初中數(shù)學(xué)公式

分?jǐn)?shù)

定義：兩個(gè)正整數(shù)p,q相除，可以用分?jǐn)?shù)B表示，即p+q=心其中P

Qq

為分子，q為分母。讀作q分之P.

1分?jǐn)?shù)與除法

性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母都乘以或者除以同一個(gè)不為零的數(shù)，所得的分

aaxka+n

數(shù)與原分?jǐn)?shù)的大小相等，S|J(bw0,kW0,nH0)

bbxkb+n

分?jǐn)?shù)的基本

2

性質(zhì)

定義L把一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母的公因數(shù)約去的過程，稱為約分。

定義2：分子和分母互質(zhì)的分?jǐn)?shù)，叫做最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

3約分

定義：兒個(gè)分?jǐn)?shù)分母的公倍數(shù)叫做公分母。

將異分母的分?jǐn)?shù)化成與原分?jǐn)?shù)大小相等的同分母的分?jǐn)?shù)，這個(gè)過稱叫做

通分。

4通分

不同類型分?jǐn)?shù)的比較：

同分母分?jǐn)?shù)，分子越大的分?jǐn)?shù)越大；

異分母分?jǐn)?shù)，應(yīng)通分之后，再比較大??；

同分子分?jǐn)?shù)，分母大的分?jǐn)?shù)反而小。

分?jǐn)?shù)的太小,111

5舉例：比較二，-

比較357

6分?jǐn)?shù)加減法原則：異分母相加減，先通分，然后按照同分母分?jǐn)?shù)加減法的法則再

進(jìn)行計(jì)算。

7分?jǐn)?shù)的種類定義：分子比分母小的分?jǐn)?shù)，叫做真分?jǐn)?shù)。

分子大于或者等于分母的分?jǐn)?shù)叫做假分?jǐn)?shù)。

一個(gè)正整數(shù)與一個(gè)真分?jǐn)?shù)相加所成的數(shù)叫做帶分?jǐn)?shù)。

8分?jǐn)?shù)的乘法原則：兩個(gè)分?jǐn)?shù)相乘，將分子相乘的積作積的分子，分母相乘的積作

積的分母；整數(shù)與分?jǐn)?shù)相乘，整數(shù)與分?jǐn)?shù)的分子的積作積的分子，分

母不變。

9分?jǐn)?shù)的除法原則：甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘以乙數(shù)的倒數(shù)，表示為：

mpmq.__八、

—+-=—X0,pH0,qW0）

nqnp廠1/

10有限小數(shù)要點(diǎn)：一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，如果分母中只含有素因數(shù)2或5,再無其他素

因數(shù)，那么這個(gè)分?jǐn)?shù)可以化成有限小數(shù)；否則，就不能化成有限小數(shù)。

舉例：三工不可以化成有限小數(shù)，因?yàn)樗鼈兊姆帜钢幸来魏?/p>

6141126

359

素因數(shù)3,7,11,13；而〉就可以化成有限小數(shù)。

44820

11循環(huán)小數(shù)定義1:一個(gè)小數(shù)從小數(shù)部分的某一位起，一個(gè)數(shù)字或幾個(gè)數(shù)字依次

不斷地重復(fù)出現(xiàn)，這個(gè)小數(shù)叫做循環(huán)小數(shù)。

定義2：一個(gè)循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分中依次不斷地重復(fù)出現(xiàn)的第一個(gè)最

少的數(shù)字組，叫做這個(gè)循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)。

書寫：一般小數(shù)的循環(huán)部分只寫出第一個(gè)循環(huán)節(jié)，再這個(gè)循環(huán)節(jié)的首

位和末位的數(shù)字上面各記一個(gè)圓點(diǎn)。

舉例：1.02002000200002...不是循環(huán)小數(shù)。

8.136363636...是循環(huán)小數(shù),循環(huán)節(jié)為“36”,寫作8.136

定義：把兩個(gè)數(shù)量的比值寫成」-的形式，稱為百分?jǐn)?shù)，也叫做百

100

分比或百分率，記作n%,讀作百分之n,符號(hào)％叫做百分號(hào)。

1百分?jǐn)?shù)

要點(diǎn)：百分比也是一種比值，是種分母為100的特殊分?jǐn)?shù)，可以

與分?jǐn)?shù)，小數(shù)互化。

舉例：30%讀作百分之三十，它有30個(gè)1%。

要點(diǎn)：將n%寫成」的形式，利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)化為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

百分?jǐn)?shù)化為最100

2

簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)459

舉例：和45%相等的分?jǐn)?shù)是一，即二二

10020

要點(diǎn)：小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)，將小數(shù)點(diǎn)向右移兩位，同時(shí)在右面添上百

分號(hào)。

百分?jǐn)?shù)與小數(shù)

3百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，將％號(hào)前數(shù)字的小數(shù)點(diǎn)向左移兩位，同時(shí)去

的互化

掉后面的百分號(hào)。

舉例：0.125=12.5%,1.5%=0.015

要點(diǎn)：通常先把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，再把小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)，遇到除不盡

小數(shù)化為百分時(shí)，一般保留三位小數(shù)。

4

數(shù)11

舉例：一=0.05=5%,一^0.111=11.1%

2011

有關(guān)生產(chǎn)和工作的百分比：

及格人數(shù)?

