2022-2023學(xué)年蘇教版選擇性必修第一冊 512瞬時變化率-導(dǎo)數(shù) 學(xué)案

課題:§5.1.2瞬時變化率一一導(dǎo)數(shù)

目標(biāo)要求

1、通過實(shí)例分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程.

2、理解導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

3、準(zhǔn)確理解函數(shù)在某點(diǎn)處與過某點(diǎn)的切線方程.

學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)

通過具體背景與實(shí)例的抽象.經(jīng)歷導(dǎo)數(shù)模型的建構(gòu)和利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題的過程，

使學(xué)生對變量數(shù)學(xué)的思想方法(無窮小算法數(shù)學(xué))有新的感悟.進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

能力，感受和體會數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的規(guī)律以及人類智慧和文明的傳承，促進(jìn)學(xué)生全面認(rèn)識數(shù)

學(xué)的價值.也為后繼進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分等課程打好基礎(chǔ).

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、方程、不等式及解析幾何等相關(guān)內(nèi)容密切相聯(lián).具有“集成”的特點(diǎn)，進(jìn)

而，學(xué)習(xí)本章節(jié)有助于學(xué)生從整體上理解和把握數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想和方法,

提高分析問題、解決問題的能力.

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義；

難點(diǎn)：理解函數(shù)在某點(diǎn)處與過某點(diǎn)的切線方程.

教學(xué)過程

基礎(chǔ)知識積累

1.曲線上某點(diǎn)處的割線與切線

名稱割線切線

當(dāng)點(diǎn)。無限逼近點(diǎn)P時，直線PQ最

設(shè)點(diǎn)。為曲線C上不同于產(chǎn)的一點(diǎn)，則_______

定義終就成為在點(diǎn)P處_________的直線/,

稱為曲線的割線

這條直線/稱為曲線在點(diǎn)尸處的切線

當(dāng)點(diǎn)Q沿曲線C向點(diǎn)尸運(yùn)動，并無限

靠近點(diǎn)P時，割線PQ逼近點(diǎn)尸的切

設(shè)曲線C上一點(diǎn)P(x,/(x)),另一點(diǎn)Q(x+線/,從而割線的斜率逼近切線/的斜

斜率

f(x+Ax))t則割線PQ的斜率為_____________率，即當(dāng)4%無限趨近于0時，

_____________________無限趨近于點(diǎn)

P(x,/⑨)處的切線的斜率

【友情提醒注意】經(jīng)歷割線逼近切線的過程，體會“局部以直代曲”卻“無限逼近”的數(shù)學(xué)

思想.

2.瞬時速度和瞬時加速度

(1)瞬時速度

如果當(dāng)/f無限趨近于0時，運(yùn)動物體位移s(f)的平均變化率S(>)-無限

趨近于,那么這個常數(shù)稱為物體在1=作時的瞬時速度；

(2)瞬時加速度：如果當(dāng)4f無限趨近于。時，運(yùn)動物體速度了⑺的平均變化率

v(卜)無限趨近于一個常數(shù)，那么這個常數(shù)稱為物體在時的瞬時加速

度.

【友情提醒注意】瞬時速度就是位移對于時間的瞬時變化率：瞬時加速度就是速度對于時間

的瞬時變化率.

3.導(dǎo)數(shù)

某設(shè)函數(shù)y=/G)在區(qū)間(a,b)上有定義，用￡(小引，當(dāng)_______________時，

比值/=___________無限趨近于一個_______,則稱八外在“=而處亙導(dǎo)，

點(diǎn)

定義八X

處并稱該常數(shù)A為函數(shù)了⑺在％=沏處的導(dǎo)數(shù)，記作_______.可用符號“一”

的表示“__________"

導(dǎo)幾何意

導(dǎo)數(shù)/⑶)的幾何意義就是曲線y=/(x)在點(diǎn)___________處的___________

數(shù)義

【友情提醒注意】(i)r(xo)是一種新的記號，表示函數(shù)/⑺在處的導(dǎo)數(shù).

(2)瞬時速度：運(yùn)動物體的位移S0對于時間，的導(dǎo)數(shù)，即uG)=S'⑺.

(3)瞬時加速度：運(yùn)動物體的速度uS對于時間，的導(dǎo)數(shù)，即a(D=MS.

4.導(dǎo)函數(shù)

(1)導(dǎo)函數(shù)的定義

若/(x)對于區(qū)間(小6)內(nèi)都可導(dǎo)，則/⑺在各點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)也隨著自變量x的變化而變

化，因而也是的函數(shù)，該函數(shù)稱為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，記作.在不引起混淆時,

導(dǎo)函數(shù)/(x)也簡稱為f(x)的導(dǎo)數(shù).

