考研數(shù)學(xué)二分類模擬題69

考研數(shù)學(xué)二分類模擬題69一、填空題1.

設(shè)f(x，y，z)=exyz2，其中z=z(x，y)是由x+y+z+xyz=0確定的隱函數(shù)，則f'x(0，1，-1)=______．正確答案：1[解]（江南博哥）INCLUDEPICTURE\d":8089/YFB12/tu/1611/yjs/ky/s2f44.1EB172D.jpg"INET

x+y+z+xyz=0兩邊關(guān)于x求偏導(dǎo)得

將x=0，y=1，z=-1代入得

2.

已知正確答案：[解]兩邊關(guān)于x求偏導(dǎo)得

從而

3.

設(shè)2sin(x+2y-3z)=x+2y-3z，則正確答案：1[解]兩邊關(guān)于x求偏導(dǎo)得

2sin(x+2y-3z)=x+2y-3z兩邊關(guān)于y求偏導(dǎo)得

4.

設(shè)f(x，y)可微，f(1，2)=2，f'x(1，2)=3，f'y(1，2)=4，φ(x)=f(x，f(x，2x))，則φ'(1)=______．正確答案：47[解]φ'(x)=f'x(x，f(x，2x))+f'y(x，f(x，2x))·[f'x(x，2x)+2f'y(x，2x)]，

則φ'(1)=f'x(1，f(1，2))+f'y(1，f(1，2))·[f'x(1，2)+2f'y(1，2)]

=f'x(1，2)+f'y(1，2)·[f'z(1，2)+2f'y(1，2)]=3+4(3+8)=47.

5.

設(shè)則2f'x(0，0)+f'y(0，0)=______.正確答案：-2[解]令，由得

f(x，y)=-3x+4y+0(ρ)，

由二元函數(shù)可全微定義得

f'x(0，0)=-3，f'y(0，0)=4，

故2f'x(0，0)+f'y(0，0)=-2.

6.

由x=zey+z確定z=z(x，y)，則dz(e，0)=______．正確答案：[解]x=e，y=0時，x=1.

x=zey+z兩邊關(guān)于x求偏導(dǎo)得代入得

x=xey+z兩邊關(guān)于y求偏導(dǎo)得

代入得

故

二、解答題1.

設(shè)試討論f(x，y)在點(0，0)處的連續(xù)性，可偏導(dǎo)性和可微性．正確答案：[解]由得f(x，y)在(0，0)處連續(xù).

由得f'x(0，0)=0，

由得在(0，0)可偏導(dǎo)．

令

因為且，所以

即f(x，y)在(0，0)處可微．

2.

設(shè)二元函數(shù)f(x，y)的二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且滿足f"xx(x，y)=f"yy(x，y)，f(x，2x)=x2，f'x(x，2x)=x，求f"xx(x，2x)．正確答案：[解]f(x，2x)=x2兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得f'x(x，2x)+2f'y(x，2x)=2x，

由f'x(x，2x)=x得

f'x(x，2x)=x兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得f"xx(x，2x)+2f"xy(x，2x)=1，

兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得解得f"xx(x，2x)=0.

3.

設(shè)正確答案：[解]

則

4.

設(shè)正確答案：[解]

則

5.

設(shè)正確答案：[解]

6.

設(shè)z=f(exsiny，x2+y2)，其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求正確答案：[解]

7.

已知其中f，g具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求xu"xx+yu"xy.正確答案：[解]

8.

，f的二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，g的二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，求正確答案：[解]

9.

設(shè)z=f(u，x，y)，u=xey，其中f具有二階偏導(dǎo)數(shù)，求正確答案：[解]

10.

設(shè)z=f(2x-y，ysinx)，其中f(u，v)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求正確答案：[解]

11.

設(shè)f(u，v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足求正確答案：[解]

12.

設(shè)z=yf(x2-y2)，求正確答案：[解]

則

13.

設(shè)z=z(x，y)，由方程確定(F為可微函數(shù))，求正確答案：[解]兩邊關(guān)于x求偏導(dǎo)得

兩邊關(guān)于y求偏導(dǎo)得解得

故

14.

設(shè)z=xf(x，u，v)，其中其中f連續(xù)可偏導(dǎo)，求正確答案：[解]

15.

設(shè)z=f(x，y)是由方程z-y-x+xez-y-x=0所確定的二元函數(shù)，求dz．正確答案：[解]方法一

z-y-x+xez-y-z=0兩邊關(guān)于x，y求偏導(dǎo)得

故

方法二

z-y-x+xez-y-x=0兩邊微分得dz-dy-dx+d(xez-y-x)=0.