及格率-乂....X100%

總?cè)藬?shù)

人.士合格產(chǎn)品數(shù)?

合格率-五口乂也X100%

5常用百分率1產(chǎn)品總數(shù)

_._增加的產(chǎn)量

增產(chǎn)率-X「〃一，X100%

原來的產(chǎn)量

,2實(shí)際出勤J人數(shù)7

出勤率=--------------X100%

應(yīng)該出勤的人數(shù)

有關(guān)經(jīng)濟(jì)的百分比：

按原價(jià)八折銷售，就是原價(jià)的80%。

盈利率黑x100%==警X100%

成本成本

6常用百分率2

虧損率若X100%=成:售價(jià)x100%

成本成f本

舉例：一件衣服以原價(jià)的75%出售，售價(jià)150元，則原價(jià)

=150+75%=200

有關(guān)利稅的百分比：

利息=木金X利率X期數(shù)

舉例：存入銀行2000元，存期3年，已知年利率為5.4%,則可得

7常用百分率3

利息為：2000X5.4%x3

數(shù)的整除

定義：零和正整數(shù)統(tǒng)稱為自然數(shù)。正整數(shù)、零負(fù)整數(shù)，統(tǒng)稱為整數(shù)。

舉例：最小的自然數(shù)是0。

1整數(shù)最大的整數(shù)不存在。

零既不是正整數(shù)，也不是負(fù)整數(shù)。

定義：整數(shù)a除以整數(shù)b,如果除得的商是整數(shù)而余數(shù)為零，我們就

說a能被b整除，或者說b能整除a.

2整除要點(diǎn)：除數(shù)，被除數(shù)都是整數(shù)。

被除數(shù)除以除數(shù)，商是整數(shù)而且余數(shù)為零。

舉例：如果a+b=7,那么a不一定整除b,因?yàn)閍,b不一定為整數(shù)。

定義：整數(shù)a能被整數(shù)b整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的

因數(shù)（或約數(shù)）。

3因數(shù)和倍數(shù)舉例：甲數(shù)能夠被乙數(shù)整除，乙數(shù)能夠被丙數(shù)整除，則丙數(shù)是甲數(shù)

的因數(shù)。

要點(diǎn)：任何一個(gè)正整數(shù)的約數(shù)都包括1和它本身。

定義：能被2整除的整數(shù)叫做偶數(shù)，不能被2整除的整數(shù)叫做奇數(shù)。

要點(diǎn)：個(gè)位上是0,2,4,6,8的整數(shù)都能被2整除，個(gè)位上是1,3,5,7,9

4能被2整除的數(shù)的整數(shù)是奇數(shù)。

舉例：?個(gè)奇數(shù)與一個(gè)偶數(shù)的積一定是偶數(shù)；兩個(gè)奇數(shù)相乘的積一

定是奇數(shù)。

要點(diǎn)：1.個(gè)位上是。或5的整數(shù)都能被5整除；

2.如果?個(gè)數(shù)的各個(gè)數(shù)字之和能被3整除，則它也可以被3

能被3、5、9整整除；如果一個(gè)數(shù)的各個(gè)數(shù)字之和能被9整除，則它也可以被9整

5

除的數(shù)除

舉例：能同時(shí)被2和5整除的整數(shù)，其個(gè)位只能是0;

能夠被3整除的最小的四位數(shù)是1002.

定義：一個(gè)正整數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，這樣的數(shù)叫做

素?cái)?shù)（或質(zhì)數(shù)）；如果除了1和它本身以外還有別的因數(shù)，這樣的

6質(zhì)數(shù)和合數(shù)數(shù)叫做合數(shù)。

要點(diǎn)：1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。

1個(gè)合數(shù)至少有3個(gè)因數(shù)；1個(gè)質(zhì)數(shù)至多有.2個(gè)因數(shù)。

定義：每個(gè)合數(shù)都可以寫成兒個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式，其中每個(gè)質(zhì)數(shù)都

是這個(gè)合數(shù)的因數(shù)，叫做這個(gè)合數(shù)的質(zhì)因數(shù)，把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)

7分解質(zhì)因數(shù)

相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。

舉例：28=2x2x7

步驟：

1.先用一個(gè)能整除這個(gè)合數(shù)的素?cái)?shù)（從最小的開始）去除；

2,得出的商如果是合數(shù)，再按照上面的方法繼續(xù)除下去，知道得

出來的商是素?cái)?shù)為止。

8短除法

3.把各個(gè)除數(shù)利最后的商從小到大的順序?qū)懗蛇B乘的形式。

定義1:幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)；其中最大的一個(gè)

叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。

公因數(shù)和最大定義2：如果兩個(gè)整數(shù)只有公因數(shù)1,那么稱這兩個(gè)數(shù)互素（或互質(zhì)）。

9

公因數(shù)舉例：11,15,20的最大公因數(shù)是1,這三個(gè)數(shù)不是互質(zhì)的關(guān)系，因?yàn)榛?/p>

質(zhì)是對(duì)于兩個(gè)整數(shù)而說的。

要點(diǎn)：1,求幾個(gè)整數(shù)的最大公因數(shù)，只要把它們所有的質(zhì)因數(shù)連乘，

所得的積就是它們的最大公因數(shù)。

2,兩個(gè)整數(shù)中，如果某個(gè)數(shù)是另外一個(gè)數(shù)的因數(shù)，那么這個(gè)數(shù)

就是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。如果這兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，它們的最大公因數(shù)是

1.