(2)/(3的意義

/G)在工=照處的導(dǎo)數(shù)/3)就是導(dǎo)函數(shù)/(%)在工=照處的.

【友情提醒注意】/G)也是一個函數(shù)，稱為/G)的導(dǎo)函數(shù).

【課前預(yù)習(xí)思考】

(1)曲線在某一點(diǎn)處的切線與曲線只能有一個公共點(diǎn)嗎？

（2）求/（x）在x=&處的導(dǎo)數(shù)的一般步驟是什么？

（3）如何理解/G）在x=x）處的導(dǎo)數(shù)/（M）?

【課前小題演練】

題1.某廠家生產(chǎn)的新能源汽車的緊急剎車裝置在遇到特別情況時需在2s內(nèi)完成剎車，其

40

位移M單位：加關(guān)于時間：（單位：S）的函數(shù)關(guān)系式為"S=-y—2z+w,則"（1）的實(shí)

O

際意義是（）

A.汽車剎車后1$內(nèi)的位移

B.汽車剎車后1s內(nèi)的平均速度

C.汽車剎車后1s時的瞬時速度

D.汽車剎車后15時的瞬時加速度

題2.一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動，運(yùn)動的距離s（單位：加）與時間/（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系為

s=-t2+t,則當(dāng)f=l時，該質(zhì)點(diǎn)的瞬時速度為()

4

53

A.—m/sB.—m!sC.2m/sD.-m/s

422

題3.函數(shù)y=/(x)在X=刈處的導(dǎo)數(shù)可表示為y'|x=x。，即()

A.f(Xo)=/(xo+Jx)—f(xo)

B.fr(xo)=lim[/(xo+Jx)—/(xo)]

AXTO

,..「f(Xo+Ax)—f(Xo)

C./5)—iim.

AxDAx

f(Xo+Ax)—f(Xo)

D.f'(xo)=

△x

題4.一質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律5=2,運(yùn)動，則其在，=2時的瞬時速度等于（）

A.2B.8C.16D.24

題5.某物體做自由落體運(yùn)動的位移s（f）=gg/，g=9.8m/$2,若業(yè)子二迪=24.5m/s,

則24.5m/s是該物體（）

A.從1s到（1+Z\f）s這段時間的平均速度

B.從0s到1s這段時間的平均速度

C.在f=ls這一時刻的瞬時速度

D.在】=這一時刻的瞬時速度

題6.（多除下列說法塔測勺是'：）

4.函數(shù)y=/G）在x=x。處的導(dǎo)數(shù)/N）的幾何意義是函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)％=?處的函數(shù)值.

區(qū)函數(shù)y=/U）在元=用處的導(dǎo)數(shù)/N）的幾何意義是函數(shù)）=f（x）在點(diǎn)（跖/U）））處的切線

與x軸所夾銳角的正切值.

C.函數(shù)y=/（x）在工=照處的導(dǎo)數(shù)/Cvo）的幾何意義是曲線y=f（x）在點(diǎn)（照，/（沏））處的切線

的斜率.

。.函數(shù)y=/（x）在4=&處的導(dǎo)數(shù)/（X。）的幾何意義是點(diǎn)（M,/V。））與點(diǎn)（0,0）連線的斜率.

題7.函數(shù)），=丁+1在4=2處的導(dǎo)數(shù)為.

4JTr3

題8.已知球的體積V是關(guān)于半徑〃的函數(shù)，V（r）=—：-,則r=2時，球的體積的瞬時變

化率為________.

題9.一個小球作簡諧振動，其運(yùn)動方程為x（/）=2sin（加+工），其中xj）（單位：cm）是小

3

球相對于平衡點(diǎn)的位移，/（單位：s）為運(yùn)動時間，則小球在，=2時的瞬時速度為

_________cm!s.

題10.求曲線），=f（x）=f+l在點(diǎn)尸（1,2）處的切線方程.

題11.一物體做直線運(yùn)動，運(yùn)動的路程s?⑺（單位：⑼與運(yùn)動的時間，（單位：s）滿足:

^（/）=l/3+/2+3r.

（1）求該物體在第Is內(nèi)的平均速度：

（2）求/（2）,并解釋它的實(shí)際意義：

（3）經(jīng)過多長時間物體的運(yùn)動速度達(dá)到19〃z/s.

