2022年專升本高數(shù)知識點1-10章全

2022年專升本高數(shù)知識點匯總1-10章全第一章函數(shù)、極限和連續(xù)【考試要求】一、函數(shù)1．理解函數(shù)的概念：函數(shù)的定義，函數(shù)的表示法，分段函數(shù)．2．理解和掌握函數(shù)的簡單性質：有界性，單調性，奇偶性，周期性．3．了解反函數(shù)：反函數(shù)的定義，反函數(shù)的圖像．4．掌握函數(shù)的四則運算與復合運算．5．理解和掌握基本初等函數(shù)：冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，反三角函數(shù)．6．了解初等函數(shù)的概念．二、極限1．理解數(shù)列極限的概念：數(shù)列，數(shù)列極限的定義．2．了解數(shù)列極限的性質：唯一性，有界性，四則運算定理，夾逼定理，單調有界數(shù)列，極限存在定理，掌握極限的四則運算法則．3．理解函數(shù)極限的概念：函數(shù)在一點處極限的定義，左右極限及其與極限的關系，趨于無窮（，，）時函數(shù)的極限．4．掌握函數(shù)極限的定理：唯一性定理，夾逼定理，四則運算定理．5．理解無窮小量和無窮大量：無窮小量與無窮大量的定義，無窮小量與無窮大量的關系，無窮小量與無窮大量的性質，兩個無窮小量階的比較．6．熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法．7．熟練掌握分段函數(shù)求極限的方法．三、連續(xù)1．理解函數(shù)連續(xù)的概念：函數(shù)在一點連續(xù)的定義，左連續(xù)和右連續(xù)，函數(shù)在一點連續(xù)的充分必要條件，函數(shù)的間斷點及其分類．2．掌握函數(shù)在一點處連續(xù)的性質：連續(xù)函數(shù)的四則運算，復合函數(shù)的連續(xù)性，反函數(shù)的連續(xù)性，會求函數(shù)的間斷點及確定其類型．3．掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零點定理），會運用介值定理推證一些簡單命題．4．理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù)，并會利用連續(xù)性求極限．5．熟練掌握分段函數(shù)連續(xù)性的判定方法．【考試內容】一、函數(shù)（一）函數(shù)的概念1．函數(shù)的定義：設數(shù)集，則稱映射為定義在上的函數(shù)，通常簡記為，，其中稱為自變量，稱為因變量，稱為定義域．說明：表示函數(shù)的記號是可以任意選取的，除了常用的外，還可以用其他的英文字母或希臘字母，如“”、“”、“”等，相應的，函數(shù)可記作，，等．有時還直接用因變量的記號來表示函數(shù)，即把函數(shù)記作，這一點應特別注意．2．函數(shù)的解析（公式）表示法（1）函數(shù)的顯式表示法（顯函數(shù)）：形式的函數(shù)，即等號左端是因變量的符號，而右端是含有自變量的式子，如，等．（2）函數(shù)的隱式表示法（隱函數(shù)）：函數(shù)的對應法則由方程所確定，即如果方程確定了一個函數(shù)關系，則稱是由方程所確定的隱函數(shù)形式．說明：把一個隱函數(shù)化成顯函數(shù)，叫做隱函數(shù)的顯化．例如從方程解出，就把隱函數(shù)化成了顯函數(shù)．但并非所有的隱函數(shù)都能顯化，隱函數(shù)的顯化有時是非常困難的，甚至是不可能的．（3）分段函數(shù)：如果函數(shù)的對應法則是由幾個解析式表示的，則稱之為分段函數(shù)，如是由兩個解析式表示的定義域為的一個函數(shù)．（4）由參數(shù)方程確定的函數(shù)：如果自變量與因變量的關系是通過第三個變量聯(lián)系起來（為參變量），則稱這種函數(shù)關系為參數(shù)方程所確定的函數(shù)．例如：參數(shù)方程表示的圖形即為圓心在原點，半徑為的圓．（二）函數(shù)的幾種特性1．有界性設函數(shù)的定義域為，數(shù)集，如果存在正數(shù)，使得對任一都成立，則稱函數(shù)在上有界．如果這樣的不存在，就稱函數(shù)在上無界．說明：我們這里只討論有界無界的問題而不區(qū)分上界和下界，并且，由上述定義不難看出，如果正數(shù)是函數(shù)的一個界，則比大的數(shù)都是函數(shù)的界．2．單調性設函數(shù)的定義域為，區(qū)間．如果對于區(qū)間上任意兩點及，當時，恒有，則稱函數(shù)在區(qū)間上是單調增加的；如果對于區(qū)間上任意兩點及，當時，恒有，則稱函數(shù)在區(qū)間上是單調減少的．單調增加和單調減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調函數(shù)．3．奇偶性設函數(shù)的定義域關于原點對稱．如果對于任一，恒成立，則稱為偶函數(shù)．如果對于任一，恒成立，則稱為奇函數(shù)．例如：、都是偶函數(shù)，、是奇函數(shù)，而則為非奇非偶函數(shù)．偶函數(shù)的圖形關于軸對稱，而奇函數(shù)的圖形關于原點對稱．說明：兩個偶函數(shù)的和是偶函數(shù)，兩個奇函數(shù)的和是奇函數(shù)；兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)．其余結論讀者可自行論證．4．周期性設函數(shù)的定義域為．如果存在一個正數(shù)，使得對于任一有，且恒成立，則稱為周期函數(shù)，稱為的周期，通常我們說周期函數(shù)的周期是指最小正周期．例如：函數(shù)、都是以為周期的周期函數(shù)，函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)．（三）函數(shù)的運算1．和差積商運算設函數(shù)，的定義域依次為，，，則我們可以定義這兩個函數(shù)的下列運算：（1）和（差）：，；（2）積：，；（3）商：，．2．反函數(shù)（函數(shù)的逆運算）對于給定的是的函數(shù)，若將當作自變量而當作因變量，則由關系式所確定的函數(shù)稱為函數(shù)的反函數(shù)，記為，叫做直接函數(shù)．若直接函數(shù)的定義域為，值域為，則反函數(shù)的定義域為，值域為．且直接函數(shù)的圖像與反函數(shù)的圖像關于直線對稱．3．復合函數(shù)（函數(shù)的復合運算）設函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，且其值域，則由下式確定的函數(shù)，稱為由函數(shù)與函數(shù)構成的復合函數(shù)，它的定義域為，變量稱為中間變量．說明：與能構成復合函數(shù)的條件是函數(shù)的值域必須含在函數(shù)的定義域內，即，否則不能構成復合函數(shù)．此外，復合函數(shù)可以由多個函數(shù)復合而成．（四）基本初等函數(shù)與初等函數(shù)1．基本初等函數(shù)冪函數(shù)：（是常數(shù)）；指數(shù)函數(shù)：（且）；對數(shù)函數(shù)：（且，特別當時記為）；三角函數(shù)：，，，，，；反三角函數(shù)：，，，．以上五類函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)．說明：反三角函數(shù)是學習和復習的難點，因此這里重點給出三角函數(shù)和反三角函數(shù)的關系，這對于后邊學習極限、漸近線及導數(shù)等知識是非常有幫助的，請大家牢記．（1）反正弦函數(shù)：是由正弦函數(shù)在區(qū)間上的一段定義的反函數(shù)，故其定義域為，值域為．（2）反余弦函數(shù)：是由余弦函數(shù)在區(qū)間上的一段定義的反函數(shù)，故其定義域為，值域為．（3）反正切函數(shù)：是由正切函數(shù)在區(qū)間上的一段定義的反函數(shù)，故其定義域為，值域為．（4）反余切函數(shù)：是由余切函數(shù)在區(qū)間上的一段定義的反函數(shù)，故其定義域為，值域為．2．初等函數(shù)由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和有限次的函數(shù)復合步驟所構成并可用一個式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)．例如：，，，等都是初等函數(shù)．在本課程中所討論的函數(shù)絕大多數(shù)都是初等函數(shù)．二、極限（一）數(shù)列的極限1．數(shù)列極限的定義：設為一數(shù)列，如果存在常數(shù)，對于任意給定的正數(shù)（不論它多么?。?，總存在正整數(shù)，使得當時，不等式都成立，那么就稱常數(shù)是數(shù)列的極限，或者稱數(shù)列收斂于，記為或（）．如果不存在這樣的常數(shù)，就說數(shù)列沒有極限，或者說數(shù)列是發(fā)散的，習慣上也說不存在．