隨機(jī)過(guò)程：隨機(jī)過(guò)程的聯(lián)合分布與互相關(guān)函數(shù)

隨機(jī)過(guò)程第二章隨機(jī)過(guò)程的基本概念本章學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容★隨機(jī)過(guò)程的概念和定義★隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性分析★平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程★各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程★隨機(jī)過(guò)程的聯(lián)合分布與互相關(guān)函數(shù)★隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度2.5隨機(jī)過(guò)程的聯(lián)合分布與互相關(guān)函數(shù)★兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的聯(lián)合分布函數(shù)★兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的互相關(guān)函數(shù)2.6隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度★功率譜密度的概念和定義★功率譜密度與相關(guān)函數(shù)的關(guān)系★各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程的功率譜密度★兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的互功率譜密度★功率譜密度的計(jì)算舉例本堂課的作業(yè)★第100頁(yè)習(xí)題2.352.36★第101頁(yè)習(xí)題2.382.392.422.432.452.5.1兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的聯(lián)合分布函數(shù)★定義及特性設(shè)有兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程X(t)和Y(t)，它們的分布函數(shù)分別為n維和m維，即FX(x1,x2,…,xn；t1,t2,…,tn)和FY(y1,y2,…,ym；t’1,t’2,…,t’m)，則定義這兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的n+m維聯(lián)合分布函數(shù)為

n+m維聯(lián)合概率密度為2.5.1兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的聯(lián)合分布函數(shù)★定義及特性（續(xù)）如果兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程X(t)和Y(t)相互獨(dú)立，則有2.5.1兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的聯(lián)合分布函數(shù)★定義及特性（續(xù)）如果兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程X(t)和Y(t)的任意n+m維聯(lián)合概率密度與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)，即有則稱X(t)和Y(t)是狹義聯(lián)合平穩(wěn)的。2.5.2兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的互相關(guān)函數(shù)★互相關(guān)函數(shù)的定義設(shè)有兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程X(t)和Y(t)，定義它們之間的互相關(guān)函數(shù)為式中fXY(x,t1;y,t2)是X(t)和Y(t)的二維聯(lián)合概率密度。2.5.2兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的互相關(guān)函數(shù)★互協(xié)方差函數(shù)的定義設(shè)有兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程X(t)和Y(t)，定義它們之間的互協(xié)方差函數(shù)為式中mX(t)和my(t)分別為X(t)和Y(t)的均值。2.5.2兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的互相關(guān)函數(shù)★廣義聯(lián)合平穩(wěn)的定義如果兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程X(t)和Y(t)各自的均值都與時(shí)間無(wú)關(guān)，而互相關(guān)函數(shù)又僅為時(shí)間差值τ的單值函數(shù)，即有RXY(t1,t2)=RXY(τ)，其中τ=t1-t2，則稱X(t)和Y(t)之間是廣義聯(lián)合平穩(wěn)的。此時(shí)的互相關(guān)函數(shù)不再是τ的偶函數(shù)。2.5.2兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的互相關(guān)函數(shù)★兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的互相關(guān)系數(shù)如果兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程X(t)和Y(t)

之間是廣義聯(lián)合平穩(wěn)的，定義它們的互相關(guān)系數(shù)為

2.5.2兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的互相關(guān)函數(shù)★互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)1、RXY(τ)＝RYX(－τ)∵RXY(τ)=E[X(t)Y(t-τ)]=E[Y(t-τ)X(t)]=RYX(－τ)2、｜RXY(τ)｜2≤RX(0)RY(0)3、｜RXY(τ)｜≤RX(0)+RY(0)2.5.2兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的互相關(guān)函數(shù)★相互獨(dú)立、不相關(guān)和正交的概念1、兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程X(t)和Y(t)

互相獨(dú)立

如果對(duì)任意的t1,t2,…,tn和t’1,t’2,…,t’m有

則稱X(t)和Y(t)

之間是相互獨(dú)立的。2.5.2兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的互相關(guān)函數(shù)★相互獨(dú)立、不相關(guān)和正交的概念（續(xù)）1、兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程X(t)和Y(t)

互相獨(dú)立（續(xù)）

這時(shí)的二維概率密度為

于是，有

RXY(t1,t2)=E[X(t1)Y(t2)]=mX

(t1)

mY

(t2)

KXY(t1,t2)=02.5.2兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的互相關(guān)函數(shù)★相互獨(dú)立、不相關(guān)和正交的概念2、兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程X(t)和Y(t)

不相關(guān)

如果兩個(gè)過(guò)程X(t)和Y(t)的互協(xié)方差函數(shù)為零，或者互相關(guān)函數(shù)為常數(shù)，即有

KXY(t1,t2)=0或RXY(t1,t2)=常數(shù)則稱X(t)和Y(t)

之間互不相關(guān)。

如果兩個(gè)過(guò)程互相獨(dú)立，則必不相關(guān)。反之不然。2.5.2兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的互相關(guān)函數(shù)★相互獨(dú)立、不相關(guān)和正交的概念3、兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程X(t)和Y(t)

