考研數(shù)學二分類模擬232

考研數(shù)學二分類模擬232解答題1.

設f(x)在[a，b]上有三階導數(shù)，試證：存在ξ∈(a，b)，使得

正確答案：證明：待定常數(shù)法，令M滿足

顯然，此時滿足①中的M一定存在，因①除M之外全是常數(shù)，故式①實為一個一元一次方程．

將①中的b換為變量x，作輔助函數(shù)

則由①②可知F(a)=F(b)=0，由羅爾定理存在x1∈(a，b)，使得

對于[a，x1]上的二階可導函數(shù)f'(x)，再由泰勒公式，，使得

比較③④，可得M=f"'(ξ)，將M代入①即證．[考點]連續(xù)、導數(shù)、微分(Ⅱ)

2.

設s≤n，a≠0且當0＜r＜n時，ar≠1，α1=(1，a，a2，…，an-1)，α2=(1，a2，a4，…，a2(n-1))，…，αs=(1，as，a2s，…，as(n-1))．

證明：α1，α2，…，αs線性無關．正確答案：證明：由于a≠0且當0＜r＜n時，ar≠1，因此a，a2，…，as是兩兩不等的非零數(shù)．

當s=n時，有

此行列式為關于a，a2，…，an的n階范德蒙行列式，從而這個行列式的值不為0，因此α1，α2，…，αn線性無關．

當s＜n時，同理有，于是向量組(1，a，a2，…，as-1)，(1，a2，a4，…，a2(s-1))，…，(1，as，a2s，…，as(s-1))線性無關，從而它們的延伸組

也線性無關．[考點]向量

3.

．正確答案：解：設，則．代入得

[考點]一元函數(shù)微積分

4.

設z=z(x，y)是由方程x+y+z=ez所確定的隱函數(shù)，試求zx，zxx，zy．正確答案：解1：設

F(x，y，z)=x+y+z-ez

則

Fx=1，F(xiàn)y=1，F(xiàn)z=1-ez

于是

解2：方程x+y+z=ez兩邊分別對x和y求偏導數(shù)(注意，此時x與y是獨立的變量，而z是x與y的函數(shù))，得

解得

由此可得

[考點]多元函數(shù)微積分

5.

設，求A的全部特征值，并證明A可以對角化．正確答案：解：令αTβ=k，則A2=kA．

設Ax=λx，則A2x=λ2x=kλx，即λ(λ-k)x=0．

因為x≠0，所以A的特征值為λ=0或λ=k．

由λ1+…+λn=tr(A)且tr(A)=k，得

λ1=…=λn-1=0，λn=k

又因為r(A)=1，故(0E-A)x=0的基礎解系含有n-1個線性無關的解向量，即λ=0有n-1個線性無關的特征向量，故A可以對角化．[考點]特征值與特征向量

6.

設A，B滿足A*BA=2BA-8E，且，求B.正確答案：解：由A*BA=2BA-8E，得

AA*BA=2ABA-8A

即

-2BA=2ABA-8A

整理得(A+E)B=4E，所以

[考點]矩陣、向量、方程組

7.

設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[0，1]上四次連續(xù)可微，f(0)=f'(0)=0．證明：函數(shù)在[0，1]上二次連續(xù)可微．正確答案：證明：當x∈(0，1]時，有

所以F(x)在[0，1]上一次可微．

由式①知

由式①②③知F'(x)連續(xù)．

當x∈(0，1]時，由式①可得

由式④⑤⑥可知F(x)在[0，1]上二次可微且連續(xù)(即F"(x)在[0，1]上連續(xù))．[考點]連續(xù)、導數(shù)、微分(Ⅰ)

確定下列方程實根的數(shù)目，并劃分出這些根所在的區(qū)間．8.

x3-6x2+9x-10=0．正確答案：解：設f(x)=x3-6x2+9x-10，則f'(x)=3x2-12x+9，令f'(x)=0，得駐點x=1或3．

情況1

x∈(-∞，1)，由于

故原方程在區(qū)間(-∞，1)內(nèi)方程無實根．

情況2

x∈(1，3)，由于

f'(x)＜0，f(3)=-10＜0

故原方程在(1，3)內(nèi)也無實根．

情況3

x∈(3，+∞)，由于

故原方程在(3，+∞)內(nèi)方程有且僅有一實根．[考點]連續(xù)、導數(shù)、微分(Ⅱ)

9.

