1.4.2第2課時(shí)　用空間向量研究夾角問題 導(dǎo)學(xué)案正文

第2課時(shí)用空間向量研究夾角問題【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.知道兩個(gè)相交平面夾角的含義,借助直線的方向向量和平面的法向量,能求直線與直線、直線與平面所成的角,平面與平面的夾角.2.能分析和解決一些立體幾何中的角度問題,體會(huì)向量方法與綜合幾何方法的共性和差異,體會(huì)直線的方向向量和平面的法向量的作用,感悟向量是研究幾何問題的有效工具.◆知識(shí)點(diǎn)空間角設(shè)直線l1,l2的方向向量分別為u,v,平面α,β的法向量分別為n1,n2,則空間圖形范圍向量法幾何法異面直線所成的角0°<θ≤90°cosθ=|cos<u,v>|=

平移交于一點(diǎn),解三角形直線與平面所成的角

sinθ=|cos<u,n1>|=

過直線上一點(diǎn)作平面的垂線,解三角形平面與平面的夾角

cosθ=|cos<n1,n2>|=

作兩平面的垂線,解三角形【診斷分析】判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)異面直線所成的角與其方向向量的夾角相等. ()(2)若平面α的法向量為u,直線l的方向向量為v,直線l與平面α所成的角為θ,則cosθ=|u·v|(3)二面角的大小等于平面與平面的夾角. ()◆探究點(diǎn)一異面直線所成角的求法例1如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC是正三角形,點(diǎn)A1在平面ABC上的射影為AC的中點(diǎn)D,側(cè)面AA1C1C是邊長(zhǎng)為2的菱形,求異面直線DB1與BC所成角的余弦值.變式[2024·重慶巴渝學(xué)校高二期中]如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD為正方形,PD=DC=4,Q為PC上一點(diǎn),且PQ=3QC,則異面直線AC與BQ所成的角的大小為 ()A.π6 B.C.5π6 D.[素養(yǎng)小結(jié)]用向量法求異面直線所成的角時(shí),常在兩異面直線a與b上分別取點(diǎn)A,B和C,D,則AB與CD分別為直線a,b的方向向量,若異面直線a,b所成的角為θ,則cosθ=|AB運(yùn)用向量法常有兩種途徑:①基底法:在一些不適合建立空間直角坐標(biāo)系的題型中,經(jīng)常采用取基底的方法.在由公式cos<a,b>=a·b|a||b|求向量a,b的夾角時(shí),關(guān)鍵是求出a·b,|a|與|b|,一般是把a(bǔ)②坐標(biāo)法:根據(jù)題目條件建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,寫出相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo),利用坐標(biāo)法求異面直線所成的角,避免了傳統(tǒng)找角或作角的步驟,使過程變得簡(jiǎn)單.◆探究點(diǎn)二求直線和平面所成的角例2[2024·浙江浙南名校聯(lián)盟高二期中]已知三棱柱ABC-A1B1C1滿足AC=BC=1,∠ACB=90°,∠A1AC=60°,頂點(diǎn)A1在平面ABC上的射影為點(diǎn)B.(1)證明:AC⊥平面A1BC;(2)若點(diǎn)M為A1C1的中點(diǎn),點(diǎn)N為BC的中點(diǎn),求直線CM與平面ANB1所成角的正弦值.變式如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA=PD=2,∠APD=90°,PB=22,底面ABCD是菱形,O是AD的中點(diǎn),∠DAB=60°.(1)證明:平面PAD⊥平面POB;(2)求直線PB與平面PDC所成角的正弦值.[素養(yǎng)小結(jié)]向量法求直線與平面所成的角的步驟:①分析圖形中的位置關(guān)系,建立空間直角坐標(biāo)系;②求出直線的方向向量s和平面的法向量n;③求出夾角<s,n>;④判斷直線和平面所成的角θ和<s,n>的關(guān)系,求出角θ.拓展如圖,在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,側(cè)棱PA=PD=2,底面ABCD為直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,PF=12(1)求證:PB∥平面ACF.(2)在棱PB上是否存在一點(diǎn)H,使得CH與平面ACF所成角的正弦值為66?若存在,求出線段PH的長(zhǎng)度;若不存在,請(qǐng)說明理由◆探究點(diǎn)三求平面與平面的夾角例3如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,O為AB的中點(diǎn).(1)證明:CO⊥平面ABB1A1;(2)若BB1=2,求平面A1BC1與平面ABC1夾角的余弦值.變式如圖所示,在三棱錐P-ABC中,△PAC為等腰直角三角形,∠APC=90°,△ABC為正三角形,AC=2.(1)證明:PB⊥AC;(2)若平面PAC⊥平面ABC,求平面APC與平面PCB的夾角的余弦值.[素養(yǎng)小結(jié)]設(shè)n1,n2分別是平面α,β的法向量,則向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角)就是兩