第30講、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)（教師版）

第30講三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一：用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖（1）在正弦函數(shù)，的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：．（2）在余弦函數(shù)，的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：．知識(shí)點(diǎn)二：正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)（下表中）函數(shù)圖象定義域值域周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)遞增區(qū)間遞減區(qū)間無(wú)對(duì)稱(chēng)中心對(duì)稱(chēng)軸方程無(wú)注：正（余）弦曲線(xiàn)相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離是；正（余）弦曲線(xiàn)相鄰兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心的距離是；正（余）弦曲線(xiàn)相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸與對(duì)稱(chēng)中心距離；知識(shí)點(diǎn)三：與的圖像與性質(zhì)（1）最小正周期：．（2）定義域與值域：，的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇-A，A]．（3）最值假設(shè)．①對(duì)于，②對(duì)于，（4）對(duì)稱(chēng)軸與對(duì)稱(chēng)中心．假設(shè)．①對(duì)于，②對(duì)于，正、余弦曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是相應(yīng)函數(shù)取最大（?。┲档奈恢茫⒂嘞业膶?duì)稱(chēng)中心是相應(yīng)函數(shù)與軸交點(diǎn)的位置．（5）單調(diào)性．假設(shè)．①對(duì)于，②對(duì)于，（6）平移與伸縮由函數(shù)的圖像變換為函數(shù)的圖像的步驟；方法一：．先相位變換，后周期變換，再振幅變換，不妨采用諧音記憶：我們“想欺負(fù)”（相一期一幅）三角函數(shù)圖像，使之變形．方法二：．先周期變換，后相位變換，再振幅變換．注：在進(jìn)行圖像變換時(shí)，提倡先平移后伸縮（先相位后周期，即“想欺負(fù)”），但先伸縮后平移（先周期后相位）在題目中也經(jīng)常出現(xiàn)，所以必須熟練掌握，無(wú)論哪種變化，切記每一個(gè)變換總是對(duì)變量而言的，即圖像變換要看“變量”發(fā)生多大變化，而不是“角”變化多少．【解題方法總結(jié)】關(guān)于三角函數(shù)對(duì)稱(chēng)的幾個(gè)重要結(jié)論；（1）函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，對(duì)稱(chēng)中心為；（2）函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，對(duì)稱(chēng)中心為；（3）函數(shù)函數(shù)無(wú)對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)中心為；（4）求函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸的方法；令，得；對(duì)稱(chēng)中心的求取方法；令，得，即對(duì)稱(chēng)中心為．（5）求函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸的方法；令得，即對(duì)稱(chēng)中心為必考題型全歸納題型一：五點(diǎn)作圖法例1．（2024·湖北·高一荊州中學(xué)校聯(lián)考期中）要得到函數(shù)的圖象，可以從正弦函數(shù)或余弦函數(shù)圖象出發(fā)，通過(guò)圖象變換得到，也可以用“五點(diǎn)法”列表、描點(diǎn)、連線(xiàn)得到．(1)由圖象變換得到函數(shù)的圖象，寫(xiě)出變換的步驟和函數(shù)；(2)用“五點(diǎn)法”畫(huà)出函數(shù)在區(qū)間上的簡(jiǎn)圖．

【解析】（1）步驟1：把圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象；步驟2：把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；步驟3：最后把函數(shù)的圖象的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象．或者步驟1：步驟1：把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；步驟2：把圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象；步驟3：最后把函數(shù)的圖象的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象．（2）因?yàn)榱斜恚?/p>

例2．（2024·北京·高一首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)(1)用“五點(diǎn)作圖法”在給定坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)在上的圖像；(2)求，的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)當(dāng)時(shí)，的取值范圍為，直接寫(xiě)出m的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，列表如下：0112001作圖如下：（2）因?yàn)?，令，解得，令，解得，所以的遞增區(qū)間為（3），，又，由（1）的圖象可知，，的取值范圍是．例3．（2024·廣東東莞·高一東莞市東華高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù).(1)請(qǐng)用五點(diǎn)作圖法畫(huà)出函數(shù)在上的圖象；（先列表，再畫(huà)圖）(2)設(shè)，，當(dāng)時(shí)，試研究函數(shù)的零點(diǎn)的情況.【解析】（1），按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表：0010003010描點(diǎn)并將它們用光滑的曲線(xiàn)連接起來(lái)如下圖所示：（2）因?yàn)?，所以的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于與圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，設(shè)，，則當(dāng)，即時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，有0個(gè)零點(diǎn).【解題方法總結(jié)】（1）在正弦函數(shù)，的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：．（2）在余弦函數(shù)，的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：．題型二：函數(shù)的奇偶性例4．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)，則（

