2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)策略講座

學(xué)科本質(zhì)與核心素養(yǎng)立意下的高考與復(fù)習(xí)建議報(bào)告提綱2核心素養(yǎng)及學(xué)科價(jià)值與本質(zhì)立意下的高考與教學(xué)2024高考試題評(píng)析2024高考數(shù)學(xué)

試卷評(píng)析與復(fù)習(xí)策略3全國(guó)I卷命題細(xì)目表4題目題型知識(shí)板塊1單選題集合運(yùn)算2復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算3平面向量坐標(biāo)運(yùn)算4三角恒等變換5圓柱與圓錐的側(cè)面積與體積計(jì)算6含參分段函數(shù)的單調(diào)性7三角函數(shù)圖象變換8函數(shù)遞推9多選題正態(tài)分布10三次函數(shù)圖圖象與性質(zhì)11曲線與方程的探究（葉形線）12填空題雙曲線離心率13函數(shù)切線14概率計(jì)算15解答題解三角形16解析幾何（橢圓背景）17立體幾何（四棱錐）18導(dǎo)數(shù)（多參數(shù)）19數(shù)列創(chuàng)新題函數(shù)：6，8，10，13，18；三角：4，7，15解析幾何：11，12，16立體幾何：5，17統(tǒng)計(jì)與概率：9，14，19集合與邏輯：1，18復(fù)數(shù)與平面向量：2，3全國(guó)卷新氣象5走大道求大氣寬廣融通試題注重?cái)?shù)學(xué)學(xué)科價(jià)值與本質(zhì)體現(xiàn)全面、綜合、應(yīng)用：靈活地考察學(xué)科能力多想少算思維的靈活性6進(jìn)一步驗(yàn)證7全面認(rèn)識(shí)三次函數(shù)兩根式??

??

= ??

?

1

2

??

?4

，重根1（切于x軸），單根4??′

?? =3(???1)(???3)，對(duì)稱中心（2，-2），A正確因?yàn)??∈(0,1)時(shí)，??2

<??，結(jié)合圖象B錯(cuò)??∈(1,2)時(shí)，2???1∈(1,3)，結(jié)合圖象知C正確；當(dāng)??∈(?1,0)時(shí)，2???∈(2,3)，由偽極值點(diǎn)關(guān)系知D正確8熟練認(rèn)識(shí)三次函數(shù)??′

?? =

6??(??

?

??),??′′

?? =

12 ??

?

??2??

0

=1，??=0與??=??處取極值，??

0 =

1,??

?? =

1?

??3??對(duì)稱中心(??

,

??

)??

>

1??

<

0229三次函數(shù)圖象與性質(zhì)消參減元，作圖識(shí)圖能力11??

<

0??

=

0??

>

0??

=

2作圖中尋找突破口12三角函數(shù)圖象變換13圖象直觀與判斷BC14圖象直觀與判斷15曲線與方程16葉形線17試題具有探究性18列舉法：??=0時(shí)：1種，??=1時(shí)：11種共有24種組合，故概率為0.5甲1357乙24862684264828644268462846824862642864828462試題具有探究性19圖表20打破模式、套路、順序，引導(dǎo)全面掌握主干知識(shí)21（2）觀察得當(dāng)B為下頂點(diǎn)時(shí)符合題意，再因?yàn)锳P是定線段，故過(guò)下頂點(diǎn)且與AP平行的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)也符合正確空間直觀是立幾問(wèn)題基礎(chǔ)22立體幾何復(fù)習(xí)建議培養(yǎng)正確空間觀念多比劃、多演示呈現(xiàn)運(yùn)動(dòng)變化中的不變性在動(dòng)態(tài)幾何體中辨析空間元素位置與度量關(guān)系23函數(shù)圖象與性質(zhì)綜合探究24??

=

??????2?

????′

=21

?

(??

?

1)22???（2）由??

?? =

????

??

+?? ??

?

1 +

??(??

?

1)3+??知圖象關(guān)于(1,

??)對(duì)稱。破解方法：拆解-合成圖象25??

?? =

??????2?

???

?? =

??(??

?

1)3??

?? =

????2024高考數(shù)學(xué)I卷創(chuàng)新壓軸題26創(chuàng)新題：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)離散思維組合數(shù)學(xué)27設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列??1,

??2,

…

,

??4??+2是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)????和????(??

<

??)后剩余的4m項(xiàng)可被平均分為m組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列??1,

??2,

…

,

??4??+2是

??,

?? ?可分?jǐn)?shù)列．寫(xiě)出所有的

??,

??

，1

≤

??

<

??

≤

6，使數(shù)列??1,

??2,

…

,

??6是

??,

?? ?可分?jǐn)?shù)列；當(dāng)??

≥

3時(shí)，證明：數(shù)列??1,

??2,

…

,

??4??+2是

2,13 ?可分?jǐn)?shù)列；從1,2,

…

,

4??

+

2中一次任取兩個(gè)數(shù)??和??(??

<

??)，記數(shù)列??1,

??2,

…

,

??4??+2是

??,

?? ?可分?jǐn)?shù)列的概率為????，8證明：????

>1．(I)解析：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)理解題意28設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列??1,

??2,

…

,

??4??+2是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)????和????(??

