考研數(shù)學二分類模擬191

考研數(shù)學二分類模擬191一、選擇題1.

設則______

A．

B．

C．

D．正確答案：D[解析]將題設條件f(x)中的所有自變量x都用(-x)替換，得

即

故選D。

2.

設則f{f[f(x)]}=______

A．0

B．1

C．

D．正確答案：B[解析]因為|f(x)|≤1恒成立，所以f[f(x)]=1恒成立，從而f{f[f(x)]}=f(1)=1。故選B。

3.

設函數(shù)f(x)在(0，+∞)上具有二階導數(shù)，且f"(x)＞0，令un=f(n)(n=1，2，…)，則下列結論正確的是______A.若u1＞u2，則{un}必收斂B.若u1＞u2，則{un}必發(fā)散C.若u1＜u2，則{un}必收斂D.若u1＜u2，則{un}必發(fā)散正確答案：D[解析]選項A：設f(x)=-lnx，則f(x)在(0，+∞)上具有二階導數(shù)，且f"(x)＞0，u1＞u2，但{un}={-lnn}發(fā)散，排除A；

選項B：設，則f(x)在(0，+∞)上具有二階導數(shù)，且f"(x)＞0，u1＞u2，但{un}=收斂，排除B；

選項C：設f(x)=x2，則f(x)在(0，+∞)上具有二階導數(shù)，且f"(x)＞0，u1＜u2，但{un}={n2}發(fā)散，排除C；

選項D：由拉格朗日中值定理，有

un+1-un=f(n+1)-f(n)=f'(ξn)(n+1-n)=f'(ξn)，

其中ξn∈(n，n+1)(n=1，2，…)。由f"(x)＞0知，f'(x)單調增加，故

f'(ξ1)＜f'(ξ2)＜…＜f'(ξn)＜…，

所以

于是當u2-u1＞0時，推得故選D。

4.

下列各式中正確的是______

A．

B．

C．

D．正確答案：A[解析]由重要極限可排除B、D兩項。

對于A、C選項，只要驗算其中之一即可。

對于C選項，因可知C選項不正確。故選A。

5.

若則______

A．

B．

C．

D．正確答案：B[解析]由重要極限可得，再將ex按泰勒公式展開，可得

從而有

可知，b=-1，故選B。

6.

函數(shù)f(x)=xsinx______A.當x→∞時為無窮大B.在(-∞，+∞)內有界C.在(-∞，+∞)內無界D.當x→∞時有有限極限正確答案：C[解析]令，yn=2nπ+π，則f(yn)=0。因為所以f(x)在(-∞，+∞)內無界，且當x→∞時不一定為無窮大。故選C。

7.

設數(shù)列{xn}與{yn}滿足，則下列結論正確的是______

A．若{xn}發(fā)散，則{yn}必發(fā)散

B．若{xn}無界，則{yn}必無界

C．若{xn}有界，則{yn}必為無窮小

D．若為無窮小，則{yn}必為無窮小。正確答案：D[解析]取xn=n，yn=0，顯然滿足題設條件，由此可排除選項A、B。取xn=0，yn=n，也滿足=0，排除選項C。故選D。

8.

設{an}，{bn}，{cn}均為非負數(shù)列，且，則必有______

A．a(chǎn)n＜bn對任意n成立

B．bn＜cn對任意n成立

C．極限不存在

D．極限不存在正確答案：D[解析]方法一：選項A與B顯然是錯誤的。由題設存在并記為A，則這與矛盾，故假設不成立，即不存在。故選D。

方法二：排除法。

取滿足而a1=1，b1=0，a1＞b1，A項不正確；

取cn=n-2，滿足而b1=0＞-1=c1，B項不正確；

取cn=n-2，滿足，C項不正確。

故選D。

(1)選項A，B容易和極限的保號性混淆，根據(jù)保號性：，所以存在N＞0，當n＞N時，有an＜bn。但要注意的是，這里an＜bn只有對足夠大的n(n＞N)才成立，無法保證對每一項都成立。

(2)結合本題的推理過程和極限的四則運算法則，可以總結出如下結論：兩個收斂的數(shù)列相乘一定是收斂的；收斂的數(shù)列和發(fā)散的數(shù)列相乘之后是否收斂取決于收斂的數(shù)列的極限值，如果該極限值不為零，則一定發(fā)散，如果該極限值為零，則有可能收斂也有可能發(fā)散。同樣的結論對函數(shù)極限也是成立的。

二、填空題1.

當x→0時，α(x)=kx2與是等價無窮小，則k=______。正確答案：[解析]由題設可知

所以

2.

正確答案：[解析]

3.

正確答案：sin1-cos1[解析]由定積分的定義

一般求無窮項和的極限采用定積分分段、求和、取極限的定義比較簡單，利用定積分求極限的一般公式為

4.

正確答案：[解析]方法一：將分子化簡后用等價無窮小替換。易知，則

方法二：應用(1+u)λ的麥克勞林展開式

當x→0時，有

因此

5.

正確答案：[解析]

6.

正確答案：[解析]

三、解答題1.

試確定常數(shù)A，B，C的值，使得

ex(1+Bx+Cx2)-1+Ax+o(x3)，

其中o(x3)是當x→0時比x3高階的無窮小。正確答案：解：將麥克勞林展開式代入已知等式得

整理得

比較系數(shù)可得

解這個方程組可得

2.

正確答案：解：方法一：原式

方法二：可借助麥克勞林展開式進行計算，即

3.

正確答案：解：由麥克勞林展開式因此

4.

正確答案：解：因為ln(cosx)=ln(1+cosx-1)，所以x→0，ln(cosx)～cosx-1～。又由麥克勞林展開式，因此

5.

正確答案：解：由麥克勞林展開式

因此

6.

正確答案：解：由麥克勞林展開式及常見的等價無窮小替換，可得

7.

正確答案：解：方法一：

方法二：因

則[解析]從上述解題過程可以看出，對型的未定式，四則運算法則和等價無窮小替換是基本的化簡和變形的方法，也是在求極限的過程中首先需要考慮的；對于復雜一點的極限式，在充分使用上述兩個方法的基礎上，往往還需要用到洛必達法則以及泰勒公式，相比之下，對一般的初等函數(shù)