【當(dāng)堂鞏固訓(xùn)練】

題12.函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，則下列數(shù)值排序正確的是（)

A.f（3）</⑵</（3）-/（2）

B.f⑵</（3）一82）</（3）

C./⑵</（3）</（3）-/（2）

D./（3）一/⑵</（2）</（3）

題13.一個小球作簡諧振動，其運(yùn)動方程為/?（/）=lOsin（加-令，其中力⑴（單位：cm）是

小球相對于平衡點(diǎn)的位移，/（單位：s）為運(yùn)動時間，則小球的瞬時速度首次達(dá)到最大時，

/=（）

A.1B.-C.-D.-

623

題14.如圖，函數(shù)y=/G）的圖象在點(diǎn)尸處的切線方程是y=-x+6,則/（3）+/（3）=

（）

A.-B.1C.2D.0

乙

題15.已知曲線)，=端上一點(diǎn)A(l,2),則點(diǎn)4處的切線斜率等于()

A.2B.4

C.6+6/x+2(dx)2D.6

題16.已知曲線y=f(x)在x=5處的切線方程是y=-x+8,則/(5)等于()

A.5B.3C.0D.-1

題17.已知函數(shù)/(動=以2+4若/(1)=2,則。=()

A.4B.2C.1D.0

題18（多本題）.若函數(shù)/G）在尸此處存在導(dǎo)數(shù)，則

「f（Xo+h）—f（Xo）g包/

lim---------r----------的值（)

hfoh

A.與照有關(guān)B.與人有關(guān)

C.與Xo無關(guān)D.與/?無關(guān)

題19.（多選題）對于函數(shù)f（x）,若

???

f（xo）=2,則當(dāng)力無限趨近于。時，在下列式子中無限趨近于2的式子有（）

f（xo+h）-f（Xo）

h

f（xo+h）—f（Xo）

B.

2h

f(Xo+2h)—f(XD)

C'h

f(xo+2h)—f(xo)

D.

2h

題20.已知函數(shù)f(x)=±，貝！/(2)=

AI1

題21.如圖，煤場的煤堆形如圓錐，設(shè)圓錐母線與底面所成角為a=工，傳輸帶以0.9//加〃

4

的速度送煤，則「關(guān)于時間r的函數(shù)是,當(dāng)半徑為36時，7■對時間，的變

化率為____________.

【分析】由題意可得=從而可得。=r,利用圓錐的體積公式即可求解「關(guān)于時間，

r

的函數(shù)，對/求導(dǎo)，由，=3可得對應(yīng)的時刻“，代入導(dǎo)函數(shù)中即可求解變化率.

題22.若直線），=一彳+"為函數(shù)圖象的切線，求b及切點(diǎn)坐標(biāo).

題23.水以20米3/分的速度流入一圓錐形容器，設(shè)容器深30米，上底直徑12米，試求當(dāng)

水深10米時，水面上升的速度.

【課堂跟蹤拔高】

題24.若函數(shù)/（x）在x=a處的導(dǎo)數(shù)為A,則當(dāng)/x-0時，,「（a”x）

乙dX

f（）

A.0B.AC.2AD.A2

題25.一物體做加速直線運(yùn)動，假設(shè)，$時的速度為“力=，+3,則f=2時物體的加速度

為（）

A.4B.3C.2D.1

題26.一物體做直線運(yùn)動，其位移y（單位：加）與時間/（單位：s）的關(guān)系是y=-/+9r,

則該物體在，=3s時的瞬時速度為（）

A.3m/sB.6mlsC.T2，n/sD.\6tn/s

題27.侈選殿設(shè)P0為曲線/（x）=f+x—2上的點(diǎn)，且曲線在A處的切線平行于直線y

=4x—1,則R)點(diǎn)的坐標(biāo)為()

4.(1,0)B.(2,8)

C.(-1,-4)D.(-2,-12)

題28.設(shè)某質(zhì)點(diǎn)的位移y(單位：m)與時間f(單位：s)的關(guān)系是J")=/+4],則質(zhì)點(diǎn)在

第3s時的瞬時速度等于mis.

題29.己知曲線)，=/G)=2f+以在點(diǎn)P處的切線斜率為16,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_______,

點(diǎn)P處的切線方程為.

題30.已知凡0=丁,利用(1)=2,Jx=0.03,求/(I.03)的近似值.

題31.一質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動，在％(單位：s)時離出發(fā)點(diǎn)的距離(單位：加)為

2

f(x)=—X3+x2+2x.

(1)求質(zhì)點(diǎn)在第Is內(nèi)的平均速度；

(2)求質(zhì)點(diǎn)在第1s末的瞬時速度；

(3)經(jīng)過多長時間質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動速度達(dá)到14〃“s?

題32.已知某物體的位移S(米)與時間/(秒)的關(guān)系是S?)=3f-r.

(I)求f=O秒到，=2秒的平均速度；

(II)求此物體在1=2秒的瞬時速度.