<

??)后剩余的4m項(xiàng)可被平均分為m組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列??1,

??2,

…

,

??4??+2是

??,

?? ?可分?jǐn)?shù)列．寫(xiě)出所有的

??,

??

，1

≤

??

<

??

≤

6，使數(shù)列??1,

??2,

…

,

??6是

??,

?? ?可分?jǐn)?shù)列；當(dāng)??

≥

3時(shí)，證明：數(shù)列??1,

??2,

…

,

??4??+2是

2,13 ?可分?jǐn)?shù)列；從1,2,

…

,

4??

+

2中一次任取兩個(gè)數(shù)??和??(??

<

??)，記數(shù)列??1,

??2,

…

,

??4??+2是

??,

?? ?可分?jǐn)?shù)列的概率為????，8證明：????

>1．根據(jù)題意和實(shí)例，列表刪除兩項(xiàng)后，使剩余項(xiàng)成等差數(shù)列規(guī)律小結(jié)：刪一個(gè)單元4m+2項(xiàng)的前兩項(xiàng)，后兩項(xiàng)，首尾項(xiàng)(II)解析：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)指出剩余4項(xiàng)一組的等差數(shù)列29設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列??1,

??2,

…

,

??4??+2是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)????和????(??

<

??)后剩余的4m項(xiàng)可被平均分為m組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列??1,

??2,

…

,

??4??+2是

??,

?? ?可分?jǐn)?shù)列．寫(xiě)出所有的

??,

??

，1

≤

??

<

??

≤

6，使數(shù)列??1,

??2,

…

,

??6是

??,

?? ?可分?jǐn)?shù)列；當(dāng)??

≥

3時(shí)，證明：數(shù)列??1,

??2,

…

,

??4??+2是

2,13 ?可分?jǐn)?shù)列；從1,2,

…

,

4??

+

2中一次任取兩個(gè)數(shù)??和??(??

<

??)，記數(shù)列??1,

??2,

…

,

??4??+2是

??,

?? ?可分?jǐn)?shù)列的概率為????，8證明：????

>1．列出部分項(xiàng)，前14項(xiàng)分出來(lái)即可，后面可以按周期中4項(xiàng)即可(II)解析：給出另一種刪法30設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列??1,

??2,

…

,

??4??+2是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)????和????(??

<

??)后剩余的4m項(xiàng)可被平均分為m組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列??1,

??2,

…

,

??4??+2是

??,

?? ?可分?jǐn)?shù)列．寫(xiě)出所有的

??,

??

，1

≤

??

<

??

≤

6，使數(shù)列??1,

??2,

…

,

??6是

??,

?? ?可分?jǐn)?shù)列；當(dāng)??

≥

3時(shí)，證明：數(shù)列??1,

??2,

…

,

??4??+2是

2,13 ?可分?jǐn)?shù)列；從1,2,

…

,

4??

+

2中一次任取兩個(gè)數(shù)??和??(??

<

??)，記數(shù)列??1,

??2,

…

,

??4??+2是

??,

?? ?可分?jǐn)?shù)列的概率為????，8證明：????

>1．規(guī)律小結(jié)：可以考慮刪4m+2項(xiàng)中距首尾的第二項(xiàng)(I)推廣31設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列??1,

??2,

…

,

??4??+2是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)????和????(??

<

??)后剩余的4m項(xiàng)可被平均分為m組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列??1,

??2,

…

,

??4??+2是

??,

?? ?可分?jǐn)?shù)列．寫(xiě)出所有的

??,

??

，1

≤

??

<

??

≤

6，使數(shù)列??1,

??2,

…

,

??6是

??,

?? ?可分?jǐn)?shù)列；當(dāng)??

≥

3時(shí)，證明：數(shù)列??1,

??2,

…

,

??4??+2是

2,13 ?可分?jǐn)?shù)列；從1,2,

…

,

4??

+

2中一次任取兩個(gè)數(shù)??和??(??

<

??)，記數(shù)列??1,

??2,

…

,

??4??+2是

??,

?? ?可分?jǐn)?shù)列的概率為????，8證明：????

>1．規(guī)律小結(jié)：

4??

+

1,4??

+

2 ?

可分,

(0

≤

??

≤

??

≤

??

?

1)(II)推廣32設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列??1,

??2,

…

,

??4??+2是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)????和????(??

<

??)后剩余的4m項(xiàng)可被平均分為m組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列??1,

??2,

…

,

??4??+2是

??,

?? ?可分?jǐn)?shù)列．寫(xiě)出所有的

??,

??

，1

≤

??

<

??

≤

6，使數(shù)列??1,

??2,

…

,

??6是

??,

?? ?可分?jǐn)?shù)列；當(dāng)??

≥

3時(shí)，證明：數(shù)列??1,

??2,

…

,

??4??+2是

2,13 ?可分?jǐn)?shù)列；從1,2,

…

,

4??

+

2中一次任取兩個(gè)數(shù)??和??(??

<

??)，記數(shù)列??1,

??2,

…

,

??4??+2是

??,

?? ?可分?jǐn)?shù)列的概率為????，8證明：????

>1．規(guī)律小結(jié)：

2,9

, 2,13

符合規(guī)律小結(jié)：

2,5

不符合，不可以在同一個(gè)4m+2節(jié)內(nèi)規(guī)律小結(jié)：

4??

+

2,4??

+5 ?

可分,

(0

≤

??

