考研數(shù)學二模擬405

考研數(shù)學二模擬405一、選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1.

設函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)有定義，且f(x)的反函數(shù)為g(x)．記

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則A.x=0必是F(x)的可去間斷點．B.x=0必是F(x)的跳躍間斷點．C.x=0必是F(x)的連續(xù)點．D.x=0必是F(x)的第二類間斷點．正確答案：C[解析]題中說f(x)的反函數(shù)是g(x)，根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)有f[g(x)]=x，所以有所以x=0必是F(x)的連續(xù)點．

2.

函數(shù)y=C1ex+C2e-x+C3xex(C1，C2，C3為任意常數(shù))滿足的一個微分方程是A.y'''-y"-y'+y=0．B.y'''-y"+y'+y=0．C.y'''+y"-y'+y=0．D.y'''-y"-y'-y=0．正確答案：A[解析]由題意，(C1+C3x)ex是特征方程的二重根1對應的項，C2e-x是特征方程的單根-1對應的項，因此，特征方程為(r-1)2(r+1)=0，即r3-r2-r+1=0．從而可知所求方程為y'''-y"-y'+y=0．

3.

設函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)存在一階導數(shù)，則下列命題正確的是A.若f(x)只有一個零點，則f'(x)無零點．B.若f'(x)至少有一個零點，則f(x)至少有兩個零點．C.若f(x)無零點，則f'(x)至多有一個零點．D.若f'(x)無零點，則f(x)至多有一個零點．正確答案：D[解析]本題需用到如下結論：

若題中先說低階，那就是：至少，越來越少；

若題中先說高階，那就是：至多，越來越多．

由以上結論直接可知本題應選擇選項D.

4.

設函數(shù)已知f'(x)連續(xù)，則A.b為任意常數(shù)，a=0．B.b為任意常數(shù)，a=e．C.a為任意常數(shù)，b=0．D.a為任意常數(shù)，b=e．正確答案：D[解析]首先求出函數(shù)f'(x)．對于分段點來說，要用導數(shù)的定義式來求；對于其他點來說，直接用導數(shù)公式來求即可，

先用導數(shù)的定義式求f(x)在x=0處的導數(shù)：

然后，要分和來做．因為如果不分，就不知道要將f(Δx)顯化成什么．

本題說函數(shù)f'(x)連續(xù)，就暗示函數(shù)f'(x)存在，既然函數(shù)f'(x)存在，所以f'(0)存在．由于f'(0)存在，所以肯定有，所以b=e，a為任意常數(shù)．

5.

設函數(shù)f(x，y)在點(0，0)處連續(xù)，且，則A.fx(0，0)存在且不為零．B.fx(0，0)不存在．C.f(x，y)在點(0，0)處取得極小值．D.f(x，y)在點(0，0)處取得極大值．正確答案：C[解析]由存在可知．根據(jù)極限的局部保號性，

由于，在(0，0)的某一去心鄰域內(nèi)有，即

f(x，y)＞f(0，0)．

根據(jù)極值定義，f(x，y)在(0，0)處取得極小值，故選C.

由于，故排除A、B.

還可由存在得到f(x，y)在點(0，0)處可微，這是由于

6.

設區(qū)域D是由y=x2(0≤x≤1)，y=-x2(-1≤x≤0)，y=1及x=-1所圍成的平面區(qū)域，則A.0．B.1．C.2．D.4．正確答案：C[解析]用y=x2(-1≤x≤0)把D分割成D1和D2(如下圖所示)，其中

D1={(x，y)|-1≤x≤1，x2≤y≤1},

D2={(z，y)|-1≤x≤0，-x2≤y≤x2}．

記，根據(jù)二重積分的可加性，有

因為f(x)(-x，y)=-f(x，y)，且D1關于y軸對稱，故；因為f(x，-y)=-f(x，y)，且D2關于x軸對稱，故

由于D1關于y軸對稱，D2關于x軸對稱，故D的面積就等于下圖中陰影部分面積的2倍．于是

7.

設a，b，c，d，e，f均為常數(shù)，則下列向量組線性無關的為A.α1=(1，-1，0，2)T，α2=(0，1，-1，1)T，α3=(0，0，0，0)T．B.α1=(a，b，c)T，α2=(b，c，d)T，α3=(c，d，a)T，α4=(d，a，b)T．C.α1=(a，1，b，0，0)T，α2=(c，0，d，1，0)T，α3=(e，0，f，0，1)T．D.α1=(1，2，1，5)T，α2=(1，2，3，6)T，α3=(1，2，5，7)T，α4=(0，0，0，1)T．正確答案：C[解析]單位向量組(1，0，0)T，(0，1，0)T，(1，0，0)T是線性無關的，而如果某個向量組線性無關，則增加維數(shù)后(相應的位置)仍線性無關，

選擇題中判斷線性相(無)關時很少使用定義，大多是用性質(zhì)，因此請大家務必掌握線性相(無)關的性質(zhì)．

8.

下列矩陣中與矩陣

合同的矩陣是

A．

B．

C．

D．正確答案：B[解析]兩個對稱矩陣合同的充分必要條件是：將這兩個矩陣寫為二次型，再化為標準形，則兩個標準形的正負慣性指數(shù)相同．

將對應的二次型寫為，用配方法(用正交變換法也可)將其化為標準形，正慣性指數(shù)為2，負慣性指數(shù)為1．

四個選項中所給的矩陣寫為二次型后直接就是標準形(不用再化了)，只有選項B的正慣性指數(shù)為2，負慣性指數(shù)為1．

二、填空題1.

正確答案：2-2ln|1-ex|+C[解析]

2.

