2025千題百煉-高考數(shù)學(xué)100個熱點問題（二）：第49煉 等差數(shù)列性質(zhì)含答案

2025千題百煉——高考數(shù)學(xué)100個熱點問題（二）：第49煉等差數(shù)列性質(zhì)含答案第49煉等差數(shù)列性質(zhì)一、基礎(chǔ)知識：1、定義：數(shù)列若從第二項開始，每一項與前一項的差是同一個常數(shù)，則稱是等差數(shù)列，這個常數(shù)稱為的公差，通常用表示2、等差數(shù)列的通項公式：，此通項公式存在以下幾種變形：（1），其中：已知數(shù)列中的某項和公差即可求出通項公式（2）：已知等差數(shù)列的兩項即可求出公差，即項的差除以對應(yīng)序數(shù)的差（3）：已知首項，末項，公差即可計算出項數(shù)3、等差中項：如果成等差數(shù)列，則稱為的等差中項（1）等差中項的性質(zhì)：若為的等差中項，則有即（2）如果為等差數(shù)列，則，均為的等差中項（3）如果為等差數(shù)列，則注：①一般情況下，等式左右所參與項的個數(shù)可以是多個，但要求兩邊參與項的個數(shù)相等。比如，則不一定成立②利用這個性質(zhì)可利用序數(shù)和與項數(shù)的特點求出某項。例如：，可得，即可得到，這種做法可稱為“多項合一”4、等差數(shù)列通項公式與函數(shù)的關(guān)系：，所以該通項公式可看作關(guān)于的一次函數(shù)，從而可通過函數(shù)的角度分析等差數(shù)列的性質(zhì)。例如：，遞增；，遞減。5、等差數(shù)列前項和公式：，此公式可有以下變形：（1）由可得：，作用：在求等差數(shù)列前項和時，不一定必須已知，只需已知序數(shù)和為的兩項即可（2）由通項公式可得：作用：①這個公式也是計算等差數(shù)列前項和的主流公式②，即是關(guān)于項數(shù)的二次函數(shù)，且不含常數(shù)項，可記為的形式。從而可將的變化規(guī)律圖像化。（3）當(dāng)時，因為而是的中間項，所以此公式體現(xiàn)了奇數(shù)項和與中間項的聯(lián)系當(dāng)時，即偶數(shù)項和與中間兩項和的聯(lián)系6、等差數(shù)列前項和的最值問題：此類問題可從兩個角度分析，一個角度是從數(shù)列中項的符號分析，另一個角度是從前項和公式入手分析（1）從項的特點看最值產(chǎn)生的條件，以4個等差數(shù)列為例：通過觀察可得：為遞增數(shù)列，且，所以所有的項均為正數(shù)，前項和只有最小值，即，同理中的項均為負(fù)數(shù)，所以前項和只有最大值，即。而雖然是遞減數(shù)列，但因為，所以直到，從而前4項和最大，同理，的前5項和最小。由此可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：對于等差數(shù)列，當(dāng)首項與公差異號時，前項和的最值會出現(xiàn)在項的符號分界處。（2）從的角度：通過配方可得，要注意，則可通過圖像判斷出的最值7、由等差數(shù)列生成的新等差數(shù)列（1）在等差數(shù)列中，等間距的抽出一些項所組成的新數(shù)列依然為等差數(shù)列例如在，以3為間隔抽出的項仍為等差數(shù)列。如何判定等間距：序數(shù)成等差數(shù)列，則項之間等間距（2）已知等差數(shù)列，設(shè)，，則相鄰項和成等差數(shù)列（3）已知為等差數(shù)列，則有：①為等差數(shù)列，其中為常數(shù)②為等差數(shù)列，其中為常數(shù)③為等差數(shù)列①②③可歸納為也為等差數(shù)列8、等差數(shù)列的判定：設(shè)數(shù)列，其前項和為（1）定義（遞推公式）：（2）通項公式：（關(guān)于的一次函數(shù)或常值函數(shù)）（3）前項和公式：注：若，則從第二項開始呈現(xiàn)等差關(guān)系（4）對于，，即從第二項開始，每一項都是相鄰兩項的等差中項二、典型例題：例1：設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且，，則_________思路：由可得：，即。