）A．若，則為奇函數(shù) B．若，則為偶函數(shù)C．若，則為偶函數(shù) D．若，則為奇函數(shù)【答案】B【解析】的定義域?yàn)椋瑢?duì)A：若，，若為奇函數(shù)，則，而不恒成立，故不是奇函數(shù)；對(duì)B：若，，，故為偶函數(shù)，B正確；對(duì)C：若，，，故不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：若，，若為奇函數(shù)，則，而不恒成立，故不是奇函數(shù)；故選：B例5．（2024·貴州貴陽(yáng)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）使函數(shù)為偶函數(shù)，則的一個(gè)值可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，可得，所以，令，可得.故選：A.例6．（2024·湖南常德·常德市一中校考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖像，若函數(shù)是偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，得的圖像，又函數(shù)是偶函數(shù)，則有，，解得，；所以.故選：C．變式1．（2024·北京·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)的圖象，且的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得，故，由于的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則為偶函數(shù)，故,即，故的最小值為，故選：B變式2．（2024·浙江·高三期末）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到一個(gè)奇函數(shù)的圖象，則的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函數(shù)為奇函數(shù)，則，取，則．故選：D變式3．（2024·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）函數(shù)是（

）A．最小正周期為π的奇函數(shù) B．最小正周期為π的偶函數(shù)C．最小正周期為的奇函數(shù) D．最小正周期為的偶函數(shù)【答案】D【解析】解析：函數(shù)，故該函數(shù)為偶函數(shù)，且它的最小正周期為.故選：D.變式4．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則的值為（

）A．0 B．2 C．4 D．6【答案】B【解析】解:，令，，于是，所以是奇函數(shù)，從而的最大值G與最小值g的和為0，而.故選：B變式5．（2024·山東·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，如果，則的值是（

）A．-10 B．8 C．-8 D．-7【答案】B【解析】令，由奇函數(shù)定義可知，化簡(jiǎn)計(jì)算可求得結(jié)果.令,則，所以，由可知，，即，，故選：B.【解題方法總結(jié)】由是奇函數(shù)和是偶函數(shù)可拓展得到關(guān)于三角函數(shù)奇偶性的重要結(jié)論：（1）若為奇函數(shù)，則；（2）若為偶函數(shù)，則；（3）若為奇函數(shù)，則；（4）若為偶函數(shù)，則；若為奇函數(shù)，則，該函數(shù)不可能為偶函數(shù)．題型三：函數(shù)的周期性例7．（2024·湖北襄陽(yáng)·高三襄陽(yáng)五中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知，，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且的最小值為，若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意知函數(shù)的最小正周期，則，得，.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，要使該圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則，，所以，，又，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為．故選：A例8．（2024·江西·南昌縣蓮塘第一中學(xué)校聯(lián)考二模）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，若對(duì)滿(mǎn)足的，總有的最小值等于，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)的周期為，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，可得，由可知，兩個(gè)函數(shù)的最大值與最小值的差為2，且，不妨設(shè)，則，即在時(shí)取得最小值，由于，此時(shí)，不合題意；，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足題意.故選：C.例9．（2024·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的最小正周期為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，所以的最小正周期．故選：C．變式6．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）函數(shù)（）的圖像的相鄰兩支截直線(xiàn)所得線(xiàn)段長(zhǎng)為，則的值是______.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)（）的圖像的相鄰兩支截直線(xiàn)所得線(xiàn)段長(zhǎng)為，所以該函數(shù)的最小正周期為，因?yàn)?，所以，即，因此，故答案為：變?．（2024·河北衡水·高三河北深州市中學(xué)校考階段練習(xí)）下列函數(shù)中，最小正周期為的奇函數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對(duì)于A：最小正周期為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，最小正周期，且為奇函數(shù)，故B正確；對(duì)于C：，最小正周期為的偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，則，故為偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：B變式8．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)對(duì)于，都有，則的最小值為（

