考研數(shù)學(xué)二分類模擬題91

考研數(shù)學(xué)二分類模擬題91一、選擇題1.

設(shè)函數(shù)fi(x)(i=1，2)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f"i(x0)＜0(i=1，2)．若兩條曲線y=fi(x)(i=1，2)在點(diǎn)(x0，y0)處具有公切線y=g(x)（江南博哥），且在該點(diǎn)處曲線y=f1(x)的曲率大于曲線y=f2(x)的曲率，則在x0的某個(gè)鄰域內(nèi)，有A.f1(x)≤f2(x)≤g(x)．B.f2(x)≤f1(x)≤g(x)．C.f1(x)≤g(x)≤f2(x)．D.f2(x)≤g(x)≤f1(x)．正確答案：A[解析]由f"i(x0)＜0(i=1，2)，且f"i(x)連續(xù)知，在x0某鄰域內(nèi)曲線y=f1(x)和y=f2(x)是凸的，又在該點(diǎn)處曲線y=f1(x)的曲率大于曲線y=f2(x)的曲率，則如圖所示，則

f1(x)≤f2(x)≤g(x)．

2.

若3a2-5b＜0，則方程x5+2ax3+3bx+4c=0A.無(wú)實(shí)根．B.有唯一實(shí)根．C.有三個(gè)不同實(shí)根．D.有五個(gè)不同實(shí)根．正確答案：B[解析]由于x5+2ax3+3bx+4c=0為5次方程，則該方程至少有一個(gè)實(shí)根(奇次方程至少有一實(shí)根)．

令f(x)=x5+2ax3+3bx+4c，f'(x)=5x4+6ax2+3b，而

Δ=(6a)2-60b=12(3a2-5b)＜0，

則f(x)≠0．因此，原方程最多一個(gè)實(shí)根，故原方程有唯一實(shí)根．

3.

設(shè)常數(shù)k＞0．函數(shù)在(0，+∞)內(nèi)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為A.3．B.2．C.1．D.0．正確答案：B[解析]由可知，．令f'(x)=0得x=e，且當(dāng)x∈(0，e)時(shí)，f'(x)＞0，則f(x)嚴(yán)格單調(diào)增；而當(dāng)x∈(e，+∞)時(shí)，f'(x)＜0，則f(x)嚴(yán)格單調(diào)減，又f(e)=k＞0，而

則f(x)在(0，e)和(e，+∞)上分別有唯一零點(diǎn)．故在(0，+∞)內(nèi)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2．

4.

在區(qū)間(-∞，+∞)內(nèi)，方程A.無(wú)實(shí)根．B.有且僅有一個(gè)實(shí)根．C.有且僅有兩個(gè)實(shí)根．D.有無(wú)窮多個(gè)實(shí)根．正確答案：C[解析]令，顯然，f(x)是偶函數(shù)．所以，只要考慮f(x)=0在(0，+∞)上的實(shí)根情況．當(dāng)x≥0時(shí)，．f(0)=-1＜0，．

又，則f(x)在上嚴(yán)格單調(diào)增，因此f(x)=0在上有唯一實(shí)根，而當(dāng)時(shí)，f(x)＞0，故在(0，+∞)上方程f(x)=0有且僅有唯一實(shí)根，由對(duì)稱性可知，f(x)=0在(-∞，+∞)上有且僅有兩個(gè)實(shí)根．

5.

設(shè)函數(shù)f(x)=x2(x-1)(x-2)，則f'(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為A.0．B.1．C.2．D.3．正確答案：D[解析]f(x)在區(qū)間[0，1]和[1，2]上滿足羅爾中值定理的條件，故f'(x)在(0，1)和(1，2)內(nèi)至少各有1個(gè)零點(diǎn)，從而否定A和B，又f'(x)中含有因子x，故x=0也是f'(x)的零點(diǎn)，于是選D．

也可以直接計(jì)算：

f(x)=x4-3x3+2x2，f'(x)=x(4x2-9x+4)．

顯然，f'(x)有3個(gè)零點(diǎn)．

6.