而，所以不是各項為0的常數(shù)列，考慮，所以答案：小煉有話說：關(guān)于等差數(shù)列錢前項和還有這樣兩個結(jié)論：（1）若，則（本題也可用此結(jié)論：，從而利用奇數(shù)項和與中間項的關(guān)系可得）（2）若，則有例2：已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，則_______思路：條件與所求都是“”的形式，由為等差數(shù)列可得也為等差數(shù)列，所以為的等差中項，從而可求出的值解：為等差數(shù)列也為等差數(shù)列答案：例3：設(shè)為等差數(shù)列的前項和，，則（）A.B.C.D.思路一：已知等差數(shù)列兩個條件即可嘗試求通項公式，只需將已知等式寫成關(guān)于的方程，解出后即可確定通項公式或者數(shù)列中的項解：思路二：本題還可抓住條件間的聯(lián)系簡化運算。已知，從而聯(lián)想到可用表示，即，所以等式變?yōu)椋?，所以可得。答案：A小煉有話說：思路一為傳統(tǒng)手段，通常將已知兩個等式變形為的二元方程，便可求解。但如果能夠觀察出條件間的聯(lián)系，往往能通過巧妙的變形簡化計算過程。在平時的練習(xí)中建議大家多嘗試思路二的想法，努力找到條件間的聯(lián)系，靈活利用等差數(shù)列性質(zhì)進(jìn)行變形。而思路一可作為“預(yù)備隊”使用。例4：在等差數(shù)列中，，其前項和為，若，則的值等于（）A.B.C.D.思路：由觀察到的特點，所以考慮數(shù)列的性質(zhì)，由等差數(shù)列前項和特征可得，從而可判定為等差數(shù)列，且可得公差，所以，所以，即答案：B例5：已知為等差數(shù)列，且前項和分別為，若，則_____思路：，所求可發(fā)現(xiàn)分子分母的項序數(shù)相同，結(jié)合條件所給的是前項和的比值?？紤]利用中間項與前項和的關(guān)系，有：，將項的比值轉(zhuǎn)化為數(shù)列和的比值，從而代入即可求值：答案：小煉有話說：等差數(shù)列中的項與以該項為中間項的前項和可搭建橋梁：，這個橋梁往往可以完成條件中有關(guān)數(shù)列和與項之間的相互轉(zhuǎn)化。例6：已知等差數(shù)列中，，則此數(shù)列前項和等于（）A.B.C.D.思路：求前30項和，聯(lián)想到公式，則只需。由條件可得：，所以，所以答案：D例7：已知等差數(shù)列中，，則的值為___________思路：條件為相鄰4項和，從而考慮作差能解出數(shù)列的公差：，可得：，解得，考慮，所以答案：小煉有話說：本題在解題過程中突出一個“整體”的思想，將每一個四項和都視為整體，同時在等差數(shù)列中相鄰項和的差與公差相關(guān)，從而解出公差并求出表達(dá)式的值例8：等差數(shù)列有兩項，滿足，則該數(shù)列前項之和為（）A.B.C.D.思路：可根據(jù)已知兩項求出公差，進(jìn)而求出的通項公式，再進(jìn)行求和即可解：答案：C例9：在等差數(shù)列中，，若其前項和為，且，那么當(dāng)取最大值時，的值為（）A.B.C.D.思路一：考慮從的項出發(fā)，由可得，可得，因為，所以，從而最大思路二：也可從的圖像出發(fā)，由可得圖像中是對稱軸，再由與可判斷數(shù)列的公差，所以為開口向下的拋物線，所以在處取得最大值答案：D例10：設(shè)首項為，公差為的等差數(shù)列的前項和為，滿足，則的取值范圍是___________思路：將用進(jìn)行表示，從而方程變形為含的方程。