說明：數(shù)列極限中自變量的趨向只有一種，即，雖然含義表示正無窮，但不要寫做，注意與函數(shù)極限的區(qū)別．2．收斂數(shù)列的性質性質（1）：（極限的唯一性）如果數(shù)列收斂，那么它的極限唯一．性質（2）：（收斂數(shù)列的有界性）如果數(shù)列收斂，那么數(shù)列一定有界．說明：對于數(shù)列，如果存在正數(shù)，使得對一切，都有，則稱數(shù)列是有界的，否則稱數(shù)列是無界的．性質（3）：（收斂數(shù)列的保號性）如果，且（或者），那么存在正整數(shù)，當時，都有（或）．（二）函數(shù)的極限1．函數(shù)極限的定義（1）時函數(shù)的極限：設函數(shù)在點的某個去心鄰域內有定義．如果存在常數(shù)，對于任意給定的正數(shù)（不論它多么?。偞嬖谡龜?shù)，使得當滿足不等式時，對應的函數(shù)值都滿足不等式，那么常數(shù)就叫做函數(shù)當時的極限，記作或（當）．說明：函數(shù)的左極限或；右極限或；左極限與右極限統(tǒng)稱單側極限．函數(shù)當時極限存在的充要條件是左右極限都存在并且相等，即．（2）時函數(shù)的極限：設函數(shù)當大于某一正數(shù)時有定義．如果存在常數(shù)，對于任意給定的正數(shù)（不論它多么?。偞嬖谡龜?shù)，使得當滿足不等式時，對應的函數(shù)值都滿足不等式，那么常數(shù)就叫做函數(shù)當時的極限，記作或（當）．說明：此定義包含和兩種情況．2．函數(shù)極限的性質（以為例）性質（1）：（函數(shù)極限的唯一性）如果存在，那么這極限唯一．性質（2）：（函數(shù)極限的局部有界性）如果，那么存在常數(shù)和，使得當時，有．性質（3）：（函數(shù)極限的局部保號性）如果，且（或），那么存在常數(shù)，使得當時，有（或）．（三）極限運算法則1．如果，，則有（1）；（2）；（3），其中；（4），其中為常數(shù)；（5），其中為正整數(shù)．2．設有數(shù)列和，如果，，則有（1）；（2）；（3），其中（）且．3．如果，而，，則．4．復合函數(shù)的極限運算法則：設函數(shù)是由函數(shù)與函數(shù)復合而成，在點的某去心鄰域內有定義，若，，且存在，當時，有，則．說明：本法則以為例，其他趨向下亦成立．（四）極限存在準則1．準則如果數(shù)列、及滿足下列條件：（1）從某項起，即，當時，有，（2），，那么數(shù)列的極限存在，且．準則如果函數(shù)、及滿足下列條件：（1）當（或）時，，（2），，那么存在，且等于．說明：準則及準則稱為夾逼準則．2．準則單調有界數(shù)列必有極限．準則單調有界函數(shù)必有極限．（函數(shù)有界一般是指在某個鄰域內有界）（五）兩個重要極限1．，可引申為，式中不管自變量是哪種趨向，只要在此趨向下即可（或時亦成立）．2．或，可引申為（或時亦成立）或（或時亦成立）．說明：數(shù)列亦有第二種極限形式，即．兩個重要極限是考試的必考內容，請大家務必好好掌握．（六）無窮小和無窮大1．定義（1）無窮小的定義：如果函數(shù)當（或）時的極限為零，那么稱函數(shù)為當（或）時的無窮小量（簡稱無窮?。貏e地，以零為極限的數(shù)列稱為時的無窮?。f明：以后我們再提到無窮小時，把數(shù)列當作特殊的函數(shù)來看待，故所謂的無窮小本質上就是函數(shù)，并且一定是在自變量的某一趨向下才有意義．（2）無窮大的定義：如果在自變量的某一變化過程中，函數(shù)的絕對值無限增大，則稱函數(shù)為自變量在此變化過程中的無窮大量（簡稱無窮大）．說明：在自變量的同一變化過程中，如果為無窮大，則為無窮小；反之，如果為無窮小且，則為無窮大．2．無窮小的比較設，均為自變量同一趨向下的無窮小，且，（1）如果，則稱是比高階的無窮小，記作；（2）如果，則稱是比低階的無窮小；（3）如果，則稱與是同階無窮??；（4）如果，則稱與是等價無窮小，記作；（5）如果，，則稱是關于的階無窮小．3．無窮小的性質（1）有限個無窮小的和是無窮?。?）常數(shù)與無窮小的乘積是無窮?。?）有限個無窮小的乘積是無窮?。?）有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮?。?）求兩個無窮小之比的極限時，分子及分母都可用等價無窮小來替換，即設，，，均為自變量同一趨向下的無窮小，且，，存在，則（表示自變量的任一趨向下的極限，以后文中出現(xiàn)此符號時均為此意，不再解釋）．說明：等價無窮小非常重要，故將常用的等價無窮小列舉如下，請大家務必牢記．時，可引申為時，；時，可引申為時，；時，可引申為時，；時，可引申為時，；時，可引申為時，；時，可引申為時，；時，可引申為時，．三、連續(xù)（一）連續(xù)的概念1．連續(xù)的定義連續(xù)性定義（1）：設函數(shù)在點的某一鄰域內有定義，如果，則稱函數(shù)在點連續(xù)（即自變量的變化量趨于零時函數(shù)值的變化量也趨于零）．連續(xù)性定義（2）：設函數(shù)在點的某一鄰域內有定義，如果，則稱函數(shù)在點連續(xù)．2．左連續(xù)、右連續(xù)及區(qū)間連續(xù)（1）左連續(xù)：存在且等于，即；（2）右連續(xù)：：存在且等于，即；（3）區(qū)間連續(xù)：若函數(shù)在區(qū)間每一點都連續(xù)，則稱為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)．如果區(qū)間包括端點，則函數(shù)在右端點連續(xù)是指左連續(xù)，在左端點連續(xù)是指右連續(xù)．說明：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內都是連續(xù)的．（二）函數(shù)的間斷點1．定義：設函數(shù)在點的某去心鄰域內有定義，如果函數(shù)有下列三種情形之一：（1）在處沒有定義；（2）雖在處有定義，但不存在；（3）雖在處有定義，且存在，但，則函數(shù)在點為不連續(xù)，而點稱為函數(shù)的不連續(xù)點或間斷點．2．分類：（1）第一類間斷點：如果是函數(shù)的間斷點，但左極限和右極限都存在，那么稱為函數(shù)的第一類間斷點．時稱為可去間斷點，時稱為跳躍間斷點．（2）第二類間斷點：不是第一類間斷點的任何間斷點，稱為第二類間斷點．常見的第二類間斷點有無窮間斷點和振蕩間斷點．（三）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質1．有界性與最值定理：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界且一定能取得它的最大值和最小值．2．零點定理：設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且與異號（即），那么在開區(qū)間內至少有一點，使得．3．介值定理：設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點取不同的函數(shù)值及，那么對于與之間的任意一個數(shù)，在開區(qū)間內至少有一點，使得（）．【典型例題】【例1-1】求復合函數(shù)．1．設，求．解：求就是用代替然后化簡，得．2．設，，求．解：當即時，，當即時，，故．【例1-2】求函數(shù)的定義域．1．．解：由可得，即；由可得，即，；由可得，即，故原函數(shù)的定義域為三部分的交集，即．2．．解：由可得，即；由即可得且；由可得，，故原函數(shù)的定義域為三部分的交集，即為．【例1-3】判斷函數(shù)的奇偶性．1．設和為任意函數(shù)，定義域均為，試判定下列函數(shù)的奇偶性．（1）解：由奇偶性的判定可知，與均為偶函數(shù)，故其和亦為偶函數(shù)．（2）解：由奇偶性的判定可知，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，故其和為非奇非偶函數(shù)．2．判定函數(shù)的奇偶性．解：因，故原函數(shù)為奇函數(shù)．【例1-4】計算下列極限．1．．解：當時，此題是無限個無窮小之和，不能直接求極限，先變形化簡再計算：．2．．解：因，并且，，故原極限值為．（夾逼準則）3．．解：．4．．解：．【例1-5】計算下列極限．1．．解：當時，為無窮小，雖沒有極限但卻是有界函數(shù)，故根據(jù)無窮小與有界函數(shù)的乘積仍為無窮小，可得．說明：本極限與意義是一樣的．2．．解：．說明：此題也可用洛必達法則（見第三章）求解，過程如下：．3．．解：因當時，，，故．說明：本題可以使用洛必達法則求解如下：．4．．解：（時，）．5．．解：．6．．解：．【例1-6】已知是多項式，且，，求．解：利用前一極限式可令，再利用后一極限式，得，則，，故．【例1-7】當時，比較下列無窮小的階．1．比．解：因，故與是同階無窮?。?．比．解：因，故是比高階的無窮小．3．比．解：因，故與是等價無窮小．4．比．解：因，故是比低階的無窮?。f明：本題中的四個題目均可用洛必達法則求解．【例1-8】討論下列分段函數(shù)在指定點處的連續(xù)性．1．在處的連續(xù)性．解：因，，，從而，故函數(shù)在處不連續(xù)．2．