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PAGE第=2頁,共=sectionpages22頁P(yáng)AGE16江西省南昌縣蓮塘第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末檢測(cè)試題文一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求)若直線a,b是異面直線,a?β,則b與平面β的位置關(guān)系是(????)A.平行 B.相交 C.b?β D.平行或相交已知α,β是兩個(gè)不同的平面,直線m在平面α內(nèi),給出命題“若m//β,則α//β”,那么它的原命題,逆命題、否命題,逆否命題中,真命題的個(gè)數(shù)為(
)A.0 B.2 C.3 D.4設(shè)命題P:?n∈N,n3<n,則¬P為(????)A.?n?N,n3≥n B.?n?N,n3≤n
C.?n∈N,n3>n下列命題中正確的個(gè)數(shù)為(????)?①平行于同一平面的兩直線平行;?②平行于同一平面的兩個(gè)平面平行;?③垂直于同一平面的兩直線平行;?④垂直于同一平面的兩平面垂直.A.0 B.1 C.2 D.3菱形ABCD在平面α內(nèi),PC⊥?α,則PA與對(duì)角線BD的位置關(guān)系是(????)A.平行 B.相交但不垂直 C.相交垂直 D.異面垂直“mn<0”是“方程表示橢圓”的(
)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件一個(gè)圓柱的側(cè)面綻開圖是一個(gè)正方形,則這個(gè)圓柱的側(cè)面積與表面積之比為(????)A.2π:(1+2π) B.π:(1+π) C.2π:(1+π) D.π:(1+2π)已知函數(shù)f(x)=cosx+lnx,則f′(1)的值為(
A.sin1?1 B.1+sin1 C.1?sin1 D.?sin1曲線y=?2ex+1在點(diǎn)(0,?1)處的切線與x軸、直線y=x圍成的三角形的面積為A.112 B.13 C.1若函數(shù)y=exx在x=x0處的導(dǎo)數(shù)值等于其在x=x0處的函數(shù)值的A.1 B.?1 C.2 D.?2《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺,問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(米堆為一個(gè)圓錐的四分之一),米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放的米各為多少?”若圓周率約為3,則可估算出米堆的體積約為(
)A.9立方尺 B.18立方尺 C.36立方尺 D.72立方尺已知四棱錐P?ABCD的底面為矩形,平面PAD⊥平面ABCD,AB=22,PA=PD=AD=3,則四棱錐P?ABCD的外接球的表面積為(
)A.20π B.18π C.16π D.12π二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中的橫線上)在正方體ABCD?A1B1C1D1已知P={x|a?4<x<a+4},Q={x|1<x<3},“x∈P”是“x∈Q”的必要條件,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
.若函數(shù)f(x)=(x-2025)(x-2025)(x-2025)(x-2025),則f′(2024)=
.若直線y=kx+b是曲線y=ln?x+2的切線,也是曲線y=ex的切線,則三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)設(shè)點(diǎn)P是曲線f(x)=x3?3x+2(1)求k的取值范圍;(2)求當(dāng)k取最小值時(shí),曲線在點(diǎn)P處的切線方程.(本小題滿分12分)如圖,在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,點(diǎn)E在棱AB上.
(1)求異面直線D1命題p:?x∈R,x2+2ax+4>0,命題q:?x0∈[?1,1],使得2x+a?1>0成立.
①若p∨q為真,p∧q為假,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
②已知r:a>k,若r是如圖,在直三棱柱ABC?A1B1C1中,M,N,P,Q分別是AA(1)在圖中畫出過M,N,Q三點(diǎn)的截面,并說出截面的形態(tài)(不必說明畫法與理由);(2)求證:PC1//定義橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的“蒙日?qǐng)A”方程為x(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和它的“蒙日?qǐng)A”E的方程;(2)若斜率為1的直線l與“蒙日?qǐng)A”E相交于A,B兩點(diǎn),且與橢圓C相切,O為坐標(biāo)原點(diǎn),求?OAB的面積.如圖1,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD//AB,AD=CD=12AB=2,點(diǎn)E為AC的中點(diǎn).將△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到幾何體D?ABC,如圖2所示,F(xiàn)為線段CD上的點(diǎn),且AD//平面BEF.
