概率論下講解學(xué)習(xí)

我們將研究兩類隨機變量：如“取到次品的個數(shù)”，“收到的呼叫數(shù)”等.隨機變量離散型隨機變量連續(xù)型隨機變量例如，“電視機的壽命”，實際中常遇到的“測量誤差”等.這兩種類型的隨機變量因為都是隨機變量，自然有很多相同或相似之處；但因其取值方式不同，又有其各自的特點.離散型隨機變量的概率分布

從中任取3個球取到的白球數(shù)X是一個隨機變量.看一個例子:(1)X可能取的值是0,1,2;(2)取每個值的概率為:其中(k=1,2,…)滿足：

k=1,2,…（1）（2）定義2：設(shè)xk(k=1,2,…)是離散型隨機變量X所取的一切可能值，稱為離散型隨機變量X的分布律.用這兩條性質(zhì)判斷一個函數(shù)是否是分布律定義1：某些隨機變量X的所有可能取值是有限多個或可列無限多個,則這種隨機變量稱為離散型隨機變量.離散型隨機變量表示方法（1）公式法（2）列表法X如前例：某射手每次命中目標(biāo)的概率為0.8，若獨立射出３次，求３次命中目標(biāo)次數(shù)為k的概率，k=0,1,2,3。令X={三次中命中目標(biāo)的次數(shù)}，則題意要求P{X=k},k=0,1,2,3.這是三重伯努利試驗，因此這就是X的分布律.常見分布1、（0-1）分布：（也稱兩點分布）隨機變量X只可能取0與1兩個值，其分布律為：看一個試驗將一枚均勻骰子拋擲3次.X的分布律是：2.二項分布(伯努利分布)令X表示3次中出現(xiàn)“4”點的次數(shù)擲骰子：“擲出4點”，“未擲出4點”抽驗產(chǎn)品：“是正品”，“是次品”一般地，設(shè)在一次試驗E中我們只考慮兩個互逆的結(jié)果：A

或.這樣的試驗E稱為伯努利試驗.

將伯努利試驗E獨立地重復(fù)地進行n次,則稱這一串重復(fù)的獨立試驗為n重伯努利試驗.“重復(fù)”是指這n次試驗中P(A)=p保持不變.“獨立”是指各次試驗的結(jié)果互不影響.用X表示n重伯努利試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，在每次試驗中事件Ａ發(fā)生的概率為p(0<p<1)，則Ｘ的可能取值為0,1,2,…,n，且易證：（1）稱X服從參數(shù)為n和p的二項分布，亦稱伯努利分布,記作X~B(n,p)（2）例1已知100個產(chǎn)品中有5個次品，現(xiàn)從中無放回地取3次，每次任取1個，求在所取的3個中恰有2個次品的概率.請注意：本例中的“無放回”,那么各次試驗條件就不同了,此試驗就不是伯努利試驗.此時,只能用古典概型求解.例2按規(guī)定，某型號電子元件的使用壽命超過1500小時為一級品，已知某一大批產(chǎn)品的一級品率為0.2，現(xiàn)從中隨機抽查20只，問20只元件中恰有k(k=0,1,2,…,20)只為一級品的概率為多少？本題中，雖然不放回抽樣，但是由于樣本龐大，抽出的20可忽略不計，雖有誤差，但仍可看作獨立事件。檢查一個元件看作一次試驗，檢查20只相當(dāng)于20重伯努利試驗。伯努利試驗對試驗結(jié)果沒有等可能的要求，但有下述要求：（1）每次試驗條件相同；可以簡單地說，二項分布描述的是n重伯努利試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)X的分布律.（2）每次試驗只考慮兩個互逆結(jié)果A或，（3）各次試驗相互獨立.且P(A)=p，；注：通常，對于n,p固定，X~B(n,p),都會隨著X=k的增加，圖形先增加到最大值隨后減小。對于p固定，隨著n的增加，B(n,p)的圖形趨于對稱?？紤]比值當(dāng)k<(n+1)p時，pk-1<pk；當(dāng)k>(n+1)p時pk-1>pk

。記k0=(n+1)p

，則當(dāng)k<k0時，pk單調(diào)增加；當(dāng)k>k0時，pk單調(diào)減少,pk在k0達到最大值。當(dāng)(n+1)p為整數(shù)時，pk和pk-1都取得最大值，k0稱為最可能成功次數(shù)。3.泊松分布設(shè)隨機變量X的概率分布為：其中λ>0是常數(shù),則稱X服從參數(shù)為λ的泊松分布,記作X~π(λ).此分布常見于稠密性問題。性質(zhì)：（1）（2）泊松定理：設(shè)隨機變量Ｘｎ服從二項分布，又設(shè)λ>0是一常數(shù)，ｎ是任意正整數(shù)，若npn=λ，則對任一固定的非負(fù)整數(shù)k，有由于泊松定理中λ>0為常數(shù)，因此當(dāng)ｎ很大時，pn=λ/n必定很小，則當(dāng)n很大，ｐ很小時，二項分布有如下近似計算公式：通常在n≥20,p≤0.05時，用泊松分布近似替換二項分布效果較好。柏松分布的方便之處在于有現(xiàn)成的分布表，可免去復(fù)雜計算。例1為保證設(shè)備正常運行，需配置適量的維修工人，現(xiàn)有同類設(shè)備300臺，各臺工作互相獨立，發(fā)生故障概率為0.01，在通常情況下一臺設(shè)備的故障可由一人處理，問至少需要配置多少工人，才能保障當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障時但不能及時維修的概率小于0.01。解：設(shè)配置N人，記同一時刻發(fā)生故障的設(shè)備臺數(shù)為X，那么，X～B(300，0.01).所需解決的問題時確定最小的N，使得P{X≤N}≥0.99,①由泊松定理(=np=3)于是①式化為

即

查表得滿足上式的最小的N是8，因此，至少配置8個工人。例2

一家商店采用科學(xué)管理，由該商店過去的銷售記錄知道，某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)λ=5的泊松分布來描述，為了以95%以上的把握保證不脫銷，問商店在月底至少應(yīng)進某種商品多少件？解：設(shè)進這種商品N件，每月的銷售數(shù)為X件，那么，X～P(5).所需解決的問題時確定最小的N，使得P{X≤N}≥0.95,①由泊松定理(=5)于是①式化