編號：033課題：§5.1.2瞬時變化率一一導(dǎo)數(shù)

目標(biāo)要求

1、通過實(shí)例分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程.

2、理解導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

3、準(zhǔn)確理解函數(shù)在某點(diǎn)處與過某點(diǎn)的切線方程.

學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)

通過具體背景與實(shí)例的抽象.經(jīng)歷導(dǎo)數(shù)模型的建構(gòu)和利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題的過程，

使學(xué)生對變量數(shù)學(xué)的思想方法(無窮小算法數(shù)學(xué))有新的感悟.進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

能力，感受和體會數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的規(guī)律以及人類智慧和文明的傳承，促進(jìn)學(xué)生全面認(rèn)識數(shù)

學(xué)的價值.也為后繼進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分等課程打好基礎(chǔ).

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、方程、不等式及解析幾何等相關(guān)內(nèi)容密切相聯(lián).具有“集成”的特點(diǎn)，進(jìn)

而，學(xué)習(xí)本章節(jié)有助于學(xué)生從整體上理解和把握數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想和方法,

提高分析問題、解決問題的能力.

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義；

難點(diǎn)：理解函數(shù)在某點(diǎn)處與過某點(diǎn)的切線方程.

教學(xué)過程

基礎(chǔ)知識積累

1.曲線上某點(diǎn)處的割線與切線

名稱割線切線

當(dāng)點(diǎn)。無限逼近點(diǎn)P時，直線PQ最

設(shè)點(diǎn)。為曲線C上不同于尸的一點(diǎn)，則直線PO終就成為在點(diǎn)P處最逼近曲線的直線

定義

稱為曲線的割線/,這條直線/稱為曲線在點(diǎn)P處的切

線

當(dāng)點(diǎn)Q沿曲線C向點(diǎn)尸運(yùn)動，并無限

靠近點(diǎn)尸時，割線PQ逼近點(diǎn)尸的切

設(shè)曲線C上一點(diǎn)P(x,f(x)),另一點(diǎn)Q(x+4x,

線/,從而割線的斜率逼近切線/的斜

斜率f(x+/x)),則割線PO的斜率為kpo=

率，即當(dāng)4%無限趨近于0時，

f(x+Ax)—f(x)

f(X+△X)-f(X)丁舊"七十上

Ax-、無限趨近于點(diǎn)

Ax一

p(x,fCO)處的切線的斜率

【友情提醒注意】經(jīng)歷割線逼近切線的過程，體會“局部以直代曲”卻“無限逼近”的數(shù)學(xué)

思想.

2.瞬時速度和瞬時加速度

(1)瞬時速度

如果當(dāng)無限趨近于。時，運(yùn)動物體位移5(f)的平均變化率,()十△：；一1C。)無限

趨近于一個常數(shù),那么這個常數(shù)稱為物體在時的瞬時速度；

(2)瞬時加速度：如果當(dāng)4無限趨近于0時，運(yùn)動物體速度口⑺的平均變化率

V無限趨近于一個常數(shù)，那么這個常數(shù)稱為物體在，=而時的瞬時加速

度.

【友情提醒注意】瞬時速度就是位移對于時間的瞬時變化率；瞬時加速度就是速度對于時間

的瞬時變化率.

3.導(dǎo)數(shù)

某設(shè)函數(shù))，=/(%)在區(qū)間(m㈤上有定義，b),當(dāng)/x無限趨近于。時,

點(diǎn)比值A(chǔ)x-Ax—無限趨近于個常數(shù)A,則稱/G)在x—

定義

處戒處可導(dǎo),并稱該常數(shù)A為函數(shù)/(外在4=刖處的導(dǎo)數(shù)，記作￡(劉).可用

的符號“一”表示“無限趨近于”

導(dǎo)幾何意

導(dǎo)數(shù)/(與的幾何意義就是曲線Y=f(由在點(diǎn)f(r))處的切線的斜率

數(shù)義

【友情提醒注意】(1)，(疝)是一種新的記號，表示函數(shù)/⑺在x=a處的導(dǎo)數(shù).

(2)瞬時速度：運(yùn)動物體的位移S(f)對于時間，的導(dǎo)數(shù)，即uS=S'⑺.

(3)瞬時加速度：運(yùn)動物體的速度”。對于時間1的導(dǎo)數(shù)，即a(/)=MS.

4.導(dǎo)函數(shù)

(1)導(dǎo)函數(shù)的定義

若f(x)對于區(qū)間(m6)內(nèi)任二直都可導(dǎo)，則f(x)在各點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)也隨著自變量x的變化而變化,

因而也是自變量x的函數(shù),該函數(shù)稱為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，記作尸⑺.在不引起混淆時，導(dǎo)函

數(shù)/⑺也簡稱為/(%)的導(dǎo)數(shù).