10求最大公因數(shù)

舉例：24=2x2x^x3/

30=麗麗f以24和30的最大公因數(shù)是6

定義：幾個(gè)整數(shù)的公有的倍數(shù)叫做它們的公倍數(shù)，其中最小的一個(gè)叫做

它們的最小公倍數(shù)。

方法：求兩個(gè)整數(shù)的最小公倍數(shù)，只要取它們所有公有的質(zhì)因數(shù)，再取

它們各自剩余的質(zhì)因數(shù)，將這些數(shù)連乘，所得的積就是這兩個(gè)數(shù)的最小

公倍數(shù)和最小公倍數(shù)。

11

公倍數(shù)舉例：24=2x2y2x3/

30=2x3匠廠

所以24和30的最小公倍數(shù)=2x3x2x2x5=120

要點(diǎn)：

1.用短除法求兩個(gè)整數(shù)的最小公倍數(shù)，要除到兩個(gè)商互質(zhì)為止。

2.如果兩個(gè)整數(shù)中牟一個(gè)是另外一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，那么這個(gè)數(shù)就是它們

的最小公倍數(shù)，如果兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，那么它們的乘積就是它們的最小

12求最小公倍數(shù)公倍數(shù)。

3.兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)一定可以被它們的最大公約數(shù)整除。

比和比例

定義：a,b是兩個(gè)數(shù)或兩個(gè)同類的量，為了把a(bǔ),b相比較，將a和b

a

相除，叫做a與b的比，記作a：b,或?qū)懗?，其中b=0

b

1比和比值a叫做比的前項(xiàng)，b叫做比的后項(xiàng)。前項(xiàng)a除以后項(xiàng)b所得的商

叫做比值。

三者關(guān)系：

比的前項(xiàng)相當(dāng)于分?jǐn)?shù)的分子和除式中的被除數(shù)；

比的后項(xiàng)相當(dāng)于分?jǐn)?shù)的分母和除式中的除數(shù)；

比、分?jǐn)?shù)和除

2比值相當(dāng)于分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)值和除式中的商。

法

舉例：1.5m:60cm=150cm:60cm=2.5

求兩個(gè)同類量的比值時(shí)，如果單位不同，要先化為相同單位，再求比

值。

定義：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)(0除外)，比值不

變。用式子表示：

比的基本性

3a:b=ka:kb=|-^(k^0)

質(zhì)b+k''

定義：最簡(jiǎn)整數(shù)比是指比的前項(xiàng)與后項(xiàng)都是整數(shù)，且互質(zhì)；

性質(zhì)：1.如果a:b=m:n,b:c=n:k,那么，a:b:c=m:n:k

????.abc

2.如果k。o,那么a:b:c=ak:bk:ck=-

kkk

4三項(xiàng)連比

舉例：已知:a:b=l:3,b:c=4:7,求a:b:c?

首先，利用比的基本性質(zhì)將b所對(duì)應(yīng)的兩項(xiàng)的值統(tǒng)一，即

a:b=4:12,b:c=12:21,所以，a:b:c=4:12:21,關(guān)鍵是求3和4的最小公

倍數(shù)。

定義:a,b,c,d四個(gè)量中，如果a:b=c:d,那么就說a,b,c,d成比例,

其中，a,b,c,d分別叫做第一、二、三、四比例項(xiàng)，a和d叫

5比例做比例外項(xiàng)，b,c叫做比例內(nèi)項(xiàng)。

如果兩個(gè)比例內(nèi)項(xiàng)相同,即a:b=b:c時(shí)，把b叫做a和c的

比例中項(xiàng)。

ac

基本性質(zhì)：如果a:b=c:d或者［=1那么ad=bc,即外項(xiàng)之積等于內(nèi)

bd

ac

項(xiàng)之積。反之，如果a,b,c,d都不為零，且a:b=c:d或工=：.

bd

6比例的性質(zhì)

舉例：如果熱=2則ax5=bx11.

利用比例求未知項(xiàng)：

若一個(gè)比例式中含有一個(gè)未知數(shù)，則可以利用比例的基本性質(zhì)進(jìn)行求

解。

比例中的未

7

知項(xiàng)舉例：己知6:x=1.5:7,則L5x=6x7,所以x的值為28.

比例法解應(yīng)用題：

根據(jù)題意列出比例式，然后利用比例的基本性質(zhì)求未知數(shù)的值。

舉例：張精密零件圖紙上的比例尺是5:1,如果在圖紙上測(cè)得一條線

段長(zhǎng)度為25毫米，求實(shí)際長(zhǎng)度？

可設(shè)實(shí)際長(zhǎng)度為X,由圖紙的比例尺可得：

8比例的應(yīng)用5:1=25毫米：x,于是x=5mm

要點(diǎn)：比例尺指的是圖紙上的距離和實(shí)際距離的比。

從自然數(shù)到有理數(shù):

1.自然數(shù)與分?jǐn)?shù)

定義：像0,1,2,3,4等這樣的數(shù)被稱為自然數(shù)，它包括正整數(shù)和0.

