2025千題百煉-高考數(shù)學100個熱點問題（一）：第1煉 命題形式變化及真假判定含答案

2025千題百煉——高考數(shù)學100個熱點問題（一）：第1煉命題形式變化及真假判定含答案第1煉命題形式變化及真假判定一、基礎知識：（一）命題結構變換1、四類命題間的互化：設原命題為“若，則”的形式，則（1）否命題：“若，則”（2）逆命題：“若，則”（3）逆否命題：“若，則”2、，（1）用“或”字連接的兩個命題（或條件），表示兩個命題（或條件）中至少有一個成立即可，記為（2）用“且”字連接的兩個命題（或條件），表示兩個命題（或條件）要同時成立，記為3、命題的否定：命題的否定并不是簡單地在某個地方加一個“不”字，對于不同形式的命題也有不同的方法（1）一些常用詞的“否定”：是→不是全是→不全是至少一個→都沒有至多個→至少個小于→大于等于（2）含有邏輯聯(lián)結詞的否定：邏輯聯(lián)接詞對應改變，同時均變?yōu)椋夯颉仪摇颍?）全稱命題與存在性命題的否定全稱命題：存在性命題：規(guī)律為：兩變一不變①兩變：量詞對應發(fā)生變化（），條件要進行否定②一不變：所屬的原集合的不變化（二）命題真假的判斷：判斷命題真假需要借助所學過的數(shù)學知識，但在一組有關系的命題中，真假性也存在一定的關聯(lián)。1、四類命題：原命題與逆否命題真假性相同，同理，逆命題與否命題互為逆否命題，所以真假性也相同。而原命題與逆命題，原命題與否命題真假沒有關聯(lián)2、，，如下列真值表所示：或真真真真假真假真真假假假且真真真真假假假真假假假假簡而言之“一真則真”簡而言之“一假則假”3、：與命題真假相反。4、全稱命題：真：要證明每一個中的元素均可使命題成立假：只需舉出一個反例即可5、存在性命題：真：只需在舉出一個使命題成立的元素即可假：要證明中所有的元素均不能使命題成立二、典型例題例1：命題“若方程的兩根均大于，則”的逆否命題是（）A.“若，則方程的兩根均大于”B.“若方程的兩根均不大于，則”C.“若，則方程的兩根均不大于”D.“若，則方程的兩根不全大于”思路：所謂逆否命題是要將原命題的條件與結論否定后并進行調(diào)換，“”的對立面是“”，“均大于”的對立面是“不全大于0”（注意不是：都不大于0），再調(diào)換順序即可，D選項正確答案：D例2：命題“存在”的否定是（）A．存在B．不存在C．對任意D．對任意思路：存在性命題的否定：要將量詞變?yōu)椤叭我狻?，語句對應變化，但所在集合不變。所以變化后的命題為：“對任意”答案：D例3：給出下列三個結論（1）若命題為假命題，命題為假命題，則命題“”為假命題（2）命題“若，則或”的否命題為“若，則或”（3）命題“”的否定是“”，則以上結論正確的個數(shù)為（）A.3B.2C.1D.0思路：（1）中要判斷的真假，則需要判斷各自的真值情況，為假命題，則為真命題，所以一假一真，為真命題，（1）錯誤（2）“若……，則……”命題的否命題要將條件和結論均要否定，而（2）中對“或”的否定應該為“且”，所以（2）錯誤（3）全稱命題的否定，要改變量詞和語句，且的范圍不變。而（3）的改寫符合要求，所以（3）正確綜上只有（3）是正確的答案：C例4：有下列四個命題①“若，則互為相反數(shù)”的逆命題②“全等三角形的面積相等”的否命題③“若，則有實根”的逆否命題④“不等邊三角形的三個內(nèi)角相等”的逆命題其中真命題為（）A.①②B.②③C.①③D.③④思路：①中的逆命題為“若互為相反數(shù)，則”，為真命題。②中的否命題為“如果兩個三角形不是全等三角形，則它們的面積不相等”，為假命題（同底等高即可）。③中若要判斷逆否命題的真假，則只需判斷原命題即可。時，判別式，故方程有實根。所以原命題為真命題，進而其逆否命題也為真命題。④中的逆命題為“如果一個三角形三個內(nèi)角相等，則它為不等邊三角形”顯然是假命題。綜上，①③正確答案：C小煉有話說：在判斷四類命題的真假時，如果在寫命題或判斷真假上不好處理，則可以考慮其對應的逆否命題，然后利用原命題與逆否命題同真同假的特點進行求解例5：下列命題中正確的是（）A.命題“，使得”的否定是“，均有”B.命題“若，則”的否命題是“若，則”C.命題“存在四邊相等的四邊形不是正方形”，該命題是假命題D.命題“若，則”的逆否命題是真命題思路：分別判斷4個選項的情況，A選項命題的否定應為“，均有”，B選型否命題的形式是正確的，即條件結論均否定。