滬教版八年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期第十七章 一元二次方程 測(cè)試 (有答案)

元二次方程

一.選擇題（共8小題）

1.下列方程中，是一元二次方程的有（）

①2d-」。；

②ax2+fcv+c=0；

③（x+2）（龍-3）=無(wú)2_3；

④2尤2--=0.

x

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.己知關(guān)于無(wú)的方程（租+1）尤2+2%-3=0是一元二次方程，則加的取值范圍是（）

A.m>—lB.m^OC.m,,—1D.mw—1

3.關(guān)于x的方程"2一》+1=。有實(shí)數(shù)根，則。的取值范圍是（）

A.CL.一_§LQW0B.CL.-C.CL...—4W0D.ci...—

4444

4.方程/=%的解為（）

A.x=lB.x=±1C.x=0或1D.x=0

5.已知關(guān)于x的方程爐-京+9=0可以配方成（尤Y=0的形式，則左的值為（）

A.3B.6C.-6D.±6

6.用配方法將代數(shù)式儲(chǔ)+4a-5變形，結(jié)果正確的是（）

A.(〃+2)2-1B.(〃+2>—5C.(a+2)2—9D.(a+2)2+4

7.已知三角形的三條邊為°,b,C,且滿足/-104+62-166+89=0,則這個(gè)三角形的

最大邊c的取值范圍是（）

A.c>8B.5<c<8C.3<c<13D.5<c<13

8.某電動(dòng)自行車(chē)廠四月份的產(chǎn)量為1000輛，由于市場(chǎng)需求量不斷增大，六月份的產(chǎn)量提高

到1210輛，則該廠五、六月份的月平均增長(zhǎng)率為（）

A.10%B.11%C.12.1%D.21%

二.填空題（共15小題）

9.已知機(jī)為一元二次方程尤2-3尤-2=0的一個(gè)根，則代數(shù)式-6機(jī)+2016的值為.

10.若關(guān)于x的一元二次方程Y+2辦+36=0的一個(gè)根為3,貝！］2a+b=.

11.若尤，y為實(shí)數(shù),（“+y）（Jx+y_5）=6,貝！Jx+y=.

12.已知（?？+/）（無(wú)2+/-5）=6,貝！|f+y2=.

13.方程（x+3）2=x+3的解是.

14.等腰三角形的兩邊恰為方程％2-7尤+10=0的根，則此等腰三角形的周長(zhǎng)為一.

15.在等腰三角形ABC中，BC=6,AB,AC的長(zhǎng)是關(guān)于的方程f_10x+m=0的兩根,

則機(jī)的值是.

16.已知x=l是一元二次方程（8-4附尤z+4x-加2=0的一個(gè)根，則機(jī)的值為.

17.關(guān)于x的方程履2+3彳+1=。有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)%的取值范圍是.

18.若關(guān)于尤的一元二次方程（4-1）/-尤-1=0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，則上的取值范圍

是.

19.若關(guān)于x的一元二次方程依2—4x+4=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則上的取值范圍是—.

20.參加一次同學(xué)聚會(huì),每?jī)扇硕嘉找淮问?所有人共握手45次,參加此次同學(xué)聚會(huì)共—人.

21.某學(xué)習(xí)小組全體同學(xué)都為本組其他人員送了一張新年賀卡，若全組共送賀卡156張，設(shè)

這個(gè)小組的同學(xué)共有x人，可列方程：—.

22.如圖，在工地一邊的靠墻處，用120米長(zhǎng)的鐵柵欄圍一個(gè)占地面積為2000平方米的長(zhǎng)

方形臨時(shí)倉(cāng)庫(kù)，并在其中一邊上留寬為3米的大門(mén)，設(shè)無(wú)門(mén)的那邊長(zhǎng)為x米.根據(jù)題意，可

建立關(guān)于x的方程是—.

23.如圖，用長(zhǎng)為20機(jī)的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長(zhǎng)度為11根），圍成中間隔有一

道籬笆的長(zhǎng)方形花圃，為了方便出入，在建造籬笆花圃時(shí)，在3c上用其他材料做了寬為加

的兩扇小門(mén).若花圃的面積剛好為40蘇，則此時(shí)花圃AB段的長(zhǎng)為—m.