定義：分?jǐn)?shù)可以看成兩個(gè)整數(shù)相除，分?jǐn)?shù)都可以化成小數(shù)。

2.正數(shù)和負(fù)數(shù)

定義：我們把一種意義的量規(guī)定為正，用過去學(xué)的數(shù)（零除外）表示，這樣的數(shù)叫

做正數(shù)。

定義：我們把另一種與之意義相反的量規(guī)定為負(fù)，用過去的數(shù)（零除外）前面放上

負(fù)號(hào)“一”來表示，這樣的數(shù)，叫做負(fù)數(shù)。

3.正數(shù)和負(fù)數(shù)0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)。

4.有理數(shù)

定義：正整數(shù)，零和負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)。

定義：正分?jǐn)?shù)、零和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)。

定義：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。

舉例：從負(fù)有理數(shù)的集合中去掉所以負(fù)分?jǐn)?shù)，得到負(fù)整數(shù)的集合。

5.數(shù)軸

定義：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸，0為原點(diǎn)。

一切有理數(shù)都可以在數(shù)軸上的點(diǎn)表示

舉例：1.數(shù)軸上原點(diǎn)左邊的每個(gè)點(diǎn)表示一個(gè)負(fù)數(shù)。

2.從數(shù)軸上看，0大于一切負(fù)數(shù)，0小于一切正數(shù)。

3.數(shù)軸上離開原點(diǎn)2個(gè)單位長(zhǎng)度的數(shù)是2或2

6.相反數(shù)

定義：如果兩個(gè)數(shù)只有符號(hào)不同，那么我們稱其中一個(gè)數(shù)是另外一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，0的

相反數(shù)是0.

要點(diǎn)：再數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)(零除外)的兩個(gè)點(diǎn)，位于原點(diǎn)的兩側(cè)，并且到原點(diǎn)

的距離相等。

舉例：1.7的相反數(shù)是-7；

2.如果一個(gè)數(shù)的相反數(shù)是最小的正整數(shù)，則這個(gè)數(shù)是-1.

3.若一(a-4)是負(fù)數(shù)，貝Ua-4>0;

4.若a,b互為相反數(shù)，則2015(a+b)=0.

7.絕對(duì)值

定義：我們把一個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值。

比如：數(shù)a的絕對(duì)值為lai.

求法：1.一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；

2.一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；

3.0的絕對(duì)值是0.

舉例：1.在有理數(shù)中，絕對(duì)值最小的數(shù)是0;

2.絕對(duì)值等于它本身的有無數(shù)個(gè)；

3.若lal>a,則a<0;

4.若l-xl=l-7l,那么x=7或-7.

8.非負(fù)數(shù)

定義：正數(shù)和0統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)。比如lalNO,所以⑶一定是非負(fù)數(shù)。

要點(diǎn)：1.最小的非負(fù)數(shù)是0,沒有最大的非負(fù)數(shù)；

2,非負(fù)數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；

3.若干個(gè)非負(fù)數(shù)的和，積，商仍是非負(fù)數(shù)；

4.若干個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0,那么這若干個(gè)非負(fù)數(shù)都必須為0.

舉例：如果lal+lb-2l=0,那么a=0,b=2.

9.有理數(shù)的大小比較

方法：借助有理數(shù)的數(shù)軸表示和絕對(duì)值

原則工：再數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右面的數(shù)總比左邊的數(shù)大，正數(shù)都大于0,負(fù)數(shù)都小

于0,正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；

原則2:兩個(gè)正數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的數(shù)大；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而小。

舉例：-9<-7

有理數(shù)及其運(yùn)算:

法則：

1.同號(hào)兩數(shù)相加，取原來的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；

10加法12.異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去

較小的絕對(duì)值?；橄喾磾?shù)的兩數(shù)相加等于0；

3.任何數(shù)與0相加仍得這個(gè)數(shù)。步驟：先確定和的符號(hào)，再求和的值。

舉例：1,若m>0,n<0八且則m+n>0;若m>0,n<0,且Imklnl,則

m+n<0.

11加法2

2.有理數(shù)中，所有的整數(shù)和為0；

3ab兩數(shù)相加，如果和小于任一加數(shù)，貝lJa<0,b<0.

加法交換律：兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變；

加法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，或者先把后兩個(gè)數(shù)相

加法運(yùn)算力口，和不便；

12

律結(jié)合技巧：互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)可以結(jié)合在一起；可以湊整的書可以

結(jié)合在一起；同分母的可以結(jié)合在一起；正數(shù)與正數(shù)結(jié)合，負(fù)數(shù)與負(fù)

數(shù)結(jié)合.

法則：減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，用字母表示：

a-b=a+(-b);

13減法1符號(hào)判定：較大的數(shù)減去較小的數(shù)，差為正數(shù)；

較小的數(shù)減去較大的數(shù)，差為負(fù)數(shù)；

若被減數(shù)與減數(shù)相等，差為0.