）.A． B． C． D．【答案】C【解析】∵恒成立，∴是函數(shù)的最小值，是函數(shù)的最大值，即、是函數(shù)的兩條對(duì)稱(chēng)軸，則的最小值為.故選：C.變式9．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，如果存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有成立，則的最小值為A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，設(shè)的最小正周期為，則，所以的最小值為，故選C.考點(diǎn)：三角函數(shù)的周期和最值．變式10．（2024·北京·北京市第一六一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)在的圖象大致如圖所示，則的最小正周期為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由圖象可知，，，解得.設(shè)函數(shù)的最小正周期為，易知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)符合題意，此時(shí),故選：A.變式11．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）函數(shù)的最小正周期是__________.【答案】【解析】因?yàn)?，因?yàn)榈淖钚≌芷跒椋院瘮?shù)最小正周期為.故答案為：.變式12．（2024·江西鷹潭·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的最小正周期是______．【答案】【解析】所以最小正周期為，故答案為：變式13．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù).則__________.【答案】【解析】由條件，可得，，…，共506組，所以.故答案為：1012.變式14．（2024·四川遂寧·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，，，且，則=_____【答案】/0.5【解析】因?yàn)?，另外，，且，所以，函?shù)的最小正周期滿(mǎn)足，則，所以，，故當(dāng)時(shí)，取最小值.故答案為：變式15．（2024·上海寶山·上海交大附中校考三模）已知函數(shù)，則函數(shù)的最小正周期是__________．【答案】【解析】，故，故答案為：．變式16．（2024·上?！ど虾Ｖ袑W(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的最小正周期是，則______.【答案】4【解析】，所以最小正周期是，所以.故答案為：4變式17．（2024·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考一模）設(shè)函數(shù)相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為，，則的最小值為_(kāi)_________．【答案】/【解析】因?yàn)楹瘮?shù)相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為，則函數(shù)的周期，，又，因此，即，所以當(dāng)時(shí)，.故答案為：變式18．（2024·上海浦東新·高三華師大二附中?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的最小正周期為_(kāi)__________.【答案】【解析】，所以，其最小正周期為.故答案為：變式19．（2024·內(nèi)蒙古·高三霍林郭勒市第一中學(xué)統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)（，，是常數(shù)，，）．若在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，則的最小正周期為_(kāi)______．【答案】/【解析】在區(qū)間上具有單調(diào)性，區(qū)間的長(zhǎng)度為，區(qū)間的長(zhǎng)度為，由于，所以的一條對(duì)稱(chēng)軸為，其相鄰一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為，即，所以.故答案為：變式20．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列6個(gè)函數(shù)：①，②，③，④，⑤，⑥，其中最小正周期為π的偶函數(shù)的編號(hào)為_(kāi)__________.【答案】①③⑤【解析】①，②，③，④，⑤，⑥都是偶函數(shù)，由函數(shù)的圖象如如所示，可知，，的最小正周期都是，，不是周期函數(shù)，，最小正周期為，故答案為：①③⑤【解題方法總結(jié)】關(guān)于三角函數(shù)周期的幾個(gè)重要結(jié)論：（1）函數(shù)的周期分別為，．（2）函數(shù)，的周期均為（3）函數(shù)的周期均．題型四：函數(shù)的單調(diào)性例10．（2024·河北石家莊·正定中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．的值域?yàn)锽．的單調(diào)遞減區(qū)間為C．為奇函數(shù)，D．不等式的解集為【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，所以，故選項(xiàng)A正確；由得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選項(xiàng)B正確；所以，所以為奇函數(shù)，故選項(xiàng)C正確；由得，即所以，所以不等式的解集為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：D.例11．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得函數(shù)的圖象，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到，即的圖象，令，，解得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，.故選：C.例12．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（

）

A．B．C．不等式的解集為D．將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得函數(shù)的圖象在上單調(diào)遞增【答案】C【解析】由函數(shù)圖象可知，最小正周期為，所以，將點(diǎn)代入，得，又，所以，故，故A錯(cuò)誤；所以，故B錯(cuò)誤；令，則，所以，，解得，，所以不等式的解集為，故C正確；將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖象，令，，解得，，令得，因?yàn)?，故D錯(cuò)誤.故選：C.變式21．（2024·四川瀘州·統(tǒng)考三模）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象的函數(shù)（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞減 B．在區(qū)間上單調(diào)遞減C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】B【解析】函數(shù)的最小正周期是，選項(xiàng)AC中區(qū)間長(zhǎng)度是一個(gè)周期，因此不可能單調(diào)，圖象左右平移后也不可能單調(diào)，AC錯(cuò)；函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象的函數(shù)解析式為，選項(xiàng)B，時(shí)，，在此區(qū)間上是減函數(shù)，B正確；選項(xiàng)D，時(shí)，，在此區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，D錯(cuò)誤．故選：B．變式22．（2024·北京密云·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，則（

