蘇科版2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)11.11三角形全等幾何模型(手拉手)(學(xué)生版+解析)

專題12.11三角形全等幾何模型（手拉手）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】手拉手模型是指有公共頂點(diǎn)且頂角相等的兩個(gè)等腰三角形，底邊端點(diǎn)相互連接形成的全等三角形模型，因?yàn)轫斀窍噙B的四條邊（腰）可形象地看成兩雙手，所以通常稱為手拉手模型?！局R(shí)點(diǎn)一】“等邊三角形手拉手”模型1.基本圖形題型特征：如圖1，?ABC和?ADE都是等邊三角形，則有?AEC≌?ADB（SAS）.圖1圖2結(jié)論延伸：如圖2，?AEC≌?ADB（SAS）可知∠ACO=∠PBO從而可得∠BPC=∠BAC=60°【知識(shí)點(diǎn)二】“等腰三角形手拉手”模型1.基本圖形題型特征：如圖3，?ABC和?ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE則有?AEC≌?ADB（SAS）.圖3圖4題型特征：如圖4、圖5，構(gòu)成條件，兩個(gè)等腰三角形頂角相等的等腰三角形構(gòu)成；而且共頂點(diǎn)，利用SAS可證明三角形全等結(jié)論延伸：如圖4，?BAD≌?CAE（SAS）可知∠ABD=∠ACE，利用“8字型”從而可得BD和CE的夾角就等于等腰三角形的頂角.【知識(shí)點(diǎn)三】“等腰直角三角形手拉手”模型1.基本圖形題型特征：如圖3，Rt?ABC和Rt?ADE中，AB=AC，AD=AE，則有?AEC≌?ADB（SAS）.圖5圖6結(jié)論延伸：如圖6，?BAD≌?CAE（SAS）可知∠ADB=∠AEC，利用“8字型”從而可得BDCE.【知識(shí)點(diǎn)四】“正方形手拉手”模型1.基本圖形題型特征：如圖7，正方形ABCD和正方形AEFG中，由正方形的性質(zhì)可得?ADG≌?ABE（SAS）.圖7圖8結(jié)論延伸：如圖8，?ADG≌?ABE（SAS）可知∠ADG=∠ABE，利用“8字型”從而可得BEDG第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】“等邊三角形手拉手”模型【例1】（23-24八年級(jí)上·湖北武漢·期中）已知點(diǎn)在線段上，且和都是等邊三角形，連接，，分別交，于點(diǎn)，．

（1）求證：；（2）求證：．【變式1】如圖，已知和是兩個(gè)全等的等邊三角形，點(diǎn)、、在同一條直線上，連接，，兩線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）個(gè)．①；②；③；④是等邊三角形．A．4 B．3 C．2 D．1【變式2】（20-21八年級(jí)上·江蘇泰州·期中）如圖，點(diǎn)B、C、E在同一條直線上，與都是等邊三角形，下列結(jié)論：①AE=BD；②；③線段AE和BD所夾銳角為80°；④FG∥BE．其中正確的是．（填序號(hào)）【題型2】“等腰三角形手拉手”模型【例2】（23-24七年級(jí)下·陜西西安·階段練習(xí)）已知等腰三角形，，為射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊在直線的右側(cè)作等腰三角形，，，連接．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄?，，之間的數(shù)量關(guān)系．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，（1）中，，之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)說明理由；若不成立，請(qǐng)你寫出新的結(jié)論，并說明理由．【變式1】如圖，△ABC和△CDE是以C為公共頂點(diǎn)的兩個(gè)等腰三角形，且AC=CB，CD=CE，連接BD、AE相交于點(diǎn)M，連接CM，∠CAB=∠CDE=50°，則∠BMC=（

）A．30° B．40° C．50° D．60°【變式2】（2024·湖南邵陽·一模）如圖，在中，于點(diǎn)，點(diǎn)在上，和均是等腰三角形，若，則的度數(shù)為度．【題型3】“等腰直角三角形手拉手”模型【例3】（21-22八年級(jí)上·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）如圖，大小不同的兩塊三角板和直角頂點(diǎn)重合在點(diǎn)處，，，連接、，點(diǎn)恰好在線段上．（1）找出圖中的全等三角形，并說明理由；（2）猜想與的位置關(guān)系，并說明理由．【變式1】（22-23八年級(jí)上·廣東深圳·開學(xué)考試）如圖，已知與均為等腰直角三角形，點(diǎn)E在邊上，連接，的延長線交于點(diǎn)F，且平分；則下列結(jié)論中：①，②；③，④平分，正確的個(gè)數(shù)有(