舉例：若則m>0;

14減法2若b<0,則a,a+b,a-b中最大的數(shù)是()。答案：a-b

一般步驟：

1.利用減法法則，將減法運(yùn)算統(tǒng)一成加法運(yùn)算。

減法混合

152.省略各加數(shù)的括號(hào)和它前面的加號(hào)，簡(jiǎn)化算式。

運(yùn)算

3.運(yùn)用加法交換律和結(jié)合律簡(jiǎn)化計(jì)算。

舉例：(—7)一(一5)—(+11)+(-2)=-7+5—11一2

法則：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)；并把絕對(duì)值相乘。任何數(shù)與

0相乘都得0.

積的符號(hào)確定：1.幾個(gè)不等于0的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)

16乘法

決定。當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正；

然后再把它們的絕對(duì)值相乘；

2.幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0,積就為0.

乘法交換律：兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變；

乘法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或者先把后兩個(gè)數(shù)相

乘法運(yùn)算乘，積不變。

17

律舉例:ab=ba;(ab)c=a(bc)

分配律：一個(gè)數(shù)與兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把一個(gè)數(shù)分別與這兩個(gè)數(shù)相

乘，再把積相加。a(b+c)=ab+ac

定義：乘積為1的兩個(gè)有理數(shù)互為倒數(shù)。0沒有倒數(shù)

18倒數(shù)

舉例：倒數(shù)是它本身的數(shù)是1或-1;若a,b互為倒數(shù)，則ab=l.

法則：1,兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。0除以

任何不等于0的數(shù)都得0；

19除法

2.除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

定義：求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做幕，

即a-a……a=a，這里a叫底數(shù)，n叫指數(shù)。

符號(hào)法則：L正數(shù)的任何次幕都是正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次寤是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)

20乘方

的偶次嘉是正數(shù)，。的任何次累都是0.

2.1和0的平方是它本身，1和-1和0的立方是它本身

11

定義：把一個(gè)數(shù)記成±axIO的形式(其中a是大于或等于1而小于

科學(xué)計(jì)數(shù)10的數(shù)，n為整數(shù))，則稱這種方法為科學(xué)計(jì)數(shù)法。

21

法舉例：6180000用科學(xué)計(jì)數(shù)法可以表示為：6.18X106；

若51720000用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示為ax10,則a=5.172,n=7

法則：先算乘方，再算乘除，最后算加減，如果有括號(hào)，先算括號(hào)里

面的運(yùn)算，按小括號(hào)，中括號(hào)，大括號(hào)依次進(jìn)行。

有理數(shù)混

22

合運(yùn)算

舉例：(一276-I)$+(_27)6)x(-X22)答案3

82

定義1:與實(shí)際完全符合的數(shù)叫做準(zhǔn)確數(shù)；

定義2：與實(shí)際接近的數(shù)叫近似數(shù)；

近似數(shù)與定義3：一般的，一個(gè)近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說這個(gè)近似數(shù)精

23

精確度確到哪一位。

舉例：近似數(shù)2.50精確到百分位，它的真值x的范圍是2.495Wx<

2.505

定義：一個(gè)近似數(shù)，從左邊第一個(gè)不是零的數(shù)字起，到末位數(shù)字為止

的所有數(shù)字，都叫做這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字。

24有效數(shù)字舉例：數(shù)5972300保留1個(gè)有效數(shù)字為：6X106;

20,045700有8個(gè)有效數(shù)字。

定義：用基本的運(yùn)算符號(hào)把數(shù)，表示數(shù)的字母連接而成的式子，叫做

代數(shù)式。

25代數(shù)式舉例：下面是代數(shù)式的是：

1h

q2

X^O,—/S=nr,2x—3<0,l—3a+-

書寫格式：

1.數(shù)字與數(shù)字相乘，用"X"號(hào)；

2.數(shù)字與字母或字母與字母相乘，用“?“，或省略不寫；

26書寫格式

3.數(shù)字寫在字母前面，且多個(gè)字母按字母表順序排列書寫；

4.帶分?jǐn)?shù)與字母相乘，應(yīng)把帶分?jǐn)?shù)寫成假分?jǐn)?shù)；

5.除的關(guān)系，一般用分?jǐn)?shù)形式表示；

舉例:1.正確寫出小的格式：立

書寫格式

27

22.一輛汽車行駛了s千米，用了t小時(shí),則平均速度為6)km/h

定義：把問題與數(shù)量有關(guān)的詞語，用含有數(shù)，字母和運(yùn)算符號(hào)的式子

表示出來，叫做列代數(shù)式。

28列代數(shù)式

a

舉例：某商品現(xiàn)價(jià)a元，比原來低了30%,則原價(jià)為：------

1-30%

定義：一般的，用樹枝代替代數(shù)式的字母，按照代數(shù)式的指明的運(yùn)算，

代數(shù)式的計(jì)算出的結(jié)果，叫做代數(shù)式的值。

29

值步驟：(1)代入；(2)計(jì)算

定義：字母前的數(shù)字因數(shù)叫做系數(shù)。

在一個(gè)代數(shù)式中，用“+-”符號(hào)連接的每一個(gè)乘積形式的式子稱為

項(xiàng)。

30系數(shù)與項(xiàng)

舉例：-2x2yz4的系數(shù)是一2；x2—2x+l含有3項(xiàng)

