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江西智學(xué)聯(lián)盟體2024-2025學(xué)年高三9月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)(考試時(shí)間:120分鐘滿分:150分)一、單選題(本大題共8小題,每小題5分,共40分,在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求.)1.已知全集,集合,,則陰影部分表示的集合為()A. B. C. D.2.若復(fù)數(shù),則()A.1 B. C. D.3.若函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱,則()A. B.0 C. D.14.已知雙曲線方程為,,是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)是雙曲線上任意一點(diǎn),若點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn),線段的長(zhǎng)度是8,則雙曲線的離心率是()A. B.2 C. D.45.已知,則()A. B. C. D.6.設(shè),,,是同一個(gè)球面上四點(diǎn),球的半徑為4,是面積為的等邊三角形,則三棱錐體積的最大值為()A. B. C. D.7.函數(shù)的部分圖象如圖所示,若圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖像,若是奇函數(shù),則圖中的值為()A. B. C. D.8.命題“,使(且)成立”是假命題,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.二、多選題(本大題共3小題,每小題6分,共18分,在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)是符合題目要求的,全部選對(duì)得6分,部分選對(duì)得部分分,不選、有選錯(cuò)得0分)9.某研究小組依次記錄下10天的觀測(cè)值:26,28,22,24,22,78,32,26,20,22,則()A.眾數(shù)是22B.前4個(gè)數(shù)據(jù)的方差比最后4個(gè)數(shù)據(jù)的方差大C.平均數(shù)是30D.80百分位數(shù)是2810.歐拉是科學(xué)史上最多才的一位杰出的數(shù)學(xué)家,他發(fā)明的公式為,虛數(shù)單位,將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù),建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系,這個(gè)公式也被畄為“數(shù)學(xué)中的天橋”(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),為虛數(shù)單位),依據(jù)上述公式,則下列結(jié)論中正確的是()A.復(fù)數(shù)為純虛數(shù)B.復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限C.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為D.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是半圓11.若數(shù)列滿足(,為常數(shù)),則稱數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”.已知數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”,下列說(shuō)法正確的是()A.若,則B.若,且,,則C.若中各項(xiàng)均為正數(shù),則D.若,,則三、填空題(本大題共3小題,每小題5分,共15分)12.設(shè)向量,的夾角的余弦值為,且,,則______.13.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,,則的最小值為_(kāi)_____.14.四棱錐的底面為平行四邊形,點(diǎn)、、分別在側(cè)棱、、上,且滿足,,.若平面與側(cè)棱交于點(diǎn),則______.四、解答題(共77分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)15.(本小題滿分13分)如圖,在四邊形中,,,,.(1)求;(2)求.16.(本小題滿分15分)函數(shù).(1)在處的切線與直線平行,求實(shí)數(shù)的值.(2)證明:對(duì)于,,恒成立.17.(本小題滿分15分)如圖,三棱錐中,,,,,,,為的中點(diǎn).(1)證明:;(2)求平面與平面夾角的余弦值.18.(本小題滿分17分)已知點(diǎn)是拋物線:上的一點(diǎn).(1)若點(diǎn)橫坐標(biāo)為4,求拋物線在點(diǎn)處的切線方程;(2)過(guò)點(diǎn)作圓:的兩條切線交拋物線的準(zhǔn)線于、兩點(diǎn).①若,求點(diǎn)縱坐標(biāo);②求面積的最小值.19.(本小題滿分17分)如圖,已知點(diǎn)列與滿足,且,其中,(1)求;(2)求與的關(guān)系式;(3)證明:
江西智學(xué)聯(lián)盟體2024-2025學(xué)年高三9月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)參考答案一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求)題號(hào)12345678答案ACBBBADB1.【答案】A【解析】由題知圖中陰影部分表示的集合為,又,得,又,則,所以.故選:A2.【答案】C【解析】由.故選:C3.【答案】B【解析】由定義知為奇函數(shù),圖像關(guān)于軸對(duì)稱,則為偶函數(shù),故為奇函數(shù),所以.故選:B.4.【答案】B【解析】依題意可得、分別為、的中點(diǎn),所以,所以半焦距,所以,所以離心率.5.【答案】D【解析】,,,即,.故選:D.6.【答案】B【解析】設(shè)三角形的邊長(zhǎng)為,已知的面積為此時(shí)外接圓的半徑為,又求半徑,故球心到面的距離為,故點(diǎn)到面的最大距離為,此時(shí),故選B.7.【答案】A【解析】由得,的圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得為奇函數(shù),所以圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,得函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn),所以,所以,故,又,得,所以,,故選:A.8.【答案】B【解析】依題意“,都有成立”為真命題.顯然.如圖,由于與的圖像關(guān)于對(duì)稱.問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為.兩邊取以為底的對(duì)數(shù),..令,.令,當(dāng),,當(dāng),,..二、多項(xiàng)選擇題(本大題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分)題號(hào)91011答案ACABDBCD9.【答案】AC【解析】22出現(xiàn)的次數(shù)最多,眾數(shù)是22,所以A對(duì);80百分位數(shù)是,所以B錯(cuò);計(jì)算易知平均數(shù)30,C對(duì);前4個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是25,方差為,后4個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是25,方差為,故D錯(cuò).10.【答案】ABD【解析】對(duì)于A,,所以為純虛數(shù),故A正確;對(duì)于B,,因?yàn)?,所以,,所以?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限,故B正確;對(duì)于C,,復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,,,復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是半徑為1的半圓,故D正確.故本題選:ABD.11.【答案】BCD【解析】依題意可得為等差數(shù)列由,可得,,,所以A錯(cuò)誤;由,且,,可得,,,,,所以B正確;由為等差數(shù)列,可得,,所以C正確;由,,可求得,令為數(shù)列的前項(xiàng)和,可求得.令,,求導(dǎo)可證恒成立,即在時(shí)恒成立,恒成立,,,,所以D正確.三、填空題(本大題共3小題,每小題5分,共15分)12.【答案】18【解析】設(shè)與的夾角為,因?yàn)榕c的夾角的余弦值為,即,又,所以,所以.故答案為:18.13.【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為,,,,,聯(lián)立解得:,,所以,則,令,時(shí),,單調(diào)遞增,時(shí),,單調(diào)遞減,可得時(shí),函數(shù)取得極小值即最小值,時(shí),取得最小值,.故答案為:.14.【答案】【解析】法1:設(shè)與的交點(diǎn)為,則為、的中點(diǎn),所以.設(shè),、、、四點(diǎn)共面,,,法2:設(shè),點(diǎn)到平面的距離為,四棱錐的體積為同理可得,.四、解答題(共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟)15.(本小題滿分13分)【答案】(1) (2)【解析】(1)中,;(2),所以,所以16.(本小題滿分15分)【解析】解:(1).由題意:.(2),,,.在..,.在..得證.17.(本小題滿分15分)【解析】(1)證明:,,,在中,,,又為中點(diǎn),,,,取的中點(diǎn),則,,又,,平面,(2)空間向量法(傳統(tǒng)方法按步驟酌情給分)取的中點(diǎn),,如圖,以為原點(diǎn),、分別為軸,軸,建立空間直角坐標(biāo)系.,,,,,,,,設(shè)平面的法向量為,則令,則,,則,同理可求平面的法向量為,,所以平面與平面夾角的余弦值為.18.(本小題滿分17分)解(1)的橫坐標(biāo)為4,又,求得.拋物線在處的切線斜率為2.切線方程為,即.(2)設(shè)與圓相切于點(diǎn),與圓相切于點(diǎn)
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