C選項的命題是正確的，菱形即滿足條件，D選項由原命題與逆否命題真假相同，從而可判斷原命題的真假，原命題是假的，例如終邊相同的角余弦值相同，所以逆否命題也為假命題。D錯誤答案：B例6：如果命題“且”是假命題，“”也是假命題，則（）A.命題“或”是假命題B.命題“或”是假命題C.命題“且”是真命題D.命題“且”是真命題思路：涉及到“或”命題與“且”命題的真假，在判斷或利用條件時通常先判斷每個命題的真假，再根據(jù)真值表進行判斷。題目中以為入手點，可得是真命題，而因為且是假命題，所以只能是假命題。進而是真命題。由此可判斷出各個選項的真假：只有C的判斷是正確的答案：C例7：已知命題：若，則；命題：若，則，在命題①；②；③；④中，真命題是（）A.①③B.①④C.②③D.②④思路：可先判斷出的真假，從而確定出復合命題的情況。命題符合不等式性質，正確，而命題是錯的。所以①是假的，②是真的，③④中，因為為假，為真，所以③正確，④不正確。綜上可確定選項D正確答案：D例8：下列4個命題中，其中的真命題是（）A.B.C.D.思路：為存在性命題，所以只要找到符合條件的即可?？勺鞒龅膱D像，通過觀察發(fā)現(xiàn)找不到符合條件的；同樣作圖可得，所以正確；通過作圖可發(fā)現(xiàn)圖像中有一部分，所以錯誤；在中，可得當時，，所以，正確。綜上可得：正確答案：D小煉有話說：（1）在判斷存在性命題與全稱命題的真假，可通過找例子（正例或反例）來進行簡單的判斷，如果找不到合適的例子，則要嘗試利用常規(guī)方法證明或判定（2）本題考察了指對數(shù)比較大小，要選擇正確的方法（中間橋梁，函數(shù)性質，數(shù)形結合）進行處理，例如本題中運用的數(shù)形結合，而通過選擇中間量判斷。例9：已知命題，命題，若為假命題，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.或C.D.思路：因為為假命題，所以可得均為假命題。則為真命題。。解決這兩個不等式能成立與恒成立問題即可。解：為假命題均為假命題為真命題對于當時，對于，設，由圖像可知：若成立，則，解得：或所以綜上所述：小煉有話說：因為我們平日做題都是以真命題為前提處理，所以在邏輯中遇到已知條件是假命題時，可以考慮先寫出命題的否定，根據(jù)真值表得到命題的否定為真，從而就轉化為熟悉的形式以便于求解例10：設命題函數(shù)的定義域為；命題，不等式恒成立，如果命題“”為真命題，且“”為假命題，求實數(shù)的取值范圍思路：由“”為真命題可得至少有一個為真，由“”為假命題可得至少有一個為假。兩種情況同時存在時，只能說明是一真一假。所以分為假真與真假進行討論即可解：命題“”為真命題，且“”為假命題一真一假若假真，則函數(shù)的定義域不為恒成立或若真假，則函數(shù)的定義域為或，不等式解得綜上所述：三、近年模擬題題目精選：1、（2014河南高三模擬，9）已知命題，命題，則下列命題中為真命題的是（）A.B.C.D.2、（2014，岳陽一中，3）下列有關命題的敘述:①若為真命題，則為真命題②“”是“”的充分不必要條件③命題，使得，則，使得④命題：“若，則或”的逆否命題為：“若或，則”其中錯誤命題的個數(shù)為（）A．1B．2C．3 D．43、（2014成都七中三月模擬，4）已知命題，命題，則（）A.命題是假命題B.命題是真命題C.命題是假命題D.命題是真命題4、（2014新津中學三月月考，6）已知命題“，使得”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.5、（2014新課標全國卷I）不等式組：的解集記為，有下面四個命題：其中真命題是（）A.B.C.D.習題答案：1、答案：C解析：分別判斷真假，令，可得由零點存在性定理可知，使得，為真；通過作圖可判斷出當時，，故為假；結合選項可得：為真2、答案：B解析：判斷每個命題：①若真假，則為真命題，為假命題，故①錯誤；②不等式的解為或，由命題所對應的集合關系可判斷出②正確；③存在性命題的否定，形式上更改符合“兩變一不變”，故③正確；④“或”的否定應為“且”，故④錯誤，所以選擇B3、答案：B解析：對于：當時，，故正確；對于：因為，所以當時，，故錯誤，結合選項可知是真命題4、答案：C解析：命題的否定為：“，使得”，此為真命題，所以轉為恒成立問題，利用二次函數(shù)圖像可得：，解得5、答案：C解析：由已知條件作出可行域，并根據(jù)選項分別作出相應直線，觀察圖像可知：陰影部分恒在的上方，所以成立；且陰影區(qū)域中有在中的點，所以成立，綜上可得：正確第2煉充分條件與必要條件一、基礎知識1、定義：（1）對于兩個條件，如果命題“若則”是真命題，則稱條件能夠推出條件，記為，（2）充分條件與必要條件：如果條件滿足，則稱條件是條件的充分條件；稱條件是條件的必要條件2、對于兩個條件而言，往往以其中一個條件為主角，考慮另一個條件與它的關系，這種關系既包含充分方面，也包含必要方面。