3x4-4x3-6x2+12x-20=0．正確答案：解：設f(x)=3x4-4x3-6x2+12x-20，則f'(x)=12x3-12x2-12x+12，今f'(x)=0，得駐點x=±1．由于

且當x∈(-∞，-1)時．f'(x)＜0；當x∈(-1，+∞)時，f'(x)＞0．

故原方程有兩實根，分別位于(-∞，-1)和(1，+∞)內(nèi)．[考點]連續(xù)、導數(shù)、微分(Ⅱ)

10.

證明：．正確答案：證明：記，而，則單調(diào)遞增．于是由|a+b|≤|a|+|b|知

[考點]一元函數(shù)微積分

11.

把在極坐標系下的二次積分化為在直角坐標系下的二次積分．正確答案：解：由題設的二次積分知，其相應的二重積分的積分區(qū)域為

在直角坐標系下，平面曲線r=1即為x2+y2=1；r=2sinθ或r2=2rsinθ即為x2+y2=2y，兩曲線交于點，則該積分區(qū)域為

如圖所示．于是

[考點]二重積分

12.

設，求與其相似的對角矩陣．正確答案：解：因A是實對稱矩陣，故A可相似對角化．又因r(A)=1，故λ=0是三重特征根，λ4=4為單根．

故A相似于．[考點]特征值、特征向量及二次型

13.

求，其中f(t)可微，．正確答案：解：由積分中值定理，存在ξ∈[x，x+2]，使得，所以

[考點]不定積分、定積分、反常積分

14.

解矩陣方程AX=B，其中．正確答案：解：矩陣A的行列式，所以A可逆．由可得，．

因此

[考點]矩陣

15.

求．正確答案：解：

而

所以．[考點]函數(shù)、極限

16.

討論方程ex=ax2(a＞0)實根的數(shù)目，并劃分出這些根所在的區(qū)間．正確答案：解：當x≤0時，對于函數(shù)f(x)=ex-ax2，有f(0)=1＞0，又因

故總存在充分大的正數(shù)x0，使得f(-x0)＜0．則由連續(xù)函數(shù)的零點定理知，在(-∞，0)中至少有f(x)=0的一個實根．而當x∈(-∞，0)時，f'(x)=ex-2ax＞0，即函數(shù)遞增．因此，當x≤0時，f(x)=0只有唯一的根．

當x＞0時，求方程ex=ax2的根，只要求方程x=lna+2lnx(a＞0，x＞0)的根即可．

設

g(x)=x-lna-2lnx

則有

令g'(x)=0，得x=2．

當0＜x＜2時，g'(x)＜0；當x＞2時，g'(x)＞0．所以，為極小值．

又因

因此，當g(2)＞0時，即時，g(x)=0無根；當g(2)=0，即時，g(x)=0有唯一的根；當g(2)＜0，即時，g(x)=0有兩個根，它們分別位于(0，2)和(2，+∞)內(nèi)．

綜上所述，方程ex=ax2的根的情況如下：

當時，有唯一的根，位于(-∞，0)內(nèi)；

當時，有兩個根，一根為2，一根位于(-∞，0)內(nèi)；

當時，有三個根，分別位于(-∞，0)，(0，2)和(2，+∞)內(nèi)．[考點]連續(xù)、導數(shù)、微分(Ⅱ)

17.

證明：符號函數(shù)sgnx，x∈[-1，1]不存在原函數(shù)F(x)．正確答案：證明：反證法．若存在原函數(shù)F(x)，則F'(x)=sgnx，x∈[-1，1]．由拉格朗日中值定理，可得

說明F(x)在x=0處不可導，與原函數(shù)處處可導的事實矛盾，所以sgnx，x∈[-1，1]不存在原函數(shù)．[考點]不定積分、定積分、反常積分

18.

已知拋物線y=a0+a1x+a2x2過三點M1(1，0)，M2(2，-1)，M3(3，0)，求拋物線方程．正確答案：解：將M1，M2，M3代入拋物線的解析式，有則解以a0，a1，a2為未知量的方程組，由克拉默法則得

得，故所求拋物線方程為y=3-4x+x2．[考點]行列式

19.

證明：若f在[0，