<

??

≤

??

?

1)(III)解析：分兩類計(jì)數(shù)求概率；可以各類將具體分法寫(xiě)出來(lái)33設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列??1,

??2,

…

,

??4??+2是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)????和????(??

<

??)后剩余的4m項(xiàng)可被平均分為m組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列??1,

??2,

…

,

??4??+2是

??,

?? ?可分?jǐn)?shù)列．寫(xiě)出所有的

??,

??

，1

≤

??

<

??

≤

6，使數(shù)列??1,

??2,

…

,

??6是

??,

?? ?可分?jǐn)?shù)列；當(dāng)??

≥

3時(shí)，證明：數(shù)列??1,

??2,

…

,

??4??+2是

2,13 ?可分?jǐn)?shù)列；從1,2,

…

,

4??

+

2中一次任取兩個(gè)數(shù)??和??(??

<

??)，記數(shù)列??1,

??2,

…

,

??4??+2是

??,

?? ?可分?jǐn)?shù)列的概率為????，8證明：????

>1．(III)數(shù)學(xué)歸納法34設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列??1,

??2,

…

,

??4??+2是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)????和????(??

<

??)后剩余的4m項(xiàng)可被平均分為m組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列??1,

??2,

…

,

??4??+2是

??,

?? ?可分?jǐn)?shù)列．寫(xiě)出所有的

??,

??

，1

≤

??

<

??

≤

6，使數(shù)列??1,

??2,

…

,

??6是

??,

?? ?可分?jǐn)?shù)列；當(dāng)??

≥

3時(shí)，證明：數(shù)列??1,

??2,

…

,

??4??+2是

2,13 ?可分?jǐn)?shù)列；從1,2,

…

,

4??

+

2中一次任取兩個(gè)數(shù)??和??(??

<

??)，記數(shù)列??1,

??2,

…

,

??4??+2是

??,

?? ?可分?jǐn)?shù)列的概率為????，8證明：????

>1．當(dāng)??=1時(shí)，??,??(??<??)：(1,2);(1,6);(5,6)；共3種，??1

≥6??23

=

1

>

15

8當(dāng)??=2時(shí)，??,??(??<??)：(1,2);(1,6);(5,6);(1,10);(9,10);(5,10);(2,9)；共7種，??2

≥10??27

=

7

>

125

82假設(shè)??

=

??時(shí)，

??,

??

(??

<

??)共?? +

??

+

1種，??

≥2??

+??+14??+2??

??2=

>??2+??+1

??2+??+1

=

18??2+6??+1

8??2+8??+8

8當(dāng)??

=

??

+

1時(shí)，考慮后四項(xiàng)與前面各項(xiàng)相比新增加的

??,

?? ?可分的情形有：第一類：(1,4(k+1)+2);(5,4(k+1)+2);…;(4k+1,4(k+1)+2)；共??+1個(gè)；第二類：(2,4(k+1)+1);(6,4(k+1)+1);…;(4(k-1)+2,4(k+1)+1)；共??個(gè)；第三類：(4(k+1)+1,4(k+1)+2)；共1個(gè)；（可并入第二類）共計(jì)

??2

+

??

+

1 +

??

+ ??

+

2 +

1

=

(??

+

1)2+

??

