8.2.1兩角和與差的余弦課件高一數(shù)學(xué)人教B版

第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換兩角和與差的余弦人教B版

數(shù)學(xué)

必修第三冊課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過程,掌握用向量證明問題的方法,進(jìn)一步體會向量法的作用.2.能從兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的余弦公式,并能用兩角和與差的余弦公式解決相關(guān)的求值、化簡和證明等問題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識全過關(guān)知識點(diǎn)兩角和與差的余弦公式名稱公式簡記兩角和的余弦公式cos(α+β)=

Cα+β兩角差的余弦公式cos(α-β)=

Cα-βcosαcosβ-sinαsinβcosαcosβ+sinαsinβ名師點(diǎn)睛兩角和與差的余弦公式的常見變形應(yīng)用公式記憶口訣:“余余正正,符號相反”.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)cos(α-β)=cosαcosβ-sinαsinβ.(

)(2)cos(α+β)=cosα+cosβ.(

)(3)cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ對任意角α,β都成立.(

)××√√2.cos15°=

.

3.[人教A版教材例題]利用公式Cα-β證明:(1)cos(-α)=sinα;(2)cos(π-α)=-cosα.(2)cos(π-α)=cos

πcos

α+sin

πsin

α=(-1)×cos

α+0=-cos

α.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一兩角和與差的余弦公式的簡單應(yīng)用【例1】

(1)cos615°的值為(

)分析

先把615°轉(zhuǎn)化為兩個(gè)特殊角的差,再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化利用兩角和的余弦公式求解.D解析

cos

615°=cos(720°-105°)=cos

105°=cos(45°+60°)=.(2)計(jì)算sin7°cos23°+sin83°cos67°的值為(

)分析

先利用誘導(dǎo)公式對角進(jìn)行轉(zhuǎn)化,再逆用兩角差的余弦公式求解.B解析

sin

7°cos

23°+sin

83°cos

67°=cos

83°cos

23°+sin

83°sin

23°=cos(83°-23°)=cos

60°=.分析

注意sin2α+cos2α=1的應(yīng)用.變式探究1求2cos15°sin15°的值.規(guī)律方法

利用兩角和與差的余弦公式解含非特殊角的三角函數(shù)式的求值問題的一般思路(1)先把非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的和或差,再用公式直接求值.(2)充分利用誘導(dǎo)公式,構(gòu)造兩角和與差的余弦公式的結(jié)構(gòu)形式,然后逆用公式求值.變式訓(xùn)練1(1)cos60°cos30°-sin60°·sin30°=(

)A解析

cos

60°cos

30°-sin

60°·sin

30°=cos(60°+30°)=cos

90°=0.故選A.(2)cos(α-β)cosα+sin(α-β)sinα=(

)A.sin(2α-β) B.cos(2α-β)C.cosβ

D.-cosβC解析

cos(α-β)cos

α+sin(α-β)sin

α=cos[(α-β)-α]=cos(-β)=cos

β.故選C.探究點(diǎn)二給值求值問題規(guī)律方法

給值求值問題的兩個(gè)主要技巧一個(gè)是已知角的某一三角函數(shù)值,求該角的另一三角函數(shù)值時(shí),應(yīng)注意角的終邊所在的象限,從而確定三角函數(shù)值的正負(fù).二是注意變角,“變角”的技巧在三角函數(shù)求值以及證明中經(jīng)常用到,因?yàn)楹侠怼白兘恰焙罂沙浞掷靡阎獥l件中的三角函數(shù)值來計(jì)算或證明.常見的角的變換方式:α=(α+β)-β=β-(β-α)=

[(α+β)+(α-β)]=

[(α+β)-(β-α)],2α=(α+β)+(α-β)=(α+β)-(β-α),α+2β=(α+β)+β等.變換的方式很多,需要自己慢慢地體會和探索.cos

2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1.探究點(diǎn)三給值求角問題分析利用兩角和的余弦公式求α+β的余弦值,并結(jié)合角α+β的范圍進(jìn)行求解.規(guī)律方法

解決給值求角問題的策略求角時(shí),先根據(jù)已知條件求出角的余弦值,然后根據(jù)已知條件求出角的范圍,從而確定角的大小.B成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測A級必備知識基礎(chǔ)練1234567891011121314151617181.[探究點(diǎn)一]cos70°cos335°+sin110°sin25°的值為(

)B解析

原式=cos

70°cos

25°+sin

70°sin

25°=cos(70°-25°)=cos

45°123456789101112131415161718A123456789101112131415161718C1234567891011121314151617184.[探究點(diǎn)一]已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A,B,C,若a=(cosA,sinA),b=(cosB,sinB),且a·b=1,則△ABC一定是(

)A.直角三角形

B.等腰三角形C.等邊三角形

D.等腰直角三角形B解析

因?yàn)閍·b=cos

Acos

B+sin

Asin

B=cos(A-B)=1,且A,B,C是三角形的內(nèi)角,所以A=B,即△ABC一定是等腰三角形.故選B.123456789101112131415161718AC1234567891011121314151617181234567891011121314151617181234567891011121314151617187.[探究點(diǎn)一]已知sin(α-45°)=,0°<α<90°,則cosα=

.

123456789101112131415161718123456789101112131415161718B級關(guān)鍵能力提升練A123456789101112131415161718A123456789101112131415161718A12345678910111213141516171812345678910111213141516171812345678910111213141516171812345678910111213141516171