第6章-質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系動力學(xué)

第一篇理論力學(xué)第6章質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系動力學(xué)

第6章質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系動力學(xué)

在靜力學(xué)中，我們只從力的角度來研究物體的平衡問題，以及如何對力進(jìn)行合成與分解等問題；在運(yùn)動學(xué)中，我們只從幾何角度來研究物體運(yùn)動的軌跡、速度和加速度等運(yùn)動的幾何性質(zhì)，并不考慮物體運(yùn)動狀態(tài)的改變與作用在物體上力的關(guān)系。這兩個方面只是機(jī)械運(yùn)動的一個側(cè)面，并不能全面地反映機(jī)械運(yùn)動的狀況。而物體運(yùn)動狀態(tài)的改變與作用在物體上的力是密不可分的統(tǒng)一整體。例如，汽車在牽引力的作用下，由靜到動作加速運(yùn)動，當(dāng)牽引力消失時，由動到靜而停止。動力學(xué)是研究物體機(jī)械運(yùn)動與所受力之間關(guān)系的科學(xué)，它是理論力學(xué)的核心內(nèi)容，是解決物體機(jī)械運(yùn)動問題的理論基礎(chǔ)。根據(jù)工程實(shí)際問題，動力學(xué)的研究對象分為質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系。當(dāng)物體的大小和形狀可以忽略不計，只考慮物體的質(zhì)量時稱為質(zhì)點(diǎn)，例如，研究輪船的速度和軌跡時，其大小和形狀對所研究的問題沒什么影響，則將輪船的質(zhì)量看成集中在質(zhì)心上的質(zhì)點(diǎn)。當(dāng)物體的大小和形狀不可以忽略時，物體抽象為質(zhì)點(diǎn)系。質(zhì)點(diǎn)系是由許多個質(zhì)點(diǎn)相互聯(lián)系組成的有機(jī)整體。例如，當(dāng)研究有旋轉(zhuǎn)的動力學(xué)問題時，一般是不能忽略其大小和形狀的。動力學(xué)在工程中得到廣泛的應(yīng)用，在建筑結(jié)構(gòu)中對結(jié)構(gòu)物的抗震分析，在機(jī)械結(jié)構(gòu)中對轉(zhuǎn)動裝置的動力學(xué)分析，在航天工程中分析飛行器的運(yùn)行以及軌道的計算等問題，都離不開動力學(xué)的基本理論。動力學(xué)的主要內(nèi)容有：質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)、質(zhì)點(diǎn)系動力學(xué)(包括動量定理，動量矩定理、動能定理)。動力學(xué)的求解是通過以牛頓定律為基礎(chǔ)而建立起來的動力學(xué)微分方程來實(shí)現(xiàn)的。動力學(xué)問題的求解，一般分為兩類。(1) 已知物體的運(yùn)動，求作用在物體上的力。(2) 已知作用在物體上的力，求物體的運(yùn)動。

6.1質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)

本節(jié)以牛頓定律為基礎(chǔ)建立質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)的運(yùn)動微分方程，并求解質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)的兩類問題。質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)的運(yùn)動微分方程是研究復(fù)雜物體系統(tǒng)的基礎(chǔ)。動力學(xué)的基本定律是由牛頓三定律組成，其表述如下。(1) 第一定律：不受力作用的物體將保持靜止或勻速直線運(yùn)動。這里的物體應(yīng)理解為：①沒有轉(zhuǎn)動或其轉(zhuǎn)動可以不計的平移物體；②大小和形狀可以不計的質(zhì)點(diǎn)。第一定律給出了物體的基本屬性，即物體保持靜止或勻速直線運(yùn)動的屬性，稱為慣性，因此，第一定律也稱為慣性定律。由于運(yùn)動是絕對的，但描述物體的運(yùn)動卻又是相對的，所以必須在一定的參考坐標(biāo)系下研究機(jī)械運(yùn)動。參考坐標(biāo)系應(yīng)建立在使牛頓定律成立的物體上，這樣的坐標(biāo)系稱為慣性坐標(biāo)系。一般情況下，工程中建立在地面上的坐標(biāo)系視為慣性坐標(biāo)系。(2) 第二定律：物體所獲得的加速度的大小與物體所受的力成正比，與物體的質(zhì)量成反比，加速度的方向與力同向。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為： (6-1)第二定律建立了質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動與所受力之間的關(guān)系，它是研究質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)的基礎(chǔ)，由此定理導(dǎo)出動力學(xué)普遍定理：動量定理、動量矩定理、動能定理。在地球表面上，任何物體都受到重力P的作用，所獲得的加速度稱為重力加速度，用g表示，由式(6-1)有

或 (6-2)重力加速度是根據(jù)國際計量委員會制定的標(biāo)準(zhǔn)計算的，一般取g=。在國際單位制中，質(zhì)量單位是千克(kg)，長度單位是米(m)，時間單位是秒(s)，則定義1牛頓的力，為

(3)第三定律：物體間的作用力與反作用力總是大小相等、方向相反、沿著同一條直線，分別作用在這兩個物體上。牛頓第三定律我們在第一章中已經(jīng)學(xué)習(xí)過，此定律不但適用于靜力學(xué)，而且適用于動力學(xué)。應(yīng)當(dāng)指出，牛頓定律只適合于慣性坐標(biāo)系。與之相反的非慣性坐標(biāo)系是不適合牛頓定律成立的坐標(biāo)系，例如建立在有相對運(yùn)動物體上的坐標(biāo)系一般為非慣性坐標(biāo)系，在此坐標(biāo)系中研究物體的運(yùn)動，應(yīng)重新建立物體的運(yùn)動與作用在物體上力之間的微分關(guān)系。

6.1.2質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程

（1）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程在慣性坐標(biāo)系下，由第二定律得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程的矢量表達(dá)式為

(6-3)(ⅰ) 直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程。將矢徑r和力向直角坐標(biāo)軸、、上投影，如圖6.1所示，得直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程為：

(6-4)(ⅱ) 自然軸系形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程將矢徑r和力向自然軸系、、上投影，如圖6.2所示，得自然軸系形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程

圖6.1在直角坐標(biāo)系中表示矢徑、速度、加速度和力圖6.2在自然軸系中表示加速度和力yzMOzFvarxxyOMnaτbF

(6-5)其中，切向加速度

，法向加速度

，次法向加速度

。（2）質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)的兩類基本問題由上面質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程可求解質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)的兩類基本問題：(ⅰ) 已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動，求作用于質(zhì)點(diǎn)上的力，稱為質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)第一類問題。在求解過程中對運(yùn)動方程求導(dǎo)即可。(ⅱ) 已知作用于質(zhì)點(diǎn)上的力，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動，稱為質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)第二類問題。在求解過程中需解微分方程，即求積分的過程。在此兩類基本問題基礎(chǔ)上，有時也存在兩類問題的聯(lián)合求解?！纠?.1】質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m=0.1kg，按

的規(guī)律作直線運(yùn)動，以米(m)計，時間t以秒(s)計，試求該質(zhì)點(diǎn)所受的力，并求其極值。解：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動時其運(yùn)動微分方程為則作用在該質(zhì)點(diǎn)上的力為

(a)對式(a)求導(dǎo)：得時間為 (b)將式(b)代入式(a)得作用在該質(zhì)點(diǎn)上的最小的力為上面的例子為質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)第一類問題，在求解這類問題時應(yīng)做到以下幾點(diǎn)。(1) 根據(jù)題意選擇適當(dāng)?shù)馁|(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程形式。(2) 正確地對質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行力和運(yùn)動分析。(3) 利用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程求質(zhì)點(diǎn)所受的力。【例6.2】質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m，在力

的作用下，沿x軸作直線運(yùn)動，式中、k為常數(shù)，當(dāng)運(yùn)動開始時即，，，試求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律。解：根據(jù)題意，采用直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程。即因

，則有采用分離變量法積分，得又因

，再積分得質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為即【例6.3】一圓錐擺，如圖6.3所示，質(zhì)量為m=0.1kg的小球系于長為l=0.3m的繩上，繩的另一端系在固定點(diǎn)O上，并與鉛垂線成

角，若小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，試求小球的速度和繩子的拉力。解：以小球?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)，小球受重力及繩子的拉力，其運(yùn)動如圖9.3所示，采用自然法求解。其運(yùn)動微分方程為其切向運(yùn)動微分方程為法向運(yùn)動微分方程為