在處的連續(xù)性．解：因，，，從而，故函數(shù)在處連續(xù)．【例1-9】當常數(shù)為何值時，函數(shù)在處連續(xù)？解：因，，，故由連續(xù)性可得，，即，故．【例1-10】求下列函數(shù)的間斷點并判斷其類型．1．．解：所給函數(shù)在處無定義，故是間斷點．又，，故是的第二類間斷點．2．．解：所給函數(shù)在（）處無定義，故、（）是間斷點．又，故是第一類間斷點，且是可去間斷點；，故是第二類間斷點，且是無窮間斷點．3．．解：所給函數(shù)在處無定義，故是間斷點．又，，故是的第一類間斷點且是跳躍間斷點．4．．解：該題是分段函數(shù)的連續(xù)性問題，因時是初等函數(shù)，故在時是連續(xù)的，所以該題主要考慮分界點處的連續(xù)性．由，，可知是的第一類間斷點且是跳躍間斷點．【例1-11】證明方程在區(qū)間內至少有一個根．證：函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，又，，根據(jù)零點定理，在內至少有一點，使得，即（），該等式說明方程在區(qū)間內至少有一個根是．【例1-12】證明方程至少有一個小于的正根．證：由題意，函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，又，，根據(jù)零點定理，在內至少有一點，使得，即（），該等式說明方程在區(qū)間內至少有一個小于的正根．【歷年真題】一、選擇題1．（2010年，1分）函數(shù)的定義域是（）（A）（B）（C）（D）解：因，故，，所以，故選（D）．2．（2010年，1分）極限等于（）（A）（B）（C）（D）解：，故選（D）．3．（2009年，1分）極限（）（A）（B）（C）（D）不存在解：，故選（A）．4．（2009年，1分）若，則（）（A）（B）（C）（D）不存在解：因，，，故不存在，選（D）．5．（2009年，1分）是函數(shù)的（）（A）連續(xù)點（B）可去間斷點（C）跳躍間斷點（D）第二類間斷點解：因，故是函數(shù)的可去間斷點，選（B）．6．（2008年，3分）設，則等于（）（A）（B）不存在（C）（D）解：，故選（D）．7．（2008年，3分）當時，是的（）（A）高階無窮?。˙）同階無窮小，但不等價（C）低階無窮小（D）等價無窮小解：因，故選（B）．8．（2007年，3分）當時，是（）（A）比高階的無窮?。˙）比低階的無窮?。–）與同階的無窮?。―）與等價的無窮小解：因，故選（C）．9．（2006年，2分）設，，則（）（A）（B）（C）（D）解：當時，；當時，，故選（C）．10．（2005年，3分）設，則（）（A）（B）（C）（D）解：由，得，選（C）．11．（2005年，3分）設是無窮大，則的變化過程是（）（A）（B）（C）（D）解：時，，，；時，，，；故選（B）．二、填空題1．（2010年，2分）若函數(shù)在處連續(xù)，則．解：，，因在點處連續(xù)，故，即，．2．（2010年，2分）是函數(shù)的第類間斷點．解：因，故是函數(shù)的第一類間斷點．3．（2009年，2分）設，，則．解：因，故，所以．4．（2009年，2分）在處是第類間斷點．解：因時，，沒有極限，故是第二類間斷點．5．（2008年，4分）函數(shù)的定義域為．解：由題意，，故原函數(shù)的定義域為．6．（2008年，4分）設數(shù)列有界，且，則．解：數(shù)列可看作特殊的函數(shù)，因數(shù)列有界，數(shù)列為無窮小，所以根據(jù)無窮小與有界函數(shù)的乘積仍然是無窮小可得，．7．（2008年，4分）函數(shù)的反函數(shù)為．解：由可得，，，故反函數(shù)為．8．（2007年，4分）函數(shù)的定義域為．解：由得，，即，所以定義域為．9．（2007年，4分）．解：．10．（2006年，2分）若函數(shù)在處連續(xù)，則．解：，，因在處連續(xù)，故，即，故．三、計算題1．（2010年，5分）求極限，其中為常數(shù)．解：．2．（2010年，5分）求極限．解：．說明：此題也可多次使用洛必達法則，解法如下：．3．（2009年，5分）求極限．解：此題為“”型的極限，解法如下：．4．（2009年，5分）求極限．解：．5．（2008年，5分）求極限．解：．6．（2007年，5分）求極限．解：．說明：時，．7．（2006年，4分）求極限．解：．8．（2006年，4分）設，，求．解：因時，，，且，，故．9．（2005年，5分）求極限．解：．第二章導數(shù)與微分【考試要求】1．理解導數(shù)的概念及其幾何意義，了解可導性與連續(xù)性的關系，會用定義求函數(shù)在一點處的導數(shù)．2．會求曲線上一點處的切線方程與法線方程．3．熟練掌握導數(shù)的基本公式、四則運算法則以及復合函數(shù)的求導方法．4．掌握隱函數(shù)的求導法、對數(shù)求導法以及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導方法，會求分段函數(shù)的導數(shù)．5．理解高階導數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的階導數(shù)．6．理解函數(shù)的微分概念，掌握微分法則，了解可微與可導的關系，會求函數(shù)的一階微分．【考試內容】一、導數(shù)（一）導數(shù)的相關概念1．函數(shù)在一點處的導數(shù)的定義設函數(shù)在點的某個鄰域內有定義，當自變量在處取得增量（點仍在該鄰域內）時，相應的函數(shù)取得增量；如果與之比當時的極限存在，則稱函數(shù)在點處可導，并稱這個極限為函數(shù)在點處的導數(shù)，記為，即，也可記作，或．說明：導數(shù)的定義式可取不同的形式，常見的有和；式中的即自變量的增量．2．導函數(shù)上述定義是函數(shù)在一點處可導．如果函數(shù)在開區(qū)間內的每點處都可導，就稱函數(shù)在區(qū)間內可導．這時，對于任一，都對應著的一個確定的導數(shù)值，這樣就構成了一個新的函數(shù)，這個函數(shù)就叫做原來函數(shù)的導函數(shù)，記作，，或．顯然，函數(shù)在點處的導數(shù)就是導函數(shù)在點處的函數(shù)值，即．3．單側導數(shù)（即左右導數(shù)）根據(jù)函數(shù)在點處的導數(shù)的定義，導數(shù)是一個極限，而極限存在的充分必要條件是左右極限都存在并且相等，因此存在（即在點處可導）的充分必要條件是左右極限及都存在且相等．這兩個極限分別稱為函數(shù)在點處的左導數(shù)和右導數(shù)，記作和，即，．現(xiàn)在可以說，函數(shù)在點處可導的充分必要條件是左導數(shù)和右導數(shù)都存在并且相等．說明：如果函數(shù)在開區(qū)間內可導，且及都存在，就說在閉區(qū)間上可導．4．導數(shù)的幾何意義函數(shù)在點處的導數(shù)在幾何上表示曲線在點處的切線的斜率，即，其中是切線的傾角．如果在點處的導數(shù)為無窮大，這時曲線的割線以垂直于軸的直線為極限位置，即曲線在點處具有垂直于軸的切線．根據(jù)導數(shù)的幾何意義及直線的點斜式方程，可得曲線在點處的切線方程和法線方程分別為：切線方程：；法線方程：．5．函數(shù)可導性與連續(xù)性的關系如果函數(shù)在點處可導，則在點處必連續(xù)，但反之不一定成立，即函數(shù)在點處連續(xù)，它在該點不一定可導．（二）基本求導法則與導數(shù)公式1．常數(shù)和基本初等函數(shù)的導數(shù)公式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）．2．函數(shù)的和、差、積、商的求導法則設函數(shù)，都可導，則（1）；（2）（是常數(shù)）；（3）；（4）（）．3．復合函數(shù)的求導法則設，而且及都可導，則復合函數(shù)的導數(shù)為或．（三）高階導數(shù)1．定義一般的，函數(shù)的導數(shù)仍然是的函數(shù)．我們把的導數(shù)叫做函數(shù)的二階導數(shù)，記作或，即或．相應地，把的導數(shù)叫做函數(shù)的一階導數(shù)．類似地，二階導數(shù)的導數(shù)叫做三階導數(shù)，三階導數(shù)的導數(shù)叫做四階導數(shù)，，一般的，階導數(shù)的導數(shù)叫做階導數(shù)，分別記作，，，或，，，．函數(shù)具有階導數(shù)，也常說成函數(shù)為階可導．如果函數(shù)在點處具有階導數(shù)，那么在點的某一鄰域內必定具有一切低于階的導數(shù)．二階及二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù)．（四）隱函數(shù)的導數(shù)函數(shù)的對應法則由方程所確定，即如果方程確定了一個函數(shù)關系，則稱是由方程所確定的隱函數(shù)形式．隱函數(shù)的求導方法主要有以下兩種：1．方程兩邊對求導，求導時要把看作中間變量．例如：求由方程所確定的隱函數(shù)的導數(shù)．解：方程兩邊分別對求導，，得，從而．2．一元隱函數(shù)存在定理．