所以在判斷時既要判斷“若則”的真假，也要判斷“若則”真假3、兩個條件之間可能的充分必要關系：（1）能推出，但推不出，則稱是的充分不必要條件（2）推不出，但能推出，則稱是的必要不充分條件（3）能推出，且能推出，記為，則稱是的充要條件，也稱等價（4）推不出，且推不出，則稱是的既不充分也不必要條件4、如何判斷兩個條件的充分必要關系（1）通過命題手段，將兩個條件用“若……，則……”組成命題，通過判斷命題的真假來判斷出條件能否相互推出，進而確定充分必要關系。例如，構造命題：“若，則”為真命題，所以，但“若，則”為假命題（還有可能為），所以不能推出；綜上，是的充分不必要條件（2）理解“充分”，“必要”詞語的含義并定性的判斷關系①充分：可從日常用語中的“充分”來理解，比如“小明對明天的考試做了充分的準備”，何謂“充分”？這意味著小明不需要再做任何額外的工作，就可以直接考試了。在邏輯中充分也是類似的含義，是指僅由就可以得到結論，而不需要再添加任何說明與補充。以上題為例，對于條件，不需再做任何說明或添加任何條件，就可以得到所以可以說對是“充分的”，而反觀對，由，要想得到，還要補充一個前提：不能取，那既然還要補充，則說明是“不充分的”②必要：也可從日常用語中的“必要”來理解，比如“心臟是人的一個必要器官”，何謂“必要”？沒有心臟，人不可活，但是僅有心臟，沒有其他器官，人也一定可活么？所以“必要”體現(xiàn)的就是“沒它不行，但是僅有它也未必行”的含義。仍以上題為例：如果不成立，那么必然不為1，但是僅靠想得到也是遠遠不夠的，還需要更多的補充條件，所以僅僅是“必要的”（3）運用集合作為工具先看一個問題：已知,那么條件“”是“”的什么條件？由可得到：，且推不出，所以“”是“”充分不必要條件。通過這個問題可以看出，如果兩個集合存在包含關系，那么其對應條件之間也存在特定的充分必要關系。在求解時可以將滿足條件的元素構成對應集合，判斷出兩個集合間的包含關系，進而就可確定條件間的關系了。相關結論如下：①：是的充分不必要條件，是的必要不充分條件②：是的充分條件③：是的充要條件此方法適用范圍較廣，尤其涉及到單變量取值范圍的條件時，不管是判斷充分必要關系還是利用關系解參數(shù)范圍，都可將問題轉化為集合的包含問題，進而快捷求解。例如在中，滿足的取值集合為，而滿足的取值集合為所以，進而判斷出是的充分不必要條件5、關于“”的充分必要關系：可從命題的角度進行判斷。例如：是的充分不必要條件，則命題“若，則”為真命題，根據(jù)四類命題的真假關系，可得其逆否命題“若，則”也為真命題。所以是的充分不必要條件二、典型例題：例1：已知，則是的（）A.充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件思路：考慮利用集合求解：分別解不等式得到對應集合。，解得：，即；或，即。所以，進而是的充分不必要條件答案：C例2：已知，那么是的（）A.充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件思路：本題若覺得不方便從條件中直接找到聯(lián)系，可先從一個條件入手推出其等價條件，再進行判斷，比如“”等價于，所以只需判斷與的關系即可。根據(jù)的單調(diào)性可得：如果，則，但是若，在大于零的前提下，才有，而題目中僅說明。所以不能推出。綜上可判斷是的充分不必要條件答案：C小煉有話說：（1）如果所給條件不方便直接判斷，那么可以尋找它們的等價條件（充要條件），再進行判斷即可（2）在推中，因為是條件，表達式成立要求，但是在推中，是條件，且對取值沒有特殊要求，所以，那么作為結論的就不一定有意義了。在涉及到變量取值時要首先分清誰是條件，誰是結論。作為條件的一方默認式子有意義，所以會對變量取值有一定的影響。例3：已知，如果是的充分不必要條件，則的取值范圍是_____思路：設，因為是的充分不必要條件，所以，利用數(shù)軸可而判斷出答案：例4：下面四個條件中，使成立的充分而不必要的條件是（）A.B.C.D.思路：求的充分不必要條件，則這個條件能夠推出，且不能被推出?？