即dz-dy-dx+(ez-y-x-xez-y-x)dx-xez-y-xdy+xez-y-xdz=0，

解得

16.

設(shè)φ(u，v，w)由一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，z=z(x，y)是由φ(bz-cy，cx-ax，ay-bx)=0確定的函數(shù)，求正確答案：[解]φ(bz-cy，cx-az，ay-bx)=0兩邊關(guān)于x求偏導(dǎo)得

解得

φ(bz-cy，cx-az，ay-bx)=0兩邊關(guān)于y求偏導(dǎo)得

故

17.

設(shè)z=z(x，y)是由f(y-x，yz)=0確定的，其中f對各個變量有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求正確答案：[解]f(y-x，yz)=0兩邊關(guān)于x求偏導(dǎo)得

解得

18.

設(shè)函數(shù)z=z(x，y)由方程x2+y2+z2=xyf(z2)，其中f可微，求的最簡表達式．正確答案：[解]x2+y2+z2=xyf(x2)兩邊關(guān)于x求偏導(dǎo)得

解得

同理

故

19.

設(shè)函數(shù)z=z(x，y)由方程x=f(y+z，y+x)所確定，其中f(x，y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求dz．正確答案：[解]x=f(y+z，y+x)兩邊關(guān)于x求偏導(dǎo)得解得

x=f(y+z，y+x)兩邊關(guān)于y求偏導(dǎo)得解得

則

20.

若且滿足z(x，0)=x，z(0，y)=y2，求z(x，y)．正確答案：[解]由得

從而

由z(x，0)=x得從而φ(x)=1，φ(0)=0；

再由x(0，y)=y2得φ(y)=y2，故

21.

設(shè)z=f(x，y)二階可偏導(dǎo)，且f(x，0)=1，f'y(x，0)=x，求f(x，y)．正確答案：[解]由得

從而z=y2+xy+φ(x)，再由f(x，0)=1得φ(x)=1，故f(x，y)=y2+xy+1.

22.

設(shè)f(x，y)二階連續(xù)可偏導(dǎo)，g(x，y)=f(exy，x2+y2)，且

證明：g(x，y)在(0，0)處取極值，并判斷是極大值還是極小值，求極值．正確答案：[證明]由得

由可微的定義得

f(1，0)=0，f'x(1，0)=f'y(1，0)=-1.

則A=g"xx(0，0)=-2，B=g"xy(0，0)=-1，C=g"xy(0，0)=-2，

因為AC-B2=3＞0且A＜0，所以g(x，y)在(0，0)處取到極大值，極大值為g(0，0)=0.

23.

試求z=f(x，y)=x3+y3-3xy在矩形閉域D={(x，y)|0≤x≤2，-1≤y≤2)上的最大值、最小值．正確答案：[解]當(x，y)在區(qū)域D內(nèi)時，

由得

在L1：y=-1(0≤x≤2)上，x=x3+3x-1，

因為z'=3x2+3＞0，所以最小值為z(0)=-1，最大值為z(2)=13；

在L2：y=2(0≤x≤2)上，z=x3-6x+8，

由z'=3x2-6=0得

在L3：x=0(-1≤y≤2)上，z=y3，

由z'=3y2=0得y=0，z(-1)=-1，z(0)=0，z(2)=8；

在L4：x=2(-1≤y≤2)上，z=y3-6y+8，

由z'=3y2-6=0得

故z=x3+y3-3xy在D上的最小值為m=-1，最大值為M=13.

24.

求函數(shù)f(x，y)=4x-4y-x2-y2在區(qū)域D：x2+y2≤18上最大值和最小值．正確答案：[解]當x2+y2＜18時，

由得x=2，y=-2，f(2，-2)=8；

當x2+y2=18時，令F=4x-4y-x2-y2+λ(x2+y2-18)，

由得

當時，

而f(3，-3)=6，f(-3，3)=-42，

故f(x，y)在區(qū)域D上的最小值為m=6，最大值為M=42.

25.

求函數(shù)z=x2+2y2-x2y2在D={(x，y)|x2+y2≤4，y≥0)上的最小值與最大值．正確答案：[解]當(x，y)位于區(qū)域D內(nèi)時，

由得

在L1：y=0(-2≤x≤2)上，x=x2，由z'=2x=0得x=0，

z(±