例如：求由方程所確定的隱函數(shù)的導數(shù)．解：設，則．（五）由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)一般地，若參數(shù)方程確定是的函數(shù)，則稱此函數(shù)關系所表達的函數(shù)為由該參數(shù)方程所確定的函數(shù)，其導數(shù)為，上式也可寫成．其二階導函數(shù)公式為．（六）冪指函數(shù)的導數(shù)一般地，對于形如（，）的函數(shù)，通常稱為冪指函數(shù)．對于冪指函數(shù)的導數(shù)，通常有以下兩種方法：1．復合函數(shù)求導法將冪指函數(shù)利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質化為的形式，然后利用復合函數(shù)求導法進行求導，最后再把結果中的恢復為的形式．例如：求冪指函數(shù)的導數(shù)．解：因，故．2．對數(shù)求導法對原函數(shù)兩邊取自然對數(shù)，然后看成隱函數(shù)來求對的導數(shù)．例如：求冪指函數(shù)的導數(shù)．解：對冪指函數(shù)兩邊取對數(shù)，得，該式兩邊對求導，其中是的函數(shù)，得，故．二、函數(shù)的微分1．定義：可導函數(shù)在點處的微分為；可導函數(shù)在任意一點處的微分為．2．可導與可微的關系函數(shù)在點處可微的充分必要條件是在點處可導，即可微必可導，可導必可微．3．基本初等函數(shù)的微分公式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）．4．函數(shù)和、差、積、商的微分法則設函數(shù)，都可導，則（1）；（2）（是常數(shù)）；（3）；（4）（）．5．復合函數(shù)的微分法則設及都可導，則復合函數(shù)的微分為．由于，所以復合函數(shù)的微分公式也可寫成或．由此可見，無論是自變量還是中間變量，微分形式保持不變．這一性質稱為微分形式的不變性．該性質表明，當變換自變量時，微分形式并不改變．【典型例題】【例2-1】以下各題中均假定存在，指出表示什么．1．．解：根據(jù)導數(shù)的定義式，因時，，故，即．2．設，其中，且存在．解：因，且存在，故，即．3．．解：根據(jù)導數(shù)的定義式，因時，，故，即．【例2-2】分段函數(shù)在分界點處的導數(shù)問題．1．討論函數(shù)在處的可導性．解：根據(jù)導數(shù)的定義式，，，故在處的左導數(shù)，右導數(shù)不存在，所以在處不可導．2．討論函數(shù)在處的可導性．解：因，故函數(shù)在處可導．3．已知函數(shù)在處連續(xù)且可導，求常數(shù)和的值．解：由連續(xù)性，因，，，從而①再由可導性，，，而由①可得，代入，得，再由可得，代入①式得．【例2-3】已知，求．解：當時，，當時，，當時的導數(shù)需要用導數(shù)的定義來求．，，，故，從而．【例2-4】求下列函數(shù)的導數(shù)．1．．解：．2．．解：．3．．解：．4．．解：．【例2-5】求下列冪指函數(shù)的導數(shù)．1．（）．解：．說明：本題也可采用對數(shù)求導法，即：對冪指函數(shù)兩邊取對數(shù)，得，該式兩邊對求導，其中是的函數(shù)，得，故．2．（）．解：．說明：本題也可采用對數(shù)求導法，即：對冪指函數(shù)兩邊取對數(shù)，得，該式兩邊對求導，其中是的函數(shù)，得，故．【例2-6】用對數(shù)求導法求下列函數(shù)的導數(shù)．1．（）．解：等式兩邊取對數(shù)，得，兩邊對求導，注意是的函數(shù)，得，整理得，則．2．．解：等式兩邊取對數(shù)，得，即，也即，兩邊對求導，注意是的函數(shù)，得，故．【例2-7】求下列抽象函數(shù)的導數(shù)．1．已知函數(shù)可導，求函數(shù)的導數(shù)．解：．2．設函數(shù)和可導，且，試求函數(shù)的導數(shù)．解：．【例2-8】求由下列方程所確定的隱函數(shù)的導數(shù)．1．．解：方程兩邊分別對求導，得，整理得，故．說明：此題也可用隱函數(shù)存在定理來求解，即：設，則．2．．解：方程兩邊分別對求導，得，整理的，故．說明：此題也可用隱函數(shù)存在定理來求解，即：設，則．【例2-9】求由下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)．1．．解：．2．．解：．【例2-10】求下列函數(shù)的微分．1．．解：因，故．2．．解：因，故．3．．解：因，故．4．．解：因，故．【例2-11】求曲線在點處的切線方程和法線方程．解：，，故曲線在點處的切線方程為，即；法線方程為即．【例2-12】求曲線在點處的切線方程和法線方程．解：這是由隱函數(shù)所確定的曲線，按隱函數(shù)求導數(shù)，有，即；由導數(shù)的幾何意義，曲線在點處的斜率為，故曲線在點處的切線方程為，即；法線方程為，即．【例2-13】求橢圓在點處的切線方程和法線方程．解：將代入橢圓方程，得曲線上對應的點為，又，切線斜率為，故所求切線方程為，即；所求法線方程為，即．【歷年真題】一、選擇題1．（2010年，1分）已知，則等于（）（A） （B）（C）（D）解：根據(jù)導數(shù)的定義，，選（D）．2．（2010年，1分）曲線在點處的法線方程為（）（A）（B）（C）（D）解：根據(jù)導數(shù)的幾何意義，切線的斜率，故法線方程為，即，選（B）．3．（2010年，1分）設函數(shù)在點處不連續(xù)，則（）（A）存在（B）不存在（C）必存在（D）在點處可微解：根據(jù)“可導必連續(xù)”，則“不連續(xù)一定不可導”，選項（B）正確．4．（2009年，1分）若，則（）（A）（B）（C）（D）解：，選項（B）正確．5．（2008年，3分）函數(shù)，在點處（）（A）可導（B）間斷（C）連續(xù)不可導（D）連續(xù)可導解：由的圖象可知，在點處連續(xù)但不可導，選項（C）正確．說明：的連續(xù)性和可導性，也可根據(jù)連續(xù)和導數(shù)的定義推得．6．（2008年，3分）設在處可導，且，則不等于（）（A）（B）（C）（D）解：根據(jù)導數(shù)的定義，選項（C）符合題意．7．（2007年，3分）下列選項中可作為函數(shù)在點處的導數(shù)定義的選項是（）（A）（B）（C）（D）解：選項（A），選項（C），選項（D），故選（B）．8．（2007年，3分）若可導，且，則（）（A）（B）（C）（D）解：因，故選項（B）正確．9．（2006年，2分）設，為可導函數(shù)，則（）（A）（B）（C）（D）解：，選（B）．10．（2005年，3分）設，則（）（A）（B）（C）（D）解：當時，中除項外，其他全為零，故，選項（A）正確．11．（2005年，3分）設，則（）（A）（B）（C）（D）解：由可得，，，，，，對比可知，選項（C）正確．12．（2005年，3分）（）（A）（B）（C）（D）解：，選項（D）正確．二、填空題1．（2010年，2分）若曲線在點處的切線平行于直線，則．解：切線與直線平行，則切線的斜率與直線的斜率相等，故．2．（2010年，2分）設，則．解：．3．（2008年，4分）曲線在點的切線的斜率等于．解：由導數(shù)的幾何意義可知，切線斜率．4．（2008年，4分）由參數(shù)方程確定的．解：．5．（2006年，2分）曲線在點處的切線方程是．解：切線的斜率，故切線方程為，即．6．（2006年，2分）函數(shù)不可導點的個數(shù)是．解：，顯然，當時，可導；當時，，，故．故函數(shù)的不可導點的個數(shù)為．7．（2006年，2分）設，則．解：因，故．三、計算題1．（2010年，5分）設函數(shù)由方程所確定，求．解：方程兩邊對求導，考慮到是的函數(shù)，得，整理得，故．當時，代入原方程可得，所以．說明：當?shù)玫胶螅部芍苯訉?，代入，得，故?．（2010年，5分）求函數(shù)（）的導數(shù)．解：．3．（2009年，5分）設，求．解：因，故．4．（2006年，4分）設可導，且，求．解：．5．（2005年，5分）已知．（1）在處連續(xù)，求；（2）求．解：（1）因，故由在處連續(xù)可得，，即．（2）當時，；當時，．故．第三章微分中值定理與導數(shù)的應用【考試要求】1．掌握羅爾中值定理、拉格朗日中值定理并了解它們的幾何意義．2．熟練掌握洛必達法則求“”、“”、“”、“”、“”、“”和“”型未定式極限的方法．3．掌握利用導數(shù)判定函數(shù)的單調性及求函數(shù)的單調增、減區(qū)間的方法，會利用函數(shù)的增減性證明簡單的不等式．4．理解函數(shù)極值的概念，掌握求函數(shù)的極值和最值（最大值和最小值）的方法，并且會解簡單的應用問題．5．會判定曲線的凹凸性，會求曲線的拐點．6．會求曲線的水平漸近線與垂直漸近線．【考試內容】一、微分中值定理1．羅爾定理如果函數(shù)滿足下述的三個條件：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間內可導；（3）在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等，即，那么在內至少有一點（），使得．