(2)/(城的意義

/("在X=H處的導(dǎo)數(shù)/3)就是導(dǎo)函數(shù)/G)在工=照處的函教值.

【友情提醒注意】/G)也是一個函數(shù)，稱為/(x)的導(dǎo)函數(shù).

【課前預(yù)習(xí)思考】

(1)曲線在某一點(diǎn)處的切線與曲線只能有一個公共點(diǎn)嗎？

提示：不是.如y=￡在點(diǎn)（1,1）處的切線與曲線有2個公共點(diǎn).

（2）求/G）在”=兩處的導(dǎo)數(shù)的一般步驟是什么？

提示：①求4y；②求辛；③當(dāng)時，#=',~~'（X。）-A（常數(shù)），則

△XdXAX

常數(shù)4即為/（x）在％=照處的導(dǎo)數(shù).

（3）如何理解/（%）在x=x）處的導(dǎo)數(shù)/（刖）？

提示：/（x）在工=園處的導(dǎo)數(shù)/G）是函數(shù)/（x）在X=刈處的函數(shù)值，而不是/（照）的導(dǎo)數(shù).

【課前小題演練】

題1.某廠家生產(chǎn)的新能源汽車的緊急剎車裝置在遇到特別情況時需在2$內(nèi)完成剎車，其

位移從單位：加關(guān)于時間：（單位：s）的函數(shù)關(guān)系式為人⑺=一/一2，+與，則工⑴的實(shí)

際意義是（）

4.汽車剎車后15內(nèi)的位移

B.汽車剎車后1S內(nèi)的平均速度

C.汽車剎車后1s時的瞬時速度

D.汽車剎車后1s時的瞬時加速度

【解析】選C由導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義知，位移關(guān)于時間的瞬時變化率為該時刻的瞬時速度.

題2.一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動，運(yùn)動的距離s（單位：m）與時間/（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系為

s=-r+t,則當(dāng)，=1時，該質(zhì)點(diǎn)的瞬時速度為（）

4

535

A.—misB.—m!sC.2mlsD.—mls

422

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式和幾何意義求解即可.

【解答】解：+

42

Ia

,當(dāng)［=1時,s'=—，+1=—?

22

即當(dāng)，=1時，該質(zhì)點(diǎn)的瞬時速度為3m/s,

2

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式和幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

題3.函數(shù))，=/(%)在工=心處的導(dǎo)數(shù)可表示為y'|x=x。，即()

A.f(Xo)=/(Xo+Jx)—/Cxb)

B.f(xo)=lim[/(xo+Jx)—/(Xo)]

Ax—>0

Go)=limf(xo+Ax)-f(x?)

Ax—>0Ax

f(Xo+Ax)—f(Xo)

D.f(xo)=

Ax

【解析】選c/1x是，(浦的另一種記法，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可知C正確.

題4.一質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律s=2,運(yùn)動，則其在，=2時的瞬時速度等于()

A.2B.8C.16D.24

【解析】選D/s=2X(2+403-2X23

=24Jr+12(Jz)2+2(Jr)3,

As

所以式Y(jié)=24+12J/4-2(J/)2,

,,△s

當(dāng)zk—0時，1y--24.

題5.某物體做自由落體運(yùn)動的位移s(f)=；g/，g=9.8m//,若祗斗二迎=24.5m/s,

則24.5m/s是該物體()

A.從1s到(1+Z\f)s這段時間的平均速度

B.從0s到1s這段時間的平均速度

C.在1=1$這一時刻的瞬時速度

D.在，=△/$這一時刻的瞬時速度

【分析】根據(jù)題意，由平均變化率公式分析可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，對于式。=3"，s(l+j)T⑴=245m/S,

即從Is到(1+△t)s這段時間的平溝速度為24.5m/s；

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查平均變化率的計(jì)算，注意變化率的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.

題6.(多造)下列說法鐐誤的是()

A.函數(shù)y=/(x)在工=刈處的導(dǎo)數(shù)/(戊)的幾何意義是函數(shù))，=.f(X)在點(diǎn)工=此處的函數(shù)值.

8.函數(shù)y=f(x)在％=照處的導(dǎo)數(shù)/(而)的幾何意義是函數(shù))，=/卜)在點(diǎn)(.，/G。))處的切線

與x軸所夾銳角的正切值.

C.函數(shù)y=/G)在1=沏處的導(dǎo)數(shù)了(心)的幾何意義是曲線y=/(x)在點(diǎn)(尬，/U0)處的切線

的斜率.