圖6.3

(a)次法向運(yùn)動微分方程為 (b)由于次法向加速度

，則由式(b)繩子得拉力為因圓的半徑

，將上面繩子的拉力代入式(a)得小球的速度為

6.2動量定理

在上一節(jié)中學(xué)習(xí)的是質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)問題，以及建立質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)微分方程進(jìn)行求解的方法。從這一節(jié)開始討論質(zhì)點(diǎn)系動力學(xué)問題。它是以質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)微分方程為基礎(chǔ)，建立復(fù)雜物體系統(tǒng)的動力學(xué)理論——動力學(xué)普遍定理(動量定理、動量矩定理、動能定理)。不再從單一的質(zhì)點(diǎn)出發(fā)建立質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)微分方程，而是從質(zhì)點(diǎn)系整體的角度來研究質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動量(動量、動量矩、動能)與作用在質(zhì)點(diǎn)系上的力、力矩和功之間的關(guān)系，從而解決質(zhì)點(diǎn)系動力學(xué)的兩類問題。

6.2.1動量定理

（1）質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動量在工程實(shí)際中，物體之間往往進(jìn)行機(jī)械運(yùn)動量的交換，機(jī)械運(yùn)動量不僅與物體的運(yùn)動有關(guān)，還與物體的質(zhì)量有關(guān)。例如速度雖小但質(zhì)量很大的樁錘能使樁柱下沉；質(zhì)量雖小但速度很大的子彈能穿透物體，它們的共同特點(diǎn)是質(zhì)量與速度的乘積很大，即動量很大，在發(fā)生碰撞時，將機(jī)械運(yùn)動量傳遞給被交換的物體，從而使自己的機(jī)械運(yùn)動量(動量)減少。質(zhì)點(diǎn)的動量：質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與速度的乘積，記作mv，質(zhì)點(diǎn)的動量是矢量，單位為kg·m/s。質(zhì)點(diǎn)系的動量：質(zhì)點(diǎn)系中所有各質(zhì)點(diǎn)動量的矢量和，即 (6-6)由附錄A中質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量中心的概念，質(zhì)點(diǎn)系動量的另一種表示為

(6-7)其中，

為質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量。即質(zhì)點(diǎn)系動量等于質(zhì)點(diǎn)

系質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積。由式(6-7)可以很方便地計算幾何形狀規(guī)則的均質(zhì)剛體系的動量，即

(6-8)（2）質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動量定理（ⅰ）質(zhì)點(diǎn)的動量定理由式(6-1)得 (6-9)式(6-9)的微分形式為

(6-10)質(zhì)點(diǎn)動量定理的微分形式：質(zhì)點(diǎn)動量的增量等于作用在質(zhì)點(diǎn)上力的元沖量。式(6-10)的積分形式為 (6-11)其中，

為時間內(nèi)力的元沖量，

為t時間內(nèi)力的沖量，沖量的單位為N·s，它是矢量，沖量表示力對物體作用的時間積累。質(zhì)點(diǎn)動量定理的積分形式：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動時末動量與初動量的差等于作

用在質(zhì)點(diǎn)上的力在此時間間隔內(nèi)的沖量，常稱為沖量定理。表示動量與沖量的矢量關(guān)系如圖6.4所示。圖6.4動量與沖量的矢量關(guān)系特殊情形，當(dāng)作用在質(zhì)點(diǎn)上的力等于零，即

時，則質(zhì)點(diǎn)作慣

性運(yùn)動。當(dāng)作用在質(zhì)點(diǎn)上的力在某一軸上投影等于零時，例如則質(zhì)點(diǎn)沿該軸(x軸)作慣性運(yùn)動。

（ⅱ）質(zhì)點(diǎn)系的動量定理設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個質(zhì)點(diǎn)組成，對每一個質(zhì)點(diǎn)由式(6-9)有其中，為質(zhì)點(diǎn)系以外的物體給該質(zhì)點(diǎn)的作用力，稱為外力；為質(zhì)點(diǎn)系以內(nèi)其他質(zhì)點(diǎn)給該質(zhì)點(diǎn)的作用力，稱為內(nèi)力，將上述方程進(jìn)行左右連加，其中，內(nèi)力的合力等于零，即

，從而有

(6-12)質(zhì)點(diǎn)系的動量定理：質(zhì)點(diǎn)系的動量對時間的導(dǎo)數(shù)等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上外力的矢量和(或稱外力的主矢)。式(6-12)的微分形式為 (6-13)質(zhì)點(diǎn)系動量定理的微分形式：質(zhì)點(diǎn)系動量的增量等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上外力元沖量的矢量和。式(6-13)的積分形式為

(6-14)質(zhì)點(diǎn)系動量定理的積分形式：質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動時末動量與初動量的差等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上外力在此時間間隔內(nèi)沖量的矢量和，常稱為沖量定理。由式(6-12)得質(zhì)點(diǎn)系動量定理的投影形式：直角坐標(biāo)系：

自然軸系：（3）質(zhì)點(diǎn)系動量守恒定律當(dāng)作用在質(zhì)點(diǎn)系上外力的主矢等于零，即

時，質(zhì)點(diǎn)系動

量為恒矢量，則質(zhì)點(diǎn)系動量守恒；當(dāng)作用在質(zhì)點(diǎn)系上外力的主矢

在某一軸上投影等于零時，例如

，質(zhì)點(diǎn)系沿該軸x的動量

為恒量，則質(zhì)點(diǎn)系沿該軸x的動量守恒?！纠?.4】兩個重物和的質(zhì)量分別為和，系在兩個質(zhì)

量不計的繩子上，如圖6.5所示。兩個繩子分

別纏繞在半徑為和

的鼓輪上，鼓輪的質(zhì)量

為，其質(zhì)心為輪心O處。若輪以角加速度

繞輪心O逆時針轉(zhuǎn)動，試求輪心O處的約束力。

圖6.5解：根據(jù)題意，質(zhì)點(diǎn)系選鼓輪和兩個重物為研究對象，系統(tǒng)的受力分析如圖6.5所示。質(zhì)點(diǎn)系動量在坐標(biāo)軸上的投影為 (a)作用在質(zhì)點(diǎn)系上的外力在坐標(biāo)軸上的投影為 (b)將式(a)、(b)代入質(zhì)點(diǎn)系的動量定理公式（10-10）中，得又由于

，

，則輪心O處的約束力為【例6.5】機(jī)車質(zhì)量為，以速度與靜止在平直軌道上的車廂對接，車廂的質(zhì)量為，對接時摩擦不計，試求對接后列車的速度以及機(jī)車動量的損失。解：以機(jī)車和車廂構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系為研究對象，由于對接時摩擦不計，質(zhì)點(diǎn)系水平方向不受力，則質(zhì)點(diǎn)系的動量在水平方向上守恒。則對接后列車的速度為

機(jī)車動量的損失為

由此可見機(jī)車動量的損失等于車廂所得的動量。

6.2.2質(zhì)心運(yùn)動定理

（1）質(zhì)心運(yùn)動定理由質(zhì)點(diǎn)系動量定理，將質(zhì)點(diǎn)系動量式(6-7)代入式(6-12)中得

或者寫成

(6-15)其中，為質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的加速度，上式給出了質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動規(guī)律。即質(zhì)心運(yùn)動定理：質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上外力的矢量和(或稱外力的主矢)。由式(6-15)得質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心運(yùn)動定理的投影形式：直角坐標(biāo)系：

自然軸系：由質(zhì)心運(yùn)動定理式(6-15)可以看出質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動與一個質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律一樣，這個質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量就是質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量，這個質(zhì)點(diǎn)所受的力就是作用在質(zhì)點(diǎn)系上的外力。因此在求解質(zhì)心運(yùn)動時，與求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動問題完全一致。由質(zhì)點(diǎn)系動量定理和質(zhì)心運(yùn)動定理知，質(zhì)點(diǎn)系動量的變化和質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動均與內(nèi)力無關(guān)，與外力有關(guān)，外力是改變質(zhì)點(diǎn)系動量和質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心運(yùn)動的根本原因。例如在光滑的冰面上，人和汽車都很難行走，原因是冰面的摩擦力較小，克服它往往需要在冰面上灑一些沙子，以增大摩擦力。（2）質(zhì)心運(yùn)動守恒定律當(dāng)作用在質(zhì)點(diǎn)系上外力的主矢等于零，即

