四川省宜賓市高中2025屆高三數(shù)學(xué)第一次診斷測試試題文含解析

PAGE18-四川省宜賓市中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)第一次診斷測試試題文（含解析）1.已知集合U＝{1，3，4，5，7，9}，A＝{1，4，5}，則?UA＝（）A.{3，9} B.{7，9} C.{5，7，9} D.{3，7，9}【答案】D【解析】【分析】利用補(bǔ)集的運(yùn)算,干脆求出A在U中的補(bǔ)集即可.【詳解】解:因?yàn)榧蟄＝{1,3,4,5,7,9},A＝{1,4,5},所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了補(bǔ)集的運(yùn)算,屬基礎(chǔ)題.2.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)m+1+（2﹣m）i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在其次象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A.（﹣∞，﹣1） B.（﹣1，2）C（2，+∞） D.（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）【答案】A【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在其次象限,可得,然后解不等式組得到m的取值范圍.【詳解】解:因?yàn)閺?fù)數(shù)m+1+(2﹣m)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在其次象限,所以,解得m＜﹣1.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為(﹣∞,﹣1).故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義和一元一次不等式組的解法,屬基礎(chǔ)題.3.已知向量，且，則實(shí)數(shù)m＝（）A.3 B. C. D.﹣3【答案】D【解析】【分析】依據(jù)平面對量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算法則,列出關(guān)于m的方程,然后解方程求出的值.【詳解】解:由,得,因?yàn)?所以,所以,所以.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了平面對量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積,屬基礎(chǔ)題.4.某車間生產(chǎn)A，B，C三種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量之比分別為5：k：3，為檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取一個容量為120的樣本進(jìn)行檢驗(yàn)，已知B種型號的產(chǎn)品共抽取了24件，則C種型號的產(chǎn)品抽取的件數(shù)為（）A.12 B.24 C.36 D.60【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意可得,解方程求出值,再依據(jù)種型號的產(chǎn)品所占的比例,求出種型號的產(chǎn)品應(yīng)抽取的數(shù)量.【詳解】解:由題意,得,所以k＝2,所以C種型號的產(chǎn)品抽取的件數(shù)為12036.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了分層抽樣的定義和特點(diǎn),屬基礎(chǔ)題.5.要得到函數(shù)的圖象，只須要將函數(shù)y＝cosx的圖象（）A.向左平行移動個單位長度，橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變．B.向左平行移動個單位長度，橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變．C.向右平行移動個單位長度，橫坐標(biāo)伸長為原來的倍，縱坐標(biāo)不變．D.向右平行移動個單位長度，橫坐標(biāo)伸長為原來的倍，縱坐標(biāo)不變．【答案】B【解析】【分析】干脆利用三角函數(shù)圖象的平移和伸縮變換,得到由y＝cosx變換為的方式.【詳解】解:要得到函數(shù)的圖象,只須要將函數(shù)y＝cosx的圖象向左平移個單位,得到y(tǒng)＝cos(x),再把橫坐標(biāo)縮短為原來的,縱坐標(biāo)不變即可.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)圖象的平移和伸縮變換,屬基礎(chǔ)題.6.設(shè)直線m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（）A.m∥n，m∥α?n∥α B.m⊥n，m⊥α，n⊥β?α⊥βC.m∥α，m∥β?α∥β D.α⊥β，m∥α?m⊥β【答案】B【解析】【分析】在中,與平行或;在中,由線面垂直的性質(zhì)定理得;在中,與相交或平行;在中,,與相交、平行或.【詳解】解:因?yàn)閙,n是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,所以在A中,m∥n,m∥α?n?α或n∥α,故A錯誤;在B中,m⊥n,m⊥α,n⊥β,由線面垂直的性質(zhì)定理得α⊥β,故B正確;在C中,m∥α,m∥β?α與β相交或平行,故C錯誤;在D中,m∥α,α⊥β?m與β相交、平行或m?β,故D錯誤.