第27講正弦函數(shù)余弦函數(shù)的性質(zhì)（思維導(dǎo)圖4知識(shí)點(diǎn)8考點(diǎn)過關(guān)檢測）

第27講正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．了解周期函數(shù)、周期、最小正周期的定義；2．會(huì)求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的周期、單調(diào)區(qū)間；3．掌握函數(shù)y=sinx，y=cosx的奇偶性，會(huì)判斷簡單三角函數(shù)的奇偶性；4．掌握正（余）弦函數(shù)的最大值與最小值，并會(huì)求簡單三角函數(shù)的值域和最值.知識(shí)點(diǎn)1周期函數(shù)1、周期函數(shù)的定義：函數(shù)，定義域?yàn)镮，當(dāng)時(shí)，都有，其中T是一個(gè)非零的常數(shù)，則是周期函數(shù)，T是它的一個(gè)周期.【注意】定義是對I中的每一個(gè)值來說的，只有個(gè)別的值滿足或只差個(gè)別的值不滿足都不能說T是的一個(gè)周期.2、對于周期函數(shù)來說，如果所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，就稱它為最小正周期，三角函數(shù)中的周期一般都指最小正周期.3、周期函數(shù)的周期公式（1）一般地，函數(shù)的最小正周期（2）若函數(shù)的周期是，則函數(shù)的周期為,知識(shí)點(diǎn)2正（余）弦函數(shù)的性質(zhì)圖象定義域值域[1,1][1,1]最值周期性奇偶性奇偶單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減對稱性對稱軸方程：對稱中心，對稱軸方程：對稱中心，知識(shí)點(diǎn)3正弦型及與余弦型函數(shù)的性質(zhì)y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)(A≠0)的性質(zhì)函數(shù)定義域值域單調(diào)性當(dāng)，時(shí)，將視為整體，代入或相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間求解；當(dāng)或時(shí)，注意單調(diào)區(qū)間的變化.奇偶性當(dāng)時(shí)為奇函數(shù)；當(dāng)時(shí)為偶函數(shù)當(dāng)時(shí)為偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)為奇函數(shù)周期性圖象對稱性將視為整體，代入或相應(yīng)的對稱軸或?qū)ΨQ中心的橫坐標(biāo)滿足的方程求解.知識(shí)點(diǎn)4三角函數(shù)的值域求法一般函數(shù)的值域求法有：觀察法、配方法、判別式法、反比例函數(shù)法等．三角函數(shù)是函數(shù)的特殊形式，一般方法也適用，但要結(jié)合三角函數(shù)本身的性質(zhì)．常見的三角函數(shù)求值域或最值的類型有以下幾種：（1）形如y＝sin(ωx＋φ)的三角函數(shù)，令t＝ωx＋φ，根據(jù)題中x的取值范圍，求出t的取值范圍，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性、有界性求出y＝sint的最值(值域)．（2）形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)的三角函數(shù)，可先設(shè)t＝sinx，將函數(shù)y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)化為關(guān)于t的二次函數(shù)y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求值域(最值)．（3）對于形如y＝asinx(或y＝acosx)的函數(shù)的最值還要注意對a的討論．考點(diǎn)一：求正（余）弦函數(shù)的周期性例1．求下列函數(shù)的周期.(1);(2);(3);(4)【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【解析】（1）因?yàn)?，由周期函?shù)的定義得，的周期為，所以函數(shù)的周期為.（2）因?yàn)?，由周期函?shù)的定義得，的周期為，所以函數(shù)的周期為.（3）因?yàn)?，由周期函?shù)的定義得，的周期為，所以函數(shù)的周期為.（4）因?yàn)?，由周期函?shù)的定義得，的周期為，所以函數(shù)的周期為.【變式11】（2324高一上·江蘇揚(yáng)州·月考）函數(shù)的最小正周期，則.【答案】±2【解析】因?yàn)?，所以，解得，故答案為?【變式12】（2324高三上·湖北荊州·月考）函數(shù)的最小正周期為.【答案】/【解析】由誘導(dǎo)公式可知，，當(dāng)時(shí)，與不恒相等，故的最小正周期為，故答案為：【變式13】（2324高一下·上?！ら_學(xué)考試）已知，則.【答案】2【解析】易知以6為周期.枚舉得，，，，，，所以.又，所以.故答案為：考點(diǎn)二：正（余）弦函數(shù)的奇偶性例2.函數(shù)y＝是（

）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D．既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)【答案】A【解析】定義域?yàn)镽，，則是奇函數(shù)．故選：A.【變式21】（2324高一下·上?！て谥校┮阎瘮?shù)是奇函數(shù)，則．【答案】【解析】由題意可知：關(guān)于原點(diǎn)對稱，可知，且，所以.故答案為：.【變式22】（2324高一下·遼寧本溪·月考）（多選）已知為偶函數(shù)，則和的可能取值分別為（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，則，所以為任意實(shí)數(shù)，,B，C選項(xiàng)符合題意．故選：ABC．【變式23】（2324高一下·遼寧朝陽·月考）已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，則的值為（

