2024-2025學(xué)年河南省鶴壁高中高三（上）第二次月考數(shù)學(xué)試卷（9月份）（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年河南省鶴壁高中高三（上）第二次月考數(shù)學(xué)試卷（9月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)，且當(dāng)x<0時(shí)，f(x)>0.給出以下四個(gè)結(jié)論：①f(0)=0；②f(x)可能是偶函數(shù)；③f(x)在[m,n]上一定存在最大值f(n)；④f(x?1)>0的解集為{x|x<1}.共中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為(

)A.1 B.2 C.3 D.42.已知a=log47，b=log930，c=eln32A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.c<b<a3.定義在R上的奇函數(shù)y=f(x)滿足f(3)=0，且當(dāng)x>0時(shí)，不等式f(x)>?xf′(x)恒成立，則函數(shù)g(x)=xf(x)+lgA.1 B.2 C.3 D.44.設(shè)甲袋中有3個(gè)紅球和4個(gè)白球，乙袋中有1個(gè)紅球和2個(gè)白球，現(xiàn)從甲袋中任取1球放入乙袋，再?gòu)囊掖腥稳?球，記事件A=“從甲袋中任取1球是紅球”，事件B=“從乙袋中任取2球全是白球”，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.P(B)=914 B.P(AB)=67

C.P(A|B)=15 5.將函數(shù)y=x?12cos2x+12，x∈[0,π4]的圖像繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角，得到曲線C.A.12 B.ππ+2 C.236.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若acosB=c2，且|CA+CBA.π6 B.π3 C.π47.油紙傘是中國(guó)傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，北京市文化宮開展油紙傘文化藝術(shù)節(jié)．活動(dòng)中，某油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場(chǎng)地上，如圖所示，該拿傘沿是一個(gè)半徑為2的圓，圓心到傘柄底端距離為2，當(dāng)陽(yáng)光與地面夾角為60°時(shí)，在地面形成了一個(gè)橢圓形影子，且傘柄底端正好位于該橢圓的長(zhǎng)軸上，若該橢圓的離心率為e，則e2=A.19 B.7?23 C.3?28.已知R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)的函數(shù)圖象如圖所示，則不等式xf′(x)>0的解集為(

)A.(?1,0)∪(1,+∞)

B.(?∞,?2)∪(1,2)

C.(?∞,?1)∪(1,+∞)

D.(?1,1)∪(2,+∞)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知復(fù)數(shù)z1，z2滿足|z1?4i|=|z1?5i|，|z2?1+2i|=2(i為虛數(shù)單位A.|z2?z?1|的最小值為12

B.|z2?z1|10.將兩個(gè)各棱長(zhǎng)均為1的正三棱錐D?ABC和E?ABC的底面重合，得到如圖所示的六面體，則(

)A.該幾何體的表面積為332

B.該幾何體的體積為36

C.過(guò)該多面體任意三個(gè)頂點(diǎn)的截面中存在兩個(gè)平面互相垂直

11.已知集合A，B滿足B={(x,y,z)|x+y+z=11，x，y，z∈A}，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.若A={?2,0,1,13}，則B中的元素的個(gè)數(shù)為1

B.若A={x|x=2k+1,k∈N}，則B中的元素的個(gè)數(shù)為15

C.若A=N+，則B中的元素的個(gè)數(shù)為45

D.若A=N，則B三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知某地只有A，B兩個(gè)品牌的計(jì)算機(jī)在進(jìn)行降價(jià)促銷活動(dòng)，售后保修期為1年，它們?cè)谑袌?chǎng)的占有率之比為3：2.根據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，這兩個(gè)品牌的計(jì)算機(jī)在使用一年內(nèi)，A品牌有5%需要維修，B品牌有6%需要維修．若某人從該地隨機(jī)購(gòu)買了一臺(tái)降價(jià)促銷的計(jì)算機(jī)，則它在一年內(nèi)不需要維修的概率為

．13.若點(diǎn)P(x,y)是曲線3x2+2314.已知θ∈(0,π2)，sin(θ?π4四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=ex，g(x)=f(1?x)+f(1+x)．

(1)判斷函數(shù)g(x)的奇偶性并予以證明；

(2)若存在x使得不等式g(x)?m成立，求實(shí)數(shù)m16.(本小題15分)

為了解不同人群夏天戶外運(yùn)動(dòng)的情況，分別從甲、乙兩個(gè)單位隨機(jī)選出幾名職工，統(tǒng)計(jì)了他們的夏天戶外運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)，得到以下數(shù)據(jù)(單位：小時(shí))：

甲單位：25，26，32，33，34，36，46，47，50，55；

乙單位：15，16，22，23，24，26，36，37，40．

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，用樣本估計(jì)總體，且每名職工的戶外運(yùn)動(dòng)情況相互獨(dú)立．

(Ⅰ)現(xiàn)要對(duì)乙單位中夏天戶外運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)不足20小時(shí)的職工進(jìn)行體檢，已知乙單位共有1800名職工，試估計(jì)乙單位此次參加體檢的職工人數(shù)．

(Ⅱ)從甲單位職工中隨機(jī)抽取2人、乙單位職工中隨機(jī)抽取1人，記X為這3人中夏天戶外運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)不少于35小時(shí)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(Ⅲ)設(shè)樣本中甲單位職工戶外運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的方差為s12、乙單位職工戶外運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的方差為s22，寫出s12與17.(本小題15分)

如圖，在三棱錐A?BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O為BD的中點(diǎn)，△OCD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，且VA?BCD=36．

(1)證明：OA⊥CD；

(2)在棱AD上是否存在點(diǎn)E，使二面角E?BC?D的大小為18.(本小題17分)

