4.2.1兩角和與差的余弦公式及其應用（教學設計）高一數(shù)學（北師大版2019）

北師大版必修第二冊第四章《三角恒等變換》4.2.1兩角和與差的余弦公式及其應用（教學設計）【教學目標】1．能運用向量的數(shù)量積及三角函數(shù)的定義、誘導公式推導兩角差的余弦公式；（邏輯推理）2．能由兩角差的余弦公式推導出兩角和的余弦公式；（邏輯推理）3．通運用兩角和與差的余弦公式進行簡單的三角函數(shù)的求值、化簡；（數(shù)學運算）【教學重點】兩角和與差的余弦公式及其推導，了解其內(nèi)在聯(lián)系【教學難點】兩角差的余弦公式的推導、記憶，靈活運用公式進行求值、化簡【教學過程】一、實例分析，提出問題同學們，我們學習過特殊角的三角函數(shù)值，那如果角度不特殊，我們該如何求出它的三角函數(shù)值呢？問題1：如何求cos15°的值？問題2：15°=45°-30°，我們是否可以利用45°和30°這兩個特殊角求出問題3：請同學們判斷下列計算是否正確cos15°=co問題4：cos15°的值和45°、30°兩個特殊角的三角函數(shù)值有什么聯(lián)系呢？問題5：如圖，設角α，β的終邊與單位圓的交點分別記為P,

Q

.求由圖可得OP若0≤α-β≤π,故π<α-β<2πcos根據(jù)誘導公式：cos故顯然，對于任意角α，cosα-β=cosαcosβ+sinαsinβ同學們能否根據(jù)公式Cα-β得出cos(α+β)并把小組討論的結(jié)果寫下來.cos故由此得到兩角和的余弦公式如下：cosα+β=cosαcosβ-sinαsinβ問題6：cosα-β=cosαcosβ+sinαsinβcosα+β=cosαcosβ-sinαsinβ上面兩組公式結(jié)構有什么特征公式結(jié)構：公式右端的兩部分為同名三角函數(shù)的積，連接符號與左邊角的連接符號相反.記憶口訣：“余余正正，符號相反”二、抽象概括，得出概念兩角和與差的余弦公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.(Cα－β)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.(Cα＋β)(1)適用條件：公式中的角α，β都是任意角.(2)公式結(jié)構：公式右端的兩部分為同名三角函數(shù)的積，連接符號與左邊角的連接符號相反.記憶口訣：“余余正正，符號相反”.【概念辨析】1．判斷正誤（正確的寫正確，錯誤的寫錯誤）（1）cos(60°-30°)=（2）當α,β∈R時，cos（3）對于任意實數(shù)α,β，cos(α-β)=cos（4）cos30°【參考答案】1．錯誤錯誤錯誤正確【詳解】對于（1），因為cos(60°-30°)=cos30°=所以cos(60°-30°)≠cos60°-對于（2），當α,β∈R時，cos(α-β)=cos對于（3），當α=π2,β=3π所以cos(α-β)=cosα-對于（4），cos30°cos120°+故答案為：（1）錯誤，（2）錯誤，（3）錯誤，（4）正確三、典例剖析，理解概念公式正向應用課本P153例1例1利用兩角差的余弦公式求cos15°的值.解：方法一：cos15°=cos(45°-30°=方法二：cos15°=cos(60°-45°=課本P153例2例2已知<β<α<π,sinα-β=4解：因為cosα-β=所以=【方法點撥】觀察要求的角和已知的角之間的關系，常見角的變換：①α＝(α－β)＋β；②α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β).【當堂訓練】已知0<α<β<eq\f(π,2)，且sinα＝eq\f(8,17)，cos(α－β)＝eq\f(21,29)，求cosβ的值.解∵α∈(0，eq\f(π,2))，sinα＝eq\f(8,17)，∴cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(15,17).由0<α<β<eq\f(π,2)，得－eq\f(π,2)<α－β<0.∵cos(α－β)＝eq\f(21,29)，∴sin(α－β)＝－eq\r(1－cos2（α－β）)＝－eq\f(20,29).∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝eq\f(15,17)×eq\f(21,29)＋eq\f(8,17)×(－eq\f(20,29))＝eq\f(155,493).公式逆向應用1．cos30°cos15°-A．12 B．22 C．32解：cos30°cos15°-2．cos69°cosA．-22 B．22 C．-解：cos69°cos24°+四、遷移應用，掌握概念利用兩角和與差的余弦公式化簡求值1．化簡2cos10°A．32 B．3 C．34 D解：=2cos30五、當堂檢測，鞏固達標1．cos15°cos45°-sinA．12 B．22 C．322．在△ABC中，sinA=513,cosA．5665 B．-1665 C．56653．已知α,β為鈍角，且cosα=-255，sinβ=A．π4 B．5π4 C．34．已知向量a=1,3(1)若a//b，求(2)若a?b=65【參考答案】1．A【詳解】cos15°cos2．B【詳解】解：因為cosB=35<2又因為sinA=513<2若3π4<A<π，則所以0<A<π4，則cos=-cosA3．D【詳解】由于α,β為鈍角，且cosα=-25且α∈π2,π,β∈π4．(1)3