考研數(shù)學二模擬409

考研數(shù)學二模擬409一、選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1.

設(shè)，g(x)=x3+x4，當x→0時，f(x)是g(x)的______．A.等價無窮小B.同階但非等價無窮小C.高階無窮小D.低階無窮小正確答案：B[解析]因為，所以正確答案為B．

2.

設(shè)f(x)滿足：，xf"(x)-x2f'2(x)=1-e-2x且f(x)二階連續(xù)可導，則______．A.x=0為f(x)的極小值點B.x=0為f(x)的極大值點C.x=0不是f(x)的極值點D.(0，f(0))是y=f(x)的拐點正確答案：A[解析]由得f(0)=0，f'(0)=0．

當x≠0時，由xf"(x)-x2f'2(x)=1-e-2x得，

再由f(x)二階連續(xù)可導得

故x=0為f(x)的極小值點，選A.

3.

設(shè)，則f(x)有______．A.兩個可去間斷點B.兩個無窮間斷點C.一個可去間斷點，一個跳躍間斷點D.一個可去間斷點，一個無窮間斷點正確答案：C[解析]顯然x=0，x=1為f(x)的間斷點．

由f(0+0)=f(0-0)=0，得x=0為f(x)的可去間斷點；

由f(1-0)≠f(1+0)，得x=1為f(x)的跳躍間斷點，選C．

4.

設(shè)則f(x，y)在(0，0)處______．A.不連續(xù)B.連續(xù)但不可偏導C.可偏導但不可微D.可微分正確答案：C[解析]當(x，y)≠(0，0)時，，

由迫斂定理得，從而f(x，y)在(0，0)處連續(xù)，A不對；

由得f'x(0，0)=0，

由得f'y(0，0)=0，B不對；

令

因為不存在，所以f(x，y)在(0，0)處不可微分，D不對，選C.

5.

考慮二元函數(shù)f(x，y)在點(x0，y0)處的下面四條性質(zhì)：

①連續(xù)

②可微

若用“”表示可由性質(zhì)P推出性質(zhì)Q，則有______

A．

B．

C．

D．正確答案：B[解析]若f(x，y)一階連續(xù)可偏導，則f(x，y)在(x0，y0)處可微，若f(x，y)在(x0，y0)處可微，則f(x，y)在(x0，y0)處連續(xù)，選B.

6.

設(shè)y=y(x)是微分方程y"+(x-1)y'+x2y=ex滿足初始條件y(0)=0，y'(0)=1的解，則為______．A.0B.1C.2D.3正確答案：B[解析]因為y(0)=0，y'(0)=1，所以由y"+(x-1)y'+x2y=ex得y"(0)=2，

從而，選B．

7.

設(shè)A，B為n階矩陣，則下列結(jié)論正確的是______．A.若A2～B2，則A～BB.矩陣A的秩與A的非零特征值的個數(shù)相等C.若A，B的特征值相同，則A～BD.若A～B，且A可相似對角化，則B可相似對角化正確答案：D[解析]由A～B得A，B的特征值相同，設(shè)為λ1，λ2，…，λn，且存在可逆矩陣P1，使得；

因為A可相似對角化，所以存在可逆矩陣P2，使得

即于是有

取，即B可相似對角化．選D

8.

設(shè)A是n階矩陣，下列結(jié)論正確的是______．A.設(shè)r(A)=r，則A有r個非零特征值，其余特征值皆為零B.設(shè)A為非零矩陣，則A一定有非零特征值C.設(shè)A為對稱矩陣，A2=2A，r(A)=r，則A有r個特征值為2，其余全為零D.設(shè)A，B為對稱矩陣，且A，B等價，則A，B特征值相同正確答案：C[解析]取，顯然A的特征值為0，0，1，但r(A)=2，A不對；

設(shè)，顯然A為非零矩陣，但A的特征值都是零，B不對；

兩個矩陣等價，則兩個矩陣的秩相等，但特征值不一定相同，D不對；選C.

事實上，令AX=λX，由A2=2A得A的特征值為0或2，因為A是對稱矩陣，所以A一定可對角化，由r(A)=r得A的特征值中有r個2，其余全部為零．

二、填空題1.

正確答案：[解析]方法一：

由

2.

設(shè)y=y(x)由確定，則正確答案：[解析]當t=0時，x=1．

exsint-x+1=0兩邊對t求導，得，于是；

兩邊對t求導，得，于是．

故

3.

曲線的斜漸近線為______．正確答案：y=2x-1[解析]

故曲線的斜漸近線為y=2x-1．

4.

正確答案：[解析]改變積分次序得

5.

y"-2y'-3y=e-x的通解為______．正確答案：[解析]特征方程λ2-2λ-3=0，特征值為λ1=-1，λ2=3，則方程y"-2y'-3y=0的通解為y=C1e-x+C2e3x.

令原方程的特解為y0(x)=Axe-x，代入原方程得，于是原方程的通解為

6.

