∠A=∠B，CD=CE．(1)求證：△ACD≌△BEC；(2)求證：AB=AD+BE．【答案】(1)見解析(2)見解析）由DCE∠=∠A得∠D+∠ACD=∠ACD+∠BCE∠D=∠BCE，即，從而即可證得△ACD≌△BEC；（2）由△ACD≌△BEC可得ADBC，=AC=BEAC+BC=AD+BE，即可得到，從而即可得證．）證明：∠DCE=∠A，∴∠D+∠ACD=∠ACD+∠BCE，∴∠D=∠BCE，在ACD和BEC中，∠A=∠B∠D=∠BCECD=EC，∴△()≌△BEC；（2）解：△，∴AD=BCAC=BE，，∴AC+BC=AD+BE∴AB=AD+BE．，【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．題型八用證明兩三角形全等例題（2023·云南玉溪統(tǒng)考三模）如圖，點，，，F(xiàn)在一條直線上，ABDFACDEBECF，=，=，=求證：△ABC≌△DFC．【答案】見解析【分析】根據(jù)題意，運用邊邊邊”的方法證明三角形全等．【詳解】證明：∵BECF，=∴BECECFCE，即+=+BC=EF，在ABC和△DFE中AB=DFAC=DEBC=FE∴△ABC≌△DFE．【點睛】本題主要考查三角形全等的判定，掌握全等三角形的判定方法解題的關鍵．鞏固訓練12023·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖，C是BD的中點，ABED,ACEC．求證：△ABC≌△EDC．==【答案】見解析【分析】根據(jù)C是BD的中點，得到BC=CD，再利用【詳解】證明：C是BD的中點，SSS證明兩個三角形全等．∴BC=CD，在ABC和△EDC中，BC=CDAB=ED，AC=ECABCEDCSSS()【點睛】本題考查了線段中點，三角形全等的判定，其中對三角形判定條件的確定是解決本題的關鍵．22023春·全國七年級專題練習）如圖，已知∠E=∠F=90°，點，C分別在，AF上，AB=AC，BD=CD．(1)求證：△ACD；(2)求證：=．【答案】(1)見解析(2)見解析）直接根據(jù)SSS證明即可．（2）根據(jù)（1）得∠EAD=∠FAD，然后證明AFD即可．）解：證明：在△ABD和ACD中，AB=ACAD=ADBD=CD△△ACD(SSS)∴．△△ACD(SSS)（2）解：由（）知∴∠EAD=∠FAD，，△AED和△AFD中，在∠E=∠F∠EAD=∠FADAD=AD∴△AED≌△AFD(AAS)，∴．=【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟記全等三角形的性質(zhì)與判定是解題關鍵．題型九用HL證明兩直角三角形全等⊥A⊥，，2023·全國ABC和△DCBBACA于CDBD于DAC=BDAC與BD相交于點O．求證：△ABCDCB．【答案】見解析【分析】由即可證明RtABC≌RtDCB．【詳解】證明：∵BACA，CDBD，⊥⊥∴A∠=∠D=90，Rt△△DCB中，°△△在RtABC和AC=DBBC=CB，△△()∴RtABC≌RtDCBHL．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握直角三角形全等的判定是解題的關鍵．鞏固訓練12023春·廣東河源·DE在同一直線上，ACEF,ADBE,C==∠=∠F=90°．(1)求證：ABC?EDF；(2)∠ABC=57°，求∠ADF的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)°）先說明AB=DE，再根據(jù)HL即可證明結(jié)論；（2）由（）可知FDE∠=ABC57，再利用平角的性質(zhì)即可解答．=°）解：∵AD=BE，∴AD+BD=BE+BD，∴AB=DE，在Rt△ABC和RtEDF中，AC=EF,AB=ED,∴ABC?EDFHL)．(（2）解：∵ABCEDF?，∴FDE∠=ABC57，=°∴ADF180∠=°?∠FDE18057123．=°?°=°【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平角的性質(zhì)等知識點，熟練掌握全等三角形的判斷與性質(zhì)是解題的關鍵．2（2023春·、BC相交于點O，AB=CD，AM⊥BC于點M，DN⊥BC于點，=．(1)求證：△ABM；(2)試猜想OA與的大小關系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)OA=OD，理由見解析）根據(jù)可證明△ABM；（2）根據(jù)證明△△≌DNO可得結(jié)論．）