第16講、極值與最值（學生版）

[在此處鍵入][在此處鍵入]第16講極值與最值知識梳理知識點一：極值與最值1、函數(shù)的極值函數(shù)在點附近有定義，如果對附近的所有點都有，則稱是函數(shù)的一個極大值，記作．如果對附近的所有點都有，則稱是函數(shù)的一個極小值，記作．極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱為極值點．求可導函數(shù)極值的一般步驟（1）先確定函數(shù)的定義域；（2）求導數(shù)；（3）求方程的根；（4）檢驗在方程的根的左右兩側(cè)的符號，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負，那么函數(shù)在這個根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)在這個根處取得極小值．注：①可導函數(shù)在點處取得極值的充要條件是：是導函數(shù)的變號零點，即，且在左側(cè)與右側(cè)，的符號導號．②是為極值點的既不充分也不必要條件，如，，但不是極值點．另外，極值點也可以是不可導的，如函數(shù)，在極小值點是不可導的，于是有如下結(jié)論：為可導函數(shù)的極值點；但為的極值點．2、函數(shù)的最值函數(shù)最大值為極大值與靠近極小值的端點之間的最大者；函數(shù)最小值為極小值與靠近極大值的端點之間的最小者．導函數(shù)為（1）當時，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．（2）當時，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．一般地，設(shè)是定義在上的函數(shù)，在內(nèi)有導數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值可分為兩步進行：（1）求在內(nèi)的極值（極大值或極小值）；（2）將的各極值與和比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．注：①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值；函數(shù)的最值是對函數(shù)在整個區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點處的函數(shù)值；②函數(shù)的極值點必是開區(qū)間的點，不能是區(qū)間的端點；③函數(shù)的最值必在極值點或區(qū)間端點處取得．【解題方法總結(jié)】（1）若函數(shù)在區(qū)間D上存在最小值和最大值，則不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；（2）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲?，且值域為，則不等式在區(qū)間D上恒成立．不等式在區(qū)間D上恒成立．（3）若函數(shù)在區(qū)間Ｄ上存在最小值和最大值，即，則對不等式有解問題有以下結(jié)論：不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；（4）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲?，如值域為，則對不等式有解問題有以下結(jié)論：不等式在區(qū)間D上有解不等式在區(qū)間D上有解（5）對于任意的，總存在，使得；（6）對于任意的，總存在，使得；（7）若存在，對于任意的，使得；（8）若存在，對于任意的，使得；（9）對于任意的，使得；（10）對于任意的，使得；（11）若存在，總存在，使得（12）若存在，總存在，使得．必考題型全歸納題型一：求函數(shù)的極值與極值點【例1】（2024·全國·高三專題練習）若函數(shù)存在一個極大值與一個極小值滿足，則至少有（

）個單調(diào)區(qū)間.A．3 B．4 C．5 D．6【對點訓練1】（2024·全國·高三專題練習）已知定義在R上的函數(shù)f（x），其導函數(shù)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是（

）A．B．函數(shù)在x＝c處取得最大值，在處取得最小值C．函數(shù)在x＝c處取得極大值，在處取得極小值D．函數(shù)的最小值為【對點訓練2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的導函數(shù)為，則“在上有兩個零點”是“在上有兩個極值點”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【對點訓練3】（2024·廣西南寧·南寧三中校考一模）設(shè)函數(shù)，，為的導函數(shù)．(1)當時，過點作曲線的切線，求切點坐標；(2)若，，且和的零點均在集合中，求的極小值．【對點訓練4】（2024·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)證明：當時，有唯一的極值點為，并求取最大值時的值；(2)當時，討論極值點的個數(shù)．【對點訓練5】（2024·江蘇無錫·校聯(lián)考三模）已知函數(shù).求的極值；【解題方法總結(jié)】1、因此，在求函數(shù)極值問題中，一定要檢驗方程根左右的符號，更要注意變號后極大值與極小值是否與已知有矛盾．2、原函數(shù)出現(xiàn)極值時，導函數(shù)正處于零點，歸納起來一句話：原極導零．這個零點必須穿越軸，否則不是極值點．判斷口訣：從左往右找穿越（導函數(shù)與軸的交點）；上坡低頭找極小，下坡抬頭找極大．題型二：根據(jù)極值、極值點求參數(shù)【例2】（2024·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)在處取得極大值4，則（

）A．8 B． C．2 D．【對點訓練6】（2024·陜西商洛·統(tǒng)考三模）若函數(shù)無極值，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【對點訓練7】（2024·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習）函數(shù)在區(qū)間上存在極值，則的最大值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【對點訓練8】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在處取得極小值，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【對點訓練9】（2024·廣東梅州·梅州市梅江區(qū)梅州中學?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍（