。.函數(shù)y=/(x)在處的導(dǎo)數(shù)f(照)的幾何意義是點(diǎn)(照，/(H))與點(diǎn)(0,0)連線的斜率.

【答案】ABD

［解析】4.X.函數(shù)y=f(x)在x=xo處的導(dǎo)數(shù)/(元)的幾何意義是函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=xo處

的導(dǎo)數(shù)值.

B.X.函數(shù)），=/。）在4=沏處的導(dǎo)數(shù)，（XD）的幾何意義是函數(shù)y=/G）在點(diǎn)（加J（H））處的切

線傾斜角的正切值.

CJ.函數(shù)y=/G）在尸&處的導(dǎo)數(shù)/3）的幾何意義就是曲線y=75）在點(diǎn)3,/（均）處的

切線的斜率.

D.x.函數(shù)產(chǎn)治）在刀=向處的導(dǎo)數(shù)/（.⑹的幾何意義是曲線產(chǎn)危）在點(diǎn)Go凡時）處的切線的斜率不是點(diǎn)Go,

孔⑹）與點(diǎn)（0,0）連線的斜率.

題7.函數(shù)），=9+1在％=2處的導(dǎo)數(shù)為一

【解析】蕓AY=(2+Ax)2+1一(22+1)

Ax

4+(Ax)'+4Ax+l-5

△x

=zfx+4,

當(dāng)4rf0時，Jx+4-*4,

所以+1在x=2處的導(dǎo)數(shù)為4.

答案：4

4JIr3

題8.己知球的體積V是關(guān)于半徑，的函數(shù)，V（r）=^-,則r=2時，球的體積的瞬時變

化率為_______.

?5皿、mI\小、（2+Ar）34JT23

【解析】zir=V（2+Jr）-V（2）=--------7-----------------7—=

JJ

4冗?Ar[12+6Ar+（Ar）

3'

AV4JiAV

所以=_7_[124-6Jr+(Jr)*2],當(dāng)“趨于。時工-趨于167r.

△rJ

答案：16兀

題9.一個小球作簡諧振動，其運(yùn)動方程為x（r）=2sin（m+馬，其中武。（單位：cm）是小

球相對于平衡點(diǎn)的位移，，（單位：s）為運(yùn)動時間，則小球在f=2時的瞬時速度為

_________cm!s-

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義求解.

[解答]解：x(t)=2sin(%f+—),/.x")=2〃COS(R+—),

33

二小球在t=2時的瞬時速度為2%cos(2乃+y)=2乃8so=Tran/s,

故答案為:兀?

【點(diǎn)評】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義，屬于基礎(chǔ)題.

題10.求曲線y=/（x）=F+l在點(diǎn)p（l,2）處的切線方程.

【解析】因?yàn)槲?f（l+4x）—/■⑴=2JX+（』X）2,所以#=2+/x,當(dāng)』x-0時，f（1）

△X

=2.

所以，所求切線的斜率為2,因此，所求的切線方程為y-2=2（x-lj,即2x-y=0.

題11.一物體做直線運(yùn)動，運(yùn)動的路程s（f）（單位：m）與運(yùn)動的時間，（單位：s）滿足:

s（t）=-P+r+3t.

（1）求該物體在第Is內(nèi)的平均速度；

（2）求U（2）,并解釋它的實(shí)際意義：

（3）經(jīng)過多長時間物體的運(yùn)動速度達(dá)到

【分析】（1）根據(jù)平均速度的公式進(jìn)行計(jì)算$⑴一''⑼即可;

1-0

（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義為瞬時速度即可；

（3）解導(dǎo)數(shù)方程*。=19,即可.

【解答】解：（1）1s內(nèi)的平均速度為s⑴一，°）=2---------=2（〃?/s）

1-012

（2）s\t）=-t2+2t+3,則V（2）=-X22+2X2+3=6+4+3=13（/W/5）,

22

即該物體在2s末的瞬時速度為13（m/s）,

（3）由sd）=y+2/+3=19,得3/+41-32=0,

即（r+4）（3r-8）=0,

得z=T（舍）或/=

3

即經(jīng)過號s物體的運(yùn)動速度達(dá)到19/〃/5.

3

【點(diǎn)評】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的定義以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根據(jù)平均變化率和瞬時變化率的公

式是解決本題的關(guān)鍵.