）A．在上單調(diào)遞減 B．在上單調(diào)遞增C．在上單調(diào)遞減 D．在上單調(diào)遞增【答案】C【解析】因?yàn)?對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞減，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞減，故D錯(cuò).故選：C.變式23．（2024·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)的部分圖象如圖所示，則不等式的解集為（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)函數(shù)的圖象向左平移單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，由圖可知，函數(shù)的圖象的最小正周期為，所以，所以，由，得，，，所以，，取，得，所以，所以，所以由，得，即，所以，，即，，所以不等式的解集為（），故選：C變式24．（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）的部分圖像如圖所示，則其單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由圖可得，即，結(jié)合圖象可得到在區(qū)間中，為最高點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)為，軸右側(cè)第一個(gè)最低點(diǎn)為，對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)為，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為故選：B變式25．（2024·四川涼山·高一校聯(lián)考期中）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：C【解題方法總結(jié)】三角函數(shù)的單調(diào)性，需將函數(shù)看成由一次函數(shù)和正弦函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的單調(diào)方法轉(zhuǎn)化為解一元一次不等式．如函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的確定基本思想是吧看做是一個(gè)整體，如由解出的范圍，所得區(qū)間即為增區(qū)間；由解出的范圍，所得區(qū)間即為減區(qū)間．若函數(shù)中，可用誘導(dǎo)公式將函數(shù)變?yōu)椋瑒t的增區(qū)間為原函數(shù)的減區(qū)間，減區(qū)間為原函數(shù)的的增區(qū)間．對(duì)于函數(shù)的單調(diào)性的討論與以上類(lèi)似處理即可．題型五：函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性（對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)中心）例13．（2024·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則實(shí)數(shù)的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，變?yōu)椋虻膱D象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以為偶函數(shù)，所以，,即，,因，所以，故當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)取得最小值為，故選：B例14．（2024·上海寶山·高三上海交大附中?？茧A段練習(xí)）已知，函數(shù)，的最小正周期為，將的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則的值是______．【答案】/【解析】，函數(shù)的最小正周期為，，．將的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得的圖像，根據(jù)所得圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，可得，，解得，，又，則令，可得的值為．故答案為：．例15．（2024·上海松江·?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為，若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象共有6個(gè)交點(diǎn)，分別為，，…，，則__________.【答案】6【解析】顯然函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，依題意，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，于是，所以.故答案為：6變式26．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，若，則______.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，所以，所以，所以因?yàn)椋詴r(shí)，.故答案為：變式27．（2024·新疆喀什·校考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度之后關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則的最小值為_(kāi)_____.【答案】1【解析】向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得，因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以，,，，所以的最小值為1.故答案為：1變式28．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，若，且直線(xiàn)為圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】5【解析】由，得，又，解得，所以，又直線(xiàn)為圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，則有，，化簡(jiǎn)得，，又，故的最小值為5．故答案為：.變式29．（2024·河南開(kāi)封·校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，那么的最小值為_(kāi)_______．【答案】【解析】的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，，即，令，可得的最小值為．故答案為：變式30．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象.若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則的最小值為_(kāi)_____.【答案】【解析】由題可得，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以，解得，，故的最小值為.故答案為：.變式31．（2024·江西吉安·高三統(tǒng)考期末）記函數(shù)（）的最小正周期為，且的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，當(dāng)取最小值時(shí)，_______.【答案】/【解析】由的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則，，∴（），又∵，∴當(dāng)，的最小值為4，此時(shí)，，∴.故答案為：.變式32．（2024·福建寧德·高三?？茧A段練習(xí)）寫(xiě)出滿(mǎn)足條件“函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)”的的一個(gè)值________．【答案】（答案不唯一，滿(mǎn)足即可）【解析】由題意可得：，則，當(dāng)時(shí)，.故答案為：.變式33．（2024·江西贛州·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸為．若,則的最大______．【答案】【解析】由題知.所以因?yàn)?所以當(dāng)取最大值故答案為：變式34．（2024·河北石家莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）曲線(xiàn)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為_(kāi)_____（答案不唯一）.【答案】（答案不唯一）【解析】，令或，則或，令，則.所以函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是.故答案為：（答案不唯一）.變式35．（2024·甘肅武威·甘肅省武威第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)是______．【答案】（答案不唯一）【解析】令，解得,則圖象的對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)是．當(dāng)時(shí)，，則是圖像的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心．故答案為：（答案不唯一）.【解題方法總結(jié)】關(guān)于三角函數(shù)對(duì)稱(chēng)的幾個(gè)重要結(jié)論；（1）函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，對(duì)稱(chēng)中心為；（2）函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，對(duì)稱(chēng)中心為；（3）函數(shù)函數(shù)無(wú)對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)中心為；（4）求函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸的方法；令，得；對(duì)稱(chēng)中心的求取方法；令，得，即對(duì)稱(chēng)中心為．（5）求函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸的方法；令得，即對(duì)稱(chēng)中心為題型六：函數(shù)的定義域、值域（最值）例16．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的范圍是___________.【答案】【解析】.故令，.則原式，故.故答案為：.例17．（2024·河北·校聯(lián)考一模）函數(shù)的最小值為_(kāi)_________.【答案】/【解析】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，此時(shí)的最小值為.故答案為：例18．（2024·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)郡中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若函數(shù)的最小值為，則常數(shù)的一個(gè)取值為_(kāi)__________.（寫(xiě)出一個(gè)即可）【答案】（答案不唯一）.【解析】可化為，所以，設(shè)，則，設(shè)，則，因?yàn)楹瘮?shù)的最小值為，所以，，所以或，其中，故答案為：（答案不唯一）.變式36．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）的最小值為_(kāi)_________.【答案】【解析】，所以當(dāng)，時(shí)，取得最小值.故答案為：．變式37．（2024·上海嘉定·?？既＃┤絷P(guān)于的方程在上有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】原方程等價(jià)于即函數(shù)，在上有交點(diǎn)，∵，∴，，故，則.故答案為：變式38．（2024·江西鷹潭·貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_________．【答案】【解析】因?yàn)?，又，所以，則，即函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：.變式39．（2024·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，，則函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_____．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，則，所以，所以函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：變式40．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，則的最小值為_(kāi)_______.【答案】【解析】.因?yàn)?，所以，所以，所以，即函?shù)的最小值為.故答案為：.變式41．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)，則的最小值為_(kāi)_________.【答案】【解析】設(shè)，由，得，又由，得，所以，令，，當(dāng)時(shí)，時(shí)，即當(dāng)時(shí)，原函數(shù)取到最小值.故答案為：.變式42．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，該函數(shù)的最大值為_(kāi)_________．【答案】【解析】由題意，函數(shù)，令且，則，從而，令，解得或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減．因?yàn)?，，所以的最大值?故答案為：.變式43．（2024·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）設(shè)角、均為銳角，則的范圍是______________．【答案】【解析】因?yàn)榻恰⒕鶠殇J角，所以的范圍均為，所以，所以因?yàn)椋?，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，令，，，所以.則的范圍是：.故答案為：變式44．（2024·陜西咸陽(yáng)·陜西咸陽(yáng)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）函數(shù)的值域是___________.【答案】【解析】因?yàn)橛忠驗(yàn)?所以當(dāng)時(shí),取得最小值-1,當(dāng)時(shí),取得最大值2,故的值域是.故答案為：變式45．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)、且，求的取值范圍是________.【答案】【解析】解法一：，，可得．，令，，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，即，的取值范圍是．解法二：由得，設(shè)，即，則令，，，，顯然在上單調(diào)遞增，所以，即，所以的取值范圍是.故答案為：變式46．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)____________．【答案】【解析】令，，則，即，所以，又因?yàn)椋?，即函?shù)的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋?變式47．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的最大值為_(kāi)_____．【答案】2【解析】，其中，，.∵，，∴，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∵∴當(dāng)時(shí)，取得最大值．故答案為：變式48．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_____．【答案】【解析】的定義域滿(mǎn)足，即.故答案為：.變式49．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_____.【答案】【解析】設(shè)，因?yàn)椋傻?，因?yàn)檎泻瘮?shù)在上的值域?yàn)?，即函?shù)在的值域?yàn)?故答案為：.變式50．（2024·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的最大值為_(kāi)_______．【答案】/【解析】∵，∴，由題意得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故的最大值為．故答案為：【解題方法總結(jié)】求三角函數(shù)的最值，通常要利用正、余弦函數(shù)的有界性，一般是通過(guò)三角變換化歸為下列基本類(lèi)型處理．（1），設(shè)，化為一次函數(shù)在上的最值求解．（2），引入輔助角，化為，求解方法同類(lèi)型（1）（3），設(shè)，化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解，也可以是或型．（4），設(shè)，則，故，故原函數(shù)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解．（5）與，根據(jù)正弦函數(shù)的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用數(shù)形結(jié)合法求最值．這里需要注意的是化為關(guān)于或的函數(shù)求解釋務(wù)必注意或的范圍．（6）導(dǎo)數(shù)法（7）權(quán)方和不等式題型七：三角函數(shù)性質(zhì)的綜合例19．（多選題）（2024·海南海口·海南華僑中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（）的圖象與函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)中心完全相同，且在上，有極小值，則（