時，質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的速度=恒矢量，則質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心作慣性運(yùn)

動；當(dāng)作用在質(zhì)點(diǎn)系上外力的主矢在某一軸上投影等于

零時，例如

，質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心沿該軸x的速度=恒量，則質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心沿該軸x作慣性運(yùn)動，若初始系統(tǒng)靜止，即質(zhì)心的速度=0，則質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的坐標(biāo)保持不變?！纠?.6】質(zhì)量為的均質(zhì)曲柄OA，長為l，以等角速度繞O軸轉(zhuǎn)動，并帶動滑塊A在豎直的滑道AB內(nèi)滑動，滑塊A的質(zhì)量為；而滑桿BD在水平滑道內(nèi)運(yùn)動，滑桿的質(zhì)量為，其質(zhì)心在點(diǎn)C處，如圖6.6所示。開始時曲柄OA為水平向右，各處的摩查擦不計。試求：①系統(tǒng)質(zhì)心運(yùn)動規(guī)律；②作用在O軸處的最大水平約束力。圖6.6解：（?。┣笙到y(tǒng)質(zhì)心運(yùn)動規(guī)律如圖6.6所示，建立直角坐標(biāo)系

，系統(tǒng)質(zhì)心坐標(biāo)

(a)（ⅱ）求作用在O軸處的最大水平約束力由質(zhì)心運(yùn)動定理對式(a)求導(dǎo)質(zhì)心的加速度為則作用在O軸處水平約束力為最大水平約束力為若求鉛直方向約束力，由

求出，但只能求出鉛直方向的合約束力。

6.3動量矩定理

本節(jié)學(xué)習(xí)描述轉(zhuǎn)動物體的物理量——動量矩，與作用在物體上力矩之間的關(guān)系稱動量矩定理。

6.3.1動量矩定理（1）質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動量矩（ⅰ）質(zhì)點(diǎn)的動量矩如圖6.7所示，設(shè)質(zhì)點(diǎn)在圖示瞬時A點(diǎn)的動量為，矢徑為r，與力F對點(diǎn)O之矩的矢量表示類似，定義質(zhì)點(diǎn)對固定點(diǎn)O的動量矩為 (6-16)

圖6.7質(zhì)點(diǎn)對固定點(diǎn)的動量矩圖6.8質(zhì)點(diǎn)對固定軸的動量矩xyzBAOhrMO(mv)OmvFzBAB′A′mvxyzMO(mv)OMZ(mv)mvO質(zhì)點(diǎn)對固定點(diǎn)O的動量矩是矢量，方向滿足右手螺旋法則，如圖6.7所示，大小為固定點(diǎn)O與動量AB所圍成的三角形面積的2倍，即其中，h為固定點(diǎn)O到AB線段的垂直距離，稱為動量臂。單位為kg·m2/s。質(zhì)點(diǎn)的動量對固定軸z的矩等于質(zhì)點(diǎn)的動量在Oxy平面上的投影

對固定點(diǎn)O的矩，如圖6.8所示，同時質(zhì)點(diǎn)對固定軸z的矩也等于質(zhì)點(diǎn)對固定點(diǎn)O的動量矩在固定軸z上的投影。即 (6-17)（ⅱ）質(zhì)點(diǎn)系的動量矩質(zhì)點(diǎn)系對固定點(diǎn)O的動量矩等于質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)對固定點(diǎn)O的動量矩的矢量和，即 (6-18)質(zhì)點(diǎn)系對固定軸z的矩等于質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)對同一軸z動量矩的代數(shù)和，即 (6-19)平移剛體動量矩：將剛體的質(zhì)量集中在剛體的質(zhì)心上，按質(zhì)點(diǎn)的動量矩計算。剛體作定軸轉(zhuǎn)動時動量矩：設(shè)定軸轉(zhuǎn)動的剛體如圖6.9所示，其上任一質(zhì)點(diǎn)i的質(zhì)量為mi，到轉(zhuǎn)軸的垂直距離為，某瞬時的角速度為，剛體對轉(zhuǎn)軸z的動量矩由式(6-19)得

圖6.9定軸轉(zhuǎn)動剛體rimivixyzω

即 (6-20)其中，

為剛體對轉(zhuǎn)軸z的轉(zhuǎn)動慣量。定軸轉(zhuǎn)動剛體對

轉(zhuǎn)軸z的動量矩等于剛體對轉(zhuǎn)軸z的轉(zhuǎn)動慣量與角速度的乘積。（2）質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動量矩定理（?。┵|(zhì)點(diǎn)的動量矩定理如圖6.7所示，設(shè)質(zhì)點(diǎn)對固定點(diǎn)O的動量矩為

，力F對同一點(diǎn)O的力矩為

，將式(6-16)對時間求導(dǎo)得即

(6-21)質(zhì)點(diǎn)的動量矩定理：質(zhì)點(diǎn)對某一固定點(diǎn)的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力對同一點(diǎn)的矩。將式(6-21)向直角坐標(biāo)軸投影得

(6-22)特殊情形，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)受向心力F的作用時，如圖6.10所示，力矩

，則質(zhì)點(diǎn)對固定點(diǎn)O的動量矩

=恒矢量，質(zhì)點(diǎn)的動量矩守恒。例如行星繞著恒星轉(zhuǎn)，受恒星的引力作用，引力對恒星的矩

，行星的動量矩 =恒矢量，此恒矢量的方向是不變的，因此行星作平面曲線運(yùn)動；此恒矢量的大小是不變的，即

=恒量，行星的速度v與恒星到速度矢量的距離h成反比?！纠?.7】如圖6.11所示單擺，由質(zhì)量為m的小球和繩索構(gòu)成。單擺懸吊于點(diǎn)O，繩長為

，當(dāng)單擺作微振幅擺動時，試求單擺的運(yùn)動規(guī)律。

圖6.10行星繞著恒星運(yùn)動圖

圖6.11hFmvOOFmvmgφ解：根據(jù)題意，以小球?yàn)檠芯繉ο?，小球受力為鉛垂重力和繩索拉力F。單擺在鉛垂平面內(nèi)繞點(diǎn)O作微振幅擺動，設(shè)擺與鉛垂線的夾角為，規(guī)定為逆時針時為正，如圖6.11所示。則質(zhì)點(diǎn)對點(diǎn)O的動量矩為作用在小球上的力對點(diǎn)O的矩為由質(zhì)點(diǎn)的動量矩定理得 (a)由于

，則

，又由于單擺作微振幅擺動，則

從而由式(a)得單擺運(yùn)動微分方程為 (b)解式(b)得單擺的運(yùn)動規(guī)律為其中，

稱為單擺的角頻率，單擺的周期為稱為單擺的振幅，稱為單擺的初相位，它們由運(yùn)動的初始條件確定。(ⅱ)質(zhì)點(diǎn)系的動量矩定理設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個質(zhì)點(diǎn)組成，對每一個質(zhì)點(diǎn)列式(6-21)有其中，

為外力矩，

為內(nèi)力矩，上式共列n個方程，將這些方程進(jìn)行左右連加，并考慮內(nèi)力矩之和為零，得 (6-23)質(zhì)點(diǎn)系的動量矩定理：質(zhì)點(diǎn)系對某一固定點(diǎn)的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)

等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上的外力對同一點(diǎn)矩的矢量和(或稱外力的主矩)。將式(6-23)向直角坐標(biāo)系投影得

(6-24)特殊情形，當(dāng)作用在質(zhì)點(diǎn)系上外力對某點(diǎn)的矩等于零時，例如

，質(zhì)點(diǎn)系動量矩

恒矢量，則質(zhì)點(diǎn)系對該點(diǎn)的動

量矩守恒；當(dāng)作用在質(zhì)點(diǎn)系上的外力對某一軸的矩等于零時，質(zhì)點(diǎn)

