蘇教版（2019）選擇性必修第一冊《4.2 等差數(shù)列》同步練習卷

蘇教版（2019）選擇性必修第一冊《4.2等差數(shù)列》2023年同步練習卷一、選擇題1．已知等差數(shù)列{an}的首項a1＝1，公差d＝2，則a4＝（）A．5 B．6 C．7 D．92．已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，a4+a5+a6＝12，則S9＝（）A．20 B．28 C．36 D．43．在等差數(shù)列{an}中，前n項和為Sn，已知2a9＝3+a12，則S11＝（）A．33 B．35 C．45 D．664．若{an}是公差為1的等差數(shù)列，則{a2n﹣1+2a2n}是（）A．公差為3的等差數(shù)列 B．公差為4的等差數(shù)列 C．公差為6的等差數(shù)列 D．公差為9的等差數(shù)列5．一個首項為正數(shù)的等差數(shù)列中，前3項的和等于前11項的和，當這個數(shù)列的前n項和最大時，n等于（）A．5 B．6 C．7 D．86．在等差數(shù)列{an}中，若S9＝18，Sn＝240，an﹣4＝30，則n的值為（）A．18 B．17 C．16 D．157．設數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其前n項和為Sn，已知a4和a5是方程x2﹣20x+99＝0的兩個根，若對任意n∈N*都有Sn≤Sk成立，則k的值為（）A．8 B．9 C．10 D．118．設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則“S12＞0，S13＜0”是“Sn的最大值為S6”的（）A．充分必要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件9．已知數(shù)列{an}的首項為1，第2項為3，前n項和為Sn，當整數(shù)n＞1時，Sn+1+Sn﹣1＝2（Sn+S1）恒成立，則S15等于（）A．210 B．211 C．224 D．22510．《張邱建算經》是中國古代數(shù)學史上的杰作，該書中有首古民謠記載了一數(shù)列問題：“南山一棵竹，竹尾風割斷，剩下三十節(jié)，一節(jié)一個圈．頭節(jié)高五寸①，頭圈一尺三②．逐節(jié)多三分③，逐圈少分三④．一蟻往上爬，遇圈則繞圈．爬到竹子頂，行程是多遠？”（注釋：①第一節(jié)的高度為0.5尺；②第一圈的周長為1.3尺；③每節(jié)比其下面的一節(jié)多0.03尺；④每圈周長比其下面的一圈少0.013尺）問：此民謠提出的問題的答案是（）A．72.705尺 B．61.395尺 C．61.905尺 D．73.995尺二、填空題11．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a3＝6，S3＝12，則公差d等于．12．在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，a10a11＜0，若此數(shù)列的前10項和S10＝p，前18項和S18＝q，則數(shù)列{an}的前18項和T18＝．三、解答題13．已知{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項和，（1）a2＝﹣1，S15＝75，求an與Sn；（2）a1+a2+a3+a4＝124，an+an﹣1+an﹣2+an﹣3＝156，Sn＝210，求項數(shù)n．14．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝﹣n2+2n+1．（1）求{an}的通項公式；（2）若等差數(shù)列{an}的前n項和Sn＝An2+Bn+C（A，B，C為常數(shù)），則常數(shù)A，B，C必滿足何條件？15．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn（Sn≠0），且滿足，an+2SnSn﹣1＝0（n≥2）．（1）求證：是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的通項公式．16．已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知S2＝2，S4＝﹣20．（1）求數(shù)列{an}的通項公式和前n項和Sn；（2）是否存在n，使Sn，Sn+2+2n，Sn+3成等差數(shù)列，若存在，求出n，若不存在，說明理由．17．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a1＝1，an＞0，其前n項和為Sn，且數(shù)列也為等差數(shù)列．（1）求{an}的通項公式；（2）設，求數(shù)列{bn}的前n項和．