說明：通常稱導數(shù)等于零的點為函數(shù)的駐點（或穩(wěn)定點，臨界點），即若，則稱點為函數(shù)的駐點．2．拉格朗日中值定理如果函數(shù)滿足下述的兩個條件：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間內可導，那么在內至少有一點（），使得下式（拉格朗日中值公式）成立：．說明：當時，上式的左端為零，右端式不為零，則只能，這就說明羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情形．此外，由于拉格朗日中值定理在微分學中占有重要的地位，因此有時也稱這定理為微分中值定理．3．兩個重要推論（1）如果函數(shù)在區(qū)間上的導數(shù)恒為零，那么在區(qū)間上是一個常數(shù)．證：在區(qū)間上任取兩點、（假定，同樣可證），應用拉格朗日中值公式可得（）．由假定，，所以，即．因為、是上任意兩點，所以上式表明在區(qū)間上的函數(shù)值總是相等的，即在區(qū)間上是一個常數(shù)．（2）如果函數(shù)與在區(qū)間內的導數(shù)恒有，則這兩個函數(shù)在內至多相差一個常數(shù)，即（為常數(shù)）．證：設，則，根據(jù)上面的推論（1）可得，，即，故．二、洛必達法則1．時“”型未定式的洛必達法則如果函數(shù)及滿足下述的三個條件：（1）當時，函數(shù)及都趨于零；（2）在點的某個去心鄰域內及都存在且；（3）存在（或為無窮大），那么．說明：這就是說，當存在時，也存在且等于；當為無窮大時，也是無窮大．2．時“”型未定式的洛必達法則如果函數(shù)及滿足下述的三個條件：（1）當時，函數(shù)及都趨于零；（2）當時及都存在且；（3）存在（或為無窮大），那么．說明：我們指出，對于或時的未定式“”，也有相應的洛必達法則．3．使用洛必達法則求“”型或“”型極限時的注意事項（1）使用洛必達法則之前要先判斷所求極限是不是“”型或“”型，如果不是則不能使用洛必達法則．例如：就不能運用洛必達法則，直接代入求極限即可，故．（2）洛必達法則可多次連續(xù)使用，也就是說，如果使用一次洛必達法則后算式仍然是“”型或“”型，則可再次使用洛必達法則，依此類推．（3）洛必達法則是求“”型或“”型未定式極限的一種有效方法，但最好能與其他求極限的方法結合使用，例如能化簡時應盡可能先化簡，可以應用等價無窮小替代或重要極限時，應盡可能應用，這樣可以使運算簡便．例如：求時，可先用進行無窮小的等價替換，然后再用洛必達法則，故．（4）如果求極限的式子中含有非零因子，則可以對該非零因子單獨求極限（即可以先求出這部分的極限），然后再利用洛必達法則，以便簡化運算．例如：求時，，從第二步到第三步的過程中，分子上的因子和分母上的因子當時極限均為，故可先求出這兩部分的極限以便化簡運算．（5）當洛必達法則的條件不滿足時，所求極限不一定不存在，也即是說，當不存在時（等于無窮大的情況除外），仍可能存在．例如：極限，極限是不存在的，但是原極限是存在的，．4．其他類型的未定式除了“”型或“”型未定式之外，還有其他類型的未定式，如“”、“”、“”、“”及“”型等．對于“”和“”型的未定式，處理方法為將它們直接轉化成“”或“”型；對于“”、“”及“”型的未定式，處理方法為先取對數(shù)將它們轉化成“”型，然后再轉化成“”型或“”型未定式．三、函數(shù)單調性的判定法1．單調性判定法設函數(shù)在上連續(xù)，在內可導，（1）如果在內，那么函數(shù)在上單調增加；（2）如果在內，那么函數(shù)在上單調減少．說明：①如果把這個判定法中的閉區(qū)間改為其他各種區(qū)間（包括無窮區(qū)間），結論也成立；②若判定法中在內只有有限個點上，而在其余點上恒有（或），則函數(shù)在區(qū)間上仍然是單調增加（或單調減少）的．2．單調區(qū)間的求法設函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)，除去有限個導數(shù)不存在的點外導數(shù)存在且連續(xù)，則求函數(shù)的單調性的步驟如下：（1）求出函數(shù)的定義域；（2）求出函數(shù)的導數(shù)，并令求出函數(shù)的駐點；此外，再找出導數(shù)不存在的點（一般是使得分母為零的點）；（3）用函數(shù)的所有駐點和導數(shù)不存在的點來劃分函數(shù)的定義區(qū)間，然后用單調性判定定理逐個判定各個部分區(qū)間的單調性．3．用單調性證明不等式函數(shù)的單調性還可以用來證明不等式，步驟如下：（1）將不等式的一邊變?yōu)榱?，不等于零的一邊設為，根據(jù)要證明的式子找出不等式成立的的范圍；（2）求的導數(shù)，判斷在上述范圍內的符號（即正負）；（3）根據(jù)范圍的邊界值與的情況，導出所需要證明的不等式即可．例如：試證明當時，．證明：原不等式即為，故令，，則，在上連續(xù)，在內，因此在上單調增加，從而當時，，又由于，故，即，亦即．四、函數(shù)的凹凸性與拐點1．函數(shù)凹凸性的定義設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，如果對上任意兩點、，恒有，那么稱在上的圖形是（向上）凹的（或凹?。?；如果恒有，那么稱在上的圖形是（向上）凸的（或凸?。绻瘮?shù)在內具有二階導數(shù)，那么可以利用二階導數(shù)的符號來判定曲線的凹凸性，如下所示．2．函數(shù)凹凸性的判定法設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在內具有一階和二階導數(shù)，那么（1）若在內，則在上的圖形是凹的；（2）若在內，則在上的圖形是凸的．說明：若在內除有限個點上外，其它點上均有（或），則同樣可以判定曲線在上為凹曲線（或凸曲線）．3．曲線的拐點的求法一般地，設在區(qū)間上連續(xù)，是的內點（除端點外內的點）．如果曲線在經(jīng)過點時，曲線的凹凸性改變了，那么就稱點為這曲線的拐點．我們可以按照下述步驟求區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的拐點：（1）求；（2）令，解出這方程在區(qū)間內的實根，并求出在區(qū)間內不存在的點；（3）對于（2）中求出的每一個實根或二階導數(shù)不存在的點，檢查在左、右兩側鄰近的符號，當兩側的符號相反時，點是拐點，當兩側的符號相同時，點不是拐點．在上單3．基本初等函數(shù)的微分公式說明：若要求函數(shù)的凹凸區(qū)間，則用（2）中求出的每一個實根或二階導數(shù)不存在的點把區(qū)間分成若干部分區(qū)間，然后在這些部分區(qū)間上判定的符號，若，則該部分區(qū)間為凹區(qū)間，若，則該部分區(qū)間為凸區(qū)間．五、函數(shù)的極值與最值1．函數(shù)極值的定義設函數(shù)在點的某鄰域內有定義，如果對于去心鄰域內任一，有（或），那么就稱是函數(shù)的一個極大值（或極小值）．函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，使函數(shù)取得極值的點稱為極值點．說明：函數(shù)的極大值與極小值概念是局部性的，如果是函數(shù)的一個極大值，那只是就附近的一個局部范圍來說，是的一個最大值，如果就的整個定義域來說，不見得是最大值．關于極小值也類似．2．函數(shù)取得極值的必要條件設函數(shù)在處可導，且在處取得極值，那么．說明：這也就是說，可導函數(shù)的極值點必定是它的駐點．但反過來，函數(shù)的駐點卻不一定是極值點．例如，的導數(shù)，，因此是這函數(shù)的駐點，但卻不是這函數(shù)的極值點，所以，函數(shù)的駐點只是可能的極值點．此外，函數(shù)在它的導數(shù)不存在的點處也可能取得極值．例如，函數(shù)在點處不可導，但函數(shù)在該點取得極小值．3．判定極值的第一充分條件設函數(shù)在處連續(xù)，且在的某去心鄰域內可導．（1）若時，，而時，，則在處取得極大值；（2）若時，，而時，，則在處取得極小值；（3）若時，的符號保持不變，則在處沒有極值．4．用第一充分條件求極值點和極值的步驟設函數(shù)在所討論的區(qū)間內連續(xù)，除個別點外處處可導，則用第一充分條件求極值點和相應的極值的步驟如下：（1）求出導數(shù)；（2）求出的全部駐點與不可導點；（3）考查的符號在每個駐點或不可導點的左右鄰近的情形，以確定該點是否為極值點；如果是極值點，進一步確定是極大值點還是極小值點；（4）求出各極值點的函數(shù)值，就得函數(shù)的全部極值．5．判定極值的第二充分條件設函數(shù)在處具有二階導數(shù)且，，那么（1）當時，函數(shù)在處取得極大值；（2）當時，函數(shù)在處取得極小值．說明：該極值判定條件表明，如果函數(shù)在駐點處的二階導數(shù)，那么該駐點一定是極值點，并且可按二階導數(shù)的符號來判定是極大值還是極小值．但如果，則該判定條件失效．事實上，當，時，在處可能有極大值，可能有極小值，也可能沒有極值．