考研數(shù)學(xué)二分類模擬題185

考研數(shù)學(xué)二分類模擬題185解答題1.

計(jì)算正確答案：解：按第一行展開

得到遞推公式

D5-D4=-x(D4-D3)=…=-x3(D2-D1)．

由于，D1=1-x，于是得

容易推出D5=-x5+x4-x3+D2=-x+x4-x3+x2-x+1．

2.

計(jì)算正確答案：解：按第一列展開，得

=an+(-1)1+nbn．

3.

計(jì)算正確答案：解：

4.

已知n階方陣A滿足矩陣方程A2-3A-2E=O．證明A可逆，并求出其逆矩陣A-1．正確答案：證：

5.

設(shè)矩陣A和B滿足關(guān)系式AB=A+2B，其中，求矩陣B．正確答案：解：

6.

設(shè)可逆，其中A，D皆為方陣，證明A，D可逆，并求M-1．正確答案：證：

設(shè)M的逆矩陣為，由于，得

所以

7.

設(shè)矩陣，矩陣X滿足AX+E=A2+X，其中E為3階單位矩陣，試求出矩陣X．正確答案：解：．又|A-E|=-1≠0，則

設(shè)A為n階非奇異矩陣，α為n維列向量，b為常數(shù)．記分塊矩陣

其中A*是矩陣A的伴隨矩陣，E為n階單位矩陣．8.

計(jì)算并化簡PQ；正確答案：解：

9.

證明：矩陣Q可逆的充分必要條件是αTA-1α≠b．正確答案：證：由第一小題得

故Q可逆

10.

設(shè)，求An，n≥3．正確答案：解：設(shè)，又EB=BE，Bn=O(n≥3)，所以

設(shè)有兩個(gè)非零矩陣A=[a1，a2，…，an]T，B=[b1，b2，…，bn]T．11.

計(jì)算ABT與ATB；正確答案：解：，ATB=a1b1+a2b2+…+anbn．

12.

求矩陣ABT的秩r(ABT)；正確答案：解：因ABT各行(列)是第1行(列)的倍數(shù)，又A，B皆為非零矩陣，故r(ABT)=1．

13.

設(shè)C=E-ABT，其中E為n階單位矩陣，證明：CTC=E-BAT-ABT+BBT的充要條件是ATA=1．正確答案：證：由于CTC=(E-ABT)T(E-ABT)=(E-BAT)(E-ABT)=E-BAT-ABT+BATABT，故若要求CTC=E-BAT-ABT+BBT，則BATABT-BBT=O，B(ATA-1)BT=O，即

(ATA-1)BBT=O．

因?yàn)锽≠O，所以BBT≠O故CTC=E-BAT-ABT+BBT的充要條件是ATA=1．

14.

A，B均是n階矩陣，且AB=A+B，證明A-E可逆，并求(A-E)-1．正確答案：證：因AB=A+B，即AB-A-B=O，AB-A-B+E=E，A(B-E)-(B-E)=E，即

(A-E)(B-E)=E，

故A-E可逆，且(A-E)-1=B-E．

15.

已知A，B是3階方陣，A≠O，AB=O，證明：B不可逆．正確答案：證：AB=O，(AB)T=BTAT=O，A≠O，BTX=0有非零解，故|BT|=0，即|B|=0，從而有B不可逆．

16.

設(shè)A是n階可逆矩陣，將A的第i行和第j行對(duì)換得到的矩陣記為B，證明B可逆，并推導(dǎo)A-1和B-1的關(guān)系．正確答案：證：記Eij為初等矩陣

則B=EijA，|B|=|EijA|=|Eij||A|=-|A|≠0，故B可逆，且

故

B的逆矩陣可由A的逆矩陣交換第i列和第j列之后得到．

17.