設(shè)A為三階實對稱矩陣，α1=(m，-m，1)T是方程組AX=0的解，α2=(m，1，1-m)T是方程組(A+E)X=0的解，則m=______．正確答案：1[解析]由AX=0有非零解得r(A)＜3，從而λ=0為A的特征值，α1=(m，-m，1)T為其對應的特征向量；

由(A+E)X=0有非零解得r(A+E)＜3，|A+E|=0，λ=-1為A的另一個特征值，其對應的特征向量為α2=(m，1，1-m)T，因為A為實對稱矩陣，所以A的不同特征值對應的特征向量正交，于是有m=1．

三、解答題共94分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．1.

設(shè)f(x)可導，且，計算正確答案：[解]

由得，

于是

2.

設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導，且f(a)=g(b)=0，g'(x)＜0，試證明存在ξ∈(a，b)使

正確答案：[解]令，顯然函數(shù)φ(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，函數(shù)φ(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導，且

另外又有φ(a)=φ(b)=0．

所以根據(jù)羅爾定理可知存在ξ∈(a，b)使φ'(ξ)=0，即

由于g(b)=0及g'(x)＜0，所以區(qū)間(a，b)內(nèi)必有g(shù)(x)＞0，從而就有，

于是有

設(shè)3.

用變換x=t2將原方程化為y關(guān)于t的微分方程；正確答案：[解]

代入，得

整理，得

4.

求原方程的通解．正確答案：[解]特征方程為λ2-λ-6=0，特征值為λ1=-2，λ2=3，

方程的通解為y=C1e-2t+C2e3t．

令的特解為y0=Ate3t，代入得，故原方程的通解為

5.

設(shè)直線y=ax+b為曲線y=ln(x+2)的切線，且y=ax+b，x=0，x=4及曲線y=ln(x+2)圍成的圖形面積最小，求a，b的值．正確答案：[解]設(shè)直線y=ax+b為曲線y=ln(x+2)在點(x0，ln(x0+2))處的切線，

切線為，解得

令得x0=2．

當x0∈(-2，2)時，S'(x0)＜0，當x0＞2時，S'(x0)＞0，則x0=2為S(x0)的最小點，從而當時，y=ax+b，x=0，x=4及曲線y=ln(x+2)圍成的圖形面積最?。?/p>

6.

求二重積分，其中D={(x，y)|0≤y≤1-x，0≤x≤1}．正確答案：[解]方法一：

在區(qū)域D內(nèi)作圓x2+y2=x，將區(qū)域D分為D1，D2，則

第一卦限的角平分線將D1分為D11及D12，

而

方法二：

在區(qū)域D內(nèi)作圓x2+y2=x，將區(qū)域D分為D1，D2，則

而

又

7.

設(shè)y=f(x，t)，而t是由方程G(x，y，t)=0確定的x，y的函數(shù)，其中f(x，t)，G(x，y，t)為可微函數(shù)，求．正確答案：[解]由方程組確定兩個一元函數(shù)，其中x為自變量，y，t為函數(shù)，對x求導得

8.

設(shè)f(x)在[1，+∞)上連續(xù)且可導，若曲線y=f(x)，直線x=1，x=t(t＞1)與x軸圍成的平面區(qū)域繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為

且，求函數(shù)y=f(x)的表達式．正確答案：[解]由旋轉(zhuǎn)體的體積公式得

由已知條件得

等式兩邊對t求導得

3f2(t)=2tf(t)+t2f'(t)，

于是有x2y'=3y2-2xy，變形得

令，則有，分離變量并兩邊積分得

即y-x=Cx3y，

由得C=-1，故

設(shè)A為m×n矩陣，且，其中．9.

證明方程組AX=b有且僅有n-r+1個線性無關(guān)解；正確答案：[解]令ξ1，ξ2，…，ξn-r，為AX=0的基礎(chǔ)解系，η0為AX=b的特解，顯然β0=η0，β1=ξ1+η0，…，βn-r=ξn-r+η0為AX=b的一組解，令k0β0+k1β1+…+kn-rβn-r=0，即

k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r+(k0+k1+…+kn-r)η0=0．

上式左乘A得(k0+k1+…+kn-r)b=0，因為b≠0時，k0+k1+…+kn-r=0，于是k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r=0，因為ξ1，ξ2，…，ξn-r為AX=0的基礎(chǔ)解系，所以k1=k2=…=kn-r=0，于是k0=0，故β0，β1，…，βn-r線性無關(guān)．

若γ0，γ1，…，γn-r+1為AX=b的線性無關(guān)解，則ξ1=γ1-γ0，…，ξn-r+1=γn-r+1-γ0為AX=0的解，令k1ξ1+k2ξ2+…+kn-r+1ξn-r+1=0，則

k1γ1+k2γ2+…+kn-r+1γn-r+1-(k1+k2+…+kn-r+1)γ0=0．

因為γ0，γ1，…，γn-r+1線性無關(guān)，所以k1=k2=…=kn-r+1=0，即ξ1，ξ2，…，ξn-r+1為AK=0的線性無關(guān)解，矛盾，故方程組AX=b恰有n-r+1個線性無關(guān)解．

10.

若有三個線性無關(guān)解，求a，b的值及方程組的通解．正確答案：[解]令

則化為AX=β．

因為AX=β有三個非零解，所以AX=0有兩個非零解，故4-r(A)≥2，r(A)≤2，又因為r(A)≥2，所以

則a=-3，b=-1．