已知圓M：(x+5)2+y2=9的圓心為M，圓N：(x?5)2+y2=1的圓心為N，一動(dòng)圓與圓N內(nèi)切，與圓M外切，動(dòng)圓的圓心E的軌跡為曲線C．

(1)證明：曲線C為雙曲線的一支；

(2)已知點(diǎn)P(2,0)19.(本小題17分)

設(shè)函數(shù)y=F(x)的定義域?yàn)镮，若x0∈I，曲線y=F(x)在x=x0處的切線l與曲線y=F(x)有n個(gè)公共點(diǎn)，則稱(x0,F(x0))為函數(shù)F(x)的“n度點(diǎn)”，切線l為一條“n度切線”．

(1)判斷點(diǎn)(1,f(1))是否為函數(shù)f(x)=x?2x?3lnx的“2度點(diǎn)”，說(shuō)明理由；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=ex+ax2?ex．

①直線參考答案1.B

2.C

3.C

4.C

5.A

6.C

7.D

8.A

9.ACD

10.AC

11.BCD

12.0.946

13.1214.?215.解：(1)函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，

證明：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ex，g(x)=f(1?x)+f(1+x)，

所以g(x)=f(1?x)+f(1+x)=e1?x+e1+x，

又因?yàn)間(x)的定義域?yàn)镽，對(duì)于?x∈R，都有?x∈R，

而且g(?x)=e1?x+e1+x=g(x)，

所以g(x)為偶函數(shù)．

(2)因?yàn)榇嬖趚使得不等式g(x)?m成立，

所以有g(shù)(x)min?m，

由基本不等式可得g(x)=e1?x+e16.解：(Ⅰ)樣本中有9名乙單位職工，其中有2人的戶外運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)不足20小時(shí)，

所以乙單位中夏天戶外運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)不足20小時(shí)的職工的概率約為29，

故乙單位約有1800×29=400名職工參加此次體檢；

(Ⅱ)從甲單位中隨機(jī)選出1人，其夏天戶外運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)不少于35小時(shí)的概率為510=12，

從乙單位中隨機(jī)選出1人，其夏天戶外運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)不少于35小時(shí)的概率為39=13，

由題設(shè)，X的可能取值為0，1，2，3，

則X0123P1511所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0×16+1×512+2×13+3×112=43；

(Ⅲ)17.(1)證明：∵AB=AD，O為BD中點(diǎn)，∴OA⊥BD；

∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，OA⊥BD，

∴OA⊥平面BCD，因?yàn)镃D?平面BCD，∴OA⊥CD．

(2)解：取CD，BC中點(diǎn)G，F(xiàn)，連接OG，OF，

建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，

∵S△BCD=12×2×32=32，∴VA?BCD=13S△BCD?OA=36OA=36，解得：OA=1，

∴B(12,?32,0)，C(12,32,0)，D(?12,32,0)，A(0,0,1)，∴BC=(0,3,0)，AD=(?12,32,?1)，AB=(12,?32,?1)，18.解：(1)證明：易知圓M的圓心為M(?5,0)，圓N的圓心為N(5,0)，

設(shè)圓E的圓心為E(x,y)，半徑為r，

因?yàn)閳AM半徑為3，圓N半徑為1，

所以|EM|=r+3，|EN|=r?1，

此時(shí)|EM|?|EN|=4<|MN|=25，

由雙曲線定義可知，E的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)、實(shí)軸長(zhǎng)為4的雙曲線的右支，

又M(?5,0)，N(5,0)，

所以動(dòng)圓的圓心E的軌跡方程為x24?y2=1(x≥2)，

即曲線C的方程為x24?y2=1(x≥2)；

(2)設(shè)直線l的方程為x=my+t，A(x1,y1)，B(x2,y2)，x1≥2，x2≥2，

聯(lián)立x=my+tx24?y2=1，消去x并整理得(m2?4)y2+2mty+t2?4=0，

此時(shí)m2?4≠0且Δ=16(m219.解：(1)點(diǎn)(1,f(1))為函數(shù)f(x)=x?2x?3lnx的“2度點(diǎn)”，理由如下：

因?yàn)閒(x)=x?2x?3lnx，所以f′(x)=1+2x2?3x，f′(1)=0，

則函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,?1)處的切線方程l：y=?1，

將切線l的方程與f(x)=x?2x?3lnx聯(lián)立得x?2x?3lnx+1=0，

記?(x)=x?2x?3lnx+1，

因?yàn)?′(x)=1+2x2?3x=x2?3x+2x2=(x?1)(x?2)x2，

當(dāng)1<x<2時(shí)，?′(x)<0，當(dāng)0<x<1和x>2時(shí)，?′(x)>0，

則?(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,2)上單調(diào)遞減，

所以?(x)在x=1處取得極大值，?(1)=0，

?(x)在(1,2)上單調(diào)遞減，在(2,+∞)上單調(diào)遞增，

所以?(x)在x=2處取得極小值，

?(2)=2?3ln2=lne2?ln8，因?yàn)閑2<8，所以?(2)<0，

又因?yàn)?(e2)=e2?2e2?6+1=e2?2e2?5>0，

所以?(x)在(2,+∞)上存在唯一零點(diǎn)，

則點(diǎn)(1,f(1))為函數(shù)f(x)=x?2x?3lnx的“2度點(diǎn)”．

(2)①設(shè)直線y=2x?1與曲線y=g(x)相切于點(diǎn)P(x1,2x1?1)，

因?yàn)間(x)=ex+ax2?ex，所以g′(x)=ex+2ax?e，

則2x1?1=ex1+ax12?ex1ex1+2ax1?e=2，整理得ex1(x1?2)+ex1+2x1?2=0，

對(duì)于給定函數(shù)p(x)我們定義它的導(dǎo)數(shù)為