若f"(x)不變號(hào)，且曲線y=f(x)在點(diǎn)(1，1)處的曲率圓為x2+y2=2，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，2)內(nèi)A.有極值點(diǎn)，無(wú)零點(diǎn)．B.無(wú)極值點(diǎn)，有零點(diǎn)．C.有極值點(diǎn)，有零點(diǎn)．D.無(wú)極值點(diǎn)，無(wú)零點(diǎn)．正確答案：B[解析]在x2+y2=2兩邊對(duì)x求一階導(dǎo)數(shù)

x+yy'=0，解得y'(1)=-1；

再求導(dǎo)1+(y')2+yy"=0，解得y"(1)=-2．

由上面的分析知：f'(1)=-1，f"(1)=-2．

因?yàn)閒"(x)不變號(hào)，所以在區(qū)間[1，2]上f"(x)＜0，f'(x)是單調(diào)減少的，即f'(x)＜f'(1)=-1＜0，從而函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，2)內(nèi)單調(diào)減少，無(wú)極值點(diǎn)．這就排除了選項(xiàng)A和C．

在區(qū)間[1，2]上函數(shù)f(x)滿足拉格朗日中值定理的條件，故有

f(2)-f(1)=f'(ξ)＜-1，ξ∈(1，2)，

從而f(2)＜0，而f(1)=1＞0，故由零點(diǎn)定理知f(x)在區(qū)間(1，2)內(nèi)有零點(diǎn)，即選項(xiàng)B是正確的．

7.

函數(shù)f(x)=ln|(x-1)(x-2)(x-3)|的駐點(diǎn)個(gè)數(shù)為A.0．B.1．C.2．D.3．正確答案：C[解析]

令f'(x)=0，即3x2-12x+11=0，由于其判別式Δ=(-12)2-4×3×11＞0，所以f'(x)=0有兩個(gè)實(shí)根，即f(x)有兩個(gè)駐點(diǎn)，因此選C．

8.

設(shè)f(x)處處可導(dǎo)，則

A．

B．

C．

D．正確答案：D[解析]解法1

排除法．令f(x)=x，則，但f'(x)=1，可見A，C都不正確．

令f(x)=e-x，則，但，故B也不正確．

所以應(yīng)選D．

解法2

直接法．由于，則存在M＞0，及x0＞0，當(dāng)x＞x0時(shí)，f'(x)＞M，于是當(dāng)x＞x0時(shí)有

f(x)-f(x0)=f'(ξ)(x-x0)＞M(x-x0)，

即f(x)＞f(x0)+M(x-x0)→+∞(x→+∞)．

則，故應(yīng)選D．

9.

設(shè)函數(shù)y=f(x)在(0，+∞)內(nèi)有界且可導(dǎo)，則

A．

B．

C．

D．正確答案：B[解析]解法1

直接法．f(x)-f(x0)=f'(ξ)(x-x0)，ξ介于x與x0之間，則f(x)=f'(ξ)(x-x0)+f(x0)=f'(ξ)x+f(x0)-f'(ξ)x0，當(dāng)存在時(shí)，假設(shè)，則據(jù)f(x)=f'(ξ)x+f(x0)-f'(ξ)x0，知x→+∞時(shí)，f(x)→∞，這與f(x)是有界的矛盾．

故當(dāng)存在時(shí)，極限．選B．

解法2

排除法．A的反例：，所以f(x)在(0，+∞)內(nèi)有界，

所以f(x)在(0，+∞)內(nèi)可導(dǎo)．但不存在．

C的反例：f(x)=sinx，f(x)在(0，+∞)內(nèi)有界，可導(dǎo)，．

D的反例：，f(x)在(0，+∞)內(nèi)有界，，但并不為零．

因?yàn)樗膫€(gè)選項(xiàng)中有且只有一個(gè)正確．所以選B．

10.

設(shè)函數(shù)f(x)在(0，+∞)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且f"(x)＞0，令un=f(n)(n=1，2，…)，則下列結(jié)論正確的是A.若u1＞u2，則{un}必收斂．B.若u1＞u2，則{un}必發(fā)散．C.若u1＜u2，則{un}必收斂．D.若u1＜u2，則{un}必發(fā)散．正確答案：D[解析]排除法．取在(0，+∞)內(nèi)滿足題設(shè)條件，是收斂的；取f(x)=，在(0，+∞)內(nèi)滿足題設(shè)條件，u1=0＞-1=u2，是發(fā)散的，故排除B和A．取F(x)=x2，在(0，+∞)內(nèi)滿足題設(shè)條件，u1=1＜4=u2，{un}={n2}是發(fā)散的，故排除C．于是應(yīng)選D．

二、解答題1.