證明：∵=，∴BNMNMNCM，+=+即CN=BM，∵AM⊥BC，DNBC，⊥∴AMB∠=∠DNC90，=°在RtABM和DCN中，AB=CD，BM=CN△△()∴RtABM≌RtDCNHL；（2解：OAOD，理由如下：=∵△ABM，∴AMDN，=∠AOM=∠DNO∠AMO=∠DNOAM=DN在AMO和DNO中，，△△()≌DNO，∴∴OAOD．=【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵．題型十三角形全等的判定與性質(zhì)∠A=∠D,∠B=∠E,AF=CD2024上浙江麗水八年級統(tǒng)考期末）如圖，．(1)求證：△ABC△DEF；(2)若∠A=20°，∠E=75°，求∠BCF的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)∠BCF=95°【分析】此題主要考查了三角形全等的判定，三角形外角的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握三角形全等的判定定理．（1）根據(jù)判定△△ABC≌DEF即可；（2）根據(jù)題意可得∠B=∠=E75，在°ABC∠BCF中根據(jù)外角的性質(zhì)即可求出．）證明：∵AFCD，=∴AFCFCDCF，?=?∴ACDF，=∴在ABC和DEF中，∠A=∠D∠B=∠EAC=DF，()∴ABCDEF．（2）解：∵∠E=75，°∴∠B=∠=E75，°∵∠A=20，°∠BCFABC是的外角，∴∠BCF=∠A+∠B=95°．鞏固訓練1（2023上甘肅武威ABC中，D是BC邊上的一點，AB=DBBE平分∠ABC，交AC邊于點E，連接DE．(1)求證：△ABE≌△DBE；(2)若∠A=100°，∠C=50°，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)50°【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義，解答本題的關鍵是明確題意，利用全等三角形的判定和性質(zhì)解答．（BE平分∠ABCABE=DBEABE和DBE全等，從而可以得到結(jié)論成立；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和和角平分線的定義可以得到∠AEB的度數(shù)，進而求解的度數(shù)．∠∠∠）證明：BE平分∠∴∠ABE=∠DBE，ABC，在ABE和DBE中，AB=DB∠ABE=∠DBEBE=BE∴DBE；（2）解：∠A=100°，C50，∠=°∴∠ABC=30°，BE平分∠ABC，1∴∠ABE=∠DBE=∠ABC=15°，2∴∠AEB=180°?∠A?∠ABE=180°?100°?15°=65°ABEDBE，，∴∠AEB=∠DEB，∴∠DEC=180°?65°?65°=50°．22024上·四川宜賓八年級統(tǒng)考期末）小明和小亮準備用所學數(shù)學知識測一池塘的長度，經(jīng)過實地測量，繪制如下圖，點、F、、E在直線l上（點CAD在直線l的異側(cè)，且AB∥DE，∠A=∠D，測得AB=DE．(1)求證：△ABC△DEF；(2)若BE=120m，BF=38m，求池塘FC的長度．【答案】(1)證明詳見解析；(2)44m．【分析】本題考查全等三角形判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等．（1）根據(jù)題意利用平行線的性質(zhì)，全等三角形判定即可得到本題答案；（2）根據(jù)題意利用第（）問結(jié)論由全等三角形性質(zhì)即可得到本題答案．）解：∵AB∥DE，∴ABC∠=∠FED，∵在ABC和DEF中，∠ABC=∠FEDAB=DE∠A=∠D，△△ABC≌DEF；∴△△（2）解：由（）可知：ABC≌DEF，∴BCEF，=∴BCFCEFFC，?=?∴BFCE，=又∵BF38m，=∴BFCE38m，=＝又∵BE120m，=∴FCBEBFCE44m，=??=∴池塘FC的長為44m．32023上·廣西來賓八年級統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，CB⊥AB，CD⊥AD于點D，點F分別在AB，AD上，AE=AF，CE=CF．(1)求證：CB=CD；(2)若AE=8，CD=6，求四邊形AECF的面積；(3)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之間的數(shù)量關系，并證明你的猜想．【答案】(1)證明見解析(2)48(3)猜想∠DAB+∠ECF=2∠DFC，證明見解析【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，熟練的確定全等三角形是解本題的關鍵．