系對該軸的動量矩守恒，例如

，質(zhì)點(diǎn)系對x軸的動量

矩

為恒量，則質(zhì)點(diǎn)系對x軸的動量矩守恒?！纠?.8】在礦井提升設(shè)備中，兩個鼓輪固聯(lián)在一起，總質(zhì)量為m，對轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動慣量為，在半徑為的鼓輪上懸掛一質(zhì)量為的重物A，而在半徑為的鼓輪上用繩牽引小車B沿傾角的斜面向上運(yùn)動，小車的質(zhì)量為。在鼓輪上作用有一不變的力偶矩M，如圖6.12所示。不計繩索的質(zhì)量和各處的摩擦，繩索與斜面平行，試求小車上升的加速度。圖6.12OFOyFOxFNBAMθmgm1gm2g解：選整體為質(zhì)點(diǎn)系，作用在質(zhì)點(diǎn)系上的力為三個物體的重力、、，在鼓輪上不變的力偶矩M，以及作用在軸O處和斜面的約束力為、、。質(zhì)點(diǎn)系對轉(zhuǎn)軸O的動量矩為其中：

，

，則作用在質(zhì)點(diǎn)系上的力對轉(zhuǎn)軸O的矩為由質(zhì)點(diǎn)系的動量矩定理得解得鼓輪的角加速度為小車上升的加速度為（3）質(zhì)點(diǎn)系相對質(zhì)心的動量矩定理建立定坐標(biāo)系Oxyz，和以質(zhì)心C為坐標(biāo)原點(diǎn)的動坐標(biāo)系

。設(shè)質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心C的矢徑為

，任一質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，對兩個坐標(biāo)系的矢徑分別為

、，三者的關(guān)系如圖6.13所示。

圖6.13質(zhì)心坐標(biāo)系ixyzx'y'z'ρirirCCO質(zhì)點(diǎn)系對固定點(diǎn)O的動量矩為 (a)其中，質(zhì)點(diǎn)系對質(zhì)心C的動量矩為 (b)質(zhì)點(diǎn)系相對定坐標(biāo)系的動量為 (c)將式(b)和式(c)代入式(a)得質(zhì)點(diǎn)系對固定點(diǎn)O的動量矩和質(zhì)點(diǎn)系對質(zhì)心C的動量矩間的關(guān)系為 (6-25)式(6-25)對時間求導(dǎo)得 (d)作用在質(zhì)點(diǎn)系上的外力對固定點(diǎn)O的力矩為 (e)作用在質(zhì)點(diǎn)系上的外力對質(zhì)心C的力矩為 (f)將式(d)、(e)和(f)代入質(zhì)點(diǎn)系動量矩定理式(6-23)中，并考慮質(zhì)點(diǎn)系動量定理，從而得 (6-26)質(zhì)點(diǎn)系相對質(zhì)心的動量矩定理：質(zhì)點(diǎn)系相對質(zhì)心的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上的外力對質(zhì)心之矩的矢量和(或稱主矩)。應(yīng)當(dāng)指出：質(zhì)點(diǎn)系動量矩定理只有對固定點(diǎn)或質(zhì)心點(diǎn)取矩時其方程的形式才是一致的，若對其他動點(diǎn)取矩，質(zhì)點(diǎn)系動量矩定理將更加復(fù)雜；不論是質(zhì)點(diǎn)系的動量矩定理還是質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動量矩定理，質(zhì)點(diǎn)系動量矩的變化均與內(nèi)力無關(guān)，與外力有關(guān)，外力是改變質(zhì)點(diǎn)系量矩的根本原因。

6.3.2剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程

如圖6.14所示，設(shè)定軸轉(zhuǎn)動剛體某瞬時的角速度為，作用在剛體上的主動力為(i=1,…，n)、約束力為、、、，剛體對轉(zhuǎn)軸z的動量矩由式(6-20)

圖6.14定軸轉(zhuǎn)動剛體上的力zF

NAF

nF1F2BAF

AxF

AzF

Ay代入式(6-24)中的第三式中，得剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程或

或

(6-27)其中，

為主動力對轉(zhuǎn)軸z的矩，因?yàn)檗D(zhuǎn)軸處的約束力對轉(zhuǎn)

軸的矩

。則剛體對轉(zhuǎn)軸z的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘

積等于作用在轉(zhuǎn)動剛體上的主動力對轉(zhuǎn)軸z的矩的代數(shù)和(或主矩)。剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程

與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程

類似，轉(zhuǎn)動慣量是轉(zhuǎn)動剛體的慣性量度。當(dāng)

時，剛體轉(zhuǎn)動對轉(zhuǎn)軸z的動量矩恒量，動量矩守恒，例如花樣滑冰

運(yùn)動員通過伸展和收縮手臂以及另一條腿，改變其轉(zhuǎn)動慣量，從而

達(dá)到增大和減少旋轉(zhuǎn)的角速度的效果；當(dāng)

恒量，對于確定的剛體和轉(zhuǎn)軸而言，剛體作勻變速轉(zhuǎn)動。利用剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程求解動力學(xué)的兩類問題?！纠?.9】如圖6.15所示，飛輪以角速度繞軸O轉(zhuǎn)動，飛輪對軸O的轉(zhuǎn)動慣量為，當(dāng)制動時其摩擦阻力矩為

，其中，為比例系數(shù)，試求飛輪經(jīng)過多少時間后角速度減少為初角速度的一半，及在此時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)。

圖6.15

MOα解：(ⅰ) 求飛輪經(jīng)過多少時間后角速度減少為初角速度的一半。飛輪繞軸O轉(zhuǎn)動的微分方程為將摩擦阻力矩

，代入上式有采用解微分方程的分離變量法，并積分解得時間為(ⅱ)求飛輪轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)。飛輪繞軸O轉(zhuǎn)動的微分方程寫成為方程的兩邊約去，并積分為解得飛輪轉(zhuǎn)過的角度為則飛輪轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)為【例6.10】傳動軸系如圖6.16(a)所示，主動軸Ⅰ和從動軸Ⅱ的

轉(zhuǎn)動慣量分別為和，傳動比為

，和分別為主動軸Ⅰ和從動軸Ⅱ的半徑。若在軸Ⅰ上作用主動力矩，在軸Ⅱ上有阻力矩，各處摩擦不計，試求主動軸Ⅰ的角加速度。

圖6.16

M2ⅡⅠR2FnFt(a)(b)α2F′n'M1M2F′tM1α1R1解：由于主動軸Ⅰ和從動軸Ⅱ?yàn)閮蓚€轉(zhuǎn)動的物體，應(yīng)用動量矩定理時應(yīng)分別研究。受力傳動軸系如圖6.16(b)所示，設(shè)角加速度的方向?yàn)榻恿烤胤匠痰恼较?，其定軸轉(zhuǎn)動微分方程為 (a) (b)因輪緣上的切向力

，傳動比則式(a)+式(b)，并注意

得主動軸Ⅰ的角加速度為

6.3.3剛體平面運(yùn)動微分方程

由運(yùn)動學(xué)知，剛體的平面運(yùn)動可以分解為隨基點(diǎn)的平移和相對于基點(diǎn)轉(zhuǎn)動的兩部分。在動力學(xué)中，一般取質(zhì)心為基點(diǎn)，因此剛體的平面運(yùn)動可以分解為隨質(zhì)心的平移和相對于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動兩部分。這兩部分的運(yùn)動分別由質(zhì)心運(yùn)動定理和相對于質(zhì)心的動量矩定理來確定。如圖6.17所示，作用在剛體上的力簡化為質(zhì)心所在平面內(nèi)一平面力系

(i=1,…,n),在質(zhì)心C處建立平移坐標(biāo)系

，由質(zhì)心運(yùn)動定理和相對于質(zhì)心的動量矩定理得

(6-28)圖6.17質(zhì)心坐標(biāo)系yxx'φCO式(6-28)的投影形式 (6-29)即式((6-28))或(6-28)為剛體平面運(yùn)動微分方程，利用此方程求解剛體平面運(yùn)動的兩類動力學(xué)問題。

【例6.11】均質(zhì)的鼓輪，半徑為，質(zhì)量為，在半徑為處沿水平方向作用有力和，使鼓輪沿平直的軌道向右作無滑動滾動，如圖6.18所示，試求輪心點(diǎn)O的加速度以及使鼓輪無滑動滾動時的摩擦力。解：由于鼓輪作平面運(yùn)動，鼓輪的受力如圖6.18所示建立鼓輪平面運(yùn)動微分方程為 (a) (b) (c)其中，F(xiàn)為摩擦力，為支承面的法向約束力。因鼓輪沿平直的軌

道作無滑動的滾動，則

，

，

，

，代入式(c)得 (d)