(Ⅰ)確定點(diǎn)F的位置并說明理由;(Ⅱ)求證:平面BCD⊥平面ADC;(Ⅲ)求三棱錐
蓮塘一中2024—2025學(xué)年上學(xué)期高二期末質(zhì)量檢測(cè)文科數(shù)學(xué)試卷參考答案一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求)若直線a,b是異面直線,a?β,則b與平面β的位置關(guān)系是(????)A.平行 B.相交 C.b?β D.平行或相交解:直線a,b是異面直線,a?β,直線b不行能在平面β內(nèi),
b與平面β的位置關(guān)系是平行或相交.故選D.已知α,β是兩個(gè)不同的平面,直線m在平面α內(nèi),給出命題“若m//β,則α//β”,那么它的原命題,逆命題、否命題,逆否命題中,真命題的個(gè)數(shù)為(
)A.0 B.2 C.3 D.4解:已知α,β是兩個(gè)不同的平面,直線m在平面α內(nèi),若m//β,則α//β或α與β相交,知原命題為假命題,
∴逆否命題也為假命題,
原命題的逆命題為α,β是兩個(gè)不同的平面,直線m在平面α內(nèi),若α//β,則m//β,由面面平行易知原命題的逆命題為真命題,則否命題為真命題,故選B.設(shè)命題P:?n∈N,n3<n,則¬PA.?n?N,n3≥n B.?n?N,n3≤n
C.?n∈N,n3>n解:命題P:?n∈N,n3<n為特稱命題,則命題的否定為:?n∈N,n3下列命題中正確的個(gè)數(shù)為(????)?①平行于同一平面的兩直線平行;?②平行于同一平面的兩個(gè)平面平行;?③垂直于同一平面的兩直線平行;?④垂直于同一平面的兩平面垂直.A.0 B.1 C.2 D.3解:對(duì)于?①,平行于同一平面的兩直線可以相交、平行或異面,故?①錯(cuò)誤;
對(duì)于?②,平行于同一平面的兩個(gè)平面平行,故?②正確;
對(duì)于?③,由線面垂直的性質(zhì)定理可知正確;
對(duì)于?④,垂直于同一平面的兩平面相交或平行,故?④錯(cuò)誤.
因此正確命題的個(gè)數(shù)為2.故選C.菱形ABCD在平面α內(nèi),PC⊥?α,則PA與對(duì)角線BD的位置關(guān)系是(????)A.平行 B.相交但不垂直 C.相交垂直 D.異面垂直解:菱形ABCD中,AC⊥BD.
又PC⊥平面α,∴PC⊥BD,∵AC∩PC=C,又AC,PC?平面PAC,∴BD⊥平面PAC.
又PA?平面PAC,∴BD⊥PA.明顯PA與BD異面,故PA與BD異面垂直.故選D.“mn<0”是“方程表示橢圓”的(
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解:由方程mx2?ny2=1得x21m+y2?1n=1,
所以要使方程mx2?n一個(gè)圓柱的側(cè)面綻開圖是一個(gè)正方形,則這個(gè)圓柱的側(cè)面積與表面積之比為(????)A.2π:(1+2π) B.π:(1+π) C.2π:(1+π) D.π:(1+2π)解:設(shè)這個(gè)圓柱的底面半徑為r,高為h,
∵圓柱的側(cè)面綻開圖是一個(gè)正方形,∴2πr=h,
∴這個(gè)圓柱的側(cè)面積與表面積之比為:S側(cè)S表=已知函數(shù)f(x)=cosx+lnx,則f′(1)的值為(A.sin1?1 B.1+sin1 C.1?sin1 D.?sin1解:因?yàn)閒(x)=cosx+lnx,所以f′(x)=?sinx+1x,所以曲線y=?2ex+1在點(diǎn)(0,?1)處的切線與x軸、直線A.112 B.13 C.1解:因?yàn)閥′=?2ex,所以曲線在點(diǎn)(0,?1)處的切線斜率為?2,所以切線方程為y=?2x?1.直線y=?2x?1與x軸、直線y=x的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(?12,0),(?若函數(shù)y=exx在x=x0處的導(dǎo)數(shù)值等于其在x=xA.1 B.?1 C.2 D.?2解:因?yàn)閥′=exx?exx2《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺,問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(米堆為一個(gè)圓錐的四分之一),米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放的米各為多少?”若圓周率約為3,則可估算出米堆的體積約為(
)A.9立方尺 B.18立方尺 C.36立方尺 D.72立方尺解:設(shè)圓錐底面半徑為r,由題意π2r=8,得r=16π,已知四棱錐P?ABCD的底面為矩形,平面PAD⊥平面ABCD,AB=22,PA=PD=AD=3,則四棱錐P?ABCD的外接球的表面積為(
A.20π B.18π C.16π D.12π解:由題意,由平面PAD⊥平面ABCD,AB=22,PA=PD=AD=3,
∴底面ABCD矩形外接圓半徑r=172.四棱錐P?ABCD的高為:332.