例如，，，這三個函數(shù)在處就分別屬于上述三種情況．因此，如果函數(shù)在駐點處的二階導數(shù)為零，那么還得用一階導數(shù)在駐點左右鄰近的符號來判定．6．求在區(qū)間上的最值的步驟設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內除有限個點外可導，且至多有有限個駐點，則求在閉區(qū)間上的最值的步驟如下：（1）求出在內的駐點，，，及不可導點，，，；（2）計算（），（）及，；（3）比較（2）中諸值的大小，其中最大的便是在上的最大值，最小的便是在上的最小值．說明：在實際問題中，往往根據(jù)問題的性質就可以斷定可導函數(shù)確有最大值或最小值，而且一定在定義區(qū)間內部取得．這時如果在定義區(qū)間內部只有一個駐點，那么不必討論是不是極值，就可以斷定是最大值或最小值．六、函數(shù)的漸近線的求法1．水平漸近線若（包括或），則直線就是函數(shù)的水平漸近線．2．垂直漸近線（或稱鉛直漸近線）若（包括或），則直線就是函數(shù)的垂直（鉛直）漸近線．【典型例題】【例3-1】驗證羅爾定理對函數(shù)在區(qū)間上的正確性．解：顯然函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導，，且，故滿足羅爾定理的條件，由定理可得至少存在一點，使得，即，即為滿足條件的點．【例3-2】驗證拉格朗日中值定理對函數(shù)在區(qū)間上的正確性．解：顯然函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內可導，，根據(jù)拉格朗日中值定理可得至少存在一點，使得，即，可得，即為滿足條件的點．【例3-3】不求導數(shù)，判斷函數(shù)的導數(shù)有幾個零點，這些零點分別在什么范圍．解：顯然是連續(xù)可導的函數(shù)，且，故在區(qū)間，，上滿足羅爾定理的條件，所以在區(qū)間內至少存在一點，使得，即是的一個零點；在區(qū)間內至少存在一點，使得，即是的一個零點；又在區(qū)間內至少存在一點，使得，即也是的一個零點．又因為是三次多項式，最多只能有三個零點，故恰好有三個零點，分別在區(qū)間，和內．【例3-4】證明，其中．證明：設，，因為，所以，．又因為，即，故．說明：同理可證，，．【例3-5】求下列函數(shù)的極限．1．求．解：該極限為時的“”型未定式，由洛必達法則可得原式．2．求．解：本題為時的“”型未定式，由洛必達法則可得原式．3．求．解：該極限為時的“”型未定式，由洛必達法則可得原式．4．求．解：本題為時的“”型未定式，由洛必達法則可得原式．5．求．解：該極限為時的“”型未定式，結合等價無窮小的替換，運用洛必達法則可得原式．說明：此題也可這樣求解（運用公式和等價無窮小替換來簡化運算）：原式．6．求．解：該極限為時的“”型未定式，解決方法為先化為“”型，然后通分化為“”型，故原式．7．求．解：該極限為時的“”型未定式，解決方法為取對數(shù)化為“”型，進而化為“”型，故原式．8．求．解：原式，最后的極限不存在，不滿足洛必達法則的條件，實際上，原式．【例3-6】求下列函數(shù)的單調區(qū)間．1．．解：因，令，得，．用，將函數(shù)的定義域分成三個區(qū)間，，，其討論結果如下表所示：↗↘↗↘↗由上表可得，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為．2．．解：函數(shù)的定義域為，（），當時導數(shù)不存在．將函數(shù)定義域分成兩個區(qū)間和，討論結果如下表所示：↗↗↘所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為．【例3-7】利用函數(shù)的單調性證明不等式．1．試證當時，成立．證明：設，則，因在區(qū)間上連續(xù)，在內可導，且，故在區(qū)間上單調增加，又因為，所以當時，，即，也即成立．2．試證當時，．證明：令，則，因在區(qū)間上連續(xù)，在內可導且，故在區(qū)間上單調增加，又因為，所以當時，，即，也即成立．【例3-8】證明方程在區(qū)間內有且僅有一個實根．證明：令，因為在閉區(qū)間上連續(xù)，且，，根據(jù)零點定理，在區(qū)間內至少有一個零點．另一方面，對于任意實數(shù)，有，所以在內單調增加，因此曲線與軸至多有一個交點．綜上所述，方程在區(qū)間內有且僅有一個實根．【例3-9】求下列函數(shù)的極值．1．．解：函數(shù)的定義域為，且有，令，得駐點，，列表討論如下：極大值極大值↗↗↘極小值由上表可得，函數(shù)的極大值為，極小值為．2．．解：函數(shù)的定義域為，且有，令，得駐點，當時不存在，駐點以及不可導點將定義域分成三個區(qū)間，列表討論如下：極大值極大值不存在↗↗↘極小值由上表可得，函數(shù)的極大值為，極小值為．【例3-10】求函數(shù)在區(qū)間上的最值．解：因為，令，得，，計算，，，，比較上述結果可知，最大值為，最小值為．【例3-11】求下列曲線的凹凸區(qū)間和拐點．1．．解：函數(shù)的定義域為，且有，，令，得，，列表討論如下：對應拐點對應拐點凹凸凹由上表可得，曲線的凹區(qū)間為和，凸區(qū)間為，拐點為和．對應拐點對應拐點凹凸凹2．．解：函數(shù)的定義域為，當時有，，當時，和均不存在，但在區(qū)間內，，故曲線在上是凹的；在區(qū)間內，，故曲線在上是凸的．所以曲線的凹區(qū)間為，凸區(qū)間為，拐點為．【歷年真題】一、選擇題1．（2009年，1分）若函數(shù)滿足，則必為的（）（A）極大值點（B）極小值點（C）駐點（D）拐點解：若，則必為的駐點，選（C）．2．（2009年，1分）當時，曲線（）（A）沒有水平漸近線（B）僅有水平漸近線（C）僅有鉛直漸近線（D）既有水平漸近線，又有鉛直漸近線解：由可知，為曲線的水平漸近線；，故曲線無鉛直漸近線．選項（B）正確．3．（2008年，3分）函數(shù)在區(qū)間上滿足拉格朗日公式中的等于（）（A）（B）（C）（D）解：對函數(shù)在區(qū)間上應用拉格朗日中值定理，，即，故．選（D）．4．（2007年，3分）曲線上切線平行于軸的點為（）（A）（B）（C）（D）解：切線平行于軸的點即為一階導數(shù)等于零的點．由可得，；時，，時，，故曲線上切線平行于軸的點為和．選項（D）正確．5．（2007年，3分）若在區(qū)間內，導數(shù)，二階導數(shù)，則函數(shù)在該區(qū)間內（）（A）單調增加，曲線為凸的（B）單調增加，曲線為凹的（C）單調減少，曲線為凸的（D）單調減少，曲線為凹的解：可得單調增加，可得曲線為凸的，故選（A）．二、填空題1．（2010年，2分）函數(shù)的單調減區(qū)間是．解：令，得駐點和；當時，，當時，，當時，，故函數(shù)的單調遞減區(qū)間為．2．（2009年，2分）當時，是函數(shù)（填“單調遞增”、“單調遞減”）．解：當時，；當時，；故當時，是單調遞減函數(shù)．3．（2009年，2分）函數(shù)在區(qū)間上的最大值點是．解：令，得駐點和．比較函數(shù)值，，，可知，函數(shù)的最大值為，故函數(shù)的最大值點為．4．（2007年，4分）曲線在處的切線方程為．解：將代入?yún)?shù)方程可得切點為，切線斜率，故切線方程為，即．5．（2005年，3分）的凸區(qū)間是．解：，．令可得，，且當時，，當時，，故函數(shù)的凸區(qū)間是．6．（2005年，3分）曲線通過點的切線方程為．解：因，故切線斜率，所以切線方程為，即．三、應用題或綜合題1．（2010年，10分）現(xiàn)有邊長為厘米的正方形紙板，將其四角各剪去一個大小相同的小正方形，折做成無蓋紙箱，問剪區(qū)的小正方形邊長為多少時做成的無蓋紙箱容積最大？解：設剪區(qū)的小正方形邊長為，則紙盒的容積，．，令，可得（舍去）．因只有唯一的駐點，且原題中容積最大的無蓋紙箱一定存在，故當剪區(qū)的小正方形邊長為厘米時，做成的無蓋紙箱容積最大．2．（2010年，10分）設函數(shù)在上連續(xù)，并且對于上的任意所對應的函數(shù)值均為，證明：在上至少存在一點，使得．解：令，由于在上連續(xù)，故在上也連續(xù)．，．而對，，故，．若，即，，則；若，即，，則；當，時，，而在上連續(xù)，故根據(jù)零點定理可得，至少存在一點，使得，即，．綜上，在上至少存在一點，使得．3．（2009年，10分）某工廠需要圍建一個面積為的矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊需要砌新的墻壁．問堆料場的長和寬各為多少時，才能使砌墻所用的材料最??？解：設堆料場的寬為，則長為，設砌墻周長為，則，令，得，（舍去）．因只有一個駐點，且原題中最值一定存在，故當時，函數(shù)有最小值．即當寬為，長為時，才能使砌墻所用的材料最?。?．（2009年，10分）當，時，．解：原不等式即為．設，則（1）當時，，即成立；（2）當時，，故單調增加，可得，即成立；（3）當時，，故單調減少，可得，即成立．綜上，當，時，不等式成立，即．5．（2008年，8分）求函數(shù)的單調區(qū)間、極值、凹凸區(qū)間與拐點．解：函數(shù)的定義域為．先求單調區(qū)間和極值．