+

1 +

1個(gè)。即????+14??+6??2>≥

(??+1)2+

??+1

+1

=

(??+1)2+

??+1

+1 (??+1)2+

??+1

+1

=

18(??+1)2+6(??+1)+1

8(??+1)2+8(??+1)+8

8壓軸創(chuàng)新題特色及備考策略考數(shù)學(xué)思維能力比數(shù)學(xué)知識(shí)更突出離散思維、組合思維、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、探究精神符號(hào)語(yǔ)言、數(shù)學(xué)抽象能力、三會(huì)目標(biāo)35一些基礎(chǔ)知識(shí)、基本原理與方法數(shù)列、集合、組合背景36抽屜原理、最小數(shù)原理、夾逼原理簡(jiǎn)單數(shù)論與組合知識(shí)等歸納法、反證法、無(wú)窮遞降法、算兩次、構(gòu)造等幾點(diǎn)備考與教學(xué)建議37多想少算型試題的訓(xùn)練符號(hào)語(yǔ)言閱讀理解表達(dá)基本原理的了解與應(yīng)用基本方法的補(bǔ)充與使用無(wú)須全體學(xué)生學(xué)習(xí)競(jìng)賽價(jià)值引領(lǐng)與素養(yǎng)立意的課程標(biāo)準(zhǔn)與高考38高考內(nèi)容改革的歷史沿革39知識(shí)立意恢復(fù)高考伊始能力立意20世紀(jì)90年代開(kāi)始綜合立意價(jià)值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向能力為重、知識(shí)為基價(jià)值與素養(yǎng)立意下新結(jié)構(gòu)試卷特點(diǎn)40拋棄知識(shí)點(diǎn)拼湊的命題方式概念本質(zhì)的全面與深度理解多想少算具備數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)情境與價(jià)值本質(zhì)將難以兼顧中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系：一核、四層、四翼41核心功能考查目標(biāo)考查要求考什么怎么考學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)與核心價(jià)值觀念的教學(xué)挑戰(zhàn)學(xué)科素養(yǎng)與核心價(jià)值觀念42能不能教出來(lái)？怎樣教出來(lái)？能力立意與素養(yǎng)立意考試大綱能力要求43空間想象能力抽象概括能力推理論證能力運(yùn)算求解能力數(shù)據(jù)處理能力應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)數(shù)學(xué)抽象邏輯推理數(shù)學(xué)建模直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)據(jù)分析課程標(biāo)準(zhǔn)核心素養(yǎng)VS能力立意與素養(yǎng)立意考試大綱能力要求44空間想象能力抽象概括能力推理論證能力運(yùn)算求解能力數(shù)據(jù)處理能力應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)數(shù)學(xué)抽象邏輯推理數(shù)學(xué)建模直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)據(jù)分析課程標(biāo)準(zhǔn)核心素養(yǎng)VS素養(yǎng)立意下的高考復(fù)習(xí)與教學(xué)題型歸納已是無(wú)類可歸的狀態(tài)命題指向?qū)W科本質(zhì)與核心素養(yǎng)關(guān)注學(xué)科本質(zhì)解析非題型教學(xué)重視數(shù)學(xué)思維體驗(yàn)非死記硬背45以不變應(yīng)萬(wàn)變46一體四翼立德樹(shù)人主干內(nèi)容重點(diǎn)考查突顯學(xué)科價(jià)值觀念導(dǎo)向核心素養(yǎng)培養(yǎng)題序變化不押不猜梳理問(wèn)題全面?zhèn)淇家圆蛔儜?yīng)萬(wàn)變47一體四翼立德樹(shù)人主干內(nèi)容重點(diǎn)考查突顯學(xué)科價(jià)值觀念導(dǎo)向核心素養(yǎng)培養(yǎng)題序變化不押不猜梳理問(wèn)題全面?zhèn)淇疾坏暨M(jìn)難題、偏題、怪題陷進(jìn)48題海戰(zhàn)術(shù)就是大海撈針?biāo)枷敕椒芰λ仞B(yǎng)根本好題面向數(shù)學(xué)概念本質(zhì)能力與素養(yǎng)要求49全面系統(tǒng)的知識(shí)方法體系敏捷的數(shù)學(xué)邏輯思維能力探索未知問(wèn)題能力與習(xí)慣組合思維與離散數(shù)學(xué)思維死記硬背與題海戰(zhàn)術(shù)培養(yǎng)不出來(lái)?yè)芗鈩?chuàng)新人才50如何看待二級(jí)結(jié)論？把握高考復(fù)習(xí)方向與方法51始終站在學(xué)科本質(zhì)理解與核心素養(yǎng)培養(yǎng)的立場(chǎng)教學(xué)、復(fù)習(xí)高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)目標(biāo)體系基礎(chǔ)知識(shí)基本技能基本經(jīng)驗(yàn)基本思想方法分析和解決問(wèn)題的能力發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力數(shù)據(jù)分析數(shù)學(xué)運(yùn)算直觀想象數(shù)學(xué)建模邏輯推理數(shù)學(xué)抽象正確價(jià)值觀念、必備品格、關(guān)鍵能力會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界理性思維科學(xué)精神智力發(fā)展立德樹(shù)人在復(fù)雜多樣的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中積累經(jīng)驗(yàn)素養(yǎng)53觀察操作運(yùn)算判斷歸納演繹類比猜想聯(lián)想試誤概括直觀抽象模型模式表達(dá)應(yīng)用分析綜合反思提煉定義遷移訓(xùn)練……經(jīng)歷豐富多彩的學(xué)習(xí)活動(dòng)領(lǐng)悟?qū)W科本質(zhì)54發(fā)現(xiàn)問(wèn)題提出問(wèn)題分析對(duì)象抽象概念運(yùn)算推理分析形式理解本質(zhì)猜想驗(yàn)證辨析比較論證推斷規(guī)范表達(dá)遷移訓(xùn)練……高考復(fù)習(xí)中如何讓素養(yǎng)落地問(wèn)題的本質(zhì)思想情境問(wèn)題與活動(dòng)知識(shí)的來(lái)龍去脈活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累思想方法的領(lǐng)悟核心素養(yǎng)的沉淀感想數(shù)與形思維、思想發(fā)散與邏輯直觀與理性素養(yǎng)與創(chuàng)新56數(shù)學(xué)教育教學(xué)的一個(gè)核心“目標(biāo)”57學(xué)生心智成長(zhǎng)與品質(zhì)發(fā)展題型歸納與數(shù)學(xué)素養(yǎng)題型歸納58本質(zhì)素養(yǎng)整體性大概念、大單元、大主題、大問(wèn)題教學(xué)中形成價(jià)值觀念邏輯的連貫性思想的一致性方法的普適性思維的系統(tǒng)性59有利于掌握四基培養(yǎng)四能領(lǐng)悟思想形成素養(yǎng)函數(shù)圖象主題教學(xué)中數(shù)學(xué)價(jià)值觀念高中數(shù)學(xué)作函數(shù)圖象的教學(xué)61高中階段關(guān)于函數(shù)圖象的相對(duì)起始作用的教學(xué)有哪些（不含解題方面的）？我們梳理過(guò)其體系嗎？作函數(shù)圖象的基本方法是什么？作函數(shù)圖象的教學(xué)體系62“冪、指、對(duì)”函數(shù)圖像正弦函數(shù)圖像五點(diǎn)法作三角函數(shù)圖像三角函數(shù)圖像變換雙勾函數(shù)的圖象函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的圖象（函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合運(yùn)用）……作函數(shù)圖象的教學(xué)體系63“冪、指、對(duì)”函數(shù)圖像正弦函數(shù)圖像五點(diǎn)法作三角函數(shù)圖像三角函數(shù)圖像變換雙勾函數(shù)的圖象函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的圖象（函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合運(yùn)用）……共同的學(xué)科價(jià)值觀念？作函數(shù)圖象的基本思維方法描點(diǎn)作圖：探究意識(shí)直觀←→抽象

