2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷理科新課標

絕密★啟用前2021年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷〔理科)〔新課標Ⅱ)試卷副標題考試范圍：xxx；考試時間：100分鐘；命題人：xxx題號一二三總分得分考前須知：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷〔選擇題)請點擊修改第I卷的文字說明評卷人得分一、單項選擇題1．設集合A={x|x2-5x+6>0}，B={x|x-1<0}，那么A∩B=A．(-∞，1)B．(-2，1)C．(-3，-1)D．(3，+∞)【答案】A【解析】【分析】先求出集合A，再求出交集．【詳解】由題意得，，那么．應選A．【點睛】此題考點為集合的運算，為根底題目．2．設z=-3+2i，那么在復平面內(nèi)對應的點位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】C【解析】【分析】先求出共軛復數(shù)再判斷結(jié)果.【詳解】由得那么對應點〔-3，-2〕位于第三象限．應選C．【點睛】此題考點為共軛復數(shù)，為根底題目．3．=(2,3)，=(3，t)，=1，那么=A．-3B．-2C．2D．3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量三角形法那么求出t，再求出向量的數(shù)量積.【詳解】由，，得，那么，．應選C．【點睛】此題考點為平面向量的數(shù)量積，側(cè)重根底知識和根本技能，難度不大．4．2021年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球反面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就，實現(xiàn)月球反面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系．為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋〞，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點的軌道運行．點是平衡點，位于地月連線的延長線上．設地球質(zhì)量為M１，月球質(zhì)量為M２，地月距離為R，點到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：.設，由于的值很小，因此在近似計算中，那么r的近似值為A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】此題在正確理解題意的根底上，將有關式子代入給定公式，建立的方程，解方程、近似計算．題目所處位置應是“解答題〞，但由于題干較長，易使考生“望而生畏〞，注重了閱讀理解、數(shù)學式子的變形及運算求解能力的考查．【詳解】由，得因為，所以，即，解得，所以【點睛】由于此題題干較長，所以，易錯點之一就是能否靜心讀題，正確理解題意；易錯點之二是復雜式子的變形出錯．5．演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是A．中位數(shù)B．平均數(shù)C．方差D．極差【答案】A【解析】【分析】可不用動筆，直接得到答案，亦可采用特殊數(shù)據(jù)，特值法篩選答案．【詳解】設9位評委評分按從小到大排列為．那么①原始中位數(shù)為，去掉最低分，最高分，后剩余，中位數(shù)仍為，A正確．②原始平均數(shù)，后來平均數(shù)平均數(shù)受極端值影響較大，與不一定相同，B不正確③由②易知，C不正確．④原極差，后來極差可能相等可能變小，D不正確．【點睛】此題旨在考查學生對中位數(shù)、平均數(shù)、方差、極差本質(zhì)的理解.6．假設a>b，那么A．ln(a?b)>0B．3a<3bC．a(chǎn)3?b3>0D．│a│>│b│【答案】C【解析】【分析】此題也可用直接法，因為，所以，當時，，知A錯，因為是增函數(shù)，所以，故B錯；因為冪函數(shù)是增函數(shù)，，所以，知C正確；取，滿足，，知D錯．【詳解】取，滿足，，知A錯，排除A；因為，知B錯，排除B；取，滿足，，知D錯，排除D，因為冪函數(shù)是增函數(shù)，，所以，應選C．【點睛】此題主要考查對數(shù)函數(shù)性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)、冪函數(shù)性質(zhì)及絕對值意義，滲透了邏輯推理和運算能力素養(yǎng)，利用特殊值排除即可判斷．7．設α，β為兩個平面，那么α∥β的充要條件是A．α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線D．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】【分析】此題考查了空間兩個平面的判定與性質(zhì)及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，利用面面平行的判定定理與性質(zhì)定理即可作出判斷．