=∠EACACD(AAS)（1AC證明ACE≌ACFFAC∠可得到結(jié)論；12==AE?CB=24，從而可得四邊形的面積；（2ACE≌ACF，可得SSACEACF（EAC∠=∠FAC，∠ACE=∠ACF∠DAB+∠ECF=2(FAC+∠ACF)角的性質(zhì)可得結(jié)論．）解：如圖，連接AC，在△ACE和△ACF中，AE=AFCE=CF，AC=AC()ACEACFSSS，∴∴FAC∠=∠EAC，∵CBAB，⊥CD⊥AD，∴∠B=∠D=90°，∵ACAC，=()∴ACD，∴CBCD，=（2）由（）得ACE≌ACF，CB=CD，∵AE8，CD6，==121SACF=SACE=AE?CB=×8×6=24，2S=SACF+SACE=24+24=48；∴四邊形AECF（3）猜想DAB∠+∠ECF=2∠DFC，證明：∵ACE≌ACF，∴EAC∠=∠FAC，∠ACE=∠ACF，∵DAB∠=∠FAC+∠EAC，∠ECF=∠ACF+∠ACE，∴DAB∠+∠ECF2FAC2ACF=∠+∠=2(∠FAC+∠ACF)，∵DFC∠=∠FAC+∠ACF，∴DAB∠+∠ECF2DFC．=∠題型十一角平分線的性質(zhì)定理23-24七年級下·寧夏銀川P是AOB平分線OC∠PD⊥OBD上一點，PD=5，則點P到邊OA的距離是．【答案】5PEOAPEPD即可得出答案．⊥=【詳解】解：過P作PEOA于點，⊥E∵點P是AOB平分線∠OCPD⊥OB上一點，，∴PE=PD，∵PD5，=∴PE5，=∴點P到邊OA的距離是．故答案為：5．鞏固訓練1（23-24七年級下·河南周口·ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥ABAC=6，DE=3，則SACD=．【答案】9【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，過D作DFAC于，利用角平分線的性質(zhì)定理求出DF，然⊥F后利用三角形面積公式求解即可．【詳解】解∶過D作DFAC于，⊥F∵AD平分BAC，DEAB，DE3，∠⊥=∴DFDE3，==又AC6，=1∴SACD=×6×3=9，2故答案為∶9．223-24八年級上·安徽阜陽·期中）如圖，兩兩相交的三條公路中央有一深水湖泊，要在陸地建一個加油站P到三條公路距離相等，這樣的位置有【答案】三【分析】此題考查了三角形角平分線的性質(zhì)，分別作ABC外角的角平分線，交點分別為、P、P，即為123所求的點，解題的關鍵是熟練掌握三角形角平分線的性質(zhì)及其應用．【詳解】解：如圖所示，、P、P，即為所求的點，123故答案為：三．323-24八年級下陜西西安·期末）如圖，ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點D，DE⊥BC于點E，已知DE=1，ABC的面積是5ABC周長是．【答案】10【分析】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線上的點到兩邊的距離相等以及面積的計算方法是解=DGDE=ABCS++=即可解答．【詳解】解：如圖，過點D作DF⊥AB于點F，DGAC于點，連接AD．⊥GBD∠ABCDE⊥BC，DF⊥AB，，平分∴DF=DE=1．CD平分∠ACB，DE⊥BC，DG⊥AC，∴DG=DE=1．++=，1211∴?+?+?=5，221211即×1+×1+×1=5，221∴(ABBCAC)=5++2∴AB+BC+AC=10，即ABC的周長為10，故答案為：10．題型十二角平分線的判定定理23-24七年級下·湖南衡陽期末）如圖，E是中點，BE平分ABC．∠(1)若∠A=∠D=90°，求證：CE平分∠DCB．(2)若⊥，求證：AB+CD=BC．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】本題主要考查三角形全等的判定與性質(zhì)，靈活做輔助線是解題的關鍵．（1）過點E作EH⊥BC，垂足為H，根據(jù)角平分線性質(zhì)可得EA=ED=EH，再由角平分線判定即可得出結(jié)論；（2BC上截取BF=BA，連接EF．先證明△BAE≌△BFE可得EF=AE，再證CEF可得CD=CF即可證明結(jié)論．）證明：過點E作EH⊥BC，垂足為H，∵BE平分ABC，∠∠A=90°，∴EA=EH，又∵E是AB中點，即EA=ED，∴EH=ED，∵∠A=∠D=90，EH⊥BC°，∴：CE平分DCB．∠（2）解：如圖：在BC上截取BF=BA，連接EF．BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠FBE．在BAE和△BFE中，AB=BF∠ABE=∠FBEBE=BE，BFE()∴EF