考研數(shù)學(xué)二分類模擬257

考研數(shù)學(xué)二分類模擬257解答題1.

設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，試證：存在c∈(a，b)使．正確答案：證明：

作輔助函數(shù)

其中．[考點(diǎn)]一元函數(shù)微積分

2.

．正確答案：解：設(shè)cos2x=t，則，故得

[考點(diǎn)]一元函數(shù)微積分

3.

判斷反常積分的斂散性．正確答案：解：由對(duì)數(shù)不等式，有

而收斂，再由比較判別法可得收斂．[考點(diǎn)]不定積分、定積分、反常積分

4.

函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[0，1]上單調(diào)不增，證明：對(duì)于任何α∈(0，1)，有

正確答案：證明：即證

亦

或

由積分中值定理，分別存在ξ∈[0，α]，η∈[α，1]，使得，，但f(x)單調(diào)不增，故

[考點(diǎn)]一元函數(shù)微積分

設(shè)y=arcsinx．5.

證明：它滿足方程

(1-x2)y(n+2)-(2n+1)xy(n+1)-n2y(n)=0正確答案：解：(1)由，得．兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得

化簡(jiǎn)得

(1-x2)y"-xy'=0

上式兩邊求n次導(dǎo)，由萊布尼茲求導(dǎo)法則，得

整理得

(1-x2)y(n+2)-(2n+1)xy(n+1)-n2y(n)=0①[考點(diǎn)]極限、連續(xù)及其應(yīng)用

6.

求y(n)|x=0．正確答案：在式①中，令x=0，則得遞推公式

y(n+2)|x=0=n2y(n)|x=0

由此得

而y'(0)=1，y"(0)=0，因此y(2m)|x=0=0，y(2m+1)|x=0=[(2m-1)!!]2．[考點(diǎn)]極限、連續(xù)及其應(yīng)用

7.

指出下列實(shí)二次型中，哪些是等價(jià)的?說(shuō)明理由

正確答案：解：令

則

令

則

令

則

綜上所述，f1(x1，x2，x3)與f3(z1，z2，z3)的秩都等于3，且正慣性指數(shù)都等于2，因此它們等價(jià)．由于f2(y1，y2，y3)的正慣性指數(shù)為1，因此f2(y1，y2，y3)與f1(x1，x2，x3)不等價(jià)，與f3(z1，z2，z3)也不等價(jià)．[考點(diǎn)]二次型

8.

證明

r(A+B)≤r(A)+r(B)正確答案：證明：設(shè)A，B的列向量組分別為α1，α2，…，αn；β1，β2，…，βn，則A+B的列向量組為α1+β1，α2+β2，…，αn+βn，設(shè)αi1，αi2，…，αir是向量組α1，α2，…，αn的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組；βj1，βj2，…，βjt是向量組β1，β2，…，βn的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，則α1+β1，α2+β2，…，αn+βn可以由向量組αi1，αi2，…，αir，βj1，βj2，…，βjt線性表出．因此

r{α1+β1，α2+β2，…，αn+βn}≤r{αi1，αi2，…，αir，βj1，βj2，…，βjt}≤r+t

于是

r(A+B)≤r(A)+r(B)[考點(diǎn)]矩陣、向量、方程組

9.

已知f(x)=(x-a)2φ(x)，其中φ'(x)在點(diǎn)x=a的某鄰域內(nèi)連續(xù)，求f"(a)．正確答案：解：因?yàn)閒(x)=(x-a)2φ(x)，則

f'(x)=2(x-a)φ(x)+(x-a)2φ'(x)

所以

由于φ'(x)在點(diǎn)x=a的某鄰域內(nèi)連續(xù)，因此φ'(x)在該鄰域內(nèi)有界，從而

所以f"(a)=2φ(a)．[考點(diǎn)]一元函數(shù)微積分

10.