【詳解】由面面平行的判定定理知：內(nèi)兩條相交直線都與平行是的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，假設，那么內(nèi)任意一條直線都與平行，所以內(nèi)兩條相交直線都與平行是的必要條件，應選B．【點睛】面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理，最容易犯的錯誤為定理記不住，憑主觀臆斷，如：“假設，那么〞此類的錯誤．8．假設拋物線y2=2px〔p>0〕的焦點是橢圓的一個焦點，那么p=A．2B．3C．4D．8【答案】D【解析】【分析】利用拋物線與橢圓有共同的焦點即可列出關于的方程，即可解出，或者利用檢驗排除的方法，如時，拋物線焦點為〔1，0〕，橢圓焦點為〔±2，0〕，排除A，同樣可排除B，C，應選D．【詳解】因為拋物線的焦點是橢圓的一個焦點，所以，解得，應選D．【點睛】此題主要考查拋物線與橢圓的幾何性質(zhì)，滲透邏輯推理、運算能力素養(yǎng)．9．以下函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間(，)單調(diào)遞增的是A．f(x)=│cos2x│B．f(x)=│sin2x│C．f(x)=cos│x│D．f(x)=sin│x│【答案】A【解析】【分析】此題主要考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，滲透直觀想象、邏輯推理等數(shù)學素養(yǎng)．畫出各函數(shù)圖象，即可做出選擇．【詳解】因為圖象如以下圖，知其不是周期函數(shù)，排除D；因為，周期為，排除C，作出圖象，由圖象知，其周期為，在區(qū)間單調(diào)遞增，A正確；作出的圖象，由圖象知，其周期為，在區(qū)間單調(diào)遞減，排除B，應選A．【點睛】利用二級結(jié)論：①函數(shù)的周期是函數(shù)周期的一半；②不是周期函數(shù)；10．a(chǎn)∈〔0，〕，2sin2α=cos2α+1，那么sinα=A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式得到正余弦關系，利用角范圍及正余弦平方和為1關系得出答案．【詳解】，．，又，，又，，應選B．【點睛】此題為三角函數(shù)中二倍角公式、同角三角函數(shù)根本關系式的考查，中等難度，判斷正余弦正負，運算準確性是關鍵，題目不難，需細心，解決三角函數(shù)問題，研究角的范圍后得出三角函數(shù)值的正負，很關鍵，切記不能憑感覺．11．設F為雙曲線C：〔a>0，b>0〕的右焦點，O為坐標原點，以OF為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點．假設|PQ|=|OF|，那么C的離心率為A．B．C．2D．【答案】A【解析】【分析】準確畫圖，由圖形對稱性得出P點坐標，代入圓的方程得到c與a關系，可求雙曲線的離心率．【詳解】設與軸交于點，由對稱性可知軸，又，為以為直徑的圓的半徑，為圓心．，又點在圓上，，即．，應選A．【點睛】此題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，防止代數(shù)法從頭至尾，運算繁瑣，準確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問題，需強化練習，才能在解決此類問題時事半功倍，信手拈來．12．設函數(shù)f(x)的定義域為R，滿足f(x+1)=2f(xA.-∞,9C.-∞,5【答案】B【解析】【分析】此題為選擇壓軸題，考查函數(shù)平移伸縮，恒成立問題，需準確求出函數(shù)每一段解析式，分析出臨界點位置，精準運算得到解決．【詳解】∵x∈(0,1]時，f(x)=x(x-1)，如下圖：當2<x≤3時，f(x)=4f(x-2)=4(x-2)(x-3)，令【點睛】易錯警示：圖像解析式求解過程容易求反，畫錯示意圖，畫成向左側(cè)擴大到2倍，導致題目出錯，需加深對抽象函數(shù)表達式的理解，平時應加強這方面練習，提高抽象概括、數(shù)學建模能力．第II卷〔非選擇題)請點擊修改第II卷的文字說明評卷人得分二、填空題13．我國高鐵開展迅速，技術先進．經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點率為0.97，有20個車次的正點率為0.98，有10個車次的正點率為0.99，那么經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為___________.【答案】0．98.【解析】【分析】此題考查通過統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行概率的估計，采取估算法，利用概率思想解題．【詳解】由題意得，經(jīng)停該高鐵站的列車正點數(shù)約為，其中高鐵個數(shù)為10+20+10=40，所以該站所有高鐵平均正點率約為．【點睛】此題考點為概率統(tǒng)計，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學運算素養(yǎng)．