【當(dāng)堂鞏固訓(xùn)練】

題12.函數(shù)/（X）的圖象如圖所示，則下列數(shù)值排序正確的是（）

A./（3）＜/（2）＜/（3）-/（2）

B.f（2）＜/（3）-/（2）＜/（3）

C.f⑵＜/（3）＜/（3）-/（2）

D./（3）-/（2）＜/⑵＜/（3）

【解析】選A

設(shè)A⑵/（2））,B（3,/（3））,

所以必8」⑶二;⑵=/（3）—/（2）,

設(shè)點(diǎn)A處的切線為A0點(diǎn)B處的切線為8。，得—<34孫所以/（2）</（3）-/（2）

</（3）.

題13.一個小球作簡諧振動，其運(yùn)動方程為〃（/）=lOsin（加-工），其中人⑺（單位：cm）是

3

小球相對于平衡點(diǎn)的位移，f（單位：s）為運(yùn)動時間，則小球的瞬時速度首次達(dá)到最大時，

/=（）

A.1B.-C.-D.-

623

【分析】由題意可知瞬時速度為/⑺=10乃cos（R-匹），當(dāng)瞬時速度最大時8式加-巳）=1,

33

再結(jié)合余弦函數(shù)進(jìn)行求解.

【解答】解：?.,運(yùn)動方程為力（/）=10sin（m-為，

3

二瞬時速度為〃'⑺=10;rcos（衣-二）?

3

當(dāng)瞬時速度最大時，cos（加-。）=1,

冗八I

Tit---=2k冗,

3

.?I=；+2k（kGZ）,

當(dāng)2=0時，為小球瞬時速度首次大到最大值，此時/=,，

3

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義，屬于基礎(chǔ)題.

題14.如圖，函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)尸處的切線方程是y=-x+6,則f（3）+/（3）=

（）

y

1

4-8C2O

2D.

【解析】選C.當(dāng)x=3時，產(chǎn)一3+6=3,所以/(3)=3,因?yàn)楹瘮?shù))，=/(x)的圖像在點(diǎn)P處

的切線方程是y=-x+6,所以/(3)=-1,

所以/(3)+/(3)=3+(—1)=2.

題15.已知曲線y=2f上一點(diǎn)A(l,2),則點(diǎn)A處的切線斜率等于()

A.2B.4

C.6+6/x+2(dx)2D.6

【解析】選。.因?yàn)閥=2V所以第=

2(1+Ax)3-2x12(Ax)‘+6(Ax)」+6Ax

AxAx

=[2(JX)2+6JX4-6].

當(dāng)衣-0時，尹=6.即點(diǎn)A(1,2)處切線的斜率為6.

Ax

題16.已知曲線y=/(x)在x=5處的切線方程是y=-x+8,則/(5)等于()

4.5B.3C.0D.-1

【解析】選D由y=f(x)在x=5處的切線方程是y=-x+8,可知切線的斜率為一1,易得

f(5)=-1.

題17.已知函數(shù)/(x)=0^+6,若/(1)=2,則。=()

A.4B.2C.1D.0

■、4八E、rAyf(x+Ax)—f(X)

【解析】選C.因?yàn)?上=---------;----------

△xAx

a(x+Ax)2+b—(ax2+b)

=-----------;------------=2ax-ra?Ax,

△x

△y

當(dāng)Nx-O時，———2",

△x

所以，(x)=2or,因?yàn)?(1)=2a=2?所以a=l.

題18(多本題).若函數(shù)/(%)在x=x°處存在導(dǎo)數(shù)，則

「f(x(i+h)—f(xo)Ak+,、

hm-------------------的值()

h->0h

A.與Xo有關(guān)B.與人有關(guān)

C.與沏無關(guān)D.與力無關(guān)

【解析】選AD由導(dǎo)數(shù)的定義，得

「f(x(i+h)—f(xo)”.、

lim-------------------=fW,

h->0h

即函數(shù)/(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)與沏有關(guān)，與〃無關(guān).

題19.(多選題)對于函數(shù)/(X),若

9?9

f(X。)=2,則當(dāng)人無限趨近于0時，在下列式子中無限趨近于2的式子有()

f(xo+h)-f(Xo)

Lh

「(xo+h)-f(xo)

,2h

f(Xo4~2h)—f(xo)

二h

f(Xo+2h)—f(xo)

)?2h

_e、，f(xo+h)—f(xo)f(xo+h)—f(xo)

［解析］選AD.因?yàn)?-------:---------當(dāng)人一0時,

nh

f(xo),故選項(xiàng)A正確；因?yàn)閒(x“+h(X。),

X；

當(dāng)力—0時，「('+h；―f(X。)="(Xo)=1,故選項(xiàng)B錯誤;

乙II乙

E、jf(xo+2h)-f(xo)

因?yàn)?