而的取值只需讓關(guān)于的方程有解即可，所以通過求出的范圍解：所以關(guān)于的方程應(yīng)該有解解得或答案：或第50煉等比數(shù)列性質(zhì)一、基礎(chǔ)知識1、定義：數(shù)列從第二項開始，后項與前一項的比值為同一個常數(shù)，則稱為等比數(shù)列，這個常數(shù)稱為數(shù)列的公比注：非零常數(shù)列既可視為等差數(shù)列，也可視為的等比數(shù)列，而常數(shù)列只是等差數(shù)列2、等比數(shù)列通項公式：，也可以為：3、等比中項：若成等比數(shù)列，則稱為的等比中項（1）若為的等比中項，則有（2）若為等比數(shù)列，則，均為的等比中項（3）若為等比數(shù)列，則有4、等比數(shù)列前項和公式：設(shè)數(shù)列的前項和為當(dāng)時，則為常數(shù)列，所以當(dāng)時，則可變形為：，設(shè)，可得：5、由等比數(shù)列生成的新等比數(shù)列（1）在等比數(shù)列中，等間距的抽取一些項組成的新數(shù)列仍為等比數(shù)列（2）已知等比數(shù)列，則有①數(shù)列（為常數(shù)）為等比數(shù)列②數(shù)列（為常數(shù)）為等比數(shù)列，特別的，當(dāng)時，即為等比數(shù)列③數(shù)列為等比數(shù)列④數(shù)列為等比數(shù)列6、相鄰項和的比值與公比相關(guān)：設(shè)，則有：特別的：若，則成等比數(shù)列7、等比數(shù)列的判定：（假設(shè)不是常數(shù)列）（1）定義法（遞推公式）：（2）通項公式：（指數(shù)類函數(shù)）（3）前項和公式：注：若，則是從第二項開始成等比關(guān)系（4）等比中項：對于，均有8、非常數(shù)等比數(shù)列的前項和與前項和的關(guān)系，因為是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以有例1：已知等比數(shù)列的公比為正數(shù)，且，則________思路：因為，代入條件可得：，因為，所以，所以答案：例2：已知為等比數(shù)列，且，則（）A.B.C.D.思路一：由可求出公比：，可得，所以思路二：可聯(lián)想到等比中項性質(zhì)，可得，則，由等比數(shù)列特征可得奇數(shù)項的符號相同，所以答案：D小煉有話說：思路二的解法盡管簡單，但是要注意雙解時要驗證項是否符合等比數(shù)列特征。例3：已知等比數(shù)列的前項和為，則實數(shù)的值為（）A.B.C.D.思路：由等比數(shù)列的結(jié)論可知：非常數(shù)列的等比數(shù)列，其前項和為的形式，所以，即答案：A例4：設(shè)等比數(shù)列的前項和記為，若，則（）A.B.C.D.思路：由可得：，可發(fā)現(xiàn)只有分子中的指數(shù)冪不同，所以作商消去后即可解出，進(jìn)而可計算出的值解：，解得：所以答案：A例5：已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，則的值為（）A.B.C.D.思路：與條件聯(lián)系，可將所求表達(dá)式向靠攏，從而，即所求表達(dá)式的值為答案：C例6：已知等比數(shù)列中，則其前5項的和的取值范圍是（）A.B.C.D.思路：條件中僅有，所以考慮其他項向靠攏，所以有，再求出其值域即可解：，設(shè)，所以答案：A例7：已知數(shù)列是首項不為零的等比數(shù)列，且公比大于0，那么“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的（）A.充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件思路：在等比數(shù)列中，數(shù)列的增減受到的符號，與的影響。所以在考慮反例時可從這兩點入手。將條件轉(zhuǎn)為命題：“若，則數(shù)列是遞增數(shù)列”，如果，則是遞減數(shù)列，所以命題不成立；再看“若數(shù)列是遞增數(shù)列，則”，同理，如果，則要求，所以命題也不成立。綜上，“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件答案：D例8：在等比數(shù)列中，若，則（）A.B.C.D.解：條件與結(jié)論分別是的前項和與倒數(shù)和，所以考慮設(shè)，則所以答案：B例9：已知等比數(shù)列中，各項都是正數(shù)，且，則（）A.B.C.D.