正交

如果兩個(gè)過(guò)程X(t)和Y(t)的互相關(guān)函數(shù)為零，即有RXY(t1,t2)=0則稱X(t)和Y(t)

之間正交。

正交也一定不相關(guān)。2.5.2兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的互相關(guān)函數(shù)★例題[例2.5.1]設(shè)兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程其中Φ為隨機(jī)變量，并均勻分布在0~2π之間。時(shí)間t=…,-2,-1,0,1,2,…;ω0=2π

f0，f0為正整數(shù)。2.5.2兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的互相關(guān)函數(shù)★例題（續(xù)）[例2.5.2]設(shè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)和Y(t)之間為線性關(guān)系，即式中b和c都為常數(shù)。2.6.1功率譜密度的概念和定義★功率譜密度的概念和定義設(shè)隨機(jī)過(guò)程X(t)的持續(xù)時(shí)間是無(wú)限的，則總能量也是無(wú)限的。這樣一來(lái)，X(t)的任意樣本函數(shù)就不滿足進(jìn)行傅立葉變換的條件因而不能對(duì)x(t)進(jìn)行傅立葉變換以求其頻譜。2.6.1功率譜密度的概念和定義★功率譜密度的概念和定義（續(xù)）在實(shí)際情況中，測(cè)出的具體樣本函數(shù)在時(shí)域上都是有限長(zhǎng)的，這相當(dāng)于在無(wú)限長(zhǎng)樣本函數(shù)x(t)中任意截取長(zhǎng)為2T的一段，標(biāo)以xT(t)

，并稱為x(t)的截取函數(shù)，其截取函數(shù)的表達(dá)式為2.6.1功率譜密度的概念和定義★功率譜密度的概念和定義（續(xù)）對(duì)于持續(xù)時(shí)間有限的xT(t)

來(lái)說(shuō)，存在傅立葉變換，因而有2.6.1功率譜密度的概念和定義★功率譜密度的概念和定義（續(xù)）如果隨機(jī)過(guò)程在時(shí)域上無(wú)限延續(xù)，則(2.6.1)式的條件不滿足，因而得不出樣本函數(shù)x(t)的頻譜函數(shù)，這時(shí)為T(mén)的遞增函數(shù)，但是，在平穩(wěn)狀態(tài)下，x(t)的平均功率一般不為T(mén)的遞增函數(shù)，因此可以假定2.6.1功率譜密度的概念和定義★功率譜密度的概念和定義（續(xù)）這樣的話，x(t)就存在平均功率譜。把(2.6.2)和(2.6.3)式代入(2.6.4)式并設(shè)x(t)為實(shí)函數(shù)，則有2.6.1功率譜密度的概念和定義★功率譜密度的概念和定義（續(xù)）從(2.6.5)式可以看出，在整個(gè)頻域內(nèi)對(duì)進(jìn)行積分后，就給出了信號(hào)x(t)的平均功率；同時(shí)它也描述了該平均功率在頻域上的分布情況，如果樣本函數(shù)x(t)為一電壓或電流，則它的具體物理意義是x(t)在單位頻帶內(nèi)消耗在1Ω電阻上的平均功率。我們稱為樣本x(t)的功率譜密度函數(shù)，以ψX(ω)來(lái)表示，即

2.6.1功率譜密度的概念和定義★功率譜密度的概念和定義（續(xù)）由于x(t)是隨機(jī)過(guò)程X(t)的一個(gè)樣本函數(shù)，它的出現(xiàn)具有隨機(jī)性，因此與之對(duì)應(yīng)的xT(t)

、xT(ω)和ψX(ω)的出現(xiàn)也都是隨機(jī)的。現(xiàn)令則XT(ω)和ΨX(ω)皆為隨機(jī)函數(shù)，xT(ω)和ψX(ω)

分別為它們的樣本函數(shù)。2.6.1功率譜密度的概念和定義★功率譜密度的概念和定義（續(xù)）取隨機(jī)函數(shù)ΨX(ω)

的數(shù)學(xué)期望，則有這時(shí)的GX(ω)為的確定性函數(shù)，不再具有隨機(jī)性。它的物理意義是隨機(jī)過(guò)程X(t)在單位頻帶內(nèi)消耗在1Ω電阻上的平均功率的統(tǒng)計(jì)均值。定義GX(ω)為隨機(jī)過(guò)程X(t)的功率譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱為功率譜密度或譜密度。2.6.2功率譜密度與相關(guān)函數(shù)的關(guān)系★功率譜密度和相關(guān)函數(shù)的關(guān)系