）A． B．C．函數(shù)是偶函數(shù) D．在上單調(diào)遞增【答案】AD【解析】由題意，函數(shù)與的最小正周期相同，則，且.當(dāng)時(shí)，，其一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為，也是的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，所以，所以，，又，所以，所以，，，有極大值，無(wú)極小值，不合題意；當(dāng)時(shí)，，其一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為，也是的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，所以，所以，，又，所以，所以，，，有極小值，滿(mǎn)足題意.，，A項(xiàng)正確，B項(xiàng)不正確；，不是偶函數(shù)，C項(xiàng)不正確；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，D項(xiàng)正確.故選：AD例20．（多選題）（2024·廣東潮州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，的最小正周期為，且過(guò)點(diǎn)，則下列正確的有（

）A．在單調(diào)遞減B．的一條對(duì)稱(chēng)軸為C．的周期為D．把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位得到函數(shù)的解析式為【答案】AB【解析】根據(jù)輔助角公式得．最小正周期為，，，即．函數(shù)過(guò)點(diǎn)，，，則．當(dāng)時(shí)．即．令，則，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，故A正確．令，則，當(dāng)時(shí)，的一條對(duì)稱(chēng)軸為，故B正確．因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，則的周期為且，故C錯(cuò)誤．函數(shù)的圖象向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位得到函數(shù)的解析式為，故D錯(cuò)誤．故選：AB．例21．（多選題）（2024·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則（

）A．的最大值為2B．是偶函數(shù)C．在上單調(diào)遞增D．把的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)【答案】AB【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以，解得，所以，其最大值為2，故A正確；令，定義域?yàn)?，，所以即是偶函?shù)，故B正確；時(shí)，，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；把的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，因?yàn)?，所以的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故D錯(cuò)誤.故選：AB變式51．（多選題）（2024·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．若，則B．將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)C．函數(shù)的最小正周期為D．若在上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為【答案】ABD【解析】由，故必有一個(gè)最大值和一個(gè)最小值，則為半個(gè)周期長(zhǎng)度，故正確；由題意的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，B正確；的最小正周期為C錯(cuò)誤.，在上有且僅在3個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)知：，則，D正確；故選：ABD變式52．（多選題）（2024·海南·高三校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，，恒成立，在上單調(diào)，則（