定義：所含字母相同，并旦相同字母的次數(shù)也相同的項(xiàng)，叫做同類項(xiàng)。

常數(shù)項(xiàng)都是同類項(xiàng)。

31同類項(xiàng)舉例：若-2xm+iy3和3x4yi-n是同類項(xiàng)，則m=()n=()

答案：3,-2

定義：把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng)。

合并同類

32法則：同類項(xiàng)的系數(shù)相加1,所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)

項(xiàng)

不變。

法則1：括號(hào)前是+,把括號(hào)和前面的+去掉，括號(hào)里各項(xiàng)都不變符號(hào)；

去括號(hào)法

33

則2.括號(hào)前是-，把括號(hào)和前面的-去掉，括號(hào)里各項(xiàng)都改變符號(hào)；

舉例：(x2-X+5)-(4X2+2X-2)=

法則1:添括號(hào)后，在括號(hào)前面是+號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變符號(hào)；

法則2：添括號(hào)后，再括號(hào)前面是-號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào)；

222

添括號(hào)法舉例：x-2x+b=+(x-2x+b)=—(-x+2x-b)

34

則

方程類

1.等式

用符號(hào)=來表示相等關(guān)系的式子，叫做等式。

基本性質(zhì)：

a.等式兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)式子，所得的結(jié)果仍是等式。

b.等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)數(shù)，（除數(shù)不能是0）,所得的結(jié)果仍是等式。

舉例：a,b,c分別表示三個(gè)數(shù)

若a=b,則a±c=b±c;（加減）

若2=＞則ac=bc;（乘法）

ab

若a=b,則一=一（除法）

CC

2.方程

定義：含有未知數(shù)的等式，叫做方程。

3.方程的解

定義：能使方程兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做方程的解，求方程解的過程叫做解方程。

解的分類：

解可以是一個(gè)數(shù)，也可以是幾個(gè)數(shù)，或無窮多個(gè)數(shù)，或無解。

4.一元一次方程

定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1，未知數(shù)的系數(shù)不等于0的方程，叫

一元一次方程。

方程形式：ax+b=0（其中x是未知數(shù)，a,b是已知數(shù)，并且aK0）是元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)

形式。Ax=b（a^O）是一元一次方程的最簡(jiǎn)形式。

5.移項(xiàng)

定義：把方程的某一項(xiàng)，從方程的一邊移到另一邊，這種變形叫做移項(xiàng)。

6.解一元一次方程

步驟：解一元?次方程分化簡(jiǎn)，移項(xiàng)合并，系數(shù)化為1三大步驟來實(shí)現(xiàn)。

要點(diǎn)：1.化簡(jiǎn)包含去分母和去括號(hào)兩個(gè)步驟，解方程先化簡(jiǎn)方程；

2.一般將含有未知數(shù)的項(xiàng)移到等號(hào)左邊，不含有未知數(shù)的項(xiàng)移到右邊，合并就是

將幾項(xiàng)加減變成一項(xiàng)。

b

3.將方程的最簡(jiǎn)形式ax=b變成X=-,稱作系數(shù)化為1.

a

7.含參數(shù)的一元一次方程的解法

分類討論：

1.不含待定系數(shù)的方程3x=b,直接解方程，得x=3

2.含待定系數(shù)的方程ax=b，討論a,b的取值

（1）當(dāng)a=O,b=O時(shí)，方程的解為任意數(shù)（或無數(shù)解）；

（2）當(dāng)a=O,bHO時(shí)，方程無解；

（3）當(dāng)"。時(shí)，方程的解為x=*

8.絕對(duì)值方程

定義：絕對(duì)值號(hào)內(nèi)含有未知數(shù)，這樣的方程稱為絕對(duì)值方程。

舉例：lxl-l=0,l3-xl=7

9.二元一次方程

定義：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1,叫做二元一次方程。

使二元一次方程等號(hào)兩邊值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值叫做二元一次方程的解。

要點(diǎn)：1.兩個(gè)二元一次方程可以組成一個(gè)二元一次方程組。

10.三元一次方程組

定義：含有三個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1的三個(gè)方程組合在一起，就是三元一

次方程組。

延展：含有n個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1的n個(gè)方程組和在一起，就是門元一-

次方程組。

11.不定方程

定義：所謂不定方程，是指未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程個(gè)數(shù)的方程或方程組

舉例：3x+4y=4,是二元一次不定方程。

12.解不定方程

定義：求特定不定方程所有的解，就叫做解不定方程。

舉例：3x+y=15（x>0,y>0,且x,y都是整數(shù)），這個(gè)不定方程要求解必須是正整數(shù)，它有有限

組解。

要點(diǎn)：不定方程的解為無窮多組，當(dāng)不定方程的解受到約束時(shí)，解可能為有限組，并可

以求解。

13.解方程的主要方法：

A:代入消元法

B:加減消元法：變形二元方程組的一個(gè)或兩個(gè)方程，使得其中一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相反或

相等，再將兩個(gè)方程相加或相減，實(shí)現(xiàn)消元，從而求得這個(gè)方程組的解的方法，叫做加

減消元法。

14.不等式

定義：用不等號(hào)H,>,<,2,W來表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式。

含義：不等式x>0,即x大于零，表示x是正數(shù)；

不等式x<0,即x小于零，表示x是負(fù)數(shù)；

不等式X20,即x大于等于零，表示x是非負(fù)數(shù)；

不等式XW0,即小于等于零，表示x是非正數(shù)；

不等式xH0,表示x不等于0.