圖6.18式(a)和式(d)聯(lián)立得輪心點(diǎn)O的加速度為其中轉(zhuǎn)動慣量

，則有使鼓輪作無滑動滾動時的摩擦力為yxFFNF1F2mgαO

6.4動能定理

動量和動量矩是描述物體作機(jī)械運(yùn)動時與周圍物體進(jìn)行機(jī)械運(yùn)動交換的物理量，動能是描述物體作機(jī)械運(yùn)動時所具有的能量。這一節(jié)我們要學(xué)習(xí)物體動能的變化與作用在物體上力的功之間的關(guān)系——動能定理。

6.4.1力的功

（1）常力作直線運(yùn)動的功設(shè)物體在大小和方向都不變的力F作用下，沿直線做運(yùn)動，其位移為s，如圖6.19所示，力F對物體所做的功為 (6-30)圖6.19物體在常力作用下作直線運(yùn)動式中為與F位移s間的夾角，功是代數(shù)量，功的單位為焦耳(J)，1J=1N·m。（2）變力作曲線運(yùn)動的功設(shè)質(zhì)點(diǎn)M在變力F的作用下作曲線運(yùn)動，如圖6.20所示，質(zhì)點(diǎn)從位置

運(yùn)動到位置。為了計算變力F在曲線上的功，將曲線

分成若干小段，其弧長為ds，ds可視為直線，此段上力F視為常力，此時力F做的功稱為元功，由式(6-30)有 (6-31)當(dāng)ds足夠小時位移與路程相等，即

，為微小弧段ds上所對應(yīng)的位移，式(6-31)寫成 (6-32)圖6.20質(zhì)點(diǎn)在變力作用下作曲線運(yùn)動力F在位移上的元功的解析式為 (6-33)則力F在曲線上的功為

(6-34)（3）匯交力系合力功設(shè)質(zhì)點(diǎn)M上作有n個力，，…，，則力系的合力功為

(6-35)即合力在某一路程上所做的功等于各分力在同一路程上所做功的代數(shù)和。（4）常見力的功（?。┲亓υO(shè)物體受重力P的作用，重心沿曲線從位置

運(yùn)動到位置，如

圖6.21所示，則重力P在直角坐標(biāo)軸上的投影

，

代入式(6-33)得重力的元功為圖6.21重力作用下曲線圖重力P沿曲線的功為

(6-36)由重力功式(6-36)可見，重力功只與始末位置的高度差有關(guān)，與物體的運(yùn)動路徑無關(guān)。（ⅱ）彈性力功如圖6.22所示，一端固定，另一端連接質(zhì)點(diǎn)M的彈簧，質(zhì)點(diǎn)受彈力F的作用，從位置

運(yùn)動到位置。設(shè)彈簧的原長為，剛性系數(shù)為(單位：N/m或N/cm)，在彈性范圍內(nèi)，彈力F表示為圖6.22彈性力作用由式(6-32)得彈力的元功其中，

代入上式，則有質(zhì)點(diǎn)沿M1M2運(yùn)動時彈力功即 (6-37)式中

、

分別為質(zhì)點(diǎn)在初位置和末位置時彈簧的變形量。由此可見，彈力功只與質(zhì)點(diǎn)始末位置有關(guān)，與質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動路徑無關(guān)。（ⅲ）力矩功如圖6.23所示，剛體繞轉(zhuǎn)軸z作定軸轉(zhuǎn)動，作用在剛體上的力F的元功則剛體從位置轉(zhuǎn)到位置時，力所做的功

(6-38)若剛體在力偶作用下，且力偶矩M=恒量，由式(6-38)力偶矩的功為 (6-39)圖6.23作用在轉(zhuǎn)動剛體上的力

（ⅳ）約束力功物體所受的約束，例如：(1)光滑接觸面約束、軸承約束、滾動鉸支座，其約束力與微小位移總是相互垂直，約束力的元功等于零；(2)鉸鏈約束，其單一的約束力的元功不等于零，但相互間的約束力的元功之和等于零；(3)不可伸長的繩索、二力桿約束，由于繩索、二力桿不可伸長，其約束力的元功等于零；(4)物體沿固定平面作純滾動，其法線約束力和摩擦力均不做功。我們把約束力不做功或約束力做功之和等于零的約束稱為理想約束。即 (6-40)其中，S為物體受到的約束的個數(shù)。（ⅴ）內(nèi)力功在質(zhì)點(diǎn)系中設(shè)A、B兩點(diǎn)間的相互作用力為、，且有

。如圖6.24所示，內(nèi)力的元功之和為式中為A、B兩點(diǎn)間的相對位移，一般情況下

，則其元功

；但當(dāng)物體為剛體時，

，則其元功

。圖6.24質(zhì)點(diǎn)系中兩點(diǎn)間的相互作用力【例6.12】兩等長的桿AC、CB組成可動結(jié)構(gòu)，如圖6.25所示。A處為固定鉸支座，B處為滾動鉸支座，且在同一水平面上，兩桿

在C處鉸鏈連接，并懸掛質(zhì)量為m的重物D，以剛度系數(shù)為k的彈

簧連于兩桿的中點(diǎn)。彈簧的原長

，不計兩桿的重量。

試求當(dāng)

由

變?yōu)闀r，重物D的重力和彈力所做的總功。圖6.25解：(1) 求重物D的重力所作的功。由圖6.25計算重物D下降的高度差則重力做的功(2) 求彈力所作的功。由幾何條件知：當(dāng)

時，彈簧伸長量當(dāng)

時，彈簧伸長量則彈力所做的功系統(tǒng)總功

6.4.2動能定理

（1）質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動能（ⅰ）質(zhì)點(diǎn)的動能設(shè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m，速度為v，質(zhì)點(diǎn)的動能定義為

(6-41)動能是標(biāo)量，恒為正值；單位為焦耳(J)，1J=1N·m。（ⅱ）質(zhì)點(diǎn)系的動能設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個質(zhì)點(diǎn)組成，質(zhì)點(diǎn)系的動能等于質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)動能的代數(shù)和，即 (6-42)（ⅲ）剛體的動能剛體是由無數(shù)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，由于剛體運(yùn)動形式的不同，其上各點(diǎn)的速度分布也不相同，因此剛體動能計算也不同。由質(zhì)點(diǎn)系的動能式(6-42)，計算下面常見剛體運(yùn)動的動能。平移剛體的動能：當(dāng)剛體作平移運(yùn)動時，由于每一瞬時其上各點(diǎn)的速度都相等，因此用質(zhì)心的速度來代表剛體上各點(diǎn)的速度，則平移剛體的動能

(6-43)

式中，

為剛體的質(zhì)量。平移剛體的動能等于剛體的質(zhì)量與

質(zhì)心速度平方的乘積的一半，它與質(zhì)點(diǎn)的動能形式一樣。

剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能：設(shè)剛體某瞬時以角速度繞固定軸z轉(zhuǎn)動，

如圖6.26所示，剛體內(nèi)第i個質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為，到轉(zhuǎn)軸z的距離為

，質(zhì)點(diǎn)的速度為

，則剛體作定軸轉(zhuǎn)動時的動能

(6-44)其中，

，剛體對轉(zhuǎn)軸z的轉(zhuǎn)動慣量。剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能

為等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與角速度平方的乘積的一半。剛體平面運(yùn)動的動能：剛體作平面運(yùn)動時，平面圖形取剛體質(zhì)心所

在的平面，如圖6.27所示，設(shè)某瞬時平面圖形的角速度為，速度瞬心點(diǎn)為P，平面運(yùn)動可以看成相對于速度瞬心點(diǎn)P的純轉(zhuǎn)動，則剛體平面運(yùn)動的動能為 (6-45)

圖6.26剛體定軸轉(zhuǎn)動圖6.27剛體平面運(yùn)動由轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理有代入上式得其中，質(zhì)心點(diǎn)的速度為

，于是有

(6-46)剛體平面運(yùn)動的動能等于隨質(zhì)心平移動能和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動動能之和?！纠?.13】均質(zhì)的圓輪，半徑為R，質(zhì)量為m，輪心C以速度沿平直的軌道向右作無滑動滾動，如圖6.28所示，試求圓輪的動能。解：由剛體平面運(yùn)動動能的計算式(12-16)得

圖6.28（2）質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系動能定理（?。┵|(zhì)點(diǎn)動能定理由牛頓第二定律得加速度