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了命題真假的推斷和空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系,屬基礎(chǔ)題.7.已知，則（）A.b<c<a B.c<b<aC.c<a<b D.b<a<c【答案】A【解析】【分析】將都化為的形式，依據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性推斷出三者的大小關(guān)系.【詳解】依題意，而為上的增函數(shù)，故.故選：A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查指數(shù)運(yùn)算，考查冪函數(shù)的單調(diào)性，考查指數(shù)冪比較大小，屬于基礎(chǔ)題.8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】執(zhí)行程序框圖，可知：第一次循環(huán)：；其次次循環(huán)：；第三次循環(huán)：；第四次循環(huán)：，此時滿意推斷條件，終止循環(huán)，輸出，故選B.9.函數(shù)f（x）的圖象大致是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出f(x)的導(dǎo)函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性,然后結(jié)合圖象得到答案.【詳解】解:由f(x),得f′(x),令g(x)＝1,則g′(x)0,所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,又g(e)0,g(e2)0,所以存在x0∈(e,e2),使得g(x0)＝0,所以當(dāng)x∈(0,x0)時,g(x)＞0,f′(x)＞0;當(dāng)x∈(x0,+∞)時,g(x)＜0,f′(x)＜0,所以f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞增,在(x0,+∞)上單調(diào)遞減.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理,屬中檔題.10.已知，且3sin2α﹣5cos2α+sin2α＝0，則sin2α+cos2α＝（）A.1 B. C.或1 D.﹣1【答案】A【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化弦為切,求出,再求出的值,進(jìn)一步求出sin2α+cos2α.【詳解】解:由3sin2α﹣5cos2α+sin2α＝0,得,所以,即3tan2α+2tanα﹣5＝0,解得tanα＝1或tan.因?yàn)?所以tanα＝1,所以,所以sin2α+cos2α＝sincos.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的化簡求值和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,考查了轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算實(shí)力,屬基礎(chǔ)題.11.如圖，在Rt△ABC中，，，AC＝4，D在AC上且AD：DC＝3：1，當(dāng)∠AED最大時，△AED的面積為（）A. B.2 C.3 D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)條件得到,然后設(shè)∠AED＝θ,∠AEC＝α,∠DEC＝β,用兩角差的正切公式求出tanθ,再用基本不等式求出tanθ最大值,從而得到當(dāng)∠AED最大時,△AED的面積.【詳解】解:因?yàn)锳D:DC＝3:1,所以DCAC＝1,所以S△AED＝S△ACE﹣S△DECAC?CEDC?ECAC?CE?AC?CE＝AC?CE(AC?EC.因?yàn)锳C＝4,CE≤CB,而在Rt△ABC中,,AC＝4,所以CB＝4,∠AED＝∠AEC﹣∠DEC.設(shè)∠AED＝θ,∠AEC＝α,∠DEC＝β,則tanθ＝tan(α﹣β)當(dāng)且僅當(dāng)EC,即EC＝2時,取等號,所以tanθ的最大值為,此時∠AED最大,所以當(dāng)∠AED最大時,△AED的面積=?4?2＝3.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積公式和利用基本不等式求最值,考查了轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算實(shí)力,屬中檔題.12.已知函數(shù)f（x）＝4alnx﹣3x，且不等式f（x+1）≥4ax﹣3ex，在（0，+∞）上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（）A. B. C.（﹣∞，0） D.（﹣∞，0]【答案】B【解析】【分析】不等式f(x+1)≥4ax﹣3ex,在(0,+∞)上恒成立等價于在上恒成立,然后利用函數(shù)f(x)單調(diào)性進(jìn)一步求出的范圍.【詳解】解:f(ex)＝4ax﹣3ex,所以f(x+1)≥4ax﹣3ex在(0,+∞)上恒成立,等價于f(x+1)≥f(ex)在(0,+∞)上恒成立,因?yàn)閤∈(0,+∞)時,1＜x+1＜ex,所以f(x)在(1,+∞)上遞減,所以當(dāng)x＞1時,f′(x)≤0恒成立,即x＞1時,恒成立,所以ax,所以a,所以a的取值范圍為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)恒成立問題和利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍,考查了轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算實(shí)力,屬中檔題.13.