已知α1=[1，-1，1]T，α2=[1，t，-1]T，α3=[t，1，2]T，β=[4，t2，-4]T，若β可由α1，α2，α3線性表示，且表示法不唯一，求t及β的表達(dá)式．正確答案：解：設(shè)x1α1+x2α2+x3α3=β，按分量寫出為

對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換得

由條件知，從而t=4，此時(shí)，增廣矩陣可化為

其通解為，k為任意常數(shù)，所以

β=-3kα1+(4-k)α2+kα3，k為任意常數(shù)．

18.

設(shè)A是n×m矩陣，B是m×n矩陣，其中n＜m，E是n階單位矩陣，若AB=E，證明：B的列向量組線性無關(guān)．正確答案：證：n≥r(B)≥r(AB)=r(E)=nr(B)=n，則B的列向量組線性無關(guān)．

19.

設(shè)向量組(Ⅰ)與向量組(Ⅱ)，若(Ⅰ)可由(Ⅱ)線性表示，且r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r，證明：(Ⅰ)與(Ⅱ)等價(jià)．正確答案：證：設(shè)(Ⅰ)的一個(gè)極大無關(guān)組為ξ1，ξ2，…ξr，(Ⅱ)的一個(gè)極大無關(guān)組為η1，η2，…，ηr．

因?yàn)?Ⅰ)可由(Ⅱ)線性表示，即ξ1，ξ2，…，ξr可由η1，η2，…，ηr線性表示，于是

r(ξ1，β2，…，βr，η1，η2，…，ηr)=r(η1，η2，…，ηr)=r．

又ξ1，ξ2，…，ξr線性無關(guān)，則ξ1，ξ2，…，ξr也可作為ξ1，ξ2，…，ξr，η1，η2，…，ηr的一個(gè)極大無關(guān)組，于是η1，η2，…，ηr也可由ξ1，ξ2，…，ξr線性表示，即(Ⅱ)也可由(Ⅰ)線性表示，得證．

20.

求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系．正確答案：解：系數(shù)矩陣，則方程組的解為

令，得方程組的基礎(chǔ)解系

ξ1=[-1，1，0，0，0]T，ξ2=[-1，0，-1，0，1]T．

21.

問λ為何值時(shí)，線性方程組

有解，并求出解的一般形式．正確答案：解：其增廣矩陣為

線性方程組有解，解得λ=1，其通解為

22.

λ為何值時(shí)，方程組

無解，有唯一解或有無窮多解?并在有無窮多解時(shí)寫出方程組的通解．正確答案：解：方程組改寫為則有

當(dāng)時(shí)，方程組無解；

當(dāng)λ≠1且時(shí)，方程組有唯一解；

當(dāng)λ=1時(shí)，方程組有無窮多解，且通解為

23.

已知線性方程組

(1)a，b為何值時(shí)，方程組有解；

(2)方程組有解時(shí)，求出方程組的導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系；

(3)方程組有解時(shí)，求出方程組的全部解．正確答案：解：

(1)a=1，b=3時(shí)，r(A)=r([A|b])，方程組有解．

(2)導(dǎo)出組基礎(chǔ)解系為：ξ1=[1，-2，1，0，0]T，ξ2=[1，-2，0，1，0]T，ξ3=[5，-6，0，0，1]T．

(3)方程組通解：非齊次特解為η=[-2，3，0，0，0]T，故通解為k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3+η，k1，k2，k3為任意常數(shù)．

24.

已知方程組(Ⅰ)及方程組(Ⅱ)的通解為

k1[-1，1，1，0]T+k2[2，-1，0，1]T+[2，3，0，0]T，k1，k2為任意常數(shù)．求方程組(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解．正確答案：解：將方程組(Ⅱ)的通解

k1[-1，1，1，0]T-k2[2，1，0，1]T+[-2，-3，0，0]T=[-2-k1+2k2，-3+k1-k2，k1，k2]T代入方程組(Ⅰ)，得

化簡得k1=2k2+6

將上述關(guān)系式代入(Ⅱ)的通解，得方程組(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解為：

[-2-(2k