第38講 數(shù)列的綜合問題

第六單元

數(shù)列第38講

數(shù)列的綜合問題課前基礎鞏固課堂考點探究作業(yè)手冊教師備用習題1.能在具體的問題情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系,并解決相應的問題.認識數(shù)列的函數(shù)特性,能結(jié)合方程、不等式、解析幾何等知識解決一些數(shù)列問題.2.能依據(jù)現(xiàn)實的生活背景,提煉相關(guān)的數(shù)量關(guān)系,將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,構(gòu)造等差、等比數(shù)列模型,并加以解決.◆

知識聚焦

◆1.數(shù)列的綜合應用

（3）數(shù)列和不等式以數(shù)列為背景的不等式證明問題及以函數(shù)為背景的數(shù)列的綜合問題,體現(xiàn)了在知識交匯點上命題的特點.一般通過數(shù)列求通項公式以及求和去解決一個不等式問題,這里的不等式通常是關(guān)于正整數(shù)的不等式,可以通過比較法、基本不等式法、導數(shù)法和數(shù)學歸納法解決.2.數(shù)列應用題常見模型等差數(shù)列模型如果增加（或減少）的量是一個固定量,那么該模型是等差數(shù)列模型,增加（或減少）的量就是公差等比數(shù)列模型如果后一個量與前一個量的比值是一個固定的數(shù),那么該模型是等比數(shù)列模型,這個固定的數(shù)就是公比遞推數(shù)列模型◆

對點演練

◆題組一

常識題

72

6

題組二

常錯題◆

索引：數(shù)列實際問題的易錯點為項數(shù).

4

探究點一

等差、等比數(shù)列的綜合問題

［思路點撥］（2）利用分組求和法求和.[總結(jié)反思]解決由等差數(shù)列、等比數(shù)列組成的綜合問題,首先要根據(jù)兩數(shù)列的概念,設出相應的基本量,然后充分使用通項公式、求和公式、數(shù)列的性質(zhì)等確定基本量.解綜合問題的關(guān)鍵在于審清題目,弄懂來龍去脈,揭示問題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件.

探究點二

數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題角度1

數(shù)列與不等式的綜合

[總結(jié)反思]1.數(shù)列與不等式的綜合問題及求解策略（1）判斷數(shù)列問題的一些不等關(guān)系，可以利用數(shù)列的增減性比較大小或借助數(shù)列對應的函數(shù)的單調(diào)性比較大小.（2）以數(shù)列為載體，考查不等式恒成立的問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.（3）與數(shù)列有關(guān)的不等式證明問題，一般采用放縮法進行證明，有時也可通過構(gòu)造函數(shù)進行證明.2.放縮法的注意事項以及常見放縮技巧（1）對于“和式”數(shù)列不等式，若能夠直接求和，則考慮先求和，再放縮證明不等式；若不能求和，則可考慮先放縮后求和證明不等式.放縮的最主要目的是通過放縮，把原數(shù)列變?yōu)榭汕蠛偷臄?shù)列.（2）放縮的項數(shù)：不一定對所有項進行放縮，可從第一項開始，也可從第二項、第三項等開始.

角度2

數(shù)列與函數(shù)的綜合

C

[總結(jié)反思]數(shù)列與函數(shù)的綜合問題主要有以下兩類:①已知函數(shù)條件,解決數(shù)列問題,此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象來解決;②已知數(shù)列條件,解決函數(shù)問題,此類問題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法等對所給條件化簡變形.

BCD

探究點三

數(shù)列在實際中的應用

（1）

若王先生采取等額本金的還貸方式，已知第一個還貸月應還13

600元，最后一個還貸月應還10

030元，試計算王先生該筆貸款的總利息；

［思路點撥］（1）等額本金還貸方式中，每月的還貸額構(gòu)成一個等差數(shù)列，對數(shù)列求和可得所求利息；

［思路點撥］（2）利用等比數(shù)列求和公式，求得王先生每月還貨額，再與題目所給數(shù)據(jù)比較，得出結(jié)論.[總結(jié)反思]解決與數(shù)列有關(guān)的實際問題的一般步驟:首先要認真閱讀,學會翻譯（數(shù)學化）,其次考慮用熟悉的數(shù)列知識建立數(shù)學模型,然后求出問題的解,最后還需驗證求得的解是否符合實際.

2036

59

教師備用習題【備選理由】例1是等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查了等差等比數(shù)列基本量的求解、數(shù)列求和方法等知識，考查了邏輯推理與數(shù)學運算的核心素養(yǎng)；例2綜合考查了數(shù)列與不等式的知識，考查了與數(shù)列有關(guān)的不等式恒成立問題的解法；例3考查數(shù)列與不等式、函數(shù)的綜合;例4考查數(shù)列與不等式的綜合;例5與例6關(guān)注環(huán)境問題，通過數(shù)列與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、不等式等知識.

CA.2019

B.2020

C.2021

D.2022

作業(yè)手冊◆

基礎熱身

◆

BA.2023

B.2024

C.4046

D.4048

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A

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A

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C

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◆

綜合提升

◆

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B

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D

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B

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BCD

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BC

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3

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880

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（1）

分別求甲、乙兩人工作滿10年時的基礎工資收入總量（精確到1元）；

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