設(shè)e＜a＜b＜e2．證明．正確答案：證法1

設(shè)，則

所以當(dāng)x＞e時(shí)，φ"(x)＜0，故φ'(x)單調(diào)減少，從而當(dāng)e＜x＜e2時(shí)，

即當(dāng)e＜x＜e2時(shí)，φ(x)單調(diào)增加．

因此當(dāng)e＜a＜b＜e2時(shí)，φ(b)＞φ(a)，

即

故

證法2

原不等式等價(jià)于：，左端可看作函數(shù)f(x)=ln2x在[a，b]上的拉格朗日中值定理的形式，故，a＜ξ＜b．下面對(duì)ξ作估計(jì)：

令，當(dāng)x＞e時(shí)，φ'(x)＜0，則φ(x)在(e，+∞)上單調(diào)減少，故

2.

證明：當(dāng)0＜a＜b＜π時(shí)，bsinb+2cosb+πb＞asina+2cosa+πa．正確答案：證

設(shè)f(x)=xsinx+2cosx+πx，x∈[0，π]，

則f'(x)=sinx+xcosx-2sinx+π=xcosx-sinx+π，

f"(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx＜0，x∈(0，π)，

故f'(x)在[0，π]上單調(diào)減少，從而

f'(x)＞f'(π)=0，x∈(0，π)，

因此f(x)在[0，π]上單調(diào)增加，當(dāng)π＜a＜b＜π時(shí)，

f(b)＞f(a)，

即bsinb+2cosb+πb＞asina+2cosa+πa．

3.

證明：正確答案：證法1

記，則

當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，由于，1+cosx≤2，所以f"(x)≥2＞0，從而f'(x)單調(diào)增加．

又因?yàn)閒'(0)=0，所以當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f'(x)＜0；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'(x)＞0．故f(0)是f(x)在區(qū)間(-1，1)中的最小值．因?yàn)閒(0)=0，所以

f(x)≥0(-1＜x＜1)，即．

證法2

利用帶有拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式，得

所以

因?yàn)?1＜x＜1，0＜θi＜1，所以-1＜θix＜1(i=1，2，3)，從而

所以

證法3

記，則f(x)為偶函數(shù)．

當(dāng)0≤x＜1時(shí)，

因?yàn)閒(0)=0，所以f(x)≥0(0≤x＜1)．

由于f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)≥0(-1＜x＜1)，即

4.

證明：方程在區(qū)間(0，+∞)內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同實(shí)根．正確答案：證

記．則，

故由零點(diǎn)定理知，F(xiàn)(x)在(0，e)，(e，+∞)內(nèi)分別至少有一個(gè)零點(diǎn)．

又當(dāng)0＜x＜e時(shí)，F(xiàn)'(x)＜0，F(xiàn)(x)單調(diào)減少．當(dāng)e＜x＜+∞時(shí)，F(xiàn)'(x)＞0，F(xiàn)(x)單調(diào)增加，所以F(x)在(0，e)，(e，+∞)內(nèi)分別只有一個(gè)零點(diǎn)，所以原方程在(0，+∞)內(nèi)有且僅有兩個(gè)實(shí)根．

5.

設(shè)當(dāng)x＞0時(shí)，方程有且僅有一個(gè)解．求k的取值范圍．正確答案：解

設(shè)，則．

(1)當(dāng)k≤0時(shí)，f'(x)＜0，f(x)為減函數(shù)．又

所以，當(dāng)k≤0時(shí)，在(0，+∞)僅有一個(gè)解．

(2)當(dāng)k＞0時(shí)，令f'(x)=0，得唯一駐點(diǎn)．f"(x)＞0，所以為極小值點(diǎn)，且y=f(x)的圖形在(0，+∞)內(nèi)是凹的，所以，當(dāng)極小值為零．即

時(shí)，原方程有且僅有一個(gè)解．由上式解得

綜上知，當(dāng)k≤0或時(shí)，方程有且僅有一個(gè)解．

6.

就k的不同取值情況，確定方程在開區(qū)間內(nèi)根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論．正確答案：解

設(shè)，則f(x)在上連續(xù)。

由，解得f(x)在內(nèi)的唯一駐點(diǎn)。

由于當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，f(x)＜0，當(dāng)時(shí)，f'(x)＞0，所以f(x)在(0，x0]上單調(diào)減少，在上單調(diào)增加．因此x0是f(x)在內(nèi)的唯一最小值點(diǎn)，最小值為又因，故在內(nèi)f(x)的取值范圍為[y0，0)．

因此，當(dāng)，即k＜y0或k≥0時(shí)，原方程在內(nèi)沒有根；

當(dāng)k=y0時(shí)，原方程在內(nèi)有唯一根x0；

當(dāng)k∈(y0，0)時(shí)，原方程在(0，x0)和內(nèi)各恰有一根，即原方程在內(nèi)恰有兩個(gè)不同的根．

設(shè)y=f(x)是區(qū)間[0，1]上的任一非負(fù)連續(xù)函數(shù)．7.