三.解答題（共5小題）

24.按要求解下列萬(wàn)程：

（1）x2-10x+16=0（因式分解法）;

(2)2X2-3X-4=0(求根公式法).

25.解方程:

(1)3x2+6x-4=0(配方法)；

(2)5X2-4X-1=0(公式法).

26.已知關(guān)于了的一元二次方程如?_(3m-l)x+2m-1=0.

(1)求證：無(wú)論加為任意實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根.

(2)如果這個(gè)方程的根的判別式的值等于1,求方程的解.

27.先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問(wèn)題：

例題：若機(jī)2+2加〃+一6〃+9=0,求相和〃的值.

m2+2mn+2n2—6〃+9=0,

m2+2mn+n2—6n+9=0.

/.(m+ri)2+(〃-3)2=0.

/.m+H=0,〃-3=0.

/.m=—3,n=3.

問(wèn)題：

(1)已知爐+2y2-2孫+4y+4=0,求3兀一y的值.

(2)己知a,b,c是AABC的三邊長(zhǎng)，滿足片+6?=10。+86—41,且c是AABC中最長(zhǎng)

的邊，求c的取值范圍.

28.閱讀材料：數(shù)學(xué)課上，陳老師在求代數(shù)式d-2x+2的最小值時(shí)，利用公式

a2±lab+b2=(a±bf，對(duì)式子作如下變形：/一2尤+2=尤？-2尤+1+1=(無(wú)-1)?+1,

因?yàn)?x-l)2..0,

所以(X-I)?+1..1,

當(dāng)x=l時(shí)，(x-l)2+l=l,

因此(無(wú)-1)2+1有最小值1,即V-2X+2的最小值為1.

通過(guò)閱讀，解下列問(wèn)題：

(1)代數(shù)式尤2-4尤+5的最小值為；

(2)求代數(shù)式-Y+6X-7的最大值或最小值；

(3)試比較代數(shù)式3Y+2x與2/+3犬-1的大小，并說(shuō)明理由.

元二次方程

參考答案與試題解析

選擇題（共8小題）

1?【分析】一元二次方程必須滿足兩個(gè)條件：

（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；

（2）二次項(xiàng)系數(shù)不為0.

【解答】解：①2/-1=0符合一元二次方程的定義，故符合題意；

②ox?+fcv+c=0中，當(dāng)4=0時(shí)，它不是一元二次方程，故不符合題意；

③由（尤+2）（%-3）=尤2一3得到：一x—3=0,屬于一元一次方程，故不符合題意；

④2--工=0不是整式方程，故不符合題意.

尤

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題利用了一元二次方程的概念.只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方

程叫做一元二次方程，一般形式是班2+法+。=。（且。*0）.特別要注意的條件.這

是在做題過(guò)程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn).

2.【分析】根據(jù)一元二次方程定義可得%+1x0,再解可得答案.

【解答】解：由題意得：〃z+lwO,

解得：

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程定義，關(guān)鍵是掌握一元二次方程必須同時(shí)滿足4個(gè)條

件：①整式方程，即等號(hào)兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無(wú)未知數(shù)；

②只含有一個(gè)未知數(shù)；

③未知數(shù)的最高次數(shù)是2；

④二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0.

3.【分析】分為兩種情況：①當(dāng)。=0,②根據(jù)已知得出△..(),求出即可.

【解答】解：分為兩種情況：①當(dāng)a=0時(shí)，—x+l=0,

解得：x=l；

②當(dāng)owO時(shí)，關(guān)于x的方程如2_*+1=。有實(shí)數(shù)根，

△=(—1)~—4X6EX1=1—4a.0,

解得：a?—,

4

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式的應(yīng)用，能得出關(guān)于。的不等式是解此題的關(guān)鍵，

4.【分析】利用因式分解法解方程即可.

【解答】解：原方程變形為：f-x=0,

x(x—1)=0,

."=0或x=l.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元二次方程-因式分解法，利用此方法解方程時(shí)，首先將方程右邊

化為0,左邊化為積的形式，然后利用兩數(shù)相乘積為0,兩因式中至少有一個(gè)為。轉(zhuǎn)化為兩

個(gè)一元一次方程來(lái)求解.