微分方程ydx-tanxdy=0的通解為______．正確答案：y=Csinx[解析]原方程可化為

分離變量得

兩端積分

即

得ln|y|=ln|sinx|+ln|C|，

從而原方程的通解為

y=Csinx．

3.

已知函數(shù)z=f(x，y)的全微分為dx=(x+y)dx+(x-y)dy，且f(0，0)=1，則f(x，y)=______．正確答案：[解析]由dz=(x+y)dx+(x-y)dy可知

等式兩邊分別對x、y積分得

比較兩式得

由f(0，0)=1得C=1，故

4.

設函數(shù)，則f(2016)(0)=______．正確答案：0[解析]是奇函數(shù)，所以f'(x)是偶函數(shù)，f"(x)是奇函數(shù)，…，f(2016)(x)是奇函數(shù)，而奇函數(shù)在x=0處的函數(shù)值是0，所以f(2016)(x)=0．

5.

已知，則正確答案：2[解析]因為，由題意得．

由于存在，，故當x→0時，

于是

6.

設矩陣，則An=______．正確答案：[解析]設

則因此，只要計算出Bn和Cn即可，求Bn．

由于αTα=2，所以

求Cn．

將矩陣C寫為，由二項式定理可求得

所以

三、解答題共94分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．1.

求極限正確答案：[解]

2.

設函數(shù)u=f(x，y，z)具有二階連續(xù)偏導數(shù)，且z=z(x，y)由方程eyz-xy=1所確定，求du與正確答案：[解]令F(x，y，z)=eyz-xy-1，則Fx=-y，F(xiàn)y=zeyz-x，F(xiàn)z=yeyz．

于是

從而

故

3.

設常數(shù)a＞0，求函數(shù)在(-∞，+∞)內(nèi)的最值．正確答案：[解]

顯然，f(x)的不可導點為x=0和x=a，駐點為

可能極值點有三個，通過驗證可知只有極大值點x=0，對應的極大值為．

接下來求區(qū)間端點處的極限值：

所以，是f(x)在區(qū)間(-∞，+∞)內(nèi)的最大值，f(x)在區(qū)間(-∞，+∞)內(nèi)無最小值．

4.

計算二重積分，其中D={(x，y)|x2+y2≤1，y≥|x|}．正確答案：[解]記

因為f(-x，y)=-f(x，y)，且D關于y軸對稱，故

因為g(-x，y)=g(x，y)，且D關于y軸對稱，故，其中D1={(x，y)|x2+y2≤1，y≥x≥0}．

于是

5.

設函數(shù)f(x)在[0，1]上可導，且．證明：存在ξ∈(0，1)，使得f'(ξ)=2ξf(ξ)．正確答案：[證]設輔助函數(shù)為F(x)=e-x2f(x)．

根據(jù)積分中值定理，在區(qū)間上存在一點η，使得f(1)=e1-η2f(η)．

又由于F(1)=e-1f(1)，F(xiàn)(η)=e-η2f(η)，故F(η)=F(1)．

由于函數(shù)F(x)在閉區(qū)間[η，1]上連續(xù)．在開區(qū)間(η，1)內(nèi)可導，且F(η)=F(1)，所以根據(jù)羅爾定理可知存在ξ∈(η，1)(0，1)，使得F'(ξ)=2ξf(ξ)，即f'(ξ)=2ξf(ξ)．

積分中值定理只在閉區(qū)間上成立，在開區(qū)間內(nèi)成立的結論不能稱為積分中值定理，若要使用，須寫出用拉格朗日中值定理證明的過程．

6.

已知函數(shù)

在區(qū)間(-∞，+∞)內(nèi)存在原函數(shù)，求常數(shù)A，并求f(x)在區(qū)間(-∞，+∞)內(nèi)的所有原函數(shù)．正確答案：[解]由于f(x)在區(qū)間(-∞，+∞)內(nèi)存在原函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間(-∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，或f(x)在區(qū)間(-∞，+∞)內(nèi)只有第二類間斷點而沒有第一類間斷點，

由于

說明x=0不可能是f(x)的第二類間斷點，故f(x)在x=0處一定連續(xù)．

根據(jù)連續(xù)的定義，有f(0)=A=0．

當x＜0時，

當x＞0時，

由于∫f(x)dx在x=0處可導，故在x=0處連續(xù)，于是1+C1=C2．

令C1=C，則f(x)在區(qū)間(-∞，+∞)內(nèi)的所有原函數(shù)為

7.

已知曲線y=f(x)在[0，a](當x≥0時，f(x)＞0)上與x軸圍成的面積值比f(a)大bea(其中常數(shù)a＞0，b≠0)，且f(x)在x=b處取極小值，試求f(x)的表達式．正確答案：[解]由題意，

即

兩邊對x求導，得f(x)-f'(x)=bex，即有一階線性微分方程

，且滿足y|x=0=-b．

其通解為

由y|x=0=-b得C=-b，故y=-bex(x+1)．

因為f(x)在x=b處取極小值，由f'(b)=-beb(b+2)=0可知b=-2．

所以，f(x)=2ex(x+1)．

設矩陣8.

計算A2；正確答案：[解]

9.

證明矩陣E+A可逆，并求(E+A)-1．正確答案：[解]由

所以A+E可逆，且

10.

設矩陣，且B=A3-2A+5E，其中E為4階單位矩陣．

判斷B是否能相似對角化；若能，求可逆矩陣P，使得P-1BP=A．正確答案：[解]矩陣A是4階實對稱方陣，肯定有4個實特征值，現(xiàn)求這4個特征值．

令|A-λE|=0，即

，

解得λ1=-2，λ2=λ3=λ4=2．

當λ1=-2時，特征向量為，其中k≠0．

當λ1=λ3=λ4=2時，特征向量為，