書架上有6本不同的數(shù)學(xué)書，4本不同的英語書，從中隨意取出1本，取出的書恰好是數(shù)學(xué)書的概率是_____．【答案】【解析】【分析】先算出“隨意取出1本書”的基本領(lǐng)件總數(shù),再算出事務(wù)“取出的書恰好是數(shù)學(xué)書”包含的基本領(lǐng)件個數(shù),然后利用概率公式求出概率.【詳解】解:從6本不同的數(shù)學(xué)書,4本不同的英語書中隨意取出1本的基本領(lǐng)件總數(shù)為10,取出的書恰好是數(shù)學(xué)書包含的基本領(lǐng)件個數(shù)為6,則取出的書恰好是數(shù)學(xué)書的概率P=,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的概率計(jì)算,關(guān)鍵屬熟識古典概型的概率計(jì)算步驟,屬基礎(chǔ)題.14.已知函數(shù)f（x）＝2x3﹣ax2+2在x＝2處取得極值，則實(shí)數(shù)a＝_____．【答案】6【解析】【分析】先求出,再依據(jù)是的一個極值點(diǎn),得到(2),然后求出的值.【詳解】解:由f(x)＝2x3﹣ax2+2,得f'(x)＝6x2﹣2ax.因?yàn)樵趚＝2處取得極值,所以f'(2)＝24﹣4a＝0,所以a＝6.經(jīng)檢驗(yàn)a=6時x=2是f(x)的一個極值點(diǎn),所以a=6.故答案為:6.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)極值點(diǎn)的定義,考查了方程思想,屬基礎(chǔ)題.15.若△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，其面積為S，，則a＝_____．【答案】【解析】【分析】依據(jù),b=4得到①,再依據(jù)得到②,聯(lián)立①②解出A和c,然后在△ABC中利用余弦定理求出.【詳解】解:因?yàn)?,所以,所以ccosA＝﹣2①.因?yàn)?所以csinA＝2②.聯(lián)立①②,得tanA＝﹣1,所以,所以,所以,在△ABC中,由余弦定理,得,所以.故答案:.【點(diǎn)睛】本題考查了平面對量的數(shù)量積、三角形的面積公式和余弦定理,考查了方程思想和計(jì)算實(shí)力,屬基礎(chǔ)題.16.同學(xué)們有如下解題閱歷：在某些數(shù)列求和中，可把其中一項(xiàng)分裂為兩項(xiàng)之差，使某些項(xiàng)可以抵消，從而實(shí)現(xiàn)化簡求和．如：已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)，則將其通項(xiàng)化為，故數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和．斐波那契數(shù)列是數(shù)學(xué)史上一個聞名數(shù)列，在斐波那契數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝1，，若a2024＝a，那么S2024＝_____．【答案】a﹣1【解析】【分析】依據(jù)題意可得,然后類比數(shù)列的裂項(xiàng)相消法求出S2024.【詳解】解:由題意,得an＝an+2﹣an+1,則S2024＝a1+a2+a3+…+a2024＝a3﹣a2+a4﹣a3+a5﹣a4+…+a2024﹣a2010＝a2024﹣a2＝a﹣1.故答案為:a﹣1.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的裂項(xiàng)相消法求和,考查了類比推理實(shí)力,屬基礎(chǔ)題.（一）必考題：共60分.17.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿意．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝（2n﹣1）an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)依據(jù)數(shù)列的遞推式可知,當(dāng)時,,當(dāng)時,,進(jìn)一步求出通項(xiàng)公式;(2)先求出的通項(xiàng)公式,再利用錯位相減法求出{bn}的前n項(xiàng)和Tn.【詳解】解:(1)因?yàn)?所以當(dāng)時,,當(dāng)時,,上式對也成立,所以.(2)由(1)知,所以,,兩式相減,得,所以.【點(diǎn)睛】本題考查了利用遞推公式求通項(xiàng)公式和錯位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和,考查了分類探討思想和計(jì)算實(shí)力,屬中檔題.數(shù)列前n項(xiàng)和的求法有公式法、倒序相加法、裂項(xiàng)相消法、錯位相減法、并項(xiàng)求和法和分組求和法.18.在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且滿意．（1）若，a+c＝10，求c；（2）若a＝4，，求△ABC的面積S．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)利用正弦定理,將邊化為角,然后求出,進(jìn)一步求出;(2)利用余弦定理,得到關(guān)于的一元二次方程,并求出,然后代入面積公式中求出S.【詳解】解:(1)因?yàn)?所以,所以,因?yàn)?所以,,由正弦定理,知,所以,又,所以.(2)由(1)知,,所以由余弦定理,得,所以,即,所以,所以△ABC的面積.