蘇教版（2019）選擇性必修第一冊《4.2等差數(shù)列》2023年同步練習卷參考答案與試題解析一、選擇題1．【分析】由題意把已知數(shù)據(jù)代入等差數(shù)列的通項公式計算可得．【解答】解：由等差數(shù)列的通項公式可得：a4＝a1+3d＝1+3×2＝7故選：C．2．【分析】由等差數(shù)列的下標和性質化簡已知條件，利用等差數(shù)列的求和公式計算即可．【解答】解：等差數(shù)列{an}中，a4+a5+a6＝3a5＝12，解得a5＝4，則S9＝＝9a5＝36．故選：C．3．【分析】由2a9＝a6+a12，2a9＝3+a12，解得a6＝3，再由等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式，能夠求出S11．【解答】解：∵2a9＝a6+a12，2a9＝3+a12，∴a6+a12＝3+a12，解得a6＝3，故S11＝（a1+a11）＝＝11a6＝11×3＝33．故選：A．4．【分析】構造新數(shù)列cn＝a2n﹣1+2a2n，求出相鄰兩項的差，利用等差數(shù)列的定義，即可得到結論．【解答】解：設{an}的公差為d，則d＝1，設cn＝a2n﹣1+2a2n，則cn+1＝a2n+1+2a2n+2，∴cn+1﹣cn＝a2n+1+2a2n+2﹣a2n﹣1﹣2a2n＝6d＝6，故選：C．5．【分析】根據(jù)題設可知S3＝S11，且數(shù)列單調遞減，進而根據(jù)等差中項的性質可求得a4+a11＝a7+a8＝0，進而推斷出a7＞0，a8＜0．可知數(shù)列的前7項均為正，從第8項開始為負，故可知數(shù)列前7項的和最大．【解答】解：依題意知．數(shù)列單調遞減，公差d＜0．因為S3＝S11＝S3+a4+a5+…+a10+a11所以a4+a5+…+a7+a8+…+a10+a11＝0即a4+a11＝a7+a8＝0，故當n＝7時，a7＞0，a8＜0．故選：C．6．【分析】由等差數(shù)列前n項和公式、等差數(shù)列的性質，求出a5＝2，a1+an＝a5+an﹣4＝32，整體代入前n項和公式，求出n．【解答】解：在等差數(shù)列{an}中，S9＝18，Sn＝240，an﹣4＝30，∴＝18，解得a5＝2，∴a5+an﹣4＝a1+an＝32，∴Sn＝＝16n＝240，解得n＝15．故選：D．7．【分析】由方程的根與系數(shù)關系可求a4+a5，a4?a5，結合對任意n∈N*都有Sn≤Sk成立，即Sk是和的最大值，從而d＜0，可求【解答】解：∵a4和a5是方程x2﹣20x+99＝0的兩個根，∴a4+a5＝20，a4?a5＝99，∵對任意n∈N*都有Sn≤Sk成立，即Sk是和的最大值，從而d＜0∴a4＝11，a5＝9，d＝﹣2，an＝a4+（n﹣4）×（﹣2）＝19﹣2n，當n≤9時，an＞0，當n＞9時，an＜0，若對任意n∈N*都有Sn≤Sk成立，則k＝9故選：B．8．【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【解答】解：由S13＜0得a1+a13＝2a7＜0，即a7＜0，由S12＞0得a1+a12＝a6+a7＞0，得a7＜0，a6＞0，由S12＞0，S13＜0，知等差數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，所以Sn的最大值為S6，反之，在等差數(shù)列中，當d＜0，且a7＝0時，滿足Sn的最大值為S6，但S13＜0不成立，即必要性不成立，即“S12＞0，S13＜0”是“Sn的最大值為S6”的充分不必要條件，故選：B．9．【分析】利用已知條件轉化推出an+1﹣an＝2a1＝2，說明數(shù)列是等差數(shù)列，然后求解數(shù)列的和即可．【解答】解：結合Sn+1+Sn﹣1＝2（Sn+S1）可知，Sn+1+Sn﹣1﹣2Sn＝2a1，得到an+1﹣an＝2a1＝2，所以an＝1+2?（n﹣1）＝2n﹣1，所以a15＝29，所以，故選：D．10．【分析】設從地面往長，每節(jié)竹長為a1，a2，a3，…，a30，則{an}是以a1＝0.5為首項，以d′＝0.03為公差的等差數(shù)列，設從地面往上，每節(jié)節(jié)圈長為b1，b2，b3，…，b30，則{bn}是以b1＝1.3為首項，d＝﹣0.013為公差的等差數(shù)列，由此能求出一蟻往上爬，遇圈則繞圈．爬到竹子頂?shù)男谐蹋窘獯稹拷猓骸呙恐窆?jié)間的長相差0.03尺，設從地面往長，每節(jié)竹長為a1，a2，a3，…，a30，∴{an}是以a1＝0.5為首項，以d′＝0.03為公差的等差數(shù)列，由題意知竹節(jié)圈長，后一圈比前一圈細1分3厘，即0.013尺，設從地面往上，每節(jié)節(jié)圈長為b1，b2，b3，…，b30，由{bn}是以b1＝1.3為首項，d＝﹣0.013為公差的等差數(shù)列，∴一蟻往上爬，遇圈則繞圈．