當(dāng)人-0時，‘(x"2h：T(x")=2f(xo)=4,故選項(xiàng)C錯誤;

f(xo4-2h)—f(xo)

因?yàn)?-------------------，

當(dāng)人-0時，,卜+2［-f5)=f，(Xo)=2,故選項(xiàng)。正確.

題20.已知函數(shù)/⑺=七，貝!/(2)=

AI1

【解析】氏=f(x+△X)—f(x)

11

x+AX+1-7+1

=

_______________________

=(x+Ax+1)(x+1)'

△y—1

當(dāng)4L0時，——i、？，

Ax(x+1)

-1-11

所以f所=(x+1)°，故f(2)=—

答案：一!

題21.如圖，煤場的煤堆形如圓錐，設(shè)圓錐母線與底面所成角為。=工，傳輸帶以/min

4

的速度送煤，則「關(guān)于時間［的函數(shù)是,當(dāng)半徑為時，「對時間/的變

化率為____________.

【分析】由題意可得匕na=B,從而可得〃=「，利用圓錐的體積公式即可求解關(guān)于時間/

的函數(shù)，對，求導(dǎo)，由，=3可得對應(yīng)的時刻石，代入導(dǎo)函數(shù)中即可求解變化率.

【解答】解：由題意值，tana=",所以"=rtana=rtanM=r,

r4

設(shè)切加時煤堆的體積為V,

貝UV='力T%=,萬尸=0.9,,①

33

所以「=行",②

對/求導(dǎo)可得，（/）=上

3

當(dāng)/*=3時，對應(yīng)的時刻為小

由①得%=104，

代入③式可得，⑺T戶/T戶（1。萬）一汽3空-擊.

3V43V437：10萬

故答案為：r=攔工—.

V兀10乃

【點(diǎn)評】本題主要考查圓錐體積公式，變化率，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔

題.

題22.若直線），=—x+8為函數(shù)了=：圖象的切線，求b及切點(diǎn)坐標(biāo).

11

【解析】箕AVx+Axx—1

Axx(x+△x)

Ay

當(dāng)，X-0時，-T-----2,

Axx

設(shè)切點(diǎn)（XD,,貝ljk=—=-1,得XD=±1,

當(dāng)即=1時，切點(diǎn)（1,1）,代入y=-x+b得b=2,

當(dāng)H=-1時，切點(diǎn)（一L—1）,代入y=—x+力得b=-2,

綜上6=2,切點(diǎn)為（1,1）或6=—2,切點(diǎn)為（-1,-1）.

題23.水以20米3/分的速度流入一圓錐形容器，設(shè)容器深30米，上底直徑12米，試求當(dāng)

水深10米時，水面上升的速度.

【分析】利用平行線分線段成比例定理得到水面的半徑與水高的關(guān)系；利用圓錐的體積公式

求出水深與時間的函數(shù)關(guān)系；對水深求導(dǎo)數(shù)即為水上升的速度.

【解答】解：設(shè)容器中水的體積在f分鐘時為V,水深為〃則丫=20/,又丫=」乃產(chǎn)〃

3

由圖知,=色，:.r=—h?/.V=—^（―）2/z3=—A3,/.20/=—/i3?h=

h305357575Vn

0S

于是〃二楞gF.當(dāng)力=10時,——71>此時〃=—

37T

當(dāng)力=10米時，水面上升速度為』米/分.

n

【點(diǎn)評】本題考查圓錐的體積公式、平行線分線段成比例定理、對水深求導(dǎo)即為水上升的速

度.

【課堂跟蹤拔高】

f(a+Ax)—f(a—Ax)

題24.若函數(shù)/(x)在x=a處的導(dǎo)數(shù)為A,則當(dāng)小一0時,

2Ax

f()

A.0B.AC.2AD.A2

【解析】選A因?yàn)楫?dāng)時，fA?T⑷一人

”，(a—Ax)—f(a).

所以----------7-------------1A(/m用一/x替換/x),

f(a+Ax)—f(a—Ax)

所以當(dāng)/x-O時,

2?Ax

1f(a+Ax)—f(a),1f(a)—f(a—Ax)

=5x-------------內(nèi)--------+]x-------------------------------

[A+^-~](當(dāng)0時,-4x-*0)fJU+A)=A.

Z-AxL

題25.一物體做加速直線運(yùn)動，假設(shè)f$時的速度為“f)=，+3,貝卜=2時物體的加速度

為()

A.4B.3C.2D.1

【解析】選4因?yàn)檠?"+力：3T—3=力+九

AV

所以當(dāng)4—0時，--*2/.

所以/=2時物體的加速度為4.

題26.一物體做直線運(yùn)動，其位移)，(單位：加)與時間/(單位：s)的關(guān)系是'=-/