側(cè)重統(tǒng)計數(shù)據(jù)的概率估算，難度不大．易無視概率的估算值不是精確值而失誤，根據(jù)分類抽樣的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，估算出正點列車數(shù)量與列車總數(shù)的比值．14．是奇函數(shù)，且當時，.假設，那么__________.【答案】-3【解析】【分析】當時，代入條件即可得解.【詳解】因為是奇函數(shù)，且當時，．又因為，，所以，兩邊取以為底的對數(shù)得，所以，即．【點睛】此題主要考查函數(shù)奇偶性，對數(shù)的計算．滲透了數(shù)學運算、直觀想象素養(yǎng)．使用轉(zhuǎn)化思想得出答案．15．的內(nèi)角的對邊分別為.假設，那么的面積為__________.【答案】【解析】【分析】此題首先應用余弦定理，建立關于的方程，應用的關系、三角形面積公式計算求解，此題屬于常見題目，難度不大，注重了根底知識、根本方法、數(shù)學式子的變形及運算求解能力的考查．【詳解】由余弦定理得，所以，即解得〔舍去〕所以，【點睛】此題涉及正數(shù)開平方運算，易錯點往往是余弦定理應用有誤或是開方導致錯誤．解答此類問題，關鍵是在明確方法的根底上，準確記憶公式，細心計算．16．中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體〞〔圖1〕.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體表達了數(shù)學的對稱美．圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的外表上，且此正方體的棱長為1．那么該半正多面體共有________個面，其棱長為_________．【答案】共26個面.棱長為.【解析】【分析】第一問可按題目數(shù)出來，第二問需在正方體中簡單復原出物體位置，利用對稱性，平面幾何解決．【詳解】由圖可知第一層與第三層各有9個面，計18個面，第二層共有8個面，所以該半正多面體共有個面．如圖，設該半正多面體的棱長為，那么，延長與交于點，延長交正方體棱于，由半正多面體對稱性可知，為等腰直角三角形，，，即該半正多面體棱長為．【點睛】此題立意新穎，空間想象能力要求高，物體位置復原是關鍵，遇到新題別慌亂，題目其實很簡單，穩(wěn)中求勝是關鍵．立體幾何平面化，無論多難都不怕，強大空間想象能力，快速復原圖形．評卷人得分三、解答題17．如圖，長方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1.〔1〕證明：BE⊥平面EB1C1；〔2〕假設AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.【答案】〔1〕證明見解析；〔2〕【解析】【分析】〔1〕利用長方體的性質(zhì)，可以知道側(cè)面，利用線面垂直的性質(zhì)可以證明出，這樣可以利用線面垂直的判定定理，證明出平面；〔2〕以點坐標原點，以分別為軸，建立空間直角坐標系，設正方形的邊長為，，求出相應點的坐標，利用，可以求出之間的關系，分別求出平面、平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積公式求出二面角的余弦值的絕對值，最后利用同角的三角函數(shù)關系，求出二面角的正弦值.【詳解】證明〔1〕因為是長方體，所以側(cè)面，而平面，所以又，，平面，因此平面；〔2〕以點坐標原點，以分別為軸，建立如以下圖所示的空間直角坐標系，，因為，所以，所以，，設是平面的法向量，所以，設是平面的法向量，所以，二面角的余弦值的絕對值為，所以二面角的正弦值為.【點睛】此題考查了利用線面垂直的性質(zhì)定理證明線線垂直，考查了利用空間向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函數(shù)關系，考查了數(shù)學運算能力.18．11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學進行單打比賽，假設甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨立.在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結(jié)束.〔1〕求P〔X=2〕；〔2〕求事件“X=4且甲獲勝〞的概率.【答案】〔1〕；〔2〕0.1【解析】【分析】(1)此題首先可以通過題意推導出所包含的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球〞，然后計算出每種事件的概率并求和即可得出結(jié)果；(2)此題首先可以通過題意推導出所包含的事件為“前兩球甲乙各得分，后兩球均為甲得分〞，然后計算出每種事件的概率并求和即可得出結(jié)果?！驹斀狻?1)由題意可知，所包含的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球〞所以(2)由題意可知，包含的事件為“前兩球甲乙各得分，后兩球均為甲得分〞所以【點睛】此題考查古典概型的相關性質(zhì)，能否通過題意得出以及所包含的事件是解決此題的關鍵，考查推理能力，考查學生從題目中獲取所需信息的能力，是中檔題。