2.4.2平面向量及運算的坐標表示課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

第二章平面向量及其應(yīng)用4.2平面向量及運算的坐標表示高中同步學(xué)案優(yōu)化設(shè)計GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI北師大版

數(shù)學(xué)

必修第二冊目錄索引基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升成果驗收·課堂達標檢測課程標準1.理解平面向量坐標的概念,會求平面向量的坐標.2.掌握平面向量的坐標運算法則,會進行坐標運算.3.掌握用坐標表示兩向量共線的條件,能運用兩向量共線的條件解決相關(guān)問題.基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)知識點一

平面向量的坐標表示如圖,在平面直角坐標系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i,j作為

.對于坐標平面內(nèi)的任意向量a,以坐標原點O為起點作

唯一性

因此,a=xi+yj.我們把(x,y)稱為向量a在標準正交基{i,j}下的坐標,向量a可以表示為a=(x,y).標準正交基

名師點睛1.在正交基下向量的線性表示稱為正交分解.2.向量與坐標的關(guān)系:3.向量的坐標和這個向量終點的坐標不一定相同.當且僅當向量的起點是原點時,向量的坐標和這個向量終點的坐標才相同.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)任意一個確定的向量的坐標是唯一的.(

)(2)與x軸、y軸正方向相同的兩個單位向量坐標分別為i=(1,0),j=(0,1).(

)(3)當向量的起點在坐標原點時,向量的坐標就是向量終點的坐標.(

)(4)相等向量的坐標相同.(

)(5)向量的平移會影響向量的坐標.(

)2.正交分解與平面向量基本定理有何聯(lián)系?√√√√×提示

正交分解是平面向量基本定理的特殊形式(基中的兩個向量互相垂直).知識點二

平面向量運算的坐標表示1.加法:設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a+b=

,即兩個向量和的坐標等于這兩個向量相應(yīng)坐標的和.

2.減法:設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a-b=

,即兩個向量差的坐標等于這兩個向量相應(yīng)坐標的差.

3.數(shù)乘:設(shè)a=(x1,y1),λ∈R,則λa=

,即實數(shù)與向量數(shù)乘的坐標等于這個實數(shù)與向量的相應(yīng)坐標的乘積.

4.設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2),則

=

,即一個向量的坐標等于其終點的坐標減去起點的坐標.

(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(λx1,λy1)(x2-x1,y2-y1)5.中點坐標公式:若點A(x1,y1),點B(x2,y2),線段AB的中點M的坐標為(x,y),則

名師點睛1.進行平面向量的坐標運算時,應(yīng)先將平面向量用坐標的形式表示出來,再根據(jù)向量的坐標運算規(guī)則進行計算.2.進行平面向量坐標運算時,先掌握向量坐標與向量起點、終點坐標的關(guān)系.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)若a=(1,2),b=(-2,-1),則2a+b=(0,3).(

)(2)在平面直角坐標系內(nèi),若A(x1,y1),B(x2,y2),則向量

=(x1-x2,y1-y2).(

)√×2.已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),則向量

=(

)

A.(-2,-1) B.(-2,1)C.(-1,0) D.(-1,2)D3.已知向量a=(2,-3),b=(1,2),p=(9,4),若p=ma+nb,則m+n=

.7知識點三

平面向量平行的坐標表示在平面直角坐標系中,a=(x1,y1),b=(x2,y2),向量a,b(b≠0)共線的充要條件是

.

x1y2-x2y1=0名師點睛1.相等向量的坐標是相同的,但是兩個相等向量的起點、終點的坐標可以不同.2.若兩個向量(與坐標軸不平行)平行,則它們相應(yīng)的坐標成比例,反之也成立.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)向量a,b(b≠0)共線的充要條件是x1y1-x2y2=0.(

)(2)若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a∥b,則

.(

)××2.[人教A版教材習題]已知|a|=3,b=(1,2),且a∥b,求a的坐標.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一求平面向量的坐標【例1】

(1)設(shè)i=(1,0),j=(0,1),a=3i+4j,b=-i+j,求a+b與a-b的坐標.解

因為a=3i+4j,b=-i+j,所以a+b=(3i+4j)+(-i+j)=2i+5j,a-b=(3i+4j)-(-i+j)=4i+3j.又i=(1,0),j=(0,1),所以a+b與a-b的坐標分別是(2,5),(4,3).(2)已知△ABC的三個頂點分別是A(4,6),B(7,6),C(1,8),D為BC的中點,求向量