)

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式2】（2023·吉林長春·模擬預(yù)測(cè)）兩個(gè)大小不同的等腰直角三角板按圖1所示擺放，將兩個(gè)三角板抽象成如圖2所示的和，其中，點(diǎn)、、依次在同一條直線上，連結(jié)．若，，則的面積是．【題型4】“正方形手拉手”模型【例4】（23-24八年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）如圖，四邊形、四邊形均為正方形，連接，，與，分別交于點(diǎn)M，N．

（1）求證：．（2）求證：．【變式1】（22-23八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，邊長為的正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)又是正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，則兩個(gè)正方形重疊部分的面積是（

）

A．8 B．4 C．6 D．2【變式2】（21-22八年級(jí)下·吉林長春·階段練習(xí)）如圖，正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O又是另一個(gè)正方形的一個(gè)頂點(diǎn)．若兩個(gè)正方形的邊長均為2，則圖中陰影部分圖形的面積為．

第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例】（2017·湖北恩施·中考真題）如圖7，、均為等邊三角形，連接，交于點(diǎn)，與交于點(diǎn).求證：.2、拓展延伸【例】（23-24七年級(jí)下·湖南長沙·階段練習(xí)）如圖，在和中，，，若，連接、交于點(diǎn)；（1）求證：．（2）求的度數(shù)．（3）如圖（2），是等腰直角三角形，，，，點(diǎn)是射線上的一點(diǎn)，連接，在直線上方作以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，連接，若，求的值．專題12.11三角形全等幾何模型（手拉手）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】手拉手模型是指有公共頂點(diǎn)且頂角相等的兩個(gè)等腰三角形，底邊端點(diǎn)相互連接形成的全等三角形模型，因?yàn)轫斀窍噙B的四條邊（腰）可形象地看成兩雙手，所以通常稱為手拉手模型。【知識(shí)點(diǎn)一】“等邊三角形手拉手”模型1.基本圖形題型特征：如圖1，?ABC和?ADE都是等邊三角形，則有?AEC≌?ADB（SAS）.圖1圖2結(jié)論延伸：如圖2，?AEC≌?ADB（SAS）可知∠ACO=∠PBO從而可得∠BPC=∠BAC=60°【知識(shí)點(diǎn)二】“等腰三角形手拉手”模型1.基本圖形題型特征：如圖3，?ABC和?ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE則有?AEC≌?ADB（SAS）.圖3圖4題型特征：如圖4、圖5，構(gòu)成條件，兩個(gè)等腰三角形頂角相等的等腰三角形構(gòu)成；而且共頂點(diǎn)，利用SAS可證明三角形全等結(jié)論延伸：如圖4，?BAD≌?CAE（SAS）可知∠ABD=∠ACE，利用“8字型”從而可得BD和CE的夾角就等于等腰三角形的頂角.【知識(shí)點(diǎn)三】“等腰直角三角形手拉手”模型1.基本圖形題型特征：如圖3，Rt?ABC和Rt?ADE中，AB=AC，AD=AE，則有?AEC≌?ADB（SAS）.圖5圖6結(jié)論延伸：如圖6，?BAD≌?CAE（SAS）可知∠ADB=∠AEC，利用“8字型”從而可得BDCE.【知識(shí)點(diǎn)四】“正方形手拉手”模型1.基本圖形題型特征：如圖7，正方形ABCD和正方形AEFG中，由正方形的性質(zhì)可得?ADG≌?ABE（SAS）.圖7圖8結(jié)論延伸：如圖8，?ADG≌?ABE（SAS）可知∠ADG=∠ABE，利用“8字型”從而可得BEDG第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】“等邊三角形手拉手”模型【例1】（23-24八年級(jí)上·湖北武漢·期中）已知點(diǎn)在線段上，且和都是等邊三角形，連接，，分別交，于點(diǎn)，．