試證存在x0∈(0，1)，使得在區(qū)間[0，x0]上以f(x0)為高的矩形面積，等于在區(qū)間[x0，1]上以y=f(x)為曲邊的曲邊梯形面積；正確答案：證

取，它在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，φ(0)=φ(1)=0．由羅爾定理知，存在x0∈(0，1)，使φ'(x0)=0．經(jīng)計(jì)算，

故知存在x0∈(0，1)使

8.

又設(shè)f(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且，證明上一小題中的x0是唯一的．正確答案：證

φ"(x)=xf'(x)+f(x)+f(x)＞0，

即φ'(x)在(0，1)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加，故上一小題中的x0是唯一的．[解析]本題實(shí)際上就是證明存在唯一的x0∈(0，1)使得．有些讀者可能首先想到使用零點(diǎn)定理證明根的存在性，即令，則，F(xiàn)(1)=f(1)，這樣如果f(x)恒等于0，則結(jié)論顯然成立，如果f(x)不恒等于0，則有，但F(1)=f(1)≥0，無(wú)法說(shuō)清楚F(1)=f(1)＞0，所以這里使用零點(diǎn)定理遇到阻礙．當(dāng)我們用零點(diǎn)定理不容易直接說(shuō)明方程有根時(shí)，可退一步對(duì)它的“原函數(shù)”使用羅爾定理來(lái)說(shuō)明方程有根(這也是考點(diǎn)點(diǎn)睛中寫到的兩種常用的證明方程根存在的方法，讀者一定要深刻理解)，故轉(zhuǎn)而思考：所對(duì)應(yīng)的一個(gè)輔助函數(shù)是誰(shuí)呢?實(shí)際上，x0∈(0，1)，故．

9.

討論曲線y=4lnx+k與y=4x+ln4x的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．正確答案：解法1

問題等價(jià)于討論方程ln4x-4lnx+4x-k=0有幾個(gè)不同的實(shí)根。

設(shè)φ(x)=ln4x-4lnx+4x-k，

則有

不難看出，x=1是φ(x)的駐點(diǎn)．

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，φ'(x)＜0，即φ(x)單調(diào)減少；當(dāng)x＞1時(shí)，φ'(x)＞0，即φ(x)單調(diào)增加，故φ(1)=4-k為函數(shù)φ(x)的最小值．

當(dāng)k＜4，即4-k＞0時(shí)，φ(x)=0無(wú)實(shí)根，即兩條曲線無(wú)交點(diǎn)；

當(dāng)k=4，即4-k=0時(shí)，φ(x)=0有唯一實(shí)根，即兩條曲線只有一個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)k＞4，即4-k＜0時(shí)，由于

故φ(x)=0有兩個(gè)實(shí)根，分別位于(0，1)與(1，+∞)內(nèi)，即兩條曲線有兩個(gè)交點(diǎn)．

解法2

問題等價(jià)于討論方程k=4x-4lnx+ln4x的不同實(shí)根的個(gè)數(shù)．

設(shè)f(x)=4x-4lnx+ln4x，則，不難看出x=1是f(x)的駐點(diǎn)．又f"(x)=，f"(x)＞0，所以f(1)=4為f(x)的最小值．

當(dāng)k＜4時(shí)，方程f(x)=k無(wú)實(shí)根，即兩曲線無(wú)交點(diǎn)；

當(dāng)k=4時(shí)，方程f(x)=k有唯一實(shí)根，即兩曲線只有一個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)k＞4時(shí)，由于

所以方程f(x)=k有兩個(gè)實(shí)根分別位于區(qū)間(0，1)與(1，+∞)內(nèi)，即兩曲線有兩個(gè)交點(diǎn)．

10.

已知函數(shù)，求f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．正確答案：解

，令f'(x)=0，得駐點(diǎn)．

當(dāng)時(shí)，f'(x)＜0，f(x)單調(diào)減少；當(dāng)時(shí)，f'(x)＞0，f(x)單調(diào)增加．

因?yàn)閒(1)=0，所以f(x)在上存在唯一零點(diǎn)．

又，所以f(x)在上存在唯一零點(diǎn)．

綜上可知，f(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．

11.