）A． B．1 C．0 D．【答案】C【解析】因?yàn)槎x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，則，即，又，即，即，解得，所以，則.故選：C考點(diǎn)三：正（余）弦函數(shù)對稱性例3.（2324高一下·北京海淀·期中）函數(shù)的對稱中心為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)，，因此點(diǎn)是函數(shù)圖象的對稱中心，點(diǎn)不是；，則點(diǎn)及都不是函數(shù)圖象的對稱中心.故選：B【變式31】（2324高一下·北京·月考）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且其圖象關(guān)于對稱的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對于A，為奇函數(shù)，A錯(cuò)誤；對于B，為偶函數(shù)，因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，B正確；對于C，為偶函數(shù)，因?yàn)椋圆皇堑膶ΨQ中心，C錯(cuò)誤；對于D，為奇函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：B【變式32】（2324高一下·貴州遵義·期中）函數(shù)圖象的對稱軸方程是．【答案】【解析】令，解得則圖象的對稱軸方程是.故答案為：.【變式33】（2324高一下·重慶·月考）設(shè)函數(shù)關(guān)于對稱，若函數(shù)，則的值為（

）A．1 B．或3 C． D．【答案】C【解析】因?yàn)殛P(guān)于對稱，故，故，，故，故選：C.考點(diǎn)四：正（余）弦函數(shù)的單調(diào)性例4.（2324高一下·上?！て谀┖瘮?shù)，的單調(diào)增區(qū)間為．【答案】【解析】由，可得，令，解得，所以函數(shù)，的單調(diào)增區(qū)間為.故答案為：【變式41】（2324高一下·陜西漢中·期末）已知函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.【答案】【解析】由解得，因?yàn)?，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為：【變式42】（2324高一下·上?！て谥校┑膯握{(diào)減區(qū)間為.【答案】.【解析】由于函數(shù)，令解得可得函數(shù)的減區(qū)間為故答案為：【變式43】（2324高一下·河南駐馬店·月考）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意得，要求的遞增區(qū)間即求的遞減區(qū)間，當(dāng)，，即，時(shí)，單調(diào)遞減，即單調(diào)遞增，故B正確.故選：B.考點(diǎn)五：根據(jù)正（余）弦函數(shù)的單調(diào)性求參例5.（2324高一下·北京·月考）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】對于函數(shù)，令，，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，當(dāng)時(shí)函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，則的最大值為.故選：B【變式51】（2324高一下·河北張家口·期中）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，，而正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，解得，所以實(shí)數(shù)a的最大值為.故選：B【變式52】（2223高一下·河南南陽·期中）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，可得，要使得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則滿足且，解得，即的取值范圍是.故選：D.【變式53】（2324高一下·廣東潮州·月考）若函數(shù)在上單調(diào)遞增則的取值范圍為.【答案】【解析】由，得.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，得，則，解得，則，故的取值范圍為.故答案為：考點(diǎn)六：比較正（余）弦函數(shù)值的大小例6.（2223高一下·四川綿陽·月考）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由誘導(dǎo)公式知：，，在上單調(diào)遞增，，即.故選：D.【變式61】（2223高一下·河南南陽·月考）（多選）下列各式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】A中，因?yàn)椋?，由在單調(diào)遞增，所以，所以A正確；B中，因?yàn)椋?，顯然，即，所以B正確：C中，，，故，所以C錯(cuò)誤；D中，因?yàn)?，在?nèi)單調(diào)遞增，所以，所以D正確；故選：ABD．【變式62】（2324高一下·遼寧撫順·月考）（多選）下列不等式中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】對A,因?yàn)?，在單調(diào)遞增，所以,故A正確；對B，因?yàn)?，在單調(diào)遞減，所以,故B錯(cuò)誤；對于C,，故C正確；對于D，，故D錯(cuò)誤；故選：AC【變式63】（2324高一上·湖南長沙·月考）（多選）已知，為銳角三角形的兩個(gè)銳角，則以下結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】對于AC：不確定，的大小，故的大小以及的大小均不確定，AC錯(cuò)誤；對于BD，由已知得，所以，所以，BD正確.故選：BD.考點(diǎn)七：求正（余）弦函數(shù)的最值例7.（2324高一下·江西宜春·月考）函數(shù)的值域是（

）A．[－1,1] B． C． D．【答案】B【解析】由可得，所以故選：B．【變式71】（2223高一下·四川南充·期中）函數(shù)的值域?yàn)?【答案】【解析】，，則，，故.故答案為：【變式72】（2324高一下·安徽亳州·月考）函數(shù)的最小值為.【答案】【解析】令，，，結(jié)合二次函數(shù)圖象知，當(dāng)，即，時(shí)，有最小值，所以.故答案為：【變式73】（2324高一下·江西撫州·期中）函數(shù)在上的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，令，故.故當(dāng)時(shí)，有最大值，當(dāng)時(shí)，有最小值3，故所求值域?yàn)?故選：B.考點(diǎn)八：函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的綜合例8.（2324高一上·廣東汕頭·期末）（多選）下面關(guān)于敘述中正確的是（

