中考數(shù)學必背知識手冊知識07 四邊形（公式、定理、結論圖表）

知識必備07四邊形（公式、定理、結論圖表）考點一、四邊形的相關概念1.多邊形的定義：在平面內(nèi)，由不在同一直線上的一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.

2.多邊形的性質(zhì)：(1)多邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)·180°；

(2)推論：多邊形的外角和是360°；

(3)對角線條數(shù)公式：n邊形的對角線有條；

(4)正多邊形定義：各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形.3.四邊形的定義：同一平面內(nèi)，由不在同一條直線上的四條線段首尾順次相接組成的圖形叫做四邊形.

4.四邊形的性質(zhì)：(1)定理：四邊形的內(nèi)角和是360°；(2)推論：四邊形的外角和是360°.典例1：大自然中有許多小動物都是“小數(shù)學家”，如圖1，蜜蜂的蜂巢結構非常精巧、實用而且節(jié)省材料，多名學者通過觀測研究發(fā)現(xiàn)：蜂巢巢房的橫截面大都是正六邊形．如圖2，一個巢房的橫截面為正六邊形ABCDEF，若對角線AD的長約為8mm，則正六邊形ABCDEF的邊長為（）A．2mm B．2mm C．2mm D．4mm【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)和題目中的數(shù)據(jù)，可以求得正六邊形ABCDEF的邊長．【解答】解：連接BE，CF，BE、CF交于點O，如右圖所示，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，AD的長約為8mm，∴∠AOF＝60°，OA＝OD＝OF，OA和OD約為4mm，∴AF約為4mm，故選：D．【點評】本題考查多邊形的對角線，解答本題的關鍵是明確正六邊形的特點．典例2：如圖，四邊形ABCD的內(nèi)角和等于（）A．180° B．270° C．360° D．540°【分析】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360°解答即可．【解答】解：四邊形ABCD的內(nèi)角和為360°．故選：C．【點評】本題考查了四邊形的內(nèi)角和，四邊形的內(nèi)角和等于360°．考點二、特殊的四邊形1.平行四邊形及特殊的平行四邊形的性質(zhì)2.平行四邊形及特殊的平行四邊形的判定【要點詮釋】面積公式：S菱形=ab=ch.（a、b為菱形的對角線,c為菱形的邊長，h為c邊上的高）S平行四邊形=ah.a為平行四邊形的邊，h為a上的高）典例3：（2023?福建）如圖，在中，為的中點，過點且分別交，于點，．若，則的長為10．【分析】由平行線四邊形的性質(zhì)得到，，因此，，又，即可證明，得到，于是得出．【解答】解：四邊形是平行四邊形，，，，，為的中點，，，，，．故答案為：10．【點評】本題考查平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，關鍵是由推出，由平行線的性質(zhì)得到，推出．典例4：如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分別為點E，F(xiàn)，且BE＝DF，∠ABD＝∠BDC．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．【分析】結合已知條件推知AB∥CD；然后由全等三角形的判定定理AAS證得△ABE≌△CDF，則其對應邊相等：AB＝CD；最后根據(jù)“對邊平行且相等是四邊形是平行四邊形”證得結論．【解答】證明：∵∠ABD＝∠BDC，∴AB∥CD．∴∠BAE＝∠DCF．在△ABE與△CDF中，．∴△ABE≌△CDF（AAS）．∴AB＝CD．∴四邊形ABCD是平行四邊形．【點評】本題主要考查了平行四邊形的判定：（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．典例5：（2023?涼山州）如圖，在中，對角線與相交于點，，過點作交于點．（1）求證：；（2）若，，求的長．【分析】（1）證，得是菱形，再由菱形的性質(zhì)即可得出結論；（2）由菱形的性質(zhì)得，，再由勾股定理得，然后證，得，即可得出結論．【解答】（1）證明：，，是菱形，；（2）解：由（1）可知，是菱形，，，，，，，，，，，即，解得：，即的長為．典例6：（2022?蘭州）如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，E為AD的中點，連接OE，∠ABC＝60°，BD＝4，則OE＝（）A．4 B．2 C．2 D．【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，∠ABO＝30°，AC⊥BD，則BO＝2，再利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴BO＝DO，∠ABO＝30°，AC⊥BD，AB＝AD，∴BO＝2，∴AO＝＝2，∴AB＝2AO＝4，∵E為AD的中點，∠AOD＝90°，∴OE＝AD＝2，故選：C．【點評】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關鍵．典例7：（2023?自貢）如圖，在平行四邊形中，點，分別在邊，上，且．求證：．【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得，，再證，然后由平行四邊形的判定即可得出結論．【解答】證明：四邊形是平行四邊形，，，，，即，又，四邊形是平行四邊形，．典例8：（2023?杭州）如圖，平行四邊形的對角線，相交于點，點，在對角線上，且，連接，，，．（1）求證：四邊形是平行四邊形．（2）若的面積等于2，求的面積．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得，，再證，即可得出結論；（2）由平行四邊形的性質(zhì)可求解．【解答】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，，四邊形是平行四邊形；（2）解：，，四邊形是平行四邊形，，，的面積．典例9：（2022?青海）如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，過點O的直線交AD，BC于點E，F(xiàn)，若AB＝3，BC＝4，則圖中陰影部分的面積為6．【分析】首先結合矩形的性質(zhì)證明△AOE≌△COF，得△AOE、△COF的面積相等，從而將陰影部分的面積轉化為△BDC的面積．