形←→數(shù)64作函數(shù)圖象的教學(xué)程序化、模式化？探究函數(shù)圖象的意識(shí)與方法作圖象的根本方法是描點(diǎn)法估算、位置判斷、走勢(shì)聯(lián)想65??作函數(shù)??=??+??的圖像66??用描點(diǎn)法作y=x+1的圖像？函數(shù)y

=

x+

1、g(x)=x、h

x =

1有聯(lián)系嗎???

??拆解-合成67先分別畫(huà)出各簡(jiǎn)單函數(shù)值運(yùn)算、估算合成新函數(shù)值作函數(shù)??=??????的圖像682023北京高考導(dǎo)數(shù)69拆解-合成描點(diǎn)作圖法的應(yīng)用舉例70已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn).求a的取值范圍；把握學(xué)科本質(zhì)的教學(xué)舉例函數(shù)圖象與性質(zhì)探究相位比較與運(yùn)用含參問(wèn)題的處理策略三角函數(shù)定義與誘導(dǎo)公式……函數(shù)圖象與性質(zhì)綜合探究問(wèn)題導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)圖象與性質(zhì)中的作用73切線引導(dǎo)曲線正負(fù)定增減大小定快慢切線引導(dǎo)曲線的入門教學(xué)74已知導(dǎo)函數(shù)，原導(dǎo)函數(shù)的圖像確定嗎？唯一嗎？自行車車輪行進(jìn)軌跡導(dǎo)數(shù)的定義與切線導(dǎo)數(shù)是切線的斜率切點(diǎn)附近曲線沿切線變化切線偏轉(zhuǎn)即為割線75函數(shù)圖象與性質(zhì)分析才是解決問(wèn)題的根本途徑76函數(shù)圖象與性質(zhì)分析拆解-合成函數(shù)圖象切線引導(dǎo)曲線變化高考題評(píng)講2022全國(guó)乙卷21函數(shù)性質(zhì)綜合探究772022全國(guó)乙卷21導(dǎo)數(shù)綜合78已知函數(shù)??

?? =

????

1

+

?? +

?????????.

（1）當(dāng)??

=

1時(shí)，求曲線??

=

??

??

在點(diǎn)(0,

??

0

)處的切線方程；（2）若??

??

在區(qū)間(?1,0),(0,+∞)各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求??的取值范圍．要求：數(shù)形結(jié)合、先猜后證、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，素養(yǎng)全面第1問(wèn)解析及其意義79已知函數(shù)??

?? =

????

1

+

?? +

?????????.

（1）當(dāng)??

=

1時(shí)，求曲線??

=

??

??

在點(diǎn)(0,

??

0

)處的切線方程；（2）若??

??

在區(qū)間(?1,0),(0,+∞)各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求??的取值范圍．（1）【解】??

??

的定義域?yàn)??1,+∞)，當(dāng)??=1時(shí),??

??????=

????

1

+

?? +

??

，??

0=0,所以切點(diǎn)為(0,0)，??′

??

=11+??????+

1???，??′

0 =

2所以曲線??=??

??

在點(diǎn)(0,??

0)處的切線方程為??=2???(??)=ln(1+??)在點(diǎn)(0,??

0)處的切線方程為??=??

，??(??)=???????在點(diǎn)(0,??

0)處的切線方程為??=??；兩個(gè)函數(shù)疊加起來(lái)得切線方程為??=2??.切線對(duì)函數(shù)圖象與性質(zhì)有何意義？能畫(huà)出函數(shù)圖象嗎？第2問(wèn)解析：分段觀察參數(shù)對(duì)函數(shù)圖象與性質(zhì)的影響80已知函數(shù)??

?? =

????

1

+

?? +

?????????.

（1）當(dāng)??

=

1時(shí)，求曲線??

=

??

??

在點(diǎn)(0,

??

0

)處的切線方程；（2）若??

??

在區(qū)間(?1,0),(0,+∞)各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求??的取值范圍．拆解分析，紅線固定，藍(lán)線變化觀察參數(shù)變化時(shí)兩函數(shù)合成情況。??>0時(shí)，藍(lán)線總體形態(tài)變化不大！當(dāng)??>0時(shí)，在同一坐標(biāo)系中分別作出?(??)

=

ln(1

+

??)，??(??)

=

?????????，兩圖象疊加后與??軸只交于原點(diǎn)。??=0時(shí)也一樣。合成恒負(fù)合成恒正81第2問(wèn)解析：分段觀察參數(shù)對(duì)函數(shù)圖象與性質(zhì)的影響當(dāng)??<0時(shí)，???>0，考察?(??)=ln(1+??)，??(??)=??????????兩函數(shù)圖象交點(diǎn)情形。其中?(??)=ln(1+??)圖象確定，由??′(??)=???(1???)?????，由圖象知??′

0 =

???