15.不等式的基本性質(zhì)

性質(zhì)：

1.不等式兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或式子，不等號(hào)方向不變；

2.不等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變；

3.不等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變。

15.不等式性質(zhì)應(yīng)用

一般不等式的推導(dǎo)

1.若2a-b<a+c,等式兩邊同時(shí)減去a-b,得a<b+c;

ab

2.若一<-,c>0”等式兩邊同時(shí)乘以c,得a<b;

CC

3.若ac>bc,c<0,等式兩邊同時(shí)除以c,得a<b;

含有2和W的推導(dǎo)

1.若a>b,c>0,則acNbc,因?yàn)閏>0時(shí)有ac>bc,c=0時(shí)有ac=bc;

2.若a>,c<0,則acWbc,因?yàn)閍>b時(shí)有ac<bc,a=b時(shí)有ac=bc.

16.不等式的分類

分類：

1.條件不等式：不等式中字母取特定值時(shí)，不等式才成立；

2.絕對(duì)不等式：不等式中字母取任意值時(shí)，不等式都成立；

3.矛盾不等式：不等式中祖密取任意值時(shí)，不等式都不成立。

舉例：x+4<6是條件不等式；

x2+l>x2-l是絕對(duì)不等式；

a2+l<0是矛盾不等式。

17.不等式的傳遞性

定義：不等式反應(yīng)數(shù)的大小關(guān)系，是由數(shù)的大小關(guān)系的傳遞性可得不等式的傳遞性。

描述：

1.若a>b,b>c,則a>c;

2.若a<b,b<c,貝Ua<c;

特殊

1.若a>b,b>c,則a>c;

2.若2b,b2c,則aNc,當(dāng)a=b,b=c時(shí)，a=c.

18.不等式的解和解集

定義1：使得不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。

定義2：不等式的所有解的全體組成的集合，叫做不等式的解集。

舉例：對(duì)于不等式x+3>2,

當(dāng)x=2時(shí)，不等式成立，所有x=2是不等式的解；

當(dāng)x>-l時(shí)，，不等式成立，當(dāng)xW-l時(shí)，不等式不成立

所以不等式的解集是x>-l.不等式的解集分有解和無解。

19.一元一次不等式

定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式。

形式：ax+b>0或ax+b<0（其中ar0）

20.一元一次不等式組

定義1.幾個(gè)不等式組合起來，構(gòu)成的就是不等式組。

2.把幾個(gè)未知數(shù)相同的一元一次不等式組合起來，構(gòu)成的就是一元一次不等式組。

21.不等式的解集

定義：不等式組幾個(gè)不等式解集的公共部分，叫做該不等式組的解集。

求解集：

1.同是大于，則大于大數(shù)；

2.同是小于，則小于小數(shù)；

3.一大一小，取中間，矛盾則無解。

22.一元一次不等式的解法

步驟：解一元一次不等式分化簡(jiǎn)，移項(xiàng)與合并，系數(shù)化為1三個(gè)步驟來實(shí)現(xiàn)。

要點(diǎn)：

1.化簡(jiǎn)包含去分母和取括號(hào)兩個(gè)步驟，解不等式先化簡(jiǎn)不等式；

2.一般將含有未知數(shù)的項(xiàng)移到不等式左邊，不含未知數(shù)的項(xiàng)移到右邊，合并就是

將幾項(xiàng)加減變成一項(xiàng)；

3.將不等式的未知數(shù)的系數(shù)變?yōu)?.

方程類

23.絕對(duì)值不等式

定義：絕對(duì)值號(hào)內(nèi)含有未知數(shù)，這樣的不等式叫絕對(duì)值不等式。

24.一元二次方程

定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。

一般形式：ax2+bx+c=0(aW0),其中ax2是二次項(xiàng)，bx是一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng)。

舉例：x2一工4不是一元二次方程，因?yàn)楣な欠质?，所以不是一元二次方程?/p>

XX

25.一元二次方程的分類

定義：1.包含二次項(xiàng)，一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)的一元二次方程我們稱為完全的一元二次方程。

2.缺少一次項(xiàng)或常數(shù)項(xiàng)的一元二次方程，稱為不完全的?元二次方程。

26.直接開平方法解一元二次方程

對(duì)形如x2=a(a>0)的一元二次方程，可以用直接開平方法求解

延展：等式兩邊是完全平方形式的一元二次方程，可用開平方法求解。

舉例：(1僅2=5,直接開平方得，x=±V5;

(2)(x-1)2=9,直接開平方得，x-l=±3;

(3)X2=(3-x)2,直接開平方得,x=±(3-x)

27.配方法解一元二次方程

定義：通過配方，將方程一邊化為一個(gè)完全平方式，另一邊為非負(fù)實(shí)數(shù)，然后用直接開

平方法求解的方法叫配方法。

延展：等式兩邊配方成完全平方形式，也是配方法。

28.配方法步驟

配方法解方程:2X2-8X-1=0

第一步：二項(xiàng)式系數(shù)化為1,得到X2-4XQ=0

第二步：常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)、一次項(xiàng)分居等式兩側(cè)，得到x2-4xg;