爬到竹子頂，行程是：S30＝（30×0.5+×0.03）+[30×1.3+×（﹣0013）]＝61.395．故選：B．二、填空題11．【分析】利用等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式求解．【解答】解：∵等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a3＝6，S3＝12，∴，解得a1＝2，d＝2．故答案為：2．12．【分析】直接利用已知條件求出d的取值范圍，進一步利用恒等變換求出結果．【解答】解：等差數(shù)列{an}中，設公差為d，由于：a1＞0，a10a11＜0，則：d＜0，a10＞0，a11＜0所以：T18＝a1+a2+…+a10﹣a11﹣a12﹣…﹣a18，＝2（a1+a2+…+a10）﹣（a1+a2+…+a10+a11+a12+…+a18），＝2p﹣q．故答案為：2p﹣q．三、解答題13．【分析】（1）利用等差數(shù)列前n項和公式和通項公式列出方程組，求出首項和公差，由此能求出an與Sn．（2）利用等差數(shù)列的通項公式得4（a1+an）＝（a1+a2+a3+a4+an+an﹣1+an﹣2+an﹣3），從而求出a1+an＝70，由此能求出項數(shù)n．【解答】解：（1）∵{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項和，a2＝﹣1，S15＝75，∴，解得a1＝﹣2，d＝1，∴an＝﹣2+（n﹣1）×1＝n﹣3．Sn＝＝．（2）∵{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項和，a1+a2+a3+a4＝124，an+an﹣1+an﹣2+an﹣3＝156，Sn＝210，∴4（a1+an）＝（a1+a2+a3+a4+an+an﹣1+an﹣2+an﹣3）＝124+156＝280，∴a1+an＝70，∴＝，解得n＝6．14．【分析】（1）利用“當n＝1時，a1＝S1；當n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1”即可得出．（2）根據(jù)當n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1”求出數(shù)列的通項公式，結合等差數(shù)列的定義進行判斷即可．【解答】解：（1）當n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝﹣n2+2n﹣1﹣[﹣（n﹣1）2+2（n﹣1）﹣1]＝﹣2n+3，當n＝1時，a1＝S1＝﹣1+2+1＝2，不適合上式，∴數(shù)列{an}的通項公式an＝．（2）當n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝（An2+Bn+C）﹣[A（n﹣1）2+B（n﹣1）+C]＝（Aa2+Bn）﹣（An2﹣2An+A+Bn﹣B）＝2An﹣A+B．當n＝1時，a1＝S1＝A+B+C，則當C＝0時，a1滿足an＝2An﹣A+B，此時數(shù)列{an}為等差數(shù)列．公差d﹣2A，當C≠0時，a1不滿足an＝2An﹣A+B，此時數(shù)列{an}不為等差數(shù)列．15．【分析】（1）由n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1代入已知化簡即可證明；（2）結合（1）先求出，然后再由已知等式代入可求通項公式．【解答】（1）證明：因為，an+2SnSn﹣1＝0（n≥2），所以Sn﹣Sn﹣1+2SnSn﹣1＝0，因為Sn≠0，所以＝2，又＝2，所以是以2為首項，以2為公差的等差數(shù)列；（2）解：由（1）知＝2+2（n﹣1）＝2n，所以Sn＝，因為an+2SnSn﹣1＝0，所以an＝﹣2SnSn﹣1＝﹣2×＝﹣，但a1＝不適合上式，故an＝．16．【分析】（1）設等差數(shù)列{an}的公差為d，運用等差數(shù)列的通項公式和求和公式，解方程可得首項和公差，即可得到所求通項和求和；（2）假設存在n，使Sn，Sn+2+2n，Sn+3成等差數(shù)列，運用等差數(shù)列中項性質，解方程可得n，即可得到所求結論．【解答】解：（1）設等差數(shù)列{an}的公差為d，∵S2＝2，S4＝﹣20，∴2a1+d＝2，4a1+6d＝﹣20，聯(lián)立解得a1＝4，d＝﹣6，∴an＝4﹣6（n﹣1）＝10﹣6n，Sn＝＝7n﹣3n2；（2）假設存在n，使Sn，Sn+2+2n，Sn+3成等差數(shù)列，則2（Sn+2+2n）＝Sn+Sn+3，∴2[7（n+2）﹣3（n+2）2+2n]＝7n﹣3n2+7（n+3）﹣3（n+3）2，解得n＝5．則存在n＝5，使Sn，Sn+2+2n，Sn+3成等差數(shù)列．17．【分析】（1）設等差數(shù)列