≤

1時(shí)，兩函數(shù)在(0,+∞)上無(wú)交點(diǎn)，不符合，此時(shí)?1≤??<0.已知函數(shù)??

?? =

????

1

+

?? +

?????????.

（1）當(dāng)??

=

1時(shí)，求曲線??

=

??

??

在點(diǎn)(0,

??

0

)處的切線方程；（2）若??

??

在區(qū)間(?1,0),(0,+∞)各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求??的取值范圍．??<0時(shí)，如何觀察？看方程????

1

+

?? =

??????????的解，兩曲線交點(diǎn)下壓，向左穿過(guò)紅線有交點(diǎn)抬升，有交點(diǎn)下壓，無(wú)交點(diǎn)抬升，無(wú)交點(diǎn)82第2問(wèn)解析：分段觀察參數(shù)對(duì)函數(shù)圖象與性質(zhì)的影響已知函數(shù)??

?? =

????

1

+

?? +

?????????.

（1）當(dāng)??

=

1時(shí)，求曲線??

=

??

??

在點(diǎn)(0,

??

0

)處的切線方程；（2）若??

??

在區(qū)間(?1,0),(0,+∞)各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求??的取值范圍．當(dāng)??<?1，由切線引導(dǎo)曲線變化知，兩函數(shù)在(0,+∞)上有交點(diǎn)，考察??∈(?1,0)，??(??)=??????????

與直線??=?1交于A點(diǎn)，向右與?(??)=ln(1+??)相交，且在原點(diǎn)處由下方向上穿過(guò)?(??)=ln(1+??)，符合題意。按圖索驥，思路明確，寫(xiě)出解答83第2問(wèn)解答已知函數(shù)??

?? =

????

1

+

?? +

?????????.

（1）當(dāng)??

=

1時(shí)，求曲線??

=

??

??

在點(diǎn)(0,

??

0

)處的切線方程；（2）若??

??

在區(qū)間(?1,0),(0,+∞)各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求??的取值范圍．??????

?? =

ln

1

+

?? +

????，??′

??=????1+??

(1+??)????1

+

??(1???)

=

????+??(1???2)，設(shè)??

?? =????

+??(1

?

??2)若??

≥

0,當(dāng)??

∈

(?1,0),??

?? =

????

+??(1

?

??2)>0,即??′

??>

0所以??

??

在(?1,0)上單調(diào)遞增,??

?? <

??

0 =

0故??

??

在(?1,0)上沒(méi)有零點(diǎn),不合題意若??????

≥

0,當(dāng)??

∈

(0,

+∞),??

?? =

ln

1

+

?? +

????

>0,所以??

??

在(0,+∞)上沒(méi)有零點(diǎn),不合題意另解：84第2問(wèn)解答已知函數(shù)??

?? =

????

1

+

?? +

?????????.

（1）當(dāng)??

=

1時(shí)，求曲線??

=

??

??

在點(diǎn)(0,

??

0

)處的切線方程；（2）若??

??

在區(qū)間(?1,0),(0,+∞)各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求??的取值范圍．??????

?? =

ln

1

+

?? +

????，??′

??=????1+??

(1+??)????1

+

??(1???)

=

????+??(1???2)，設(shè)??

?? =????

+??(1

?

??2)若?1

≤

??

<

0,當(dāng)??

∈

(0,

+∞),則??′

?? =

????

?2????>0所以??

??

在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以??

?? >

??

0 =

1

+

??

≥

0,即??′?? >

0>

??

0 =

0，所以??

??

在(0,+∞)上單調(diào)遞增,??

??故??

??

在(0,+∞)上沒(méi)有零點(diǎn),不合題意第2問(wèn)解答85已知函數(shù)??

?? =

????

1

+

?? +

?????????.

（1）當(dāng)??

=

1時(shí)，求曲線??

=

??

??

在點(diǎn)(0,

??

0

)處的切線方程；（2）若??

??

在區(qū)間(?1,0),(0,+∞)各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求??的取值范圍．??????

?? =

ln

1

+

?? +

????，??′

??=????1+??

(1+??)????1

+

??(1???)

=

????+??(1???2)，設(shè)??

?? =????

+??(1

?

??2)若??

<

?1，當(dāng)??

0 =

1

+

??

<

0,

??

1??

∈

(0,

+∞),則??′

?? =????

?2????>0,所以??

??

在(0,

+∞)上單調(diào)遞增=

??

>

0，所以存在??

∈

(0,1),使得??

?? =

0,即??′

?? =

0當(dāng)??

∈ 0,

??

,??′

?? <

0,??

??

單調(diào)遞減，當(dāng)??

∈

(??,

+∞),??′

?? >0,??

??

單調(diào)遞增所以當(dāng)??

∈ 0,

??

,??

?? <

??

0 =

0，??

??

在

0,

??

沒(méi)有零點(diǎn),

因?yàn)?????

?

1

>

0??

?????

?

1 >

?

?????

?1 +??

≥

????

?????

+??

=

??? 1

?1

>

0.??

??

??即??

??

在(0,+∞)上有唯一零點(diǎn)。特征點(diǎn)的找法一86已知函數(shù)??