設(shè)f(x)在區(qū)間[a，b]上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f(a)=f(b)=0，f'(a)f'(b)＞0．證明：存在ξ∈(a，b)和η∈(a，b)使f(ξ)=0及f"(η)=0．正確答案：證

不妨設(shè)f'(a)＞0，則f'(b)＞0，則

則x→a時(shí)，，使得f(x1)＞0(δ1＞0)．

同理可得∈(b-δ2，b)，使得f(x2)＜0(δ2＞0)．

由連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理．得．使得f(ξ)=0．

由f(a)=f(ξ)=f(b)=0，運(yùn)用羅爾定理，知及η2∈(ξ，b)，分別使得f'(η1)=0，f'(η2)=0；再用一次羅爾定理，知，使得f"(η)=0．

12.

設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[-1，1]上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(-1)=0，f(1)=1，f'(0)=0，證明：在開區(qū)間(-1，1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使f'''(ξ)=3．正確答案：證

由麥克勞林公式得

其中η介于0與x之間，x∈[-1，1]．

分別令x=-1和x=1，并結(jié)合已知條件，得

兩式相減，可得f'''(η1)+f'''(η2)=6．

由f'''(x)的連續(xù)性知，f'''(x)在閉區(qū)間[η1，η2]上有最大值和最小值，設(shè)它們分別為M和m，則有

再由連續(xù)函數(shù)的介值定理知，至少存在一點(diǎn)，使

在使用泰勒公式證明中值問題時(shí)，把握好展開點(diǎn)x0與被展開點(diǎn)x是最關(guān)鍵的，展開點(diǎn)一般選取已知導(dǎo)數(shù)信息最多的點(diǎn)，包括隱含導(dǎo)數(shù)信息的點(diǎn)如極值點(diǎn)等，被展開點(diǎn)一般試著把式子有利于待證結(jié)論化簡(jiǎn)而選取，往往可以取端點(diǎn)、中間點(diǎn)等．

設(shè)f(x)在區(qū)間[-a，a](a＞0)上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(0)=0．13.

寫出f(x)的帶拉格朗日余項(xiàng)的一階麥克勞林公式；正確答案：解

對(duì)任意x∈[-a，a]，

其中ξ介于0與x之間．

14.

證明：在[-a，a]上至少存在一點(diǎn)η，使正確答案：證

因?yàn)閒"(x)在[-a，a]上連續(xù)，故對(duì)任意的x∈[-a，a]，有m≤f"(x)≤M，其中M，m分別為f"(x)在[-a，a]上的最大、最小值，所以有

即

由f"(x)的連續(xù)性知，至少存在一點(diǎn)η∈[-a，a]，使

即[解析]本題第二問有部分考生這樣處理：，于是便得出結(jié)論．這是一種經(jīng)典的錯(cuò)誤，原因在于中值ξ是依賴于x的，從而導(dǎo)致f"(ξ)并不是常數(shù)(與x有關(guān))，故積分中不可以直接提出去．

15.

設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f'(x)＞0．若極限存在，證明：

(Ⅰ)在(a，b)內(nèi)f(x)＞0；

(Ⅱ)在(a，b)內(nèi)存在點(diǎn)ξ，使

(Ⅲ)在(a，b)內(nèi)存在與(Ⅱ)中ξ相異的點(diǎn)η，使正確答案：證法1

(Ⅰ)因?yàn)榇嬖冢?，由f(x)在[a，b]上連續(xù)，從而f(a)=0．又f'(x)＞0知f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)增加，故

f(x)＞f(a)=0，x∈(a，b)．

(Ⅱ)設(shè)F(x)=x2，，則g'(x)=f(x)＞0，故F(x)，g(x)滿足柯西中值定理的條件，于是在(a，b)內(nèi)存在點(diǎn)ξ使

即

(Ⅲ)因f(ξ)=f(ξ)-0=f(ξ)-f(a)，在[a，ξ]上應(yīng)用拉格朗日中值定理，知在(a，ξ)內(nèi)存在一點(diǎn)η，使f(ξ)=f'(η)(ξ-a)，從而由(Ⅱ)的結(jié)論得

即有

證法2

(Ⅰ)同證法1．

(Ⅱ)設(shè)

顯然F(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，

根據(jù)羅爾中值定理，存在ξ∈(a，b)，使得F'(ξ)=0，即

(Ⅲ)由(Ⅰ)和(Ⅱ)可知

則．

根據(jù)拉格朗日中值定理，存在η∈(a，ξ)，使得

即成立．

本題主要考查柯西中值定理和拉格朗日中值定理．

已知函數(shù)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0，f(1)=1．證明：16.

