專題24 相似三角形存在性問題-備戰(zhàn)2022年中考數(shù)學(xué)母題題源解密（原卷版）

專題24相似三角形存在性問題考向1相似三角形的存在性問題【母題來源】2021年中考黑龍江大慶卷【母題題文】如圖，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)E，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是對稱軸左側(cè)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在射線ED上，若以點(diǎn)P、Q、E為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3過點(diǎn)A（1，0），B（﹣3，0），∴a+解得a=∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）令x＝0，y＝3，∴OC＝OB＝3，即△OBC是等腰直角三角形，∵拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3，∴拋物線對稱軸為：x＝﹣1，∵EN∥y軸，∴△BEN∽△BCO，∴BNBO∴23∴EN＝2，①若△PQE∽△OBC，如圖所示，過點(diǎn)P作PH⊥ED垂足為H，∴∠PEH＝45°，∴∠PHE＝90°，∴∠HPE＝∠PEH＝45°，∴PH＝HE，∴設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)（x，﹣x﹣1+2），∴代入關(guān)系式得，﹣x﹣1+2＝﹣x2﹣2x+3，整理得，x2+x﹣2＝0，解得，x1＝﹣2，x2＝1（舍），∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣2，3），②若△PEQ∽△OCB，如圖所示，設(shè)P（x，2），代入關(guān)系式得，2＝﹣x2﹣2x+3，整理得，x2+2x﹣1＝0，解得，x1∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1?2綜上所述點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1?2【試題解析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得關(guān)系式（2）首先可得△OBC是等腰直角三角形，然后求出對稱軸和EN，分情況討論：①先得出PH＝HE，根據(jù)關(guān)系設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，然后代入二次函數(shù)關(guān)系式即可求出點(diǎn)P坐標(biāo)，②如圖所示，可知點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2，設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)代入關(guān)系式即可求出結(jié)果．【命題意圖】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；二次函數(shù)的應(yīng)用；三角形；符號(hào)意識(shí)；幾何直觀；運(yùn)算能力；應(yīng)用意識(shí)．【命題方向】二次函數(shù)綜合題，一般為壓軸題．【得分要點(diǎn)】探究兩個(gè)三角形相似時(shí)，一般情況下首先尋找一組對應(yīng)角相等，然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例分兩種情況列方程．掌握一些相似的基本模型有助于快速解決問題，相似三角形的基本模型有：1．“A”字形已知：在△ABC中．點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上．DE∥BC．結(jié)論：△ABC∽△ADE．2．反“A”字形（1）已知：在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，∠AED＝∠ABC．結(jié)論：△ABC∽△AED．（2）已知：在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，∠ACD＝∠ABC．結(jié)論：△ABC∽△ACD．3．“8”字形已知：在△ABC中，點(diǎn)D在CA的延長線上，點(diǎn)E在BA的延長線上，DE∥BC．結(jié)論：△ABC∽△AED．4．反“8”字形已知：在△ABC中，點(diǎn)D在CA的延長線上，點(diǎn)E在BA的延長線上，∠ADE＝∠ABC．結(jié)論：△ABC∽△ADE．5．雙垂直已知：△ABC中，∠BAC＝，AD為斜邊BC上的高．結(jié)論：△ABC∽△DBA，△ABC∽△DAC，△ABD∽△CAD．6．一線三等角（1）已知Rt△ABC和Rt△CED，B，C，E三點(diǎn)共線，．結(jié)論：△ABC∽△CED．（2）已知△ABC和△CDE，B，C，E三點(diǎn)共線，．結(jié)論：△ABC∽△CED．（3）已知△ABC和△CED，B，C，E三點(diǎn)共線，．結(jié)論：△ABC∽△CED．1．（2021?湖北荊州模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c交x軸于點(diǎn)A，B，其中點(diǎn)A（﹣1，0），交y軸于點(diǎn)C（0，2），對稱軸交x軸于點(diǎn)M（32（1）求拋物線的解析式；（2）作點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)M的對稱點(diǎn)D，順次連接A，C，B，D，判斷四邊形ACBD的形狀，并說明理由；（3）在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△BMP與△BAD相似？若存在，求出所有滿足條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．2.（2021?湖南張家界模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊），與y軸交于點(diǎn)C，已知A（1，0），拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，頂點(diǎn)為P．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)及拋物線的表達(dá)式；（2）對稱軸與線段BC的交點(diǎn)為Q，將線段PQ繞點(diǎn)Q，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°，請判斷旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)P′是否還在拋物線上，并說明理由；（3）在x軸上是否存在點(diǎn)M，使△MOC與△BCP相似？若不存在，請說明理由；若存在請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)（不必書寫求解過程）．3.（2021?山東濟(jì)寧二模）如圖1，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣2），頂點(diǎn)為D，對稱軸交x軸于點(diǎn)E．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)M為該拋物線上直線BC下方一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M，使四邊形CMBE面積最大？若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）連接CE（如圖2），設(shè)點(diǎn)P是位于對稱軸右側(cè)該拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸，垂足為Q．連接PE，請求出當(dāng)△PQE與△COE相似時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．3．（2021?陜西省寶雞模擬）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和B，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．（1）求此拋物線的解析式及點(diǎn)B的