令，得駐點，，用駐點將整個定義域分為三個區(qū)間，，．當時，，函數(shù)單調減少；當時，，函數(shù)單調增加；當時，，函數(shù)單調減少．故函數(shù)的單調增加區(qū)間為，單調減少區(qū)間為和；極小值，極大值．再求凹凸區(qū)間和拐點．令，得．當時，，函數(shù)為凹的；當時，，函數(shù)為凸的，且當時，，故函數(shù)的凹區(qū)間為，凸區(qū)間為，拐點為．6．（2007年，8分）求函數(shù)的單調區(qū)間、極值、凹凸區(qū)間和拐點．解：函數(shù)的定義域為．先求單調區(qū)間和極值．令，得駐點，，用駐點將整個定義域分為三個區(qū)間，，，．當時，，函數(shù)單調增加；當時，，函數(shù)單調減少；當時，，函數(shù)單調減少；當時，，函數(shù)單調增加．故函數(shù)的單調增加區(qū)間為和，單調減少區(qū)間為和；極大值，極小值．再求凹凸區(qū)間和拐點．因，故當時，，函數(shù)為凸的；當時，，函數(shù)為凹的，故函數(shù)的凸區(qū)間為，凹區(qū)間為．凹凸性改變的點為，不在定義域內，故函數(shù)沒有拐點．7．（2007年，8分）在周長為定值的所有扇形中，當扇形的半徑取何值時所得扇形的面積最大？解：設扇形的半徑為，則弧長為，設扇形的面積為，則由題意．令得，．唯一的極值點即為最大值點．故當扇形的半徑為時，扇形的面積最大．8．（2006年，10分）求函數(shù)的單調區(qū)間、極值及凹凸區(qū)間、拐點．解：函數(shù)的定義域為．先求單調區(qū)間和極值．令，得駐點，，用駐點將整個定義域分為三個區(qū)間，，．當時，，函數(shù)單調增加；當時，，函數(shù)單調減少；當時，，函數(shù)單調增加．故函數(shù)的單調增加區(qū)間為和，單調減少區(qū)間為；極大值，極小值．再求凹凸區(qū)間和拐點．令，得．當時，，函數(shù)為凸的；當時，，函數(shù)為凹的，且當時，，故函數(shù)的凸區(qū)間為，凹區(qū)間為，拐點為．9．（2006年，10分）設函數(shù)在上連續(xù)，且．證明方程在內有且僅有一個根．證明：先證存在性．設，．因在上連續(xù)，故在上也連續(xù)，且，，故由零點定理可得，至少存在一點使得，即在內方程至少存在一個根．再證唯一性，即證的單調性．，故單調增加，所以結合上面根的存在性可知，方程在內有且僅有一個根．10．（2005年，8分）已知與在處切線相同，寫出該切線方程并求．解：切線斜率，故切線方程為，即．因過點，故，且，故．第四章不定積分【考試要求】1．理解原函數(shù)與不定積分的概念及其關系，掌握不定積分的性質，了解原函數(shù)存在定理．2．熟練掌握不定積分的基本公式．3．熟練掌握不定積分的第一類換元法，掌握第二類換元法（限于三角代換與簡單的根式代換）．4．熟練掌握不定積分的分部積分法．【考試內容】一、原函數(shù)與不定積分的概念1．原函數(shù)的定義如果在區(qū)間上，可導函數(shù)的導函數(shù)為，即對任一，都有或，那么函數(shù)就稱為（或）在區(qū)間上的原函數(shù)．例如，因，故是的一個原函數(shù)．2．原函數(shù)存在定理如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，那么在區(qū)間上存在可導函數(shù)，使對任一都有．簡單地說就是，連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)．3．不定積分的定義在區(qū)間上，函數(shù)的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)稱為（或）在區(qū)間上的不定積分，記作．其中記號稱為積分號，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達式，稱為積分變量．如果是在區(qū)間上的一個原函數(shù)，那么就是的不定積分，即，因而不定積分可以表示的任意一個原函數(shù)．函數(shù)的原函數(shù)的圖形稱為的積分曲線．4．不定積分的性質（1）設函數(shù)及的原函數(shù)存在，則．（2）設函數(shù)的原函數(shù)存在，為非零常數(shù)，則．5．不定積分與導數(shù)的關系（1）由于是的原函數(shù)，故或．（2）由于是的原函數(shù)，故或．二、基本積分公式1．（是常數(shù)）2．（）3．4．5．6．7．8．9．10．11．12．13．*14．*15．*16．*17．*18．*19．*20．*21．*22．說明：帶“*”號的公式大家可以不記住，但必須會推導．三、第一類換元法（湊微分法）1．定理若，及都是連續(xù)函數(shù)，且，則．2．常用湊微分公式（1）（，均為常數(shù)且）（2）（，均為常數(shù)且），（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）四、第二類換元法定理：設連續(xù)，及都是連續(xù)函數(shù)，的反函數(shù)存在且可導，并且，則．說明：第二類換元法常見是三角代換，三角代換的目的是化掉根式，一般有如下情形：（1）當被積函數(shù)中含有，可令；（2）當被積函數(shù)中含有，可令；（3）當被積函數(shù)中含有，可令．五、分部積分法1．公式的推導設函數(shù)及具有連續(xù)導數(shù)，那么兩個函數(shù)乘積的導數(shù)公式為，移項，得，對這個等式兩邊求不定積分，得，為簡便起見，上述公式也寫為．2．注意事項（1）如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和正（余）弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積，就可以考慮用分部積分法，并設冪函數(shù)為，這樣用一次分部積分法就可以使冪函數(shù)的冪次降低一次（這里假定冪指數(shù)是正整數(shù)）．（2）如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就可以考慮用分部積分法，并設對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為（有時也可利用變量代換）．（3）根據(jù)范圍的邊界值與的情況，導出所需要證明的不等式即可．六、簡單有理函數(shù)的不定積分分子分母均為的多項式的分式函數(shù)稱為有理函數(shù)，簡單有理函數(shù)可通過適當變換如加項、減項等分解為可求不定積分的簡單函數(shù)．如果被積函數(shù)中含有簡單根式或，可以令這個簡單根式為，由于這樣的變換具有反函數(shù)，且反函數(shù)是的有理函數(shù)，因此原積分即可化為有理函數(shù)的積分．【典型例題】【例4-1】計算下列不定積分．1．．解：．2．．解：．3．．解：．4．．解：．5．．解：．6．．解：．7．．解：．8．．解：．9．．解：．10．．解：．11．．解：．12．．解：．13．．解：原式．14．．解：．【例4-2】計算下列不定積分．1．．解：．2．．解：．3．．解：．說明：此題也可用變量代換解，即令，則，，故原式．4．．解：．5．．解：．6．．解：．7．．解：原式，所以．8．．解：，故．說明：此題也可用變量代換法求解，即令，則，，則原式，故原式．【例4-3】計算下列不定積分．1．．解：被積函數(shù)的分母分解成，故可設，其中、為待定系數(shù)．上式兩端去分母后，得，即．比較此式兩端同次冪的系數(shù)，即有，，從而解得，，于是．2．．解：設，則，即，有解得于是．3．．解：為了去掉根號，可以設，于是，，故．4．．解：為了去掉根號，可以設，于是，，故．【例4-4】設，求．解：對等式兩邊對求導，可得，則，故．【例4-5】已知是的一個原函數(shù)，求．解：因為是的一個原函數(shù)，所以且，故根據(jù)不定積分的分部積分法可得．【歷年真題】一、選擇題1．（2009年，1分）下列等式中，正確的一個是（）（A）（B）（C）（D）解：選項（A）正確；，故選項（B）和選項（D）均不正確；，故選項（C）錯誤．故選（A）．2．（2007年，3分）設（），則（）（A）（B）（C）（D）解：令，因，故，變?yōu)?，該式兩邊對取不定積分得，，即．選（C）．3．（2006年，2分）若，則（）（A）（B）（C）（D）解：等式兩邊對求導得，，故．選項（C）正確．4．（2005年，3分）（）（A）（B）（C）（D）解：．選項（A）正確．二、填空題1．（2010年，2分）不定積分．解：根據(jù)不定積分與微分的關系可得，．2．（2009年，2分）設，則．解：由題意，，則，那么，于是．三、計算題1．（2010年，5分）求不定積分．解：．2．（2009年，5分）求不定積分．解：．3．（2006年，4分）若，求．解：等式兩邊對求導，可得，則，從而．4．（2005年，5分）求不定積分．解：令，則原式．四、應用題或綜合題1．（2008年，8分）設的一個原函數(shù)為，求．解：因是的一個原函數(shù)，故，，從而．說明：此題也可用分部積分解之，步驟如下．因，故．第五章定積分【考試要求】1．理解定積分的概念和幾何意義，了解可積的條件．2．