19．數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0，，.〔1〕證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an–bn}是等差數(shù)列；〔2〕求{an}和{bn}的通項公式.【答案】〔1〕見解析；〔2〕，?！窘馕觥俊痉治觥?1)可通過題意中的以及對兩式進行相加和相減即可推導出數(shù)列是等比數(shù)列以及數(shù)列是等差數(shù)列；(2)可通過(1)中的結(jié)果推導出數(shù)列以及數(shù)列的通項公式，然后利用數(shù)列以及數(shù)列的通項公式即可得出結(jié)果?！驹斀狻?1)由題意可知，，，，所以，即，所以數(shù)列是首項為、公比為的等比數(shù)列，，因為，所以，數(shù)列是首項、公差為的等差數(shù)列，。(2)由(1)可知，，，所以，?！军c睛】此題考查了數(shù)列的相關性質(zhì)，主要考查了等差數(shù)列以及等比數(shù)列的相關證明，證明數(shù)列是等差數(shù)列或者等比數(shù)列一定要結(jié)合等差數(shù)列或者等比數(shù)列的定義，考查推理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題。20．函數(shù).〔1〕討論f(x)的單調(diào)性，并證明f(x)有且僅有兩個零點；〔2〕設x0是f(x)的一個零點，證明曲線y=lnx在點A(x0，lnx0)處的切線也是曲線的切線.【答案】〔1〕函數(shù)在和上是單調(diào)增函數(shù)，證明見解析；〔2〕證明見解析.【解析】【分析】〔1〕對函數(shù)求導，結(jié)合定義域，判斷函數(shù)的單調(diào)性；〔2〕先求出曲線在處的切線，然后求出當曲線切線的斜率與斜率相等時，證明曲線切線在縱軸上的截距與在縱軸的截距相等即可.【詳解】〔1〕函數(shù)的定義域為，，因為函數(shù)的定義域為，所以，因此函數(shù)在和上是單調(diào)增函數(shù)；當，時，，而，顯然當，函數(shù)有零點，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當時，函數(shù)有唯一的零點；當時，，因為，所以函數(shù)在必有一零點，而函數(shù)在上是單調(diào)遞增，故當時，函數(shù)有唯一的零點綜上所述，函數(shù)的定義域內(nèi)有2個零點；〔2〕因為是的一個零點，所以，所以曲線在處的切線的斜率，故曲線在處的切線的方程為：而，所以的方程為，它在縱軸的截距為.設曲線的切點為，過切點為切線，，所以在處的切線的斜率為，因此切線的方程為，當切線的斜率等于直線的斜率時，即，切線在縱軸的截距為，而，所以，直線的斜率相等，在縱軸上的截距也相等，因此直線重合，故曲線在處的切線也是曲線的切線.【點睛】此題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、考查了曲線的切線方程，考查了數(shù)學運算能力.21．點A(?2,0)，B(2,0)，動點M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為?.記M的軌跡為曲線C.〔1〕求C的方程，并說明C是什么曲線；〔2〕過坐標原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長交C于點G.〔i〕證明：是直角三角形；〔ii〕求面積的最大值.【答案】〔1〕詳見解析〔2〕詳見解析【解析】【分析】〔1〕分別求出直線AM與BM的斜率，由直線AM與BM的斜率之積為?，可以得到等式，化簡可以求出曲線C的方程，注意直線AM與BM有斜率的條件；〔2〕〔i〕設出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出P，Q兩點的坐標，進而求出點的坐標，求出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)關系求出的坐標，再求出直線的斜率，計算的值，就可以證明出是直角三角形；〔ii〕由〔i〕可知三點坐標，是直角三角形，求出的長，利用面積公式求出的面積，利用導數(shù)求出面積的最大值.【詳解】〔1〕直線的斜率為，直線的斜率為，由題意可知：，所以曲線C是以坐標原點為中心，焦點在軸上，不包括左右兩頂點的橢圓，其方程為；〔2〕〔i〕設直線的方程為,由題意可知,直線的方程與橢圓方程聯(lián)立,即或,點P在第一象限，所以，因此點的坐標為直線的斜率為，可得直線方程：，與橢圓方程聯(lián)立，，消去得，〔*〕，設點，顯然點的橫坐標和是方程〔*〕的解所以有，代入直線方程中，得，所以點的坐標為，直線的斜率為;,因為所以，因此是直角三角形；〔ii〕由〔i〕可知：，的坐標為，，,,因為，所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，因此當時，函數(shù)有最大值，最大值