梢钥紤]驗證四個選項。A選項可以推出，而不一定能夠得到（比如），所以A符合條件。對于B，C兩個選項均不能推出A，所以直接否定。而D選項雖然可以得到，但是也能推出，所以D是A的充要條件，不符題意答案：A例5：（2015浙江溫州中學高二期中考試）設集合，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 思路：先解出兩個解集：，的解集與的取值有關：若，則；若，則，觀察條件，若，則，所以成立；若，則通過數(shù)軸觀察區(qū)間可得的取值為多個（比如），所以“”是“”的充分不必要條件答案：A例6：對于函數(shù)，“的圖象關于軸對稱”是“是奇函數(shù)”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 思路：如果是奇函數(shù)，圖像關于原點對稱，則中位于軸下方的部分沿軸對稱翻上來，恰好圖像關于軸對稱，但的圖象關于軸對稱未必能得到是奇函數(shù)（例如），所以“的圖象關于軸對稱”是“是奇函數(shù)”的必要不充分條件答案：B例7：已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 思路一：可以考慮利用特殊值來進行判斷。比如考慮左右，可以舉出反例，則不成立，所以左邊無法得到右邊。而右左能夠成立，所以“”是“”的必要不充分條件思路二：本題也可以運用集合的思想，將視為一個點的坐標，則條件所對應的集合為，作出兩個集合在坐標系中的區(qū)域，觀察兩個區(qū)域可得，所以“”是“”的必要不充分條件答案：B例8（2015菏澤高三期中考試）：設條件：實數(shù)滿足；條件：實數(shù)滿足且是的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍是_________思路：本題如果先將，寫出，再利用條件關系運算，盡管可行，但，容易書寫錯誤。所以優(yōu)先考慮使用原條件。“是的必要不充分條件”等價于“是的必要不充分條件”，而為兩個不等式，所以考慮求出解集再利用集合關系求解。解：設，可解得：，設可解得：，是的必要不充分條件是的必要不充分條件答案：例9：數(shù)列滿足，則“”是“數(shù)列成等差數(shù)列”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 思路：當時，可得，即成等差數(shù)列。所以“”是“數(shù)列成等差數(shù)列”的充分條件。另一方面，如果成等差數(shù)列，則成等差數(shù)列，所以有，代入可得：，解得或，經(jīng)檢驗，時，，利用數(shù)學歸納法可證得，則也為等差數(shù)列（公差為0），所以符合題意。從而由“數(shù)列成等差數(shù)列”無法推出“”，所以“”是“數(shù)列成等差數(shù)列”的不必要條件答案:A例10：設，則是的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 思路：因為，所以。故由可得，即，對于能否推出，可考慮尋找各自等價條件：，，通過數(shù)形結合可以得到符合的的集合是的集合的子集。所以是的必要不充分條件答案：B三、近年模擬題題目精選1、（2014，江西贛州高三摸底考試）若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2、（2014南昌一模，3）設為向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3、若，則“成立”是“成立”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4、（2014，北京）設是公比為的等比數(shù)列，則“”是“為遞增數(shù)列”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件5、（2014上海13校聯(lián)考，15）集合，若“”是“”的充分條件，則的取值范圍是（）A.B.C.D.6、（2015，福建）“對任意的，”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件7、（2014北京朝陽一模，5）在中，，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件