）A．B．將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象C．D．若函數(shù)在上有5個(gè)零點(diǎn)，則【答案】AB【解析】因?yàn)?，所以是函?shù)的一個(gè)零點(diǎn)，所以①，又因?yàn)閷?duì)恒成立，所以時(shí)取得最小值，即②，則①減②可得：，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)，所以，則，結(jié)合，所以，所以，，則，，又因?yàn)?，所以，故A正確；所以，將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到，故B正確；，故C錯(cuò)誤；函數(shù)在上有5個(gè)零點(diǎn)，令，即與的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，畫(huà)出與的圖象如下，

，，由圖可知，當(dāng)時(shí)，與的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)在上有5個(gè)零點(diǎn),故D錯(cuò)誤.故選：AB變式53．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的聲波，純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，我們聽(tīng)到的聲音是由純音合成的，稱(chēng)之為復(fù)合音.若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．的最小正周期為C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．的最小值為1【答案】BC【解析】因?yàn)?，，所以是偶函?shù)，A正確；顯然是周期函數(shù)，因?yàn)椋訠錯(cuò)誤；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，C錯(cuò)誤；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，設(shè)，則，同理：當(dāng)時(shí)，，由B中解答知，是的周期，所以的最小值為1，D正確.故選：BC.變式54．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，下列敘述正確的有（

）A．的周期為2π； B．是偶函數(shù)；C．在區(qū)間上單調(diào)遞減； D．x1，x2∈R，【答案】BC【解析】是偶函數(shù)，不是周期函數(shù)，是偶函數(shù)，是周期函數(shù)，最小正周期為，故不是周期函數(shù)，A錯(cuò)誤，B正確；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，在次區(qū)間上單調(diào)遞減，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，C正確；當(dāng)時(shí)，，，，即，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC變式55．（多選題）（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）聲音是由于物體的振動(dòng)產(chǎn)生的能引起聽(tīng)覺(jué)的波，我們聽(tīng)到的聲音多為復(fù)合音．若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的一個(gè)周期為 B．的最小值為C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D．在區(qū)間上有3個(gè)零點(diǎn)【答案】ACD【解析】選項(xiàng)A：故的一個(gè)周期為，A正確.選項(xiàng)B：，當(dāng)，時(shí)，取得最小值，，當(dāng)，時(shí)即，時(shí)，取得最小值，所以?xún)蓚€(gè)函數(shù)不可能同時(shí)取得最小值，所以的最小值不是，故B錯(cuò)誤.選項(xiàng)C：，，所以，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，C正確，選項(xiàng)D：，得，或，得，或，，故區(qū)間中的根為，，，故D正確.故選：ACD變式56．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)．(1)若，求的值．(2)已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)存在，求的值．條件①：；條件②：；條件③：在區(qū)間上單調(diào)遞減．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【解析】（1）因?yàn)樗?，因?yàn)?，所?（2）因?yàn)?，所以，所以的最大值為，最小值?若選條件①：因?yàn)榈淖畲笾禐椋钚≈禐椋詿o(wú)解，故條件①不能使函數(shù)存在；若選條件②：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以,所以,,所以，又因?yàn)椋裕?，所以，因?yàn)?，所?所以，；若選條件③：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得最小值，即.以下與條件②相同．變式57．（2024·江西贛州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.

(1)求的解析式；(2)將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn).【解析】（1）由圖象可得，，則，即，∴，由圖象得，即，∴，，則，，又，∴，故；（2）將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函，∴，令，則或，解得，，或，，又，∴或，即函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)為0與.變式58．（2024·黑龍江齊齊哈爾·齊齊哈爾市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考三模）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，其中，，且．(1)求的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，求函數(shù)的表達(dá)式．【解析】（1）由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且，可知，故的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)為（2）由點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，有，又由，，可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，由函數(shù)的圖象和性質(zhì)，有，又，有，將上面兩式相加，有，有，又由，可得，則，又由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，有，可得，可得，故．變式59．（2024·安徽黃山·屯溪一中?？寄M預(yù)測(cè)），，，(1)若，求的值；(2)若函數(shù)的最小正周期為①求的值；②當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍【解析】（1）依題意，，當(dāng)時(shí)，，（2）①由（1）知，最小正周期，得，②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，的最大值為2，不等式恒成立，即恒成立，整理為，恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，，得，綜上可得，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，的最大值為0不等式恒成立，即恒成立，整理為，恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，，得，綜上可得，，綜上可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.變式60．（2024·安徽安慶·安慶一中?？寄M預(yù)測(cè)）某港口在一天之內(nèi)的水深變化曲線(xiàn)近似滿(mǎn)足函數(shù)，其中為水深（單位：米），為時(shí)間（單位：小時(shí)），該函數(shù)圖像如圖所示.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若一艘貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規(guī)定至少要有1.5米的安全間隙（船底與水底的距離），則該船一天之內(nèi)至多能在港口停留多久？【解析】（1）由圖知，，，，所以，將點(diǎn)代入得，結(jié)合解得，所以函數(shù)的解析式.（2）貨船需要的安全水深為米，所以當(dāng)時(shí)貨船可以停留在港口.由得，得，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以該船一天之內(nèi)至多能在港口停留小時(shí).變式61．（2024·遼寧錦州·渤海大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖像相鄰對(duì)稱(chēng)軸之間的距離是，______；①若將的圖像向右平移個(gè)單位，所得函數(shù)為奇函數(shù)．②若將的圖像向左平移個(gè)單位，所得函數(shù)為偶函數(shù)，在①，②兩個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在______并作答(1)若，求的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為，求的值．【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖像相鄰對(duì)稱(chēng)軸之間的距離是，所以，解得，所以，