）A．關(guān)于點(diǎn)對稱 B．關(guān)于直線對稱C．在區(qū)間上單調(diào) D．函數(shù)的零點(diǎn)為（）【答案】AC【解析】對于函數(shù)，令，求得，可得它的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故正確、不正確．區(qū)間上，,單調(diào)遞增，故正確．令，得函數(shù)的零點(diǎn)為，故不正確，故選：AC．【變式81】（2324高一下·遼寧·月考）（多選）已知函數(shù)，且在上有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，則（

）A．的取值范圍是 B．的圖象在上最多有5條對稱軸C．的圖象在上有3個(gè)最大值點(diǎn) D．在上單調(diào)遞增【答案】ACD【解析】A：由，得，要使在上有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，則，解得，故A正確；B：由A知，，所以的圖象在上有5或6條對稱軸，故B錯(cuò)誤；C：由A知，，所以的圖象在上有3個(gè)最大值點(diǎn)，故C正確；D：由，得，又，所以，所以在上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤.故選：ACD【變式82】（2324高一下·重慶銅梁·月考）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小值，并求出函數(shù)取得最小值的x的集合．(2)求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間．【答案】(1)；；(2)和【解析】（1）對于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取得最小值；（2），，由和可得和，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和.【變式83】（2324高一下·遼寧沈陽·月考）已知，對任意都有，(1)求的值：(2)已知，若對任意都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2).【解析】（1）對任意都有，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，于是，而，則，所以.（2）由（1）知，，則，，，當(dāng)時(shí)，，，令，顯然，不等式，依題意，，不等式恒成立，顯然，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.一、單選題1．（2324高一上·湖北孝感·期末）函數(shù)是（

）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．非奇非偶函數(shù) D．周期為【答案】B【解析】根據(jù)題意，函數(shù)，其定義域?yàn)椋?，則A、C錯(cuò)誤，B正確；又由，則的周期不是，D錯(cuò)誤.故選：B.2．（2223高一下·云南·月考）下列函數(shù)中，最小正周期為的偶函數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】對于A，定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，因?yàn)榈膱D象是由的圖象在軸下方的關(guān)于軸對稱后與軸上方的圖象共同組成（如下圖所示），又的最小正周期為，所以的最小正周期為，故A正確；對于B：為最小正周期為的奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對于C：定義域?yàn)椋?，即為偶函?shù)，又，所以為的周期，故C錯(cuò)誤；對于D：為最小正周期為的偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤；故選：A3．（2324高一下·遼寧鞍山·月考）關(guān)于函數(shù)，下列選項(xiàng)中是對稱中心的有（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令解得，故對稱中心為，經(jīng)檢驗(yàn)只有，符合題意.故選：C4．（2324高一下·海南?？凇ぴ驴迹┤艉瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的值的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對稱，所以，得，因?yàn)?，所以．故選：C5．（2324高一下·山東威?！ぴ驴迹┫铝泻瘮?shù)中，最小正周期為，在上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對于A項(xiàng)，的周期為，當(dāng)時(shí)，取，因在上單調(diào)遞減，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B項(xiàng)，的周期是,故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C項(xiàng)，，其周期為，由選項(xiàng)A知，該函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C項(xiàng)正確；對于D項(xiàng)，的周期為，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.6．（2324高一下·廣東佛山·期中）已知函數(shù)，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得到，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，得到，又，，即，令，得到，故選：D.二、多選題7．（2324高一下·廣東佛山·月考）已知函數(shù)，則（

）A．的圖象關(guān)于直線對稱 B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C．在上單調(diào)遞減 D．是偶函數(shù)【答案】BCD【解析】因?yàn)?，對于A：，所以的圖象關(guān)于對稱，不關(guān)于直線對稱，故A錯(cuò)誤；對于B：，所以的圖象關(guān)于對稱，故B正確；對于C：當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故C正確；對于D：為偶函數(shù)，故D正確.故選：BCD8．（2324高一下·四川瀘州·期中）已知函數(shù)的最小正周期為，則下列說法正確的有（

）A．是圖象的一條對稱軸 B．在區(qū)間上單調(diào)遞減C．是圖象的一個(gè)對稱中心 D．在區(qū)間的值域?yàn)椤敬鸢浮緼CD【解析】由題意，，則，故函數(shù)解析式為：.對于A，因時(shí)，，而，故是圖象的一條對稱軸，即A正確；對于B，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，而在上遞增，在上遞減，故B錯(cuò)誤；對于C，當(dāng)時(shí)，，而，故是圖象的一個(gè)對稱中心，即