0.1.5無(wú)窮大量與無(wú)窮小量

新編經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)（微分學(xué)積分學(xué)）第五版PAGEPAGE10.1.5無(wú)窮小量與無(wú)窮大量課題0.1.5無(wú)窮小量與無(wú)窮大量（2學(xué)時(shí)）時(shí)間年月日教學(xué)目的要求理解無(wú)窮小和無(wú)窮大的概念及相互關(guān)系。理解和掌握無(wú)窮小的性質(zhì)和無(wú)窮小的階。會(huì)比較兩個(gè)無(wú)窮小的大小。重點(diǎn)無(wú)窮小和無(wú)窮大的概念。難點(diǎn)會(huì)比較無(wú)窮小。教學(xué)方法手段對(duì)比講解主要內(nèi)容時(shí)間分配一、無(wú)窮小量20分鐘定理1二、無(wú)窮大量15分鐘三、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系10分鐘四、無(wú)窮小的性質(zhì)15分鐘五、無(wú)窮小的比較15分鐘六、等價(jià)無(wú)窮小15分鐘作業(yè)備注一、無(wú)窮小量如果（或）時(shí)，函數(shù)的極限為零，則稱(chēng)為（或）時(shí)的無(wú)窮小量，簡(jiǎn)稱(chēng)無(wú)窮小。注意：⑴無(wú)窮小是以零為極限的變量，不要把一個(gè)很小的數(shù)認(rèn)為是無(wú)窮小。⑵無(wú)窮小是與極限過(guò)程相聯(lián)系的。⑶當(dāng)，，，時(shí)可得到相應(yīng)的無(wú)窮小的定義。無(wú)窮小的定義對(duì)數(shù)列也適用。定理1的充分必要條件是其中，是一個(gè)無(wú)窮小量。證明：必要性設(shè)，則所以充分性設(shè)，則所以注：⑴定理1對(duì)，等其它情況都成立。⑵意義：①將一般極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊極限問(wèn)題（無(wú)窮?。诮o出函數(shù)在附近的近似表達(dá)式，誤差為。二、無(wú)窮大量如果（或）時(shí)，無(wú)限增大，則稱(chēng)為（或）時(shí)的無(wú)窮大量，簡(jiǎn)稱(chēng)無(wú)窮大。記作（或）注：⑴無(wú)窮大是變化的量，不要把一個(gè)很大的數(shù)認(rèn)為是無(wú)窮大。⑵無(wú)窮大是與極限過(guò)程相聯(lián)系的。⑶當(dāng)，，，時(shí)可得到相應(yīng)的無(wú)窮大的定義。無(wú)窮大的定義對(duì)數(shù)列也適用。⑷切勿將認(rèn)為極限存在，因?yàn)闃O限必須是常數(shù)，而不是數(shù)，只表示一種狀態(tài)。（5）無(wú)窮大是一種特殊的無(wú)界變量，但無(wú)界變量未必是無(wú)窮大。三、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系在自變量的同一過(guò)程中，無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小;恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大?！纠?】求解時(shí)分母的極限為0，分子的極限不為0，即所以四、無(wú)窮小的性質(zhì)1、有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小。2、有限個(gè)無(wú)窮小的乘積仍是無(wú)窮小。3、有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積仍是無(wú)窮小。4、常數(shù)與無(wú)窮小的乘積仍是無(wú)窮小。五、無(wú)窮小的比較設(shè)，是同一過(guò)程中的兩個(gè)無(wú)窮小，且，⑴，則稱(chēng)是比的高階無(wú)窮小，記作；⑵，則稱(chēng)是比的低階無(wú)窮??；⑶，則稱(chēng)是比的同階無(wú)窮小，特別地，如果，則稱(chēng)是比的等價(jià)無(wú)窮??；⑷，則稱(chēng)是比的階無(wú)窮小?！纠?】（1），即所以當(dāng)時(shí)，是比高階無(wú)窮??；（2），即所以當(dāng)時(shí)，是的等價(jià)無(wú)窮?。涣?、等價(jià)無(wú)窮小定理2設(shè)，，，是同一過(guò)程中的無(wú)窮小，且，，存在，則證明：幾個(gè)常用的等價(jià)無(wú)窮小：當(dāng)時(shí)有【例3】求下列極限：（1），（2）解（1）當(dāng)時(shí)，，（2）當(dāng)時(shí)，小結(jié)：（1）若未