5.【分析】將=0變形為爐-2WM:+療=0,根據(jù)尤②-豆+9=0可以配方成=0

的形式知加=9,據(jù)此求出機(jī)的值，從而得出答案.

【解答】解：(x-/n)2=0,

x2—2mx+nr=0,

f-履+9=0可以配方成(x-〃7)2=0的形式，

/.nV=9,

則m=±3,

.'.k—2m=±6,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程-配方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出機(jī)的值.

6?【分析】根據(jù)配方時(shí)，常數(shù)項(xiàng)等于一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，可對(duì)標(biāo)+4°-5變形為

〃+4a+4_9,然后配方即可得出答案.

【解答】解：片+4。-5

=a2+4。+4-9

=(a+2)2—9.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法在代數(shù)式變形中的應(yīng)用，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵.

7.【分析】先利用配方法對(duì)含。的式子和含有6的式子配方，再根據(jù)偶次方的非負(fù)性可得出

。和6的值，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得答案.

【解答】解：4-10。+/-166+89=0,

(a2-10a+25)+(/-166+64)=0,

3-5)2+(6-8)2=0,

(a-5)2..O,(b-8)2..O,

二.a—5=0,匕―8=0,

a=5,Z?=8.

三角形的三條邊為a,b,c,

:.b—a<c<b+a,

.-.3<c<13.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法在三角形的三邊關(guān)系中的應(yīng)用，熟練掌握配方法、偶次方的非負(fù)

性及三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

8.【分析】設(shè)該廠五、六月份的月平均增長(zhǎng)率為x,根據(jù)該廠四月份及六月份的產(chǎn)量，即可

得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)該廠五、六月份的月平均增長(zhǎng)率為尤，

依題意，得：1000(1+x)2=1210,

解得：%=0.1=10%,x,=-2.1(不合題意，舍去).

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的

關(guān)鍵.

二.填空題(共15小題)

9.【分析】利用一元二次方程的解的定義得到蘇-3機(jī)=2,再把2療-6”?+2016變形為

2(z7i2-3m)+2016,然后利用整體代入的方法計(jì)算.

【解答】解：機(jī)為一元二次方程r-3》-2=0的一個(gè)根.

m2—3m—2=0,

即ITT—3m—2,

2m2-6/77+2016=2(〃/-3加)+2016=2x2+2016=2020.

故答案為2020.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一

元二次方程的解.

10.【分析】把x=3代入原方程得9+6a+36=。，然后2。+6的值.

【解答】解：把x=3代入方程/+2以+3方=0,得9+6。+3/=0,

所以2a+b=—3.

故答案是：-3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一

元二次方程的解.

11?【分析】設(shè)677=z,則原方程變?yōu)閦(z-5)=6,解關(guān)于Z的方程求得Z的值，進(jìn)而即

可求得x+y的值.

【解答】解：設(shè)"7=z,則原方程變?yōu)閦(z-5)=6,

即Z2-5Z-6=0,

(z-6)(z+l)=0,

/.Z]=6,z2=—1

..z—6,BPsjx4-~y=6,

x+y=36.

故答案為36.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程、解根式方程和分解因式等知識(shí)點(diǎn)，能正確進(jìn)行換元是

解此題的關(guān)鍵.

12?【分析】設(shè)尤2+，把原方程轉(zhuǎn)化為含機(jī)的一元二次方程，先用因式分解法求解,

再確定V+y2的值.

【解答】解：設(shè)尤2+y2=〃z,原方程可變形為：m(m-5)=6,

即m2—5m—6=0.

:.(m—6)(m+1)=0,

解得叫=6,m2=-l.

m=x2+y2..O，

x1+y2=6.

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解法，掌握換元法和解一元二次方程的因式分解法是解

決本題的關(guān)鍵.

13.【分析】利用因式分解法求解即可.

【解答】解：(x+3>=x+3,

.?.(X+3)2-(X+3)=O,

則(x+3)(x+2)=0,

;.x+3=0或x+2=0,

解得xA=-3,x2=—2.