平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)和功率譜密度構(gòu)成傅立葉變換對(duì)。2.6.2功率譜密度與相關(guān)函數(shù)的關(guān)系★功率譜密度和相關(guān)函數(shù)的關(guān)系（續(xù)）將(2.6.7)式代入(2.6.9)式，設(shè)X(t)為實(shí)隨機(jī)過(guò)程，則功率譜密度GX(ω)可寫(xiě)為2.6.2功率譜密度與相關(guān)函數(shù)的關(guān)系★功率譜密度和相關(guān)函數(shù)的關(guān)系（續(xù)）如果X(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，則RX(t1,t2)=RX(t1-t2)=RX(τ)，其中τ

=t1-t2。于是可得2.6.2功率譜密度與相關(guān)函數(shù)的關(guān)系★功率譜密度和相關(guān)函數(shù)的關(guān)系（續(xù)）作變量替換，可得由此得2.6.2功率譜密度與相關(guān)函數(shù)的關(guān)系★功率譜密度和相關(guān)函數(shù)的關(guān)系（續(xù)）(2.6.11)式說(shuō)明，平穩(wěn)過(guò)程的功率譜密度就是其相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換。于是其相關(guān)函數(shù)就是功率譜密度的傅立葉反變換，即有：2.6.2功率譜密度與相關(guān)函數(shù)的關(guān)系★功率譜密度和相關(guān)函數(shù)的關(guān)系（續(xù)）

2.6.2功率譜密度與相關(guān)函數(shù)的關(guān)系★功率譜密度和相關(guān)函數(shù)的關(guān)系（續(xù)）(2.6.11)式和(2.6.12)式成立的條件是GX(ω)和RX(τ)絕對(duì)可積，即(2.6.13)式的條件說(shuō)明過(guò)程的總平均功率必須是有限的。(2.6.14)式要求過(guò)程的數(shù)學(xué)期望必須為零，而且，隨機(jī)過(guò)程不包含其他確知成分（如具有離散頻率的周期分量）。2.6.2功率譜密度與相關(guān)函數(shù)的關(guān)系★功率譜密度和相關(guān)函數(shù)的關(guān)系（續(xù)）由于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)，則所以，功率譜是實(shí)函數(shù)，且是偶函數(shù)。從功率譜密度的定義可以看出，功率譜密度必為非負(fù)值。

對(duì)于實(shí)的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，它的功率譜密度是一個(gè)實(shí)的、非負(fù)的偶函數(shù)。2.6.2功率譜密度與相關(guān)函數(shù)的關(guān)系★功率譜密度和相關(guān)函數(shù)的關(guān)系（續(xù)）平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)和功率譜密度的關(guān)系如下：2.6.2功率譜密度與相關(guān)函數(shù)的關(guān)系★δ函數(shù)的重要性質(zhì)

2.6.2功率譜密度與相關(guān)函數(shù)的關(guān)系★功率譜密度和相關(guān)函數(shù)的關(guān)系（續(xù)）在實(shí)際中常常會(huì)碰到含有非零均值或含有周期分量的隨機(jī)過(guò)程，這時(shí)，在正常意義下，(2.6.11)、(2.6.12)式就不成立了。但是，如果引入δ函數(shù)，即允許功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)含有δ函數(shù)，則可在新的意義下，通過(guò)δ函數(shù)仍可將功率譜密度和相關(guān)函數(shù)聯(lián)系起來(lái)。2.6.2功率譜密度與相關(guān)函數(shù)的關(guān)系★功率譜密度和相關(guān)函數(shù)的關(guān)系（續(xù)）如果隨機(jī)過(guò)程含有非零均值，則該非零均值可用頻域原點(diǎn)處的δ函數(shù)表示。例如，RX(τ)=1，對(duì)應(yīng)有GX(ω)=2πδ(ω)。

如果隨機(jī)過(guò)程含有離散頻率的周期分量，則在頻域上該分量由相應(yīng)頻率的δ函數(shù)表示。例如，RX(τ)=cos

ω0τ，對(duì)應(yīng)有GX(ω)=π[δ(ω+ω0)+δ(ω-ω0)]。2.6.3各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程的功率譜密度設(shè)隨機(jī)過(guò)程X(t)為各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程，則有由于過(guò)程的各態(tài)歷經(jīng)性，由一個(gè)樣本函數(shù)導(dǎo)出的頻譜不再具有隨機(jī)性。2.6.4兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的互功率譜密度★互功率譜密度的定義

設(shè)兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程X(t)和Y(t)聯(lián)合平穩(wěn)，XT(t)和YT(t)分別為其截取函數(shù)。對(duì)XT(t)和YT(t)進(jìn)行傅立葉變換，得到隨機(jī)函數(shù)XT(ω)和YT(ω)。定義XT(t)和YT(t)的互功率譜密度為2.6.4兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的互功率譜密度★互功率譜密度的性質(zhì)

1、GXY(ω)=G*YX(ω)

2、Re[GXY(ω)]和Re[GYX(ω)]是ω的偶函數(shù)，Im[GXY(ω)]和Im[GYX

(ω)]是ω的奇函數(shù)。3、|