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，AB＝3，∴OA＝OC，AB＝CD＝3，AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO；又∵∠AOE＝∠COF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF，∴S△AOE＝S△COF，∴S陰影＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△COF+S△BOF+S△COD＝S△BCD，∵S△BCD＝BC?CD＝＝6，∴S陰影＝6．故答案為6．【點評】此題主要考查了矩形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，能夠根據(jù)三角形全等，從而將陰影部分的面積轉化為矩形面積的一半，是解決問題的關鍵．典例10：（2022?巴中）如圖，?ABCD中，E為BC邊的中點，連接AE并延長交DC的延長線于點F，延長EC至點G，使CG＝CE，連接DG、DE、FG．（1）求證：△ABE≌△FCE；（2）若AD＝2AB，求證：四邊形DEFG是矩形．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)推出AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)推出∠EAB＝∠CFE，利用AAS即可判定△ABE≌△FCE；（2）先證明四邊形DEFG是平行四邊形，再證明DF＝EG，即可證明四邊形DEFG是矩形．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠EAB＝∠CFE，又∵E為BC的中點，∴EC＝EB，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（AAS）；（2）∵△ABE≌△FCE，∴AB＝CF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝DC，∴DC＝CF，又∵CE＝CG，∴四邊形DEFG是平行四邊形，∵E為BC的中點，CE＝CG，∴BC＝EG，又∵AD＝BC＝EG＝2AB，DF＝CD+CF＝2CD＝2AB，∴DF＝EG，∴平行四邊形DEFG是矩形．【點評】本題考查了矩形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明△ABE≌△FCE是解題的關鍵．典例11：（2022?云南）如圖，在平行四邊形ABCD中，連接BD，E為線段AD的中點，延長BE與CD的延長線交于點F，連接AF，∠BDF＝90°．（1）求證：四邊形ABDF是矩形；（2）若AD＝5，DF＝3，求四邊形ABCF的面積S．【分析】（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，得∠BAE＝∠FDE，而點E是AD的中點，可得△BEA≌△FED（ASA），即知EF＝EB，從而四邊形ABDF是平行四邊形，又∠BDF＝90°，即得四邊形ABDF是矩形；（2）由∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，得AF＝＝＝4，S矩形ABDF＝DF?AF＝12，四邊形ABCD是平行四邊形，得CD＝AB＝3，從而S△BCD＝BD?CD＝6，即可得四邊形ABCF的面積S為18．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BA∥CD，∴∠BAE＝∠FDE，∵點E是AD的中點，∴AE＝DE，在△BEA和△FED中，，∴△BEA≌△FED（ASA），∴EF＝EB，又∵AE＝DE，∴四邊形ABDF是平行四邊形，∵∠BDF＝90°．∴四邊形ABDF是矩形；（2）解：由（1）得四邊形ABDF是矩形，∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，∴AF＝＝＝4，∴S矩形ABDF＝DF?AF＝3×4＝12，BD＝AF＝4，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝AB＝3，∴S△BCD＝BD?CD＝×4×3＝6，∴四邊形ABCF的面積S＝S矩形ABDF+S△BCD＝12+6＝18，答：四邊形ABCF的面積S為18．【點評】本題考查平行四邊形性質(zhì)及應用，涉及矩形的判定，全等三角形判定與性質(zhì)，勾股定理及應用等，解題的關鍵是掌握全等三角形判定定理，證明△BEA≌△FED．典例12：如圖，在正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O．E、F分別為AC、BD上一點，且OE＝OF，連接AF，BE，EF．若∠AFE＝25°，則∠CBE的度數(shù)為（）A．50° B．55° C．65° D．70°【分析】利用正方形的對角線互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理和全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠AOB＝∠AOD＝90°，OA＝OB＝OD＝OC．∵OE＝OF，∴△OEF為等腰直角三角形，∴∠OEF＝∠OFE＝45°，∵∠AFE＝25°，∴∠AFO＝∠AFE+∠OFE＝70°，∴∠FAO＝20°．在△AOF和△BOE中，，∴△AOF≌△BOE（SAS）．∴∠FAO＝∠EBO＝20°，∵OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠CBE＝∠EBO+∠OBC＝65°．故選：C．【點評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關鍵．典例13：（2022?邵陽）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)在對角線BD上，且BE＝DF，OE＝OA．求證：四邊形AECF是正方形．【分析】先證明四邊形AECF是菱形，再證明EF＝AC，即可得出結論【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OE＝OF，∴四邊形AECF是菱形；∵OE＝OA＝OF，∴OE＝OF＝OA＝OC，即EF＝AC，∴菱形AECF是正方形．【點評】本題主要考查了菱形的性質(zhì)與判定，正方形的判定，掌握相關定理是解題基礎考點三、梯形1.梯形的定義：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形.