故答案為：王=—3,無(wú)2=-2.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一兀二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法:

直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解

題的關(guān)鍵.

14.【分析】先利用因式分解法中的十字相乘法求得方程的根，再利用三角形的三邊關(guān)系及

等腰三角形的性質(zhì)求得答案即可.

【解答】解：三一7尤+10=0,

/.(x—2)(%—5)=0,

(x—2)=0(x—5)=0，

..石=2,X]=5,

等腰三角形的兩邊恰為方程+10=0的根，且2+2<5,

.?.該三角形的三邊分別為2,5,5,

二.此等腰三角形的周長(zhǎng)為：2+5+5=12.

故答案為：12.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用因式分解法解一元二次方程在幾何圖形問(wèn)題中的應(yīng)用，熟練掌握一

元二次方程的解法和三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

15.【分析】當(dāng)48=47時(shí)，根據(jù)判別式的意義得到4=(-10)2-4〃1=0；當(dāng)AB=3C=6或

AC=3C=6,把x=6代入方程得36—60+m=0,然后分別解關(guān)于機(jī)的方程即可.

【解答】解：AABC為等腰三角形，

，AB=AC或AB=3C=6或AC=3C=6,

當(dāng)AB=AC時(shí)，△=(-10)2-4m=0,解得m=25,止匕時(shí)AB=AC=5,滿足條件；

當(dāng)AB=3C=6或AC=3C=6,把尤=6代入方程得36—60+m=0,解得根=24,解得%=6,

x2=4,即鉆、AC的長(zhǎng)為6、4,滿足條件；

綜上所述，加的值為25或24.

故答案為25或24.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0(。+0)的根與△=b2-4ac有

如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=()時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)

根；當(dāng)△<?時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根.也考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形三邊的關(guān)系.

16?【分析】首先把x=l代入一元二次方程(8-4㈤f+4x-療=0中得到關(guān)于，”的方程，

然后解關(guān)于加的方程即可求出結(jié)果.

【解答】解：x=l是一元二次方程(8-4〃。無(wú)2+4x-7〃2=0的一個(gè)根，

.,.8—4m+4—m2=0,

m~+4m—12=0,

/.(m+6)(m—2)=0,

解得根=-6或zn=2,

當(dāng)m=2時(shí)，8—4加=0不合題意,

:.m=-6.

故答案為：-6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的解的定義，本

題屬于基礎(chǔ)題型.

17.【分析】根據(jù)一元二次方程的根的判別式即可求出答案.

【解答】解：當(dāng)上wO時(shí)，△二鄉(xiāng)一七.0,

k,.一,

4

9

.,.鼠一且上w0,

4

當(dāng)上=0時(shí)，

此時(shí)方程為3兄+1=0,滿足題意，

故答案為：k?~.

4

【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是正確理解根的判別式，本題屬于基礎(chǔ)題型.

18.【分析】根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得到根的判別式的值大于。列出關(guān)于人的不

等式，求出不等式的解集即可得到人的范圍.

【解答】解：根據(jù)題意得：△=/—4〃。=1+4（左一1）=4左一3>0,且左一IwO,

3

解得：女〉一且上wl.

4

故答案為：女>3且左wi.

4

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了根的判別式，以及一元二次方程的定義，弄清題意是解本題的關(guān)鍵.

19.【分析】若一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則根的判別式△=〃—4〃c.O,建立關(guān)于左的不

等式，求出發(fā)的取值范圍.還要注意二次項(xiàng)系數(shù)不為0.

【解答】解：方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

根的判別式4=-4oc=16-16左.0,

即鼠1,且左一0.

故答案為：k”1,且ZwO.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程根的判別式的應(yīng)用.切記不要忽略一元二次方程二次項(xiàng)系

數(shù)不為零這一隱含條件.

20.【分析】根據(jù)“見(jiàn)面時(shí)每?jī)扇硕嘉樟艘淮问?，所有人共握?5次”，設(shè)有尤個(gè)同學(xué)參加

這次聚會(huì)，列出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可.

【解答】解：根據(jù)題意得：

史口=45,

2

解得：玉=—9(舍去)，^2=10,

答：這次同學(xué)聚會(huì)有10人，

故答案為：10.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，正確找到等量關(guān)系，列出一元二次方程是解題的

關(guān)鍵.