，同時在上面的方程中兩端點(diǎn)乘，于是有因

，

代入上式得其中，

，則有

(6-47)即為質(zhì)點(diǎn)動能定理的微分形式，質(zhì)點(diǎn)動能的增量等于作用在質(zhì)點(diǎn)上力的元功。若質(zhì)點(diǎn)從位置轉(zhuǎn)到位置時，速度由變?yōu)椋瑢κ?6-47)積分得 (6-48)則質(zhì)點(diǎn)動能定理的積分形式：質(zhì)點(diǎn)在某一段路程上運(yùn)動時，末動能與初動能的差等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力在同一段路程上所做的功。（ⅱ）質(zhì)點(diǎn)系動能定理設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個質(zhì)點(diǎn)組成，由式(6-47)，對第i個質(zhì)點(diǎn)建立動能定理的微分形式，即n個質(zhì)點(diǎn)共列n個上述方程，并將其方程連加，得即 (6-49)則質(zhì)點(diǎn)系動能定理的微分形式：質(zhì)點(diǎn)系動能的增量等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上的全部力所做元功之和。若質(zhì)點(diǎn)系從位置運(yùn)動到位置時，所對應(yīng)的動能為和，對式(6-49)積分得 (6-50)其中，

為質(zhì)點(diǎn)系的動能。則質(zhì)點(diǎn)系動能定理的積分形式：質(zhì)點(diǎn)系在某一段路程上運(yùn)動時，末動能與初動能的差等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上的全部力在同一段路程上所做功的和。應(yīng)當(dāng)注意：(1) 當(dāng)我們研究剛體動力學(xué)問題時，作用在剛體上全部力的功應(yīng)為主動力的功，因?yàn)閯傮w受理想約束；同時若考慮滑動摩擦力時應(yīng)按主動力處理。(2) 動能和功都是標(biāo)量，動能定理所對應(yīng)的方程是標(biāo)量方程，沒有投影形式。(3) 利用動能定理計算時，只需研究始末狀態(tài)即可。【例6.14】如圖6.29所示，均質(zhì)輪Ⅰ的質(zhì)量為，半徑為，在曲柄的帶動下繞軸轉(zhuǎn)動，并沿輪Ⅱ只滾動而不滑動。輪Ⅱ固定不動，半徑為。曲柄的質(zhì)量為。若已知系統(tǒng)處于水平面內(nèi)，曲柄上作用有一不變的力矩，初始時系統(tǒng)靜止，各處的摩擦不計。試求曲柄轉(zhuǎn)過角時曲柄的角速度和角加速度。圖6.29解：取桿和輪Ⅰ為質(zhì)點(diǎn)系，質(zhì)點(diǎn)系的初動能曲柄轉(zhuǎn)過角時質(zhì)點(diǎn)系的動能其中，

，則上式為由于系統(tǒng)處于水平面內(nèi)，因此重力不做功。力的功由質(zhì)點(diǎn)系動能定理得

(a)則曲柄的角速度 (b)式(a)兩邊對時間求導(dǎo)，得曲柄的角加速度 (c)

6.4.3機(jī)械能守恒定律

（1）勢力場和勢能（?。﹦萘霎?dāng)物體在某一空間時，所受力的大小和方向完全由物體所在的位置決定，這樣的空間稱為力場，例如重力場和萬有引力場等。在力場中，力所作的功與物體的運(yùn)動路徑無關(guān)，只與運(yùn)動的始末位置有關(guān)，這樣的力場稱為勢力場，或稱保守力場。勢力場中的力稱為勢力，或稱保守力。例如重力和彈性力，還有萬有引力都是勢力或保守力，它們均滿足勢力的性質(zhì)。（ⅱ）勢能定義：在勢力場中，質(zhì)點(diǎn)從位置運(yùn)動到位置時勢力所做的功稱為質(zhì)點(diǎn)在位置相對于位置的勢能，即

(6-51)其中，定義位置的勢能等于零，點(diǎn)稱為零勢能點(diǎn)。在勢力場中，勢能的大小是相對于零勢能點(diǎn)而言的。因此，勢力場中的同一點(diǎn)相對于不同零勢能點(diǎn)，其勢能的大小是不相同的；同時零勢能點(diǎn)的選擇又可以是任意的。（ⅲ）常見力的勢能重力勢能：在重力場中，質(zhì)點(diǎn)受重力P作用，設(shè)z軸鉛垂向上，為零勢能點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)在任意z處的重力勢能，由式(12-21)得 (6-52a)若取坐標(biāo)原點(diǎn)為零勢能點(diǎn)，則重力勢能 (6-52b)彈性力勢能：設(shè)一端固定，另一端連接一物體的彈簧，彈簧的剛性系數(shù)為，以變形量為零勢能點(diǎn)，變形量處的彈性力勢能由式(6-37)得 (6-53a)若取彈簧的自然位置為零勢能點(diǎn)，即

，則有 (6-53b)以上討論的是一個質(zhì)點(diǎn)受到勢力作用時的勢能計算，對質(zhì)點(diǎn)系而言，其勢能應(yīng)等于質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)每個質(zhì)點(diǎn)勢能的代數(shù)和。（ⅳ）勢力功與勢能的關(guān)系在勢力場中，設(shè)零勢能點(diǎn)為點(diǎn)。質(zhì)點(diǎn)系從位置運(yùn)動到位置時，勢力做功為；質(zhì)點(diǎn)系從位置運(yùn)動到位置時，勢力做功為；質(zhì)點(diǎn)系從位置運(yùn)動到位置時，勢力做功為，如圖6.30所示，則有由勢能的定義知：

，代入上式，從而有

(6-54)即勢力做功等于質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動過程中始末位置的勢能差。圖6.30質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動（ⅴ）勢力與勢能的關(guān)系在勢力場中，由于質(zhì)點(diǎn)系勢能的大小與所在勢力場中位置有關(guān)，因此勢能是勢力場位置坐標(biāo)的函數(shù)。設(shè)勢力從一位置運(yùn)動到另一位置時，這兩點(diǎn)的勢能分別為

和

，由式(6-54)得勢力的元功為 (6-55)其中，勢能的全微分

(a)勢力元功的解析式為

(b)將式(a)和式(b)代入式(6-55)中，得

(6-56)即勢力的元功等于勢能微分的負(fù)值；勢力在直角坐標(biāo)軸上的投影等于勢能對該坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)的負(fù)值。（2）機(jī)械能守恒定律設(shè)質(zhì)點(diǎn)系在勢力作用下，從位置運(yùn)動到位置時，相應(yīng)的勢能分別為和，動能分別為和，勢力所做的功由式(6-54)得依據(jù)質(zhì)點(diǎn)系動能定理有于是有即 (6-55)其中，勢能和動能之和稱為機(jī)械能，即

。則得機(jī)械能守恒定律：質(zhì)點(diǎn)系在勢力作用下機(jī)械能保持不變。如果將作用在質(zhì)點(diǎn)系上的力分為勢力(或保守力)和非勢力(或非保守力)兩類，勢力的功為，非勢力的功為，則由質(zhì)點(diǎn)系動能定理得考慮式(6-54)，上式變?yōu)?/p>

(6-56)即非勢力的功等于機(jī)械能的變化。當(dāng)非勢力作正功時：，機(jī)械能增加，質(zhì)點(diǎn)系作加速運(yùn)動；當(dāng)非勢力作負(fù)功時：＜0，機(jī)械能減少，質(zhì)點(diǎn)系作減速運(yùn)動?！纠?.15】均質(zhì)圓柱體A和B的質(zhì)量均為m，半徑均為r，一繩纏繞在繞固定軸O轉(zhuǎn)動的圓柱體A上，繩另一端纏繞在圓柱B上，直線繩段為鉛垂，如圖6.31所示，若軸O的摩擦不計，系統(tǒng)初始靜止，兩輪心初始時在同一水平線上，試求當(dāng)圓柱體B下落h時，圓柱體B的輪心速度和加速度，以及圓柱體A的角速度和角加速度。解：選均質(zhì)圓柱體A和B為質(zhì)點(diǎn)系。由于軸O處的約束力不做功，因此系統(tǒng)機(jī)械能守恒。輪心初始位置為零勢能點(diǎn)，根據(jù)題意，初始位置時系統(tǒng)的動能和勢能為圓柱體B下落h時，系統(tǒng)的動能圖6.31其中，兩圓柱體的角速度