計(jì)算下述行列式，并且將結(jié)果因式分解

正確答案：解：

[考點(diǎn)]行列式

11.

討論方程組解的情況．正確答案：解：

(1)當(dāng)a≠0，a≠b時(shí)，方程組有唯一解為；

(2)當(dāng)a=0時(shí)，，因?yàn)椋苑匠探M無(wú)解；

(3)當(dāng)a=b≠0時(shí)

方程組有無(wú)窮多個(gè)解，通解為．[考點(diǎn)]線性方程組

12.

設(shè)n階實(shí)對(duì)稱矩陣A的全部特征值按大小順序排成：λ1≥λ2≥…≥λn．證明：對(duì)于任一非零列向量α，都有

正確答案：證明：因?yàn)锳是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，所以有n階正交矩陣T，使得

T-1AT=diag{λ1，λ2，…，λn}

任取一個(gè)非零列向量α，設(shè)(TTα)T=(b1，b2，…，bn)，則

同理

因此

[考點(diǎn)]特征值、特征向量及二次型

13.

證明：數(shù)列{xn}收斂，其中x1=1，，n=1，2，…，并求極限．正確答案：證明：利用基本不等式

則{xn}有下界，又

所以{xn)單調(diào)遞減，從而存在，設(shè)．對(duì)兩邊取極限，得，解得，即．[考點(diǎn)]函數(shù)、極限

14.

證明兩個(gè)可交換的正定矩陣的乘積仍是正定矩陣；正確答案：證明：設(shè)A，B均為n階正定矩陣，且AB=BA，證AB是正定矩陣．

因

AT=A，BT=B，AB=BA

故

(AB)T=BTAT=BA=AB

故AB是實(shí)對(duì)稱矩陣．

設(shè)λ是AB的任一個(gè)特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量為ξ，則

ABξ=λξ

①

式①兩端左乘A-1，得

Bξ=λA-1ξ

②

式②兩端左乘ξT，得

ξTBξ=λξTA-1ξ

③

由A正定，A-1正定及B正定，且ξ≠0，及③得

ξTBξ＞0，ξTA-1ξ＞0

則，故實(shí)對(duì)稱矩陣仙的任一個(gè)特征值大于零，故AB正定．[考點(diǎn)]特征值、特征向量及二次型

15.

設(shè)A和A-E均為n階正定矩陣，證明E-A-1為正定矩陣．正確答案：證明：由題設(shè)A，A-E為正定矩陣，故A-1也為正定矩陣，且

A-1(A-E)=E-A-1=(A-E)A-1

由第一小題知A-1和A-E的積E-A-1是正定矩陣．[考點(diǎn)]特征值、特征向量及二次型

16.

，求．正確答案：解：

所以．[考點(diǎn)]連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分(Ⅰ)

17.

求．正確答案：解1：令，則

解2：

記，則．

注．

解3：因?yàn)?，所?/p>

從而

因此

進(jìn)一步有．[考點(diǎn)]函數(shù)、極限

18.

證明

正確答案：證明：左端行列式的每一列都是兩組數(shù)的和，從而可以拆成8個(gè)行列式的和．由于兩列相同，行列式的值為0；兩列互換，行列式反號(hào)，因此

[考點(diǎn)]行列式

19.

設(shè)A為n(n≥2)階可逆矩陣，求[(A*)*]-1(用A*表示)．正確答案：解：(A*)*=|A|n-2A，故

[考點(diǎn)]矩陣

20.

設(shè)函數(shù)y=y(x)是由方程2y3-2y2+2xy-x2=1確定的．求y=y(x)的駐點(diǎn)，并判定其駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)．正確答案：解：將2y3-2y2+2xy-x2=1兩邊對(duì)x求導(dǎo)，有

6y2y'-4yy'+2y+2xy'-2x=0

得

令y'=0，得y=x，將y=x代入原方程，得

2x3-2x2+2x2-x2=1

即

(x-1)(2x2+x+1