21?【分析】設(shè)這個(gè)小組的同學(xué)共有x人，則每人送(x-1)張賀卡，根據(jù)送出賀卡的總數(shù)=小

組人數(shù)x每人送出賀卡數(shù)，即可列出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解.

【解答】解：設(shè)這個(gè)小組的同學(xué)共有x人，則每人送(x-1)張賀卡，

根據(jù)題意得：x(x-l)=156,

故答案為：x(x-l)=156.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方

程是解題的關(guān)鍵.

22.【分析】等量關(guān)系為：xx（鐵柵欄長(zhǎng)+3-2x）=圍成矩形的面積，把相關(guān)數(shù)值代入即可.

【解答】解：設(shè)無(wú)門(mén)的那邊長(zhǎng)為x米，

則平行于墻的一面長(zhǎng)為120+3-2x=123-2x,

.-.工地面積為x（123-2x）=2000.

故答案為尤（123-2元）=2000.

【點(diǎn)評(píng)】考查列一元二次方程；得到平行于墻的一面長(zhǎng)是解決本題的易錯(cuò)點(diǎn).

23.【分析】設(shè)48=方米，則3c=（20-3x+2）米，根據(jù)圍成的花圃的面積剛好為40平方米，

即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出尤的值，再結(jié)合3c的長(zhǎng)度不超過(guò)11米，即

可確定無(wú)的值，此題得解.

【解答】解：設(shè)至=x米，則BC=（20-3x+2）米，

依題意，得：x（20-3尤+2）=40,

整理，得：3尤2—22x+40=0,

解得：石=1，x2=4.

當(dāng)彳=”時(shí)，20-3》+2=12>11,不合題意，舍去；

3

當(dāng)龍=4時(shí)，20—3x+2=10,符合題意.

故答案為：4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的

關(guān)鍵.

三.解答題（共5小題）

24.【分析】(1)十字相乘法因式分解，再求解即可;

(2)寫(xiě)出。、b、c的值，然后利用求根公式法求解.

【解答】解：(1)^-10%+16=0,

因式分解得，(x-2)(x-8)=0,

由止匕得，x—2=0,x—8=0,

所以，石=2,9=8;

(2)2/-3兀-4=0,

a=2,b=—3，c=—4，

「.△=/_4QC=(—3尸—4x2x(—4)=9+32=41,

-b土加-4ac3土歷3±^41

?X=--------------------=----------=-----------

2a2x24

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接開(kāi)平方法，配

方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)題目要求的方法求解.

25?【分析】(1)方程利用配方法求出解即可;

(2)方程利用公式法求出解即可.

【解答】解：(1)方程整理得：X2+2X=~,

3

77

配方得：/+2%+1=,，即(％+1)2=,，

33

開(kāi)方得：x+l=±^^~,

3

解得:看=一1+等,…卓

(2)a=59b—-4?c=—1,

△=/—4ac=16+20=36>0,

-b±A/Z?2-4ac4±4±6

解得:x=-------------

2aioio

解得：％=1,x2=.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元二次方程-公式法，以及配方法，熟練掌握各自的解法是解本題

的關(guān)鍵.

26.【分析】（1）先計(jì)算判別式的值得到△=蘇-2加+1,配方得△=（加-1）2,再根據(jù)非負(fù)

數(shù)的性質(zhì)得到△..0,然后根據(jù)判別式的意義即可得到結(jié)論.

（2）利用判別式的定義得到△=?機(jī)-1）2-4帆（力-1）=1,解加的方程，再利用一元二次

方程的定義確定根=2,即可求得一元二次方程為2爐一5%+3=0,因式分解法解方程即可

求得方程的解.

【解答】解：（1）關(guān)于x的一元二次方程如2_（3機(jī)-1）4+2加-1=0.

△二（3m-1）2—4m（2m-1）=（m-1）2..0,

無(wú)論加為任何實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)根.

（2）由題意得，△=?加一一4機(jī)（2加一1）=1,

解得叫=0，牝=2,

而mwO，

m=2，