選①：當(dāng)將的圖像向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，因?yàn)椋?，則則，因?yàn)?，所以，則，所以.選②：的圖像向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，即.因?yàn)?，所以，則則，因?yàn)椋?，則，所以.（2）因?yàn)楹瘮?shù)的零點(diǎn)為，所以，則，

所以，.變式62．（2024·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.

(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若方程在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由函數(shù)的圖象知：，則，所以，，因?yàn)?，所以，則，又因?yàn)?，則，所以；（2）由題意得：，令，則化為：，即在上有解，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)得：，所以.【解題方法總結(jié)】三角函數(shù)的性質(zhì)（如奇偶性、周期性、單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性）中，尤為重要的是對(duì)稱(chēng)性．因?yàn)閷?duì)稱(chēng)性奇偶性（若函數(shù)圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)為奇函數(shù)；若函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)為偶函數(shù)）；對(duì)稱(chēng)性周期性（相鄰的兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離是；相鄰的對(duì)稱(chēng)中心之間的距離為；相鄰的對(duì)稱(chēng)軸與對(duì)稱(chēng)中心之間的距離為）；對(duì)稱(chēng)性單調(diào)性（在相鄰的對(duì)稱(chēng)軸之間，函數(shù)單調(diào)，特殊的，若，函數(shù)在上單調(diào)，且，設(shè)，則深刻體現(xiàn)了三角函數(shù)的單調(diào)性與周期性、對(duì)稱(chēng)性之間的緊密聯(lián)系）題型八：根據(jù)條件確定解析式方向一：“知圖求式”，即已知三角形函數(shù)的部分圖像，求函數(shù)解析式．例22．（2024·甘肅金昌·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，設(shè)使成立的a的最小正值為m，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】使成立的a即為的對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)，∴a的最小正值為，由圖可知，，，∴，將點(diǎn)代入，得，∴，，，，∵，∴取，∴，∴，∴.故選：B.例23．（2024·四川南充·高三四川省南充市高坪中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)（為常數(shù)，）的部分圖像如圖所示，若將的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖像，則的解析式可以為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意得，所以，故，因?yàn)?，，所以，，?又因?yàn)椋獾?即.將的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù).故選：A例24．（2024·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，把的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到的函數(shù)圖象的解析式是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】由題中函數(shù)圖象可知：.最小正周期為，所以，，將點(diǎn)代入函數(shù)解析式中，得，所以，，即，.因?yàn)?，所以，故?把的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)圖象的解析式為，；再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)圖象的解析式為，.故選：D變式63．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由圖象可得，可得，，可得，由于函數(shù)在附近單調(diào)遞減，且，，由圖象可知，函數(shù)的最小正周期滿(mǎn)足，可得，，則，所以，解得，，所以，，因此．故選：D．變式64．（2024·北京通州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示，則的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由圖知：，則，故，則，由，則，所以，，又，故，綜上，，故選：C.變式65．（2024·寧夏·高三銀川一中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，，，的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為_(kāi)______________.【答案】【解析】由圖象得到的最大值為，所以將點(diǎn)、代入解析式，，因?yàn)?，，可得，所以故答案為：．變?6．（2024·江蘇南京·高三統(tǒng)考期中）設(shè)函數(shù)，（其中，）的部分圖象如圖，則函數(shù)的解析式為_(kāi)______.【答案】【解析】由過(guò)求的值，根據(jù)五點(diǎn)畫(huà)法坐標(biāo)求出，即可求出結(jié)論.過(guò)點(diǎn)，，或，函數(shù)在軸右側(cè)第一個(gè)最高點(diǎn)坐標(biāo)為若時(shí)，，若時(shí)，（舍去），.故答案為:.方向二：知性質(zhì)（如奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性、最值），求解函數(shù)解析式（即的值的確定）變式67．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的最小值為，則______；若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖象在軸上的截距為，則在上的值域?yàn)開(kāi)_____．【答案】【解析】易知的最大值和最小值分別為和，因?yàn)椋?、一個(gè)為的最大值點(diǎn)，一個(gè)為的最小值點(diǎn)，設(shè)函數(shù)的最小正周期為，則由的最小值為，得，所以，則，所以．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，令，則，可得，，所以，，所以，所以，所以，若，則，則，則.故在上的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋海唬兪?8．（2024·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）某函數(shù)滿(mǎn)足以下三個(gè)條件：①是偶函數(shù)；②；③的最大值為4．請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足上述條件的函數(shù)的解析式______．【答案】（答案不唯一）【解析】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，因?yàn)?，所以，即所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以4為的一個(gè)周期，又的最大值為4，所以滿(mǎn)足條件.故答案為：（答案不唯一）變式69．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，，且，寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足條件的函數(shù)的解析式：___________.【答案】（答案不唯一）【解析】∵，，且，∴，，∴，，令，，，，，令，，.故答案為：（答案不唯一）.變式70．（2024·河北·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且相鄰兩個(gè)零點(diǎn)的距離為.若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象，則函數(shù)的解析式為_(kāi)__________.【答案】【解析】的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)的距離為，的最小正周期，；又，，解得：，又，，，.故答案為：.變式71．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，滿(mǎn)足，，且在上有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，則此函數(shù)解析式為_(kāi)____________．【答案】【解析】因?yàn)?，令，則，即，所以是圖像的對(duì)稱(chēng)中心，又，令，則，即，所以是圖像的對(duì)稱(chēng)軸，所以，得，令，則，所以，因?yàn)樵谏嫌星抑挥?個(gè)零點(diǎn)，所以，又，即，所以，得，代入上式，得，又，所以，所以.故答案為：變式72．（2024·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)（，）滿(mǎn)足，其圖象與軸在原點(diǎn)右側(cè)的第一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為，則函數(shù)的解析式為_(kāi)_________.【答案】或【解析】因?yàn)闈M(mǎn)足，所以圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，因?yàn)閳D象與軸在原點(diǎn)右側(cè)的第一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，所以，所以即，所以，，解得：，，因?yàn)?，所以或所以?故答案為：或.變式73．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)(，)為偶函數(shù)，且函數(shù)的圖像的兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的最小距離為，則的解析式為_(kāi)_______.【答案】【解析】∵函數(shù)，∴，由題意得，∴，則.∵為偶函數(shù)，∴，∴，，又∵，故，即，∴.故答案為：變式74．（2024·上海虹口·統(tǒng)考一模）設(shè)函數(shù)（其中,）,若函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸與其對(duì)稱(chēng)中心的最小距離為,則______．【答案】【解析】解:由題知,因?yàn)閷?duì)稱(chēng)軸與對(duì)稱(chēng)中心的最小距離為,所以,即,所以,此時(shí),因?yàn)閷?duì)稱(chēng)軸為,故有:,即,因?yàn)?所以,故.故答案為:【解題方法總結(jié)】根據(jù)函數(shù)必關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，在三角函數(shù)中聯(lián)想到的模型，從圖象、對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)中心、最值點(diǎn)或單調(diào)性來(lái)求解．題型九：三角函數(shù)圖像變換例25．（2024·河南鄭州·高三鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，函數(shù)的圖像過(guò)兩點(diǎn)，為得到函數(shù)的圖像，應(yīng)將的圖像（