（1）求證：；（2）求證：．【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得，則，再由證明即可；（2）依據(jù)證，即可得出結(jié)論．證明：（1）∵和都是等邊三角形∴，，∴即在和中∴；（2）由（1）知∴又∵∴在和中∴∴【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明是解題的關(guān)鍵．【變式1】如圖，已知和是兩個(gè)全等的等邊三角形，點(diǎn)、、在同一條直線上，連接，，兩線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）個(gè)．①；②；③；④是等邊三角形．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】由等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．解：∵△ABC和△DCE均是等邊三角形，∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACB+∠ACE=∠ACE+∠ECD，∠ACE=60°，在△BCD和△ACE中，∴△BCE≌△ACD（SAS），故①正確∴，∵∠CMB=∠FMA，∴∠BCM=∠AFM=60°，∴∠MFN=120°，故②正確，在△CAN和△BCM中∴△CAN≌△BCM(ASA)，故③錯(cuò)誤，∴MC=NC，∵∠ACE=60°，∴△MNC是等邊三角形，故④正確故選：B【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，利用全等三角形的判定與性質(zhì)逐一判定五條結(jié)論的成立與否是解題的關(guān)鍵．【變式2】（20-21八年級(jí)上·江蘇泰州·期中）如圖，點(diǎn)B、C、E在同一條直線上，與都是等邊三角形，下列結(jié)論：①AE=BD；②；③線段AE和BD所夾銳角為80°；④FG∥BE．其中正確的是．（填序號(hào)）【答案】①②④【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)證明可判斷①，利用，可得利用三角形的外角的性質(zhì)可得從而可判斷③，再結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)證明可判斷②，由可得：，結(jié)合可得，從而可判斷④．解：如圖，記與的交點(diǎn)為，∵與都是等邊三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°∵點(diǎn)B、C、E在同一條直線上，∴∠ACD=60°，∴∠BCD=∠ACE=120°在和中，∴，所以結(jié)論①正確；∵，∴∠BDC=∠CEA，∵∠AHB=∠DBE+∠BEA=∠DBE+∠BDC=180°∠BCD=60°，所以③錯(cuò)誤；在和中，，∴，∴所以②正確；，∵CG=CF，∠ACD=60°，∴∠GFC=60，又∵∠DCE=60°，∴∠GFC=∠DCE，∴GF∥BC，所以④正確．故答案為：①②④．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和判定，平行線的判定，解決本題的關(guān)鍵是找到判定三角形全等的條件．【題型2】“等腰三角形手拉手”模型【例2】（23-24七年級(jí)下·陜西西安·階段練習(xí)）已知等腰三角形，，為射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊在直線的右側(cè)作等腰三角形，，，連接．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄浚?，之間的數(shù)量關(guān)系．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，（1）中，，之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)說明理由；若不成立，請(qǐng)你寫出新的結(jié)論，并說明理由．【答案】(1)(2)不成立．【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵．（1）證明．再證明，可得，再進(jìn)一步可得結(jié)論；（2）證明．再證明，可得，再進(jìn)一步可得結(jié)論；（1）解：∵，∴，即．在與中，，∴，∴，∴．（2）不成立．．理由如下：∵，∴．在與中，，∴，∴．【變式1】如圖，△ABC和△CDE是以C為公共頂點(diǎn)的兩個(gè)等腰三角形，且AC=CB，CD=CE，連接BD、AE相交于點(diǎn)M，連接CM，∠CAB=∠CDE=50°，則∠BMC=（