的坐標.規(guī)律方法

1.若i,j是分別與x軸、y軸同方向的單位向量,則當a=xi+yj時,向量a的坐標為(x,y).2.向量的坐標等于其終點的坐標減去起點的坐標,只有當向量的起點在坐標原點時,向量的坐標才等于終點的坐標.3.求向量的坐標一般轉(zhuǎn)化為求點的坐標.解題時,常常結(jié)合幾何圖形,利用三角函數(shù)的定義和性質(zhì)進行計算.探究點二平面向量的坐標運算【例2】

(1)已知向量a=(1,2),b=(3,-4),c=(-2,6),試求a+3b,3a-2b+c;規(guī)律方法

進行平面向量的坐標運算時,應(yīng)先將向量用坐標表示出來.一般地,已知向量起點和終點的坐標,可以求出該向量的坐標.求一個點的坐標時,可以轉(zhuǎn)化為求該點相對于坐標原點的向量的坐標.變式訓(xùn)練2(1)若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),則c等于(

)A.3a+b B.3a-bC.-a+3b D.a+3bB探究點三平面向量平行的條件及應(yīng)用【例3】

已知a=(1,2),b=(-3,2),當k為何值時,ka+b與a-3b平行?平行時它們是同向還是反向?解

(方法一)ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).當ka+b與a-3b平行時,存在唯一的實數(shù)λ,使ka+b=λ(a-3b),即(k-3,2k+2)=λ(10,-4),(方法二)由方法一知ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4).∵ka+b與a-3b平行,規(guī)律方法

1.由向量共線求參數(shù)值的方法:2.a∥b(b≠0)的充要條件有兩種表達方式:(1)a∥b?a=λb(λ∈R);(2)設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b?x1y2-x2y1=0.變式訓(xùn)練3已知A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3),判斷

是否共線?如果共線,它們的方向相同還是相反?本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)平面向量的坐標表示;(2)平面向量的加、減、數(shù)乘運算的坐標表示;(3)兩個向量共線的坐標表示.2.方法歸納:轉(zhuǎn)化與化歸.3.常見誤區(qū):兩個向量共線的坐標表示的公式易記錯.成果驗收·課堂達標檢測1234567891011121314A級必備知識基礎(chǔ)練1.已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且c=λ1a+λ2b,則λ1,λ2的值分別為(

)A.-2,1 B.1,-2C.2,-1 D.-1,2D解析

因為c=λ1a+λ2b,所以(3,4)=λ1(1,2)+λ2(2,3).12345678910111213142.已知向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示,用基{a,b}表示c,則(

)A.c=3a-2b

B.c=-3a+2bC.c=-2a+3b

D.c=2a-3bA解析

如圖建立平面直角坐標系,設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長為1,則a=(1,1),b=(-2,3),c=(7,-3),所以c=3a-2b.12345678910111213143.[2023重慶開州]已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,則2a+3b=(

)A.(-4,-8) B.(-8,-16) C.(4,8) D.(8,16)A解析

∵a∥b,∴1×m=2×(-2),∴m=-4,∴b=(-2,-4),∴2a+3b=(2,4)+(-6,-12)=(-4,-8).故選A.1234567891011121314A.(1,2) B.(-1,-2)C.(3,6) D.(-3,-5)A12345678910111213145.(多選)在平面上的點A(2,1),B(0,2),C(-2,1),D(0,0),下列結(jié)論正確的是(

)BC123456789101112131412345678910111213146.已知a=(2,4),b=(-1,1),則2a-3b=

.

(7,5)解析

2a-3b=2(2,4)-3(-1,1)=(4+3,8-3)=(7,5).123456789101112131412345678910111213148.已知向量a=(2,1),b=(-1,3),c=(x,y).(1)若a+b+c=0,求實數(shù)x,y的值;(2)若非零向量c與a-b共線,求

的值.解(1)由題意可知c=-(a+b),∴c=-(1,4)=(-1,-4),即x=-1,y=-4.(2)由題意得a-b=(3,-2),∵c∥(a-b),∴-2x-3y=0,1234567891011121314B級關(guān)鍵能力提升練AC12345678910111213141234567891011121314D1234567891011121314C1234567891011121314123456789101112131413.如圖所示,已知點A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB的交點P的坐標.12345678910111213141234567891011121314所以-6(x-2)+2(6-y)=0.②解由①②組成的方程組,得x=3,y=3,所以點P的坐標為(3,3).12