掌握定積分的基本性質．3．理解變上限的定積分是變上限的函數(shù)，掌握變上限定積分求導數(shù)的方法．4．掌握牛頓——萊布尼茨公式．5．掌握定積分的換元積分法與分部積分法．6．理解無窮區(qū)間廣義積分的概念，掌握其計算方法．7．掌握直角坐標系下用定積分計算平面圖形的面積．【考試內容】一、定積分的相關概念1．定積分的定義設函數(shù)在上有界，在中任意插入若干個分點，把區(qū)間分成個小區(qū)間，，，，各個小區(qū)間的長度依次為，，，．在每個小區(qū)間上任取一點（），作函數(shù)值與小區(qū)間長度的乘積（），并作出和．記，如果不論對怎樣劃分，也不論在小區(qū)間上點怎樣選取，只要當時，和總趨于確定的極限，那么稱這個極限為函數(shù)在區(qū)間上的定積分（簡稱積分），記作，即，其中叫做被積函數(shù)，叫做被積表達式，叫做積分變量，叫做積分下限，叫做積分上限，叫做積分區(qū)間．說明：定積分的值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關，而與積分變量的記法無關，也就是說．2．定積分存在的充分條件（可積的條件）（1）設在區(qū)間上連續(xù)，則在上可積．（2）設在區(qū)間上有界，且只有有限個間斷點，則在區(qū)間上可積．說明：由以上兩個充分條件可知，函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則在上一定可積；若在上可積，則在區(qū)間上不一定連續(xù)，故函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)是在上可積的充分非必要條件．3．定積分的幾何意義在區(qū)間上函數(shù)時，定積分在幾何上表示由曲線、兩條直線、與軸所圍成的曲邊梯形的面積．在區(qū)間上時，由曲線、兩條直線、與軸所圍成的曲邊梯形位于軸的下方，定積分在幾何上表示上述曲邊梯形面積的負值．在區(qū)間上既取得正值又取得負值時，函數(shù)的圖形某些部分在軸的上方，而其他部分在軸的下方，此時定積分表示軸上方圖形的面積減去軸下方面積所得之差．二、定積分的性質下列各性質中積分上下限的大小，如不特別指明，均不加限制；并假定各性質中所列出的定積分都是存在的．性質1．當時，．性質2．當時，．性質3．．說明：該性質對于有限個函數(shù)都是成立的．性質4．（是常數(shù)）．性質5．．說明：該性質稱為定積分對于積分區(qū)間的可加性．性質6．如果在區(qū)間上，則．性質7．如果在區(qū)間上，則（）．推論（1）：如果在區(qū)間上，則（）．推論（2）：（）．性質8．（估值不等式）設及分別是函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值，則（）．性質9．（定積分中值定理）如果函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù)，則在上至少存在一點，使得下式成立：（）．說明：該公式稱為積分中值公式，稱為函數(shù)在區(qū)間上的平均值．三、積分上限函數(shù)及其導數(shù)1．積分上限函數(shù)的定義設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，并且設為上的一點，由于在區(qū)間上仍舊連續(xù)，因此定積分存在．這里，既表示定積分的上限，又表示積分變量．因為定積分與積分變量的記法無關，所以為了明確起見，可以把積分變量改用其他符號，例如用表示，則上面的定積分可以寫成．如果上限在區(qū)間上任意變動，則對于每一個取定的值，定積分有一個對應值，所以它在上定義了一個函數(shù)，記作：（），這個函數(shù)即為積分上限函數(shù)（或稱變上限定積分）．2．積分上限函數(shù)的導數(shù)定理1：如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則積分上限函數(shù)在上可導，并且它的導數(shù)（）．定理2：如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù)就是在上的一個原函數(shù)．說明：對于積分上限函數(shù)的復合函數(shù)，求導法則可按下述公式進行：．若積分下限為函數(shù)，即，求導法則可按下述公式進行：．若積分上限和下限均有函數(shù)，即，求導法則可按下述公式進行：．四、牛頓——萊布尼茨公式定理3：如果函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個原函數(shù)，則．這個定理表明，一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的定積分等于它的任一個原函數(shù)在區(qū)間上的增量，這就給定積分提供了一個有效而簡便的計算方法．通常把上述公式稱為微積分基本公式．五、定積分的換元法和分部積分法1．定積分的換元法設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，函數(shù)滿足條件：（1），；（2）在（或）上具有連續(xù)導數(shù)，且其值域，則有．說明：應用換元公式時有兩點值得注意：①用把原來變量代換成新變量時，積分限也要換成相應于新變量的積分限；②求出的一個原函數(shù)后，不必像計算不定積分那樣再要把變換成原來變量的函數(shù)，而只要把新變量的上下限分別代入中然后相減就行了．例如：計算（）解：設，則，當時，，當時，．于是．2．定積分的分部積分法依據(jù)不定積分的分部積分法，可得，簡記作或．這就是定積分的分部積分公式．3．定積分的兩個簡便公式（1）若在上連續(xù)且為奇函數(shù)，則；若在上連續(xù)且為偶函數(shù)，則．（2）設，則當為正偶數(shù)時，；當為大于的正奇數(shù)時，．六、無窮限的廣義積分1．函數(shù)在無窮區(qū)間上的反常積分設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，取，如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)在無窮區(qū)間上的反常積分，記作，即，這時也稱反常積分收斂；如果上述極限不存在，則函數(shù)在無窮區(qū)間上的反常積分就沒有意義，習慣上稱為反常積分發(fā)散，這時記號就不再表示數(shù)值了．2．函數(shù)在無窮區(qū)間上的反常積分設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，取，如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)在無窮區(qū)間上的反常積分，記作，即，這時也稱反常積分收斂；如果上述極限不存在，則稱反常積分發(fā)散．3．函數(shù)在無窮區(qū)間上的反常積分設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，如果反常積分和都收斂，則稱上述兩反常積分之和為函數(shù)在區(qū)間上的反常積分，記作，即，這時也稱反常積分收斂；否則就稱反常積分發(fā)散．4．無窮限廣義積分的計算方法設為在上的一個原函數(shù)，若存在，則反常積分；；．說明：當與有一個不存在時，反常積分發(fā)散．七、求平面圖形的面積1．型區(qū)域型區(qū)域是指：平面圖形是由上下兩條曲線、（）及直線、所圍成，面積計算公式為．2．型區(qū)域型區(qū)域是指：平面圖形是由左右兩條曲線、（）及直線、所圍成，面積計算公式為．【典型例題】【例5-1】計算下列定積分．1．．解：原式．2．．解：．3．．解：．4．．解：原式．5．．解：原式．6．．解：．7．（）．解：設，則，當時，；當時，．故．8．．解：設，則，，且當時，；當時，．故．【例5-2】計算下列定積分．1．．解：．2．．解：．3．．解：．4．．解：令，則，，且當時，；當時，．故．【例5-3】計算下列廣義積分．1．．解：．2．．解：．3．．解：．4．．解：．【例5-4】計算下列積分上限函數(shù)的導數(shù)．1．．解：．2．．解：．3．．解：．4．．解：．【例5-5】求下列極限．1．．解：應用洛必達法則，．2．．解：（時，）．3．．解：．4．．解：．【例5-6】設函數(shù)計算．解：設，則，且當時，；當時，．于是．【例5-7】計算定積分．解：．【例5-8】求下列平面圖形的面積．1．計算由兩條拋物線和所圍成的平面圖形的面積．解：此區(qū)域既可看成型區(qū)域，又可看作型區(qū)域．按型區(qū)域解法如下：兩曲線的交點為和，故面積．2．求由拋物線，直線及所圍成的平面圖形的面積．解：按型區(qū)域來做，先求出圖形邊界曲線的交點、及，故面積．3．計算由曲線和直線所圍成的平面圖形的面積．解：此區(qū)域既可看成型區(qū)域，又可看作型區(qū)域，但按型區(qū)域解較為簡便．先求兩曲線的交點，由可解得交點為和，故面積．【歷年真題】一、選擇題1．（2010年，1分）設，則等于（）（A）（B）（C）（D）解：，選項（C）正確．2．（2010年，1分）曲線與直線所圍成的圖形的面積為（）（A）（B）（C）