(1)互相平行的兩邊叫做梯形的底；較短的底叫做上底，較長的底叫做下底.

(2)不平行的兩邊叫做梯形的腰.

(3)梯形的四個角都叫做底角.

2.直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.

3.等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形.

4.等腰梯形的性質(zhì)：(1)等腰梯形的兩腰相等；(2)等腰梯形同一底上的兩個底角相等.(3)等腰梯形的對角線相等.

5.等腰梯形的判定方法：

(1)兩腰相等的梯形是等腰梯形(定義)；

(2)同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形；

(3)對角線相等的梯形是等腰梯形.

6.梯形中位線：連接梯形兩腰中點的線段叫梯形的中位線.

7.面積公式：S=(a+b)h(a、b是梯形的上、下底，h是梯形的高).【要點詮釋】解決四邊形問題常用的方法（1）有些四邊形問題可以轉化為三角形問題來解決．（2）有些梯形的問題可以轉化為三角形、平行四邊形問題來解決．（3）有時也可以運用平移、軸對稱來構造圖形，解決四邊形問題.典例14：（2023?宜城市模擬）七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具，如圖，在正方形紙板中，為對角線，，分別為，的中點，分別交，于，兩點，，分別為，的中點，連接，，沿圖中實線剪開即可得到一副七巧板，則在剪開之前，關于該圖形的下列說法：①圖中的三角形都是等腰直角三角形；②圖中的四邊形是菱形；③四邊形的面積占正方形面積的．正確的有A．①③ B．①② C．只有① D．②③【分析】首先根據(jù)正方形的性質(zhì)可判定，、，均為等腰直角三角形，再判定是的中位線，為的中位線，為的中位線，據(jù)此可判定、均為直角三角形，據(jù)此可對說法①進行判定；根據(jù)三角形的中位線得，，由可得，據(jù)此可對說法②進行判定；設，則，，，，然后分別求出正方形的面積和四邊形的面積即可對說法③進行判定．【解答】解：四邊形為正方形，，，，，，、，均為等腰直角三角形，點，分別是，的中點，是的中位線，為等腰直角三角形，，，連接，則點，，，在同一條直線上，點為的中點，點為的中點，為的中位線，，，又，為等腰直角三角形，點為的中點，，點為的中點，又點為的中點，為的中位線，，，，為等腰直角三角形，綜上所述：說法①正確；，，，，四邊形是平行四邊形，又，，四邊形不是菱形，故說法②不正確；設，則，，，，，四邊形為梯形，，說法③不正確．綜上所述：說法正確的只是①．故選：．【點評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形中位線定理，梯形的判定，正方形的面積、梯形的面積等知識點，熟練