）A． B．C． D．【對點訓練10】（2024·江蘇揚州·高三揚州市新華中學?？奸_學考試）若x＝a是函數(shù)的極大值點，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解題方法總結(jié)】根據(jù)函數(shù)的極值（點）求參數(shù)的兩個要領(lǐng)（1）列式：根據(jù)極值點處導數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解；（2）驗證：求解后驗證根的合理性．題型三：求函數(shù)的最值（不含參）【例3】（2024·山東淄博·山東省淄博實驗中學?？既＃┮阎瘮?shù).(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求在區(qū)間上的最大值；【對點訓練11】（2024·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習）已知函數(shù)在區(qū)間上最大值為M，最小值為m，則的值是_______.【對點訓練12】（2024·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，則的最大值是________．【對點訓練13】（2024·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，則函數(shù)的最小值為______.【對點訓練14】（2024·山西·高三校聯(lián)考階段練習）已知，且，則的最小值為__________.【對點訓練15】（2024·海南海口·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正實數(shù)，滿足：，則的最小值為______.【解題方法總結(jié)】求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值時，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點的函數(shù)值，與的各極值進行比較得到函數(shù)的最值．題型四：求函數(shù)的最值（含參）【例4】（2024·天津和平·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，，其中.(1)若曲線在處的切線與曲線在處的切線平行，求的值；(2)若時，求函數(shù)的最小值；(3)若的最小值為，證明：當時，.【對點訓練16】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，．討論函數(shù)的最值；【對點訓練17】（2024·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，其中．(1)若a=2，求的單調(diào)區(qū)間；(2)已知，求的最小值．（參考數(shù)據(jù)：）【對點訓練18】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．(1)當時，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(2)當時，求在內(nèi)的最大值；【對點訓練19】（2024·湖南長沙·湖南師大附中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)．(1)若存在最大值M，證明：；(2)在（1）的條件下，設(shè)函數(shù)，求的最小值（用含M，k的代數(shù)式表示）．【解題方法總結(jié)】若所給的閉區(qū)間含參數(shù)，則需對函數(shù)求導，通過對參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的最值．題型五：根據(jù)最值求參數(shù)【例5】（2024·四川宜賓·統(tǒng)考三模）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的極值點個數(shù)；(2)若，的最小值是，求實數(shù)m的所有可能值.【對點訓練20】（2024·山東·山東省實驗中學?？家荒＃┤艉瘮?shù)在區(qū)間上存在最小值，則整數(shù)的取值可以是______．【對點訓練21】（2024·全國·高三專題練習）若函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則實數(shù)的取值范圍為________.【對點訓練22】（2024·福建泉州·高三統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù)的最小值為0，則a的取值范圍為______________．【對點訓練23】（2024·江蘇南通·高三?？奸_學考試）若函數(shù)的最小值為，則______．【對點訓練24】（2024·全國·高三專題練習）若函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，則實數(shù)的取值范圍為_______【對點訓練25】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，若函數(shù)在上存在最小值.則實數(shù)的取值范圍是________.題型六：函數(shù)單調(diào)性、極值、最值得綜合應(yīng)用【例6】（2024·天津河北·統(tǒng)考二模）已知，函數(shù)，其中e是自然對數(shù)的底數(shù).(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)求證：函數(shù)存在極值點，并求極值點的最小值.【對點訓練26】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，其中．(1)當時，求函數(shù)在內(nèi)的極值；(2)若函數(shù)在上的最小值為5，求實數(shù)的取值范圍．【對點訓練27】（2024·全國·高三專題練習）已知．(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值點；(2)求函數(shù)在上的最值．【對點訓練28】（2024·全國·高三專題練習）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點．(1)若函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，求實數(shù)m的取值范圍；(2)討論函數(shù)的零點個數(shù)；(3)求在內(nèi)的最值．題型七：不等式恒成立與存在性問題【例7】（2024·貴州黔東南·凱里一中?？寄M預(yù)測）若存在實數(shù)（），使得關(guān)于x的不等式對恒成立，則b的最大值是_________.【對點訓練29】（2024·陜西安康·高三陜西省安康中學?？茧A段練習）若不等式對恒成立，則a的取值范圍是______.【對點訓練30】（2024·全國·高三專題練習）若存在，使得不等式成立，則m的取值范圍為______【對點訓練31】（2024·浙江金華·統(tǒng)考模擬預(yù)測）對任意的，不等式恒成立，則實