球心與圓心的距離為d,構(gòu)造直角三角形,即d2+r2=R2,二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中的橫線上)在正方體ABCD?A1B1C1D解:如圖,
可知與平面BC1D1平行的為棱A1B1與棱已知P={x|a?4<x<a+4},Q={x|1<x<3},“x∈P”是“x∈Q”的必要條件,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
.解:∵P={x|a?4<x<a+4},Q={x|1<x<3},x∈P是x∈Q的必要條件,
∴x∈Q?x∈P,即Q?P?a?4≤1a+4≥3?a≤5a≥?1解得?1≤a≤5.
∴實(shí)數(shù)a若函數(shù)f(x)=(x-2025)(x-2025)(x-2025)(x-2025),則f′(2024)=
.解:令g(x)=(x-2025)(x-2025)(x-2025),則f(x)=(x-2025)?g(x),因?yàn)閒′(x)=1?g(x)+(x-2025)?g′(x),所以f′(2024)=g(2024)=2×1×(-1)=-2.若直線y=kx+b是曲線y=ln?x+2的切線,也是曲線y=ex解:設(shè)直線y=kx+b與曲線y=ln?x+2的切點(diǎn)為(x1,y1),與y=ex的切點(diǎn)為(x2,y2),
故1x1=ex2,且e(本小題滿分10分)設(shè)點(diǎn)P是曲線f(x)=x3?3x+2(1)求k的取值范圍;(2)求當(dāng)k取最小值時(shí),曲線在點(diǎn)P處的切線方程.【答案】解:(1)設(shè)P(x0,所以k的取值范圍為[?(2)由(1)知kmin=?3,此時(shí)x所以此時(shí)曲線在點(diǎn)P處的切線方程為y=?3x+2(本小題滿分12分)如圖,在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,點(diǎn)E在棱AB上.
(1)求異面直線D【答案】解:(1)連接AD1,在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中,由AA1D1D是正方形知AD1⊥A1D.
∵AB⊥平面AA1D1D,∴AD1是D1E在平面AA1D1D內(nèi)的射影.
依據(jù)三垂線定理得AD1⊥D1E,則異面直線D1E與A1D所成的角為90°.
命題p:?x∈R,x2+2ax+4>0,命題q:?x0∈[?1,1],使得2x+a?1>0成立.
①若p∨q為真,p∧q為假,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
②已知r:a>k,若r【答案】解:(1)∵對(duì)隨意x∈R,不等式
x2+2ax+4>0恒成立,
∴△=4a2?16<0,解得?2<a<2,即
p
為真命題時(shí),?2<a<2;
存在:x0∈[?1,1],使得2x+a?1>0成立,即a>1?2x成立,
∴a>(1?2x)min=?1,即命題q
為真時(shí),a>?1;
∵p∨q為真,p∧q為假,∴p、q
一真一假,
當(dāng)
p
真q
假時(shí),則?2<a<2,且a≤?1,即?2<a??1,
當(dāng)p假q
真時(shí),則a≤?2或a?2,且a>?1,即a?2,
綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍為(?2,?1]∪[2,+∞).
(2)若r:a>k,如圖,在直三棱柱ABC?A1B1C1中,M,N,P,Q分別是AA(1)在圖中畫出過M,N,Q三點(diǎn)的截面,并說出截面的形態(tài)(不必說明畫法與理由);(2)求證:PC1//【答案】解:(1)如右圖所示:取A1C1的中點(diǎn)H,連接HQ,QN,NM,MH,
則梯形MHQN是過M,N,Q三點(diǎn)的截面.
(2)證明:連接BC1,AC1.∵三棱柱ABC?A1B1C是直三棱柱,∴四邊形ABB1A1是矩形.
在矩形ABB1A1中:∵M(jìn),N分別是AA1,BB1的中點(diǎn),∴MN
//
AB.
∵M(jìn)N?平面ABC1,AB?平面ABC1,∴MN
//平面ABC1.
在△B1C1B中:∵Q,N分別是B1C1,BB1的中點(diǎn),∴NQ
//
BC定義橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的“蒙日?qǐng)A”方程為(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和它的“蒙日?qǐng)A”E的方程;(2)若斜率為1的直線l與“蒙日?qǐng)A”E相交于A,B兩點(diǎn),且與橢圓C相切,O為坐標(biāo)原點(diǎn),求?OAB的面積.【答案】解:(1)拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為(0,1),則又e=ca=63于是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:x23+y2(2)設(shè)直線lAB:y=x+m,A(由y=x+mx2+3y2=3可得:4x
“蒙日?qǐng)A”E方程為x2+y2=4則圓心到直線lAB的距離d=|m|1+1=2如圖1,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD//AB,AD=CD=12AB=2,點(diǎn)E為AC的中點(diǎn).將△ADC沿AC折起,使
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