）A．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】D【解析】代入得即即對(duì)于A選項(xiàng)，,故A錯(cuò)誤對(duì)于B選項(xiàng)，故B錯(cuò)誤對(duì)于C選項(xiàng)，故C錯(cuò)誤對(duì)于D選項(xiàng)，，故D正確故選：D例26．（2024·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)的圖象，則的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，將函?shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)的圖象，由題意可得，可得，當(dāng)時(shí)，，故選：D.例27．（2024·河南洛陽(yáng)·高三新安縣第一高級(jí)中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）已知把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)的圖象，則的最小正值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題知，，且，，即，解得，當(dāng)時(shí)，取得最小正值，.故選：C.變式75．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】A【解析】由題意，由于函數(shù)，觀察發(fā)現(xiàn)可由函數(shù)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，故選：A.變式76．（2024·青海西寧·統(tǒng)考二模）為了得到函數(shù)圖象，只要將的圖象（

）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變【答案】A【解析】只要將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，即A正確；將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到的是函數(shù)的圖象，故B錯(cuò)誤；將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到的是函數(shù)的圖象，故C錯(cuò)誤；將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到的是函數(shù)的圖象，故D錯(cuò)誤；故選：A變式77．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】D【解析】因?yàn)?，故將已知轉(zhuǎn)化為要得到函數(shù)的圖象，又，所以將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到的圖象.故選：D變式78．（2024·陜西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象B．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象C．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象D．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象【答案】A【解析】由圖象可知，函數(shù)的最小正周期為，則，，，則，可得，，所以，，所以，，因此，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象.故選：A.變式79．（2024·安徽合肥·合肥一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知曲線(xiàn)，則下面結(jié)論正確的是（

）A．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)