第三步：添常數(shù)項(xiàng)配方，方程兩邊添加常數(shù)項(xiàng)4,等式左邊配方得(X-2)2=$4;

第四步：直接開平方求解，得x-2=±￥，兩根分別為：

Xl=2+-^-;x2=2-

28.一元一次方程的求根公式

定義：一元二次方程ax2+bx+c=O(aRO)的根與各項(xiàng)系數(shù)a,b,c的關(guān)系式為：

--b+Vb2-4ac

x=-=------------

2a

(其中b2-4acZ0),這個(gè)式子就是一元二次方程的求根公式

其中△=b2-4ac稱作一元二次方程的判別式

判別式的作用：

當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，由求根公式可知，方程有兩個(gè)實(shí)根；

當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，由求根公式可知，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根；

當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，由求根公式可知，方程沒有實(shí)根。

29.用求根公式法解一元二次方程

定義：用求根公式法解一元二次方程的方法叫做求根公式法。

步驟：

(1)將一元二次方程化為一般形式ax2+bx+c=0(a^0);

(2)確定a,b,c的值，判斷判別式b2-4ac的符號(hào)；

(3)若判別式b2-4ac",則將a,b,c的值代人求根公式

--b+Vb2-4ac

x=-------------，若判別式b2-4ac<0,則方程無解。

2a

30因式分解法解一元二次方程

定義：將含有未知數(shù)的整式因式分解成兩個(gè)一次式的乘積等于。的形式，再使這兩個(gè)一

次式分別等于0,這樣解一元二次方程的方法，叫因式分解法。

要點(diǎn)：將方程ax2+bx+c=0的左邊因式分解，化為a(x-H(xf)=0的形式，此時(shí)有x-a=o

或x?0=O,所以方程的根為xl=a;x2=p.

整式

定義：對(duì)數(shù)字和若干字母進(jìn)行有限次乘法運(yùn)算，所得的代數(shù)式叫做單

項(xiàng)式。

單項(xiàng)式定

1舉例：下列式中是單項(xiàng)式的是：

義

①I；②0；③-5M+n;④射;⑤x;需答案：②④⑤

定義:一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。

次數(shù)與系定義單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)。

22：

數(shù)

定義：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式，其中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的

項(xiàng)；次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)，不含字母的項(xiàng)叫

做常數(shù)項(xiàng)。

3多項(xiàng)式舉例：多項(xiàng)式芋是1次2項(xiàng)式；

多項(xiàng)式2ax4-x2y-z+3是5次4項(xiàng)式。

定義：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式。

4整式

定義：所含字母相同，并且相同字母的次數(shù)也相同的項(xiàng)，叫做同類項(xiàng)。

常數(shù)項(xiàng)都是同類項(xiàng)。

5同類項(xiàng)

舉例：若-2xm+iy3和3x，yi-n是同類項(xiàng)，則m=n=

定義：把一個(gè)多項(xiàng)式，按某一個(gè)字母的指數(shù)從小到大的順序排列起來，

升幕降幕叫做把這個(gè)多項(xiàng)式按這個(gè)字母升幕排列；

6

排列定義：把一個(gè)多項(xiàng)式，按某一個(gè)字母的指數(shù)從大到小的順序排列起來，

叫做把這個(gè)多項(xiàng)式按這個(gè)字母降塞排列；

定義：把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng)。

合并同類法則：同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不

7

項(xiàng)變。

法則1：括號(hào)前是+，把括號(hào)和它前面的+號(hào)去掉，括號(hào)里各項(xiàng)都不變符

去括號(hào)法號(hào)；

8

則2：括號(hào)前是-，把括號(hào)和它前面的一號(hào)去掉，括號(hào)里各項(xiàng)都改變

符號(hào)。

法則1:添括號(hào)后，括號(hào)前面是+,括到括號(hào)里各項(xiàng)都不變號(hào)；

2：添括號(hào)后，括號(hào)前面是-，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變

9添括號(hào)法則

符號(hào)。

舉例：x2-2x+b=+(x2-2x+b)=-(-x2+2x-b)

原則：幾個(gè)整式相加減，通常用括號(hào)把每一個(gè)整式括起來，再

10整式加減用加減號(hào)連接，然后去括號(hào)，合并同類項(xiàng)。

舉例：?jiǎn)雾?xiàng)式-4ab,5ab,a2的和是a2+ab;

法則：同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，用字母表示就是

am?an=am+n(m,n都是正整數(shù))

11同底數(shù)密的乘法

舉例：x2?x3-x=()答案：x6

(X-y)2?(x-y)?(x-y)=(x-y)4.

法則：累的乘法，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，用字母表示就是：

12事的乘方(am)n=amn(m,n都是正整數(shù))

舉例：(a2)m=a2m;

法則：積的乘方，等于把積的每個(gè)因式分別乘方，再把所得的

幕相乘，用字母表示：

13積的乘方(ab)n=an?bn(n為正整數(shù))

3

舉例：(a2b)=a6b3;

定義：?jiǎn)雾?xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對(duì)于

只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)

14單項(xiàng)式乘法因式。

舉例：6ax2y,(-iab3x3)=6x(-1)?a1+1b3x2+3?y=-^a2b3x5y

定義：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一