?? =

????

1

+

?? +

?????????.

（1）當(dāng)??

=

1時(shí)，求曲線??

=

??

??

在點(diǎn)(0,

??

0

)處的切線方程；（2）若??

??

在區(qū)間(?1,0),(0,+∞)各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求??的取值范圍．??????

?? =

ln

1

+

?? +

????，??′

??=????1+??

(1+??)????1

+

??(1???)

=

????+??(1???2)，設(shè)??

?? =????

+??(1

?

??2)????

?? =

??????????

≤

??

1 =

?

??

<

???

=

ln(??

+

1)，得??=?????

?1特征點(diǎn)的找法二87已知函數(shù)??

?? =

????

1

+

?? +

?????????.

（1）當(dāng)??

=

1時(shí)，求曲線??

=

??

??

在點(diǎn)(0,

??

0

)處的切線方程；（2）若??

??

在區(qū)間(?1,0),(0,+∞)各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求??的取值范圍．??????

?? =

ln

1

+

?? +

????，??′

??=????1+??

(1+??)????1

+

??(1???)

=

????+??(1???2)，設(shè)??

?? =????

+??(1

?

??2)取??(??)=?????????的最小值為??

1??=

??，??取特征線??=???交?(??)=????(1+??)于點(diǎn)D，??由ln

1

+?? =

?

，得??????? =

??

??

?1,??>

1故取??0=

???????當(dāng)??????>1時(shí)??????>

??，0??

?? >

?

????????????1

+ ≥

????

???????????+ =

0，所以??(??)在(??,+∞)上有唯一零點(diǎn)88第2問(wèn)解析已知函數(shù)??

?? =

????

1

+

?? +

?????????.

（1）當(dāng)??

=

1時(shí)，求曲線??

=

??

??

在點(diǎn)(0,

??

0

)處的切線方程；（2）若??

??

在區(qū)間(?1,0),(0,+∞)各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求??的取值范圍．??

?? =

ln

1

+

?? +

????，??′

??=????1+??

(1+??)????1

+

??(1???)

=

????+??(1???2)，設(shè)??

?? =????

+??(1

?

??2)而??

0 =

0,所以當(dāng)??

∈

(??,

0),??

?? >0，所以??

??

在(?1,

??)上有唯一零點(diǎn),(??,

0)上無(wú)零點(diǎn)，即??

??

在(?1,0)上有唯一零點(diǎn)??′

????

????

??當(dāng)??

∈

(?1,0)，??????′

??=????

?2????

，??“(??)=????

?2??>0，??′??

在(?1,0)單調(diào)遞增，n為??′??

的零點(diǎn)，對(duì)應(yīng)右圖中點(diǎn)N，接下來(lái)討論g(x)零點(diǎn)，較簡(jiǎn)單??′

?1指=

1??+′(2????)零<點(diǎn)0,存??在′

0 =

1

>

0，所以存在??

∈

(?1,0),使得??′

?? =

0出??當(dāng)??

∈

(?1,

??),??′

?? <

0,??

??

單調(diào)遞減，當(dāng)??

∈

(??,

0),??′

?? >

0,??

??

單調(diào)遞增,????

??

<

??

0 =

1

+

??

<

0，又??

?1 =

1

>

0，所以存在??

∈

(?1,

??),使得??

?? =

0,即??′

??=0（??為??′??

即??′(??)零點(diǎn)，對(duì)就T點(diǎn)）當(dāng)??

∈

(?1,

??),??

??

單調(diào)遞增,當(dāng)??

∈

(??,

0),??

??

單調(diào)遞減，(下面判定??(??)零點(diǎn))當(dāng)??

∈

(?1,0)時(shí)，?????????

<

?????，??

?1

+

??????

<

ln

??????

?????

=

0特征點(diǎn)的找法89已知函數(shù)??

?? =

????

1

+

?? +

?????????.

（1）當(dāng)??

=

1時(shí)，求曲線??

=

??

??

在點(diǎn)(0,

??

0

)處的切線方程；（2）若??

??

在區(qū)間(?1,0),(0,+∞)各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求??的取值范圍．??????

?? =

ln

1

+

?? +

????，??′

??=????1+??

(1+??)????1

+

??(1???)

=

????+??(1???2)，設(shè)??

?? =????

+??(1

?

??2)取??

?? =

??????????與直線??

=

?1的交點(diǎn)??(?1,

????),由ln

??

+1 =

????得??

=

??????

?

1,a<-1時(shí)的圖象90已知函數(shù)??

?? =

????

1

+

?? +

?????????.

（1）當(dāng)??

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1時(shí)，求曲線??

=

??

??

在點(diǎn)(0,

??

0

)處的切線方程；（2）若??

??

在區(qū)間(?1,0),(0,+∞)各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求??的取值范圍．??????

?? =

ln

1

+

?? +

????，??′

??=????1+??

(1+??)????1

+

??(1???)

=

????+??(1???2)，設(shè)??

?? =????

+??(1

?

??2)??′

????

????