思路：所求分式中的分子和分母為相鄰4項和，則兩式的比值與相關(guān)，所以需要求出。由條件，將等式中的項均用即可求出。從而解得表達(dá)式的值解：成等差數(shù)列將代入等式可得：，而為正項數(shù)列，所以不符題意，舍去答案：C例10：在正項等比數(shù)列中，，則滿足的最大正整數(shù)的值為____________思路：從已知條件入手可求得通項公式：，從而所滿足的不等式可變形為關(guān)于的不等式：，由的指數(shù)冪特點可得：，所以只需，從而解出的最大值解：設(shè)的公比為，則有解得：（舍）或所以所解不等式為：可解得：的最大值為答案：三、歷年好題精選（等差等比數(shù)列綜合）1、已知正項等比數(shù)列滿足，則的最小值為（）A.B.C.D.2、已知等差數(shù)列的首項為，公差為，其前項和為，若直線與圓的兩個交點關(guān)于直線對稱，則（）A.B.C.D.3、（2016，內(nèi)江四模）若成等比數(shù)列，則下列三個數(shù)：①②③，必成等比數(shù)列的個數(shù)為（）A.0B.1C.2D.34、設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且滿足，，則，，…，中最大的項為（）A.B.C.D.5、（2016，新余一中模擬）已知等差數(shù)列的公差，且成等比數(shù)列，若，為數(shù)列前項和，則的最小值為（）A.B.C.D.6、（2015，北京）設(shè)是等差數(shù)列，下列結(jié)論中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則7、（2015，廣東）在等差數(shù)列中，若，則______8、（2014，北京）若等差數(shù)列滿足，則當(dāng)______時，的前項和最大9、（2015，福建）若是函數(shù)的兩不同零點，且這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則的值等于（）A.B.C.D.10、已知是等差數(shù)列，公差，其前項和為，若成等比數(shù)列，則（）A.B.C.D.11、（2014，廣東）若等比數(shù)列各項均為正數(shù)，且，則12、（2014，安徽）數(shù)列是等差數(shù)列，若構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，則_______13、（2014，新課標(biāo)全國卷I）已知數(shù)列的前項和為，，其中為常數(shù)（1）證明：（2）是否存在，使得為等差數(shù)列？并說明理由14、（2016，河南中原第一次聯(lián)考）已知為等差數(shù)列的前項和，若，則（）A.B.C.D.15、設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且滿足，則中最大的項為（）A.B.C.D.16、（2014，湖北）已知等差數(shù)列滿足：，且成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項公式（2）記數(shù)列的前項和為，是否存在正整數(shù)，使得若存在，求的最小值；若不存在，說明理由習(xí)題答案：1、答案：C解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知可得，則有，所以，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)2、答案：C解析：由交點對稱可知：①交點所在直線與垂直，所以；②直線為圓上弦的中垂線，所以該直線過圓心，由圓方程可得圓心坐標(biāo)：，代入可得：，所以，3、答案：B解析：本題從“等比數(shù)列中不含0項”入手，不妨設(shè)的公比為，可得①中若公比，則無法構(gòu)成等比數(shù)列，同理③中若，則無法構(gòu)成等比數(shù)列；對于②可知均能構(gòu)成公比為的等比數(shù)列4、答案：D解析：，