，

，

，則上式為系統(tǒng)的勢能由機(jī)械能守恒定律得

(a)則圓柱體B輪心的速度 (b)式(a)兩邊對時間求導(dǎo)，并注意

，從而得圓柱體B輪心的加速度 (c) 圓柱體A的角速度

(d)式(d)對時間求導(dǎo)，得圓柱體A的角加速度 (e)其中，

。

6.4.4動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用

動量定理(質(zhì)心運(yùn)動定理)、動量矩定理和動能定理構(gòu)成動力學(xué)普遍定理，它們從不同側(cè)面反映機(jī)械運(yùn)動量與作用在物體上的力、力矩和功之間的關(guān)系。動量定理和動量矩定理是矢量式，有投影式；動能定理是標(biāo)量式，沒有投影式。動量定理和質(zhì)心運(yùn)動定理一樣是分析質(zhì)點(diǎn)系所受外力與質(zhì)點(diǎn)系的動量和質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心運(yùn)動的關(guān)系；動量矩定理是分析質(zhì)點(diǎn)系所受外力矩與質(zhì)點(diǎn)系動量矩的關(guān)系。這3個定理中動量、質(zhì)心運(yùn)動和動量矩的變化均與內(nèi)力無關(guān)，內(nèi)力是不能改變質(zhì)點(diǎn)系動量、質(zhì)心運(yùn)動和動量矩的，但內(nèi)力可以改變質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)單個質(zhì)點(diǎn)的動量和動量矩；動能定理是從能量角度研究質(zhì)點(diǎn)系動能的變化與作用在質(zhì)點(diǎn)系上力的功的關(guān)系，質(zhì)點(diǎn)系動能的變化不僅與外力有關(guān)，而且還與內(nèi)力有關(guān)。但當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系是剛體時，動能的變化只與外力功有關(guān)，此時若剛體受理想約束，約束力不做功，外力功(包括滑動摩擦力的功)為主動力的功。在動力學(xué)計算方面，應(yīng)根據(jù)問題適當(dāng)選擇普遍定理中的某一個定理，有時是這些定理的聯(lián)合應(yīng)用。一般情形，動量定理和質(zhì)心運(yùn)動定理主要是研究平移運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)系問題；動量矩定理主要是研究定軸轉(zhuǎn)動質(zhì)點(diǎn)系問題；質(zhì)心運(yùn)動定理和動量矩定理聯(lián)合應(yīng)用是研究剛體平面運(yùn)動問題；動能定理是研究一般機(jī)械運(yùn)動問題。當(dāng)要求質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動量(例如速度、加速度、角速度和角加速度)時，一般先采用動能定理較好，因?yàn)樗菢?biāo)量方程易于求解；當(dāng)要求作用在質(zhì)點(diǎn)系上的力時，應(yīng)根據(jù)問題選擇動量定理、質(zhì)心運(yùn)動定理或動量矩定理。動力學(xué)求解分為兩類，一類是已知質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動，求作用質(zhì)點(diǎn)系上的力；另一類是已知作用質(zhì)點(diǎn)系上的力，求質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動?！纠?.16】均質(zhì)圓輪重為P，半徑為r，沿傾角為的斜面作無滑動的滾動，如圖6.32所示，滾動摩阻不計。試求輪心的加速度，以及斜面的法向約束力和斜面的滑動摩擦力。解：根據(jù)題意，圓輪作平面運(yùn)動，受重力P、法向約束力、滑動摩擦力F的作用，如圖12.18所示。(1) 求輪心的加速度。圓輪的初動能圓輪運(yùn)動到任一瞬時的動能圖6.32當(dāng)圓輪輪心運(yùn)動的距離為s時，主動力所作的功由質(zhì)點(diǎn)系動能定理得 (a)式(a)兩邊對時間求導(dǎo)，并注意

，得輪心的加速度為

(b)2) 求斜面的法向約束力和斜面的滑動摩擦力建立圖示坐標(biāo)系，由質(zhì)心運(yùn)動定理得由于

，

，則法向約束力斜面的滑動摩擦力【例6.17】如圖6.33所示，彈簧兩端各系重物A和B，放在光滑的水平面上。其中，重物A的質(zhì)量為，重物B的質(zhì)量為，彈簧原長為，剛性系數(shù)。若將彈簧拉到后，無初速釋放。試求彈簧回到原長時重物A和B的速度。圖6.33解：選兩重物A和B為質(zhì)點(diǎn)系。由于重物A和B放在光滑的水平面上，則質(zhì)點(diǎn)系在水平方向不受力，動量守恒。質(zhì)點(diǎn)系在水平方向的動量由動量守恒得

，即

(a)由質(zhì)點(diǎn)系的動能定理其中質(zhì)點(diǎn)系動能作用在質(zhì)點(diǎn)系上力的功

則有 (b)式(a)和式(b)聯(lián)立，求得重物A和B的速度

上面的例子還可以有其他的解法，請讀者自己練習(xí)。在學(xué)習(xí)這部分時，應(yīng)根據(jù)具體問題，恰當(dāng)?shù)剡x擇動力學(xué)普遍定理中的某一個或幾個的聯(lián)立，才能求解。

6.5本章小結(jié)

1.質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)（1）動力學(xué)的基本定律第一定律：不受力作用的物體將保持靜止或勻速直線運(yùn)動。第二定律：物體所獲得的加速度的大小與物體所受的力成正比，與物體的質(zhì)量成反比，加速度的方向與力同向，即

。第三定律：物體間的作用力與反作用力總是大小相等、方向相反、沿著同一條直線，分別作用在這兩個物體上。（2）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程矢量形式的運(yùn)動微分方程:直角坐標(biāo)形式的運(yùn)動微分方程：自然軸系形式的運(yùn)動微分方程：（3）質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)的兩類基本問題：第一類問題——已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動，求作用于質(zhì)點(diǎn)上的力。第二類問題——已知作用于質(zhì)點(diǎn)上的力，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動。在此兩類問題基礎(chǔ)上，有時也存在兩類問題的聯(lián)合求解。2.動量定理（1）動量與沖量質(zhì)點(diǎn)的動量：mv，單位為kg·m/s。質(zhì)點(diǎn)系的動量：

，或者

沖量：

，它是矢量，單位為N·s。（2）動量定理質(zhì)點(diǎn)的動量定理：質(zhì)點(diǎn)系的動量定理：質(zhì)點(diǎn)系動量守恒定律：當(dāng)作用在質(zhì)點(diǎn)系上外力的主矢等于零時，則質(zhì)點(diǎn)系動量守恒；當(dāng)作用在質(zhì)點(diǎn)系上外力的主矢在某一軸上投影等于零時，則質(zhì)點(diǎn)系沿該軸的動量守恒。（3）質(zhì)心運(yùn)動定理質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動可以看成一個質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動，這個質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量就是質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量，這個質(zhì)點(diǎn)所受的力就是作用在質(zhì)點(diǎn)系上的外力。質(zhì)心運(yùn)動守恒定律：當(dāng)作用在質(zhì)點(diǎn)系上外力的主矢等于零時，則質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心作慣性運(yùn)動；當(dāng)作用在質(zhì)點(diǎn)系上外力的主矢在某一軸上投影等于零時，則質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心沿該軸作慣性運(yùn)動，若初始系統(tǒng)靜止，如質(zhì)心的速度

，質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的坐標(biāo)保持不變。3.動量矩定理（1）質(zhì)點(diǎn)的動量矩定理質(zhì)點(diǎn)對點(diǎn)的動量矩：

是矢量，單位為kg·m2/s。質(zhì)點(diǎn)對軸的動量矩：

是代數(shù)量。質(zhì)點(diǎn)的動量矩定理：質(zhì)點(diǎn)對某一固定點(diǎn)的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力對同一點(diǎn)的矩。即（2）質(zhì)點(diǎn)系的動量矩定理質(zhì)點(diǎn)系對點(diǎn)的動量矩：質(zhì)點(diǎn)系對軸的動量矩：質(zhì)點(diǎn)系對點(diǎn)的動量矩和對軸的動量矩的關(guān)系：剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩：質(zhì)點(diǎn)系的動量矩定理：質(zhì)點(diǎn)系對某一固定點(diǎn)的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上的外力對同一點(diǎn)矩的矢量和(或稱外力的主矩)。即投影形式：