??依圖推理按圖索驥有圖有真相數(shù)形結(jié)合的思維本質(zhì)，循著命題人思路去解題以數(shù)解形91以形助數(shù)直觀抽象靈活轉(zhuǎn)化合理猜想嚴(yán)謹(jǐn)推理循環(huán)反復(fù)形成自覺(jué)既教證明更教猜想與直觀感性92理性靈性合情推理邏輯推理理解本質(zhì)

融入系統(tǒng)93把握本質(zhì)數(shù)學(xué)本質(zhì)駕輕就熟融會(huì)貫通數(shù)學(xué)概念的學(xué)科本質(zhì)94任意角三角函數(shù)的概念誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式：坐標(biāo)的兩種表示95相位的概念與意義教材中的相位概念97教材中的相位概念相位是一個(gè)物理概念?相位的數(shù)學(xué)意義是什么？三角函數(shù)圖象變換過(guò)程中有不變的量嗎？98三角變換中的相位99相位概念：理解三角函數(shù)圖象變換、性質(zhì)三角變換中的相位100三角變換中的相位1012016全國(guó)I理12102相位是解決三角函數(shù)圖象問(wèn)題的思維起點(diǎn)103函數(shù)

f

(x)

cos(

x

)

的部分圖像如圖所示，則

f

(x)

的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）．134

4A．

(k

,

k

)

，

k

Z134

4B．

(2k

,

2k

)

，

k

Z1

344C．

(k

,

k

)

，

k

Z1

344D．

(2k

,

2k

)

，

k

Z變換中相位不變！2023全國(guó)I

15104相位比較是解決三角函數(shù)圖象問(wèn)題的基本方法105??=????????

????+??

與??=????????的相位比較函數(shù)單調(diào)性的概念教學(xué)與思考106函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)地位107與函數(shù)的最值、零點(diǎn)等聯(lián)系密切是數(shù)列單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)、不等式、極限等數(shù)學(xué)知識(shí)的重要基礎(chǔ)是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一個(gè)有力工具函數(shù)單調(diào)性的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)一列數(shù)逐漸增大（減?。?shù)的排序經(jīng)驗(yàn)單調(diào)性啟蒙。函數(shù)圖象“隨著x的增大，對(duì)應(yīng)的y也增大”的直觀特征。108單調(diào)性定義中的“任意”的教學(xué)109為什么需要“任意兩個(gè)數(shù)”？“任意”的教學(xué)設(shè)計(jì)參考110請(qǐng)同學(xué)們作出函數(shù)f(x)=2x，x∈N*的圖象，由圖象特征看，函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的嗎？怎樣運(yùn)用代數(shù)關(guān)系描述函數(shù)圖象特征？這個(gè)函數(shù)圖象是一個(gè)點(diǎn)列，在這個(gè)點(diǎn)列中，對(duì)于圖象上每一個(gè)點(diǎn)（或任意一個(gè)點(diǎn)），它右側(cè)相臨的點(diǎn)都比它的位置高，能說(shuō)明這個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增嗎？上述函數(shù)特征運(yùn)用代數(shù)關(guān)系表示：對(duì)任意x∈N*，若f(x)<f(x+1)成立，則

f(x)在定義域上單調(diào)遞增。如果將函數(shù)定義域改為R，即函數(shù)f(x)=2x，x∈R在定義域內(nèi)單調(diào)遞增嗎？圖象上的某點(diǎn)或每一個(gè)點(diǎn)右側(cè)相鄰點(diǎn)確定嗎？“任意”的教學(xué)設(shè)計(jì)參考如果對(duì)于圖象上任意一點(diǎn)，它右側(cè)所有點(diǎn)（或任意一點(diǎn)）都比它位置高，能說(shuō)明函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)嗎？如何運(yùn)用代數(shù)關(guān)系簡(jiǎn)潔地表示該函數(shù)單調(diào)遞增這一性質(zhì)？如何函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增呢？……111“任意”的教學(xué)設(shè)計(jì)參考如果對(duì)于圖象上任意一點(diǎn)，它右側(cè)所有點(diǎn)（或任意一點(diǎn)）都比它位置高，能說(shuō)明函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)嗎？如何運(yùn)用代數(shù)關(guān)系簡(jiǎn)潔地表示該函數(shù)單調(diào)遞增這一性質(zhì)？如何函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增呢？……任意兩個(gè)數(shù)之間的距離應(yīng)該是無(wú)窮大還是無(wú)窮??？112“任意”的教學(xué)思考培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力形成數(shù)形結(jié)合思想113提升數(shù)學(xué)直觀和邏輯推理與表達(dá)等素養(yǎng)數(shù)學(xué)教學(xué)突出過(guò)程與結(jié)果的完美結(jié)合114突出核心概念的思維建構(gòu)和技能操作過(guò)程突出數(shù)學(xué)基本思想的領(lǐng)悟過(guò)程突出數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累過(guò)程．教學(xué)設(shè)計(jì)原則：兩個(gè)過(guò)程“合理性”115數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展形成過(guò)程的合理性學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力發(fā)展過(guò)程的合理性好教易學(xué)教好

學(xué)易教育教學(xué)是一個(gè)漫長(zhǎng)且有意義的過(guò)程適當(dāng)回顧概念形成心理過(guò)程概括形式化形成概念確認(rèn)本質(zhì)屬性共同屬性各種屬性刺激模式符號(hào)表示類化抽象融入系統(tǒng)116分化辨別檢驗(yàn)數(shù)學(xué)概念中蘊(yùn)含數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)高考復(fù)習(xí)中回歸概念117數(shù)學(xué)概念