存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1-ξ；正確答案：證

令g(x)=f(x)+x-1，則g(x)在[0，1]上連續(xù)，且

g(0)=-1＜0，g(1)=1＞0，

根據(jù)連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理知，存在ξ∈(0，1)，使得g(ξ)=f(ξ)+ξ-1=0，即f(ξ)=1-ξ．

17.

存在兩個(gè)不同的點(diǎn)η，ζ∈(0，1)，使得f'(η)f'(ζ)=1．正確答案：證

由于函數(shù)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，所以根據(jù)拉格朗日中值定理，存在η∈(0，ξ)(0，1)，ζ∈(ξ，1)(0，1)，使得

從而

18.

設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，證明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=g"(ξ)．正確答案：證

令h(x)=f(x)-g(x)，假設(shè)不存在η∈(a，b)，使得h(η)=0．則對(duì)任-x∈(a，b)，h(x)恒大于0，或恒小于0，不妨設(shè)h(x)＞0，設(shè)函數(shù)g(x)在x0∈(a，b)處取得最大值，則h(x0)=f(x0)-g(x0)＞0，即f(x0)＞g(x0)．這與題設(shè)f(x)，g(x)在(a，b)內(nèi)存在相等的最大值矛盾，故存在η∈(a，b)，使得h(η)=0．

因此由羅爾中值定理可知，存在ξ1∈(a，η)，ξ2∈(η，b)，使得

h'(ξ1)=h'(ξ2)=0．

再由羅爾中值定理可知，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得h"(ξ)=0，即

f"(ξ)=g"(ξ)．

19.

證明拉格朗日中值定理：若隔數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則存在點(diǎn)ξ∈(a，b)，使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)；正確答案：證

取

由題意知F(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且

根據(jù)羅爾中值定理，存在ξ∈(a，b)，使得

即f(b)f(a)=f'(ξ)(b-a)．

20.

證明：若函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù)，在(0，δ)(δ＞0)內(nèi)可導(dǎo)，且，則f'+(0)存在，且f'+(0)=A．正確答案：證

根據(jù)拉格朗日中值定理，得

其中0＜ξ＜x．

因?yàn)?，故f'+(0)存在，且f'+(0)=A．[解析](1)第二問還可以用洛必達(dá)法則來(lái)證明：

(2)本題更一般的結(jié)論為：設(shè)f(x)在x=x0處連續(xù)，且，則f'(x0)=A，同時(shí)也得到f'(x)在x=x0處連續(xù)的結(jié)論．

21.

設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[0，1]上連續(xù)，在開區(qū)間(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0，．

證明：存在，使得f'(ξ)+f'(η)=ξ2+η2．正確答案：證

設(shè)函數(shù)，由題意知F(0)=0，F(xiàn)(1)=0．

在上分別應(yīng)用拉格朗日中值定理．有

二式相加，得

即f'(ξ)+f'(η)=ξ2+η2[解析]

設(shè)奇函數(shù)f(x)在[-1，1]上具有2階導(dǎo)數(shù)，且f(1)=1．證明：22.

存在ξ∈(0，1)，使得f'(ξ)=1；正確答案：證法1

因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(0)=0．又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間[0，1]上可導(dǎo)，且f(1)=1，所以由拉格朗日中值定理，存在ξ∈(0，1)，使得

f'(ξ)=f(1)-f(0)=1．

證法2

令F(x)=f(x)-x，則F(0)=f(0)=0，F(xiàn)(1)=f(1)-1=0，由羅爾定理得，存在ξ∈(0，1)，

使得F'(ξ)=0，即f'(ξ)=1．

23.

存在η∈(-1，1)，使得f"(η)+f'(η)=1．正確答案：證法1

因?yàn)閒(x)是區(qū)間[-1，1]上的奇函數(shù)且有2階導(dǎo)數(shù)，所以f'(x)是偶函數(shù)，故

f'(-ξ)=f'(ξ)=1．

令F(x)=[f'(x)-1]ex，則函數(shù)F(x)可導(dǎo)，且F(-ξ)=F(ξ)=0．

根據(jù)羅爾中值定理，存在η∈(-ξ，ξ)(-1，1)，使得F'(η)=0．因?yàn)?/p>

F'(η)=[f"(η)+f'(η)-1]eη且eη≠0，

所以f"(η)+f'(η)=1．

證法2

因?yàn)閒(x)是區(qū)間[-1，1]上的奇函數(shù)且有2階導(dǎo)數(shù)，所以f(x)是偶