【點(diǎn)睛】本題考查了正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用和三角形的面積公式,考查了轉(zhuǎn)化思想和方程思想,屬中檔題.19.手機(jī)運(yùn)動計(jì)步已經(jīng)成為一種新時尚．某單位統(tǒng)計(jì)了職工一天行走步數(shù)（單位：百步），繪制出如下頻率分布直方圖：（1）求直方圖中a的值，并由頻率分布直方圖估計(jì)該單位職工一天步行數(shù)的中位數(shù)；（2）若該單位有職工200人，試估計(jì)職工一天行走步數(shù)不大于13000的人數(shù)；（3）在（2）的條件下，該單位從行走步數(shù)大于15000的3組職工中用分層抽樣的方法選取6人參與遠(yuǎn)足拉練活動，再從6人中選取2人擔(dān)當(dāng)領(lǐng)隊(duì)，求這兩人均來自區(qū)間（150，170]的概率．【答案】（1）125；（2）112；（3）【解析】【分析】(1)由頻率和為1,列出關(guān)于a的方程,然后求出的值,再利用中位數(shù)兩邊頻率相等,求出中位數(shù)的值;(2)依據(jù)一天行走步數(shù)不大于13000頻率樣本容量,求出頻數(shù);(3)依據(jù)分層抽樣原理抽取6人,利用列舉法求出基本領(lǐng)件數(shù),計(jì)算所求的概率值.【詳解】解:(1)由題意,得,所以.設(shè)中位數(shù)為,則,所以,所以中位數(shù)為125.(2)由,所以估計(jì)職工一天步行數(shù)不大于13000步的人數(shù)為112人.(3)在區(qū)間,中有人,在區(qū)間,中有人,在區(qū)間,中有人,按分層抽樣抽取6人,則從,中抽取4人,,中抽取1人,,中抽取1人;設(shè)從,中抽取職工為、、、,從,中抽取職工為,從,中抽取職工為,則從6人中抽取2人的狀況有、、、、、、、、、、、、、、共15種狀況,它們是等可能的,其中滿意兩人均來自區(qū)間,的有、、、、、共有6種狀況,所以兩人均來自區(qū)間(150,170]的概率;【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率分布直方圖求中位數(shù)和古典概型的概率計(jì)算問題,屬基礎(chǔ)題.20.如圖，正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，將△ADE沿AE翻折得到△ASE，且平面ASE⊥平面ABCE．（1）求三棱錐B﹣CES的體積；（2）設(shè)線段SC上一點(diǎn)G滿意，在BE上是否存在點(diǎn)H使GH∥平面SAE？若存在，求出EH的長度；若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2），理由見解析【解析】【分析】(1)過作于,從而得到平面,進(jìn)一步得到,由此求出三棱錐的體積.(2)連接,交于,連接,推導(dǎo)出,由此能求出結(jié)果.【詳解】解:(1)過作于,因?yàn)槠矫嫫矫娼痪€為,所以平面.在中由,得,因?yàn)?所以.所以三棱錐的體積為.(2)連接,交于,連接,因?yàn)?,所以,所以,又因?yàn)?所以,所以,所以.又因?yàn)槠矫?平面,所以平面,此時.【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問題、三棱錐體積的求法和線面平行的判定定理,考查了轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算求解實(shí)力,屬中檔題.21.已知函數(shù)f（x）＝lnx．（1）若a＝4，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1]內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若x1、x2∈R+，且x1≤x2，求證：（lnx1﹣lnx2）（x1+2x2）≤3（x1﹣x2）．【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析【解析】【分析】(1)將a=4代入f(x)求出f(x)的導(dǎo)函數(shù),然后依據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號,得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)依據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為在,上恒成立問題,然后依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的范圍;(3)依據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為成立問題,令,即成立,再利用函數(shù)的單調(diào)性證明即可.【詳解】解:(1)的定義域是,,所以時,,由,解得或,由,解得,故在和,上單調(diào)遞增,在,上單調(diào)遞減.(2)由(1)得,若函數(shù)在區(qū)間,遞增,則有在,上恒成立,即在,上恒成立成立,所以只需,因?yàn)楹瘮?shù)在時取得最小值9,所以,所以a的取值范圍為.(3)當(dāng)時,不等式明顯成立,當(dāng)時,因?yàn)?,所以要原不等式成立,只需成馬上可,令,則,由(2)可知函數(shù)在,遞增,所以,所以成立,所以(lnx1﹣lnx2)(x1+2x2)≤3(x1﹣x2).【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)恒成立問題和不等式的證明,考查了轉(zhuǎn)化思想和分類探討思想,屬難題.（二）選考題：共10分．22.如圖所示，“8”是在極坐標(biāo)系Ox中分別以和為圓心，外切