）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】C【分析】首先證明△ACE≌△BCD，推出∠CAE=∠CBD，再利用“8字型”證明∠BMC=∠BAO=50°即可；解：設(shè)AC交BM于點(diǎn)O．∵AC=CB，CD=CE，∠CAB=∠CDE=50°，∴∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°，∴∠ACB=∠ECD=80°，∴∠ACE=∠BCD，在△AEC與△BDC中，∴△ACE≌△BCD，∴∠CAE=∠CBD，∵∠AOM=∠BOC，∴∠BMC=∠BAO=50°，故選C【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用“8字型”證明角相等．【變式2】（2024·湖南邵陽·一模）如圖，在中，于點(diǎn)，點(diǎn)在上，和均是等腰三角形，若，則的度數(shù)為度．【答案】70【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．證明，推出，據(jù)此求解即可．解：∵和均是等腰三角形，，∴，，，，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：70．【題型3】“等腰直角三角形手拉手”模型【例3】（21-22八年級(jí)上·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）如圖，大小不同的兩塊三角板和直角頂點(diǎn)重合在點(diǎn)處，，，連接、，點(diǎn)恰好在線段上．（1）找出圖中的全等三角形，并說明理由；（2）猜想與的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)，理由見解析(2)，理由見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記定理內(nèi)容是解題關(guān)鍵．根據(jù)條件證即可求解．（1）根據(jù)題意得出，再由全等三角形的判定證明即可；（2）利用全等三角形的性質(zhì)及角的等量代換即可得出結(jié)果．（1）解：，理由如下：∵，，，在與中，．（2），理由如下：設(shè)交于點(diǎn)O，由（1）得，，，，．【變式1】（22-23八年級(jí)上·廣東深圳·開學(xué)考試）如圖，已知與均為等腰直角三角形，點(diǎn)E在邊上，連接，的延長線交于點(diǎn)F，且平分；則下列結(jié)論中：①，②；③，④平分，正確的個(gè)數(shù)有(

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A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)證明與全等，進(jìn)而證明，，再利用全等三角形的性質(zhì)判斷即可．解：∵與均為等腰直角三角形，∴，，在與中，，∴，故①正確；∴，∵，∴，∴，故②正確；∵平分，∴，在與中，，∴，∴，∵，∴，∴，故③正確；在與中，，∴，∴，∴平分，故④正確；故選：D【點(diǎn)撥】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)證明與全等解答．【變式2】（2023·吉林長春·模擬預(yù)測(cè)）兩個(gè)大小不同的等腰直角三角板按圖1所示擺放，將兩個(gè)三角板抽象成如圖2所示的和，其中，點(diǎn)、、依次在同一條直線上，連結(jié)．若，，則的面積是．【答案】6【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，則可得出答案．解：，，即，在和中，，，，，，，，，，，，故答案為：6．【題型4】“正方形手拉手”模型【例4】（23-24八年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）如圖，四邊形、四邊形均為正方形，連接，，與，分別交于點(diǎn)M，N．

（1）求證：．（2）求證：．【分析】（1）根據(jù)正方形的定義，得出，，，再根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系，得出，再根據(jù)“邊角邊”，得出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得出結(jié)論；（2）由，得到，再利用三角形的外角性質(zhì)可證明，據(jù)此可得到結(jié)論成立．（1）證明：∵四邊形，均為正方形，∴，，，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）證明：∵，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)．【變式1】（22-23八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，邊長為的正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)又是正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，則兩個(gè)正方形重疊部分的面積是（

）

A．8 B．4 C．6 D．2【答案】B【分析】證明，則，即可得到四邊形的面積等于的面積，即兩個(gè)正方形重疊部分的面積等于正方形面積的，即可求出答案．本題考查對(duì)正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能推出四邊形的面積等于的面積是解此題的關(guān)鍵．解：∵四邊形是正方形，∴，，，∴，在與中，，∴，∴，∴四邊形的面積等于的面積，即兩個(gè)正方形重疊部分的面積等于正方形面積的，∴兩個(gè)正方形重疊部分的面積是，故選：B．【變式2】（21-22八年級(jí)下·吉林長春·階段練習(xí)）如圖，正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O又是另一個(gè)正方形的一個(gè)頂點(diǎn)．若兩個(gè)正方形的邊長均為2，則圖中陰影部分圖形的面積為．

【答案】1【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)的應(yīng)用，全等三角形的證明和圖形的分割．要求陰影部分四邊形面積，可分割成兩個(gè)三角形面積之和，設(shè)與交于點(diǎn)E，與交于點(diǎn)F，證明，即可將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為求的面積，而占正方形面積的，正方形面積根據(jù)已知邊長可求，由此問題得到解決．解：設(shè)與交于點(diǎn)E，與交于點(diǎn)F，如圖所示，

四邊形是正方形，所以，，．．又