質(zhì)點(diǎn)系動量矩守恒定律：當(dāng)作用在質(zhì)點(diǎn)系上外力對某一點(diǎn)的矩等于零時，則質(zhì)點(diǎn)系對該點(diǎn)的動量矩守恒；當(dāng)作用在質(zhì)點(diǎn)系上的外力對某一軸的矩等于零時，則質(zhì)點(diǎn)系對該軸的動量矩守恒。質(zhì)點(diǎn)系相對質(zhì)心的動量矩定理：質(zhì)點(diǎn)系相對質(zhì)心的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點(diǎn)系上的外力對質(zhì)心之矩的矢量和。即（3）剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程和剛體平面運(yùn)動微分方程剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程：

或剛體平面運(yùn)動微分方程：利用剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程和剛體平面運(yùn)動微分方程，可求解動力學(xué)的兩類問題。4.動能定理（1）力的功常力功：變力功：重力功：

；彈性力功：

，力矩功：約束力功：

，即約束力不做功或約束力做功之

和等于零的約束稱為理想約束。內(nèi)力功：一般情況下，內(nèi)力功不等于零；但當(dāng)物體為剛體時，內(nèi)力

功等于零。（2）質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動能質(zhì)點(diǎn)動能：

，它是標(biāo)量，恒為正值，單位為焦耳(J)，1J=1N·m。質(zhì)點(diǎn)系的動能：

平移剛體的動能：

剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能：剛體的動能：

剛體平面運(yùn)的動能：

或者

其中，點(diǎn)P為速度瞬心

（3）動能定理

質(zhì)點(diǎn)動能定理的微分形式：質(zhì)點(diǎn)的動能定理：

質(zhì)點(diǎn)動能定理的積分形式：

質(zhì)點(diǎn)系動能定理的微分形式：質(zhì)點(diǎn)系的動能定理：

質(zhì)點(diǎn)系動能定理的積分形式：（4）勢力場和勢能勢力場：力所做的功與物體的運(yùn)動路徑無關(guān)，只與運(yùn)動的始末位置有關(guān)。勢力：勢力場中的力稱為勢力，或稱保守力。例如重力和彈性力，萬有引力都是勢力或保守力。

勢能：在勢力場中，質(zhì)點(diǎn)從位置運(yùn)動到位置時勢力所做的功。即其中，點(diǎn)稱為零勢能點(diǎn)。重力勢能：

，若取坐標(biāo)原點(diǎn)為零勢能點(diǎn)，重力勢能:

。彈性力勢能：

，若取彈簧的自然位置為零勢能點(diǎn)，即

，彈性力勢能: 。（5）機(jī)械能守恒定律質(zhì)點(diǎn)系在勢力作用下機(jī)械能保持不變。

6.6習(xí)題

6-1質(zhì)量m=2kg的重物M掛在長l=1m的繩子下端，已知重物受到水平?jīng)_擊力而獲得的速度為=5m/s，如圖6.36所示，試求該瞬時繩子的拉力。6-2小球重為P，用兩個細(xì)繩吊起，如圖6.37所示，已知細(xì)繩與鉛垂線的夾角為，現(xiàn)突然剪斷其中一根繩子，試求此時另一根繩子的拉力。

習(xí)題6-1圖習(xí)題6-2圖vMlBCAP6-3如圖所示，A、B兩物體的質(zhì)量分別為、，兩者用一根繩子連接，此繩跨過一滑輪，滑輪的半徑為，若初始時，兩物體的高度差為h，且＞，不計滑輪的質(zhì)量，試求兩個物體到達(dá)相同的高度時所需要的時間。6-4半徑為R的偏心凸輪，繞軸O以勻角速度轉(zhuǎn)動，推動導(dǎo)板沿鉛直軌道運(yùn)動，如圖所示。導(dǎo)板頂部放一質(zhì)量為m的物塊A，設(shè)偏心距為OC=e，初始時，OC沿水平線，試求物塊對導(dǎo)板的最大壓力以及使物塊不離開導(dǎo)板的角速度的最大值。

習(xí)題6-3圖習(xí)題6-4圖RAhBrORCωA6-5如圖所示，質(zhì)量為m的小球M，用兩根長為l的桿連接，此機(jī)構(gòu)以等角速度繞鉛直軸AB轉(zhuǎn)動，如AB=，桿的兩端均為鉸接，且不計桿的質(zhì)量，試求AM、BM桿所受的力。6-6套管A的質(zhì)量m，由繞過定滑輪B的繩索牽引而沿導(dǎo)軌上升，滑輪中心到導(dǎo)軌的距離為l，如圖所示。設(shè)繩索在電機(jī)的帶動下以速度向下運(yùn)動，忽略滑輪的大小及各處的摩擦，試求繩索的拉力與距離x的關(guān)系。

習(xí)題6-5圖習(xí)題6-6圖

MllBωAOBAxlvo6-7 動力牽引小船，如圖所示。河岸高h(yuǎn)=2m，小船質(zhì)量m=80kg，設(shè)水平牽引力大小和方向不變，F(xiàn)=1500N，初始時小船位于點(diǎn)B，

，

，初速度

，不計水的阻力。試求小船被拉過點(diǎn)時的速度。6-8如圖所示質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)O帶有電荷e，質(zhì)點(diǎn)在均勻的電場中

運(yùn)動，電場強(qiáng)度

，其中A、K均為常數(shù)。如已知質(zhì)點(diǎn)在

電場中所受到的力為

，其方向與E相同。設(shè)質(zhì)點(diǎn)的初速度為

，與x軸的夾角為，且坐標(biāo)原點(diǎn)取在初始位置，不計質(zhì)點(diǎn)的重力，試求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程。

習(xí)題6-7圖習(xí)題6-8圖bB′c0BhAFFOyEvOθx

6-9如圖所示質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，受指向O的力

的作用，力與質(zhì)點(diǎn)到點(diǎn)O的距離成正比。初始時，質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)

，

，速度的分量為

，

，試求質(zhì)點(diǎn)的軌跡。6-10物體自高度h處以速度為水平拋出，如圖所示?？諝庾枇σ暈榕c速度的一次方成正比，即

，K為常數(shù)，m為物體的質(zhì)量，試求物體的運(yùn)動方程和軌跡方程。

習(xí)題6-9圖習(xí)題6-10圖yxOrmx0Fv0mvhOxy6-11有一木塊質(zhì)量為2.3kg，放在光滑的水平面上。一質(zhì)量為0.014kg的子彈沿水平方向射入后，木塊以速度3m/s前進(jìn)，試求子彈射入前的速度。6-12跳傘者質(zhì)量為60kg，從停留在高空中的直升飛機(jī)中跳出，落下100m后，將傘打開。設(shè)開傘前的空氣阻力忽略不計，傘重不計，開傘后所受的阻力不變，經(jīng)5s后跳傘者的速度減為4.3m/s，試求阻力的大小。6-13電動機(jī)的質(zhì)量為M，放在光滑的基礎(chǔ)上，如圖所示。電動機(jī)的轉(zhuǎn)子長為2，質(zhì)量為，轉(zhuǎn)子的另一端固結(jié)一質(zhì)量為的小球，已知電動機(jī)的轉(zhuǎn)子以勻角速度轉(zhuǎn)動，試求：①電動機(jī)定子的水平運(yùn)動方程；②若將電動機(jī)固定在基礎(chǔ)上，作用在螺栓上的水平和豎直約束力的最大值。6-14如圖所示的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)，設(shè)曲柄OA以勻角速度繞O軸轉(zhuǎn)動，滑塊B沿水平方向滑動。已知OA=AB=l，OA及AB為均質(zhì)桿，其質(zhì)量均為，滑塊B的質(zhì)量為。試求：①系統(tǒng)質(zhì)心的運(yùn)動方程；②質(zhì)心的軌跡；③系統(tǒng)的動量。

習(xí)題6-13圖習(xí)題6-14圖OyxBAφCωvC6-15如圖所示質(zhì)量為的小車A，懸掛一質(zhì)量為的單擺B，單擺的擺長為l，按規(guī)律

擺動，其中k為常數(shù)。不計水平面的摩擦和擺桿的質(zhì)量，試求小車的運(yùn)動方程。6-16如圖所示的平臺車，車重為 kN，沿水平軌道運(yùn)動。平臺車上站一個人，重 N。車與人以相同的速度向右方運(yùn)動，若人以相對于平臺車的相對速度 m/s向左跳出，試求平臺車的速度增加了多少？

習(xí)題6-15圖習(xí)題6-16圖φBAQPv