蘇科版2024-2025學年九年級數(shù)學上冊2.21對稱圖形-圓(全章知識梳理與考點分類講解)(學生版+解析)（含答案解析）

專題2.21對稱圖形——圓（全章知識梳理與考點分類講解）第一部分【知識點歸納】【知識點一】點和圓的位置關(guān)系點在圓外，；點在圓上，；點在圓內(nèi)，；【知識點二】四量定理在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弦、兩條弧、兩條弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等.【知識點三】垂徑定理及其推論垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩條弧.垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.【知識點四】圓周角定理及其推論圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對的弧上的圓心角的一半.推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等.推論2：直徑所對的圓周角是直角；圓周角所對的弦是直徑.推論3：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角.【知識點五】直線和圓的位置關(guān)系直線和圓的位置關(guān)系：（圓心到直線距離為，圓的半徑為）相交：直線與圓有兩個公共點，；相切：直線與圓有一個公共點，；相離：直線與圓無公共點，.【知識點六】直線和圓的位置關(guān)系切線定理：圓的切線垂直于過切點的半徑.切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.切線的判定方法：直線與交點個數(shù)；直線到圓心的距離與半徑關(guān)系；切線的判定定理.【知識點七】切線長定理（1）切線長定理：過圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線，這兩條切線的夾角.（2）弦切角定理：弦切角等于它所夾弧所對的圓周角.【知識點八】確定圓的條件（1）經(jīng)過兩點可作無數(shù)個圓，這些圓的圓心在這兩點連線的垂直平分線上.（2）不在同一條直線上的三個點確定一個圓.【知識點九】圓的外心與內(nèi)心（1）外心：三角形外接圓的圓心叫三角形的外心.外心是三角形三邊垂直平分線的交點，它到三角形各頂點的距離相等.（2）銳角三角形的外心在三角形內(nèi)，直角三角形的外心是斜邊重點，鈍角三角形的外心在三角形外部。（3）三角形的一個內(nèi)角等于它另外兩個角頂點與外心連線夾角的一半.（4）內(nèi)心：內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做內(nèi)心，它的性質(zhì)是到三角形三邊的距離相等?！局R點十】三角形內(nèi)切圓半徑與三角形三邊關(guān)系（1）三角形的一個內(nèi)角等于它另外兩個角頂點與內(nèi)心連線夾角減去再乘以2..（2）三角形周長為，面積為，內(nèi)切圓半徑為,則.（3）直角三角形兩直角邊分別是，斜邊為，內(nèi)切圓半徑為，則.【知識點十一】相交弦定理、切割線定理、割線定理（1）相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等.如圖1，是的兩條弦且交于點，則.圖1圖2圖3（2）切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。如圖2，是的切線，線段交于兩點，則.（3）割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓交點的兩條線段長的積相等。如圖3，線段交于兩點，交于兩點，則.【知識點十二】正多邊形與圓、弧長公式、扇形面積公式、圓錐的側(cè)面積公積（1）正變形的圓心角為度.（2）弧長計算公式：在半徑為的圓中，的圓心角所對的弧長計算公式為.（3）如果扇形的半徑為，圓心角為，那么扇形面積的計算公式為.（4）如果扇形的半徑為，弧長為，那么扇形面積的計算公式為.（5）圓錐的母線長為l，底面半徑為r，側(cè)面展開圖中的扇形圓心角為n°，則圓錐的側(cè)面積，圓錐的全面積:.

第二部分【題型展示與方法點撥】【題型1】圓的基礎(chǔ)知識【例1】（2022·江蘇南京·中考真題）如圖，在中，，點、在上，，過、、三點作，連接并延長，交于點．（1）求證：；（2）若，，，求的半徑長．【變式1】（22-23九年級上·江蘇連云港·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，，，半徑為4，P為上任意一點，E是的中點，則的最大值是（

）A．6 B．7 C．8 D．9【變式2】（23-24九年級上·江蘇連云港·階段練習）如圖，點A，B，C在上，四邊形是平行四邊形，若，則四邊形的面積為．【題型2】弧、弦、圓心角、圓周角的關(guān)系及垂徑定理【例2】（2024九年級下·浙江·專題練習）如圖，在直角坐標系中，直線與坐標軸相交于點A，B，過點O，A的與該直線相交于點C，連結(jié)，．（1）求點E到x軸的距離．（2）連結(jié)，求的長．【變式1】（2024·新疆烏魯木齊·模擬預(yù)測）如圖，在半徑為5的圓O中，，是互相垂直的兩條弦，垂足為P，且，則的長為（）A．3 B．4 C． D．【變式2】（2024九年級下·浙江·專題練習）如圖，點在半徑長為4的上，點分別是弦，弦的中點，連接，若弧的度數(shù)為，弧的度數(shù)為，則的長度為．【題型3】與圓有關(guān)的位置關(guān)系【例3】（2024·云南·模擬預(yù)測）如圖，是的直徑，點，在上，，交的延長線于點，延長交的延長線于點，連接，平分．

（1）求證：是的切線；（2）若點為的中點，的半徑為，求的長．【變式1】（2023九年級下·上?！ｎ}練習）如圖，在中，，，，點在邊上，，的半徑長為，與相交，且點在外，那么的半徑長可能是（

）

A．r=1 B． C． D．【變式2】（2024·河南周口·模擬預(yù)測）如圖，在中，是邊上的一點，以為直徑的經(jīng)過點，且是的切線．若半徑，，則的長為．【題型4】圓中有關(guān)的計算【例4】（23-24九年級上·海南海口·期末）如圖，的直徑為，弦為，的平分線交于點D，（1）求的度數(shù)；（2）求的長；（3）求，的長．【變式1】（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，平面直角坐標系中，正六邊形的頂點A，B在x軸上，頂點F在y軸上，若，則中心P的坐標為（

）A． B．（1，） C．（2，2） D．（3，2）【變式2】（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）如圖，已知中，，，，點是邊上的動點，以為直徑作，連接交于點，則的最小值．【題型5】圓與其他知識的綜合運用【例5】（2024·江蘇淮安·模擬預(yù)測）如圖，點是的直徑延長線上一點，，繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，點旋轉(zhuǎn)到點，連接交于點，連接．（1）判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若，求陰影部分的面積．【變式1】（2024·重慶·模擬預(yù)測）如圖，內(nèi)接于，為的直徑，直線與相切于點，過點作，交于點，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式2】（2024·浙江嘉興·二模）如圖，銳角三角形內(nèi)接于于點D，連結(jié)并延長交線段于點E（點E不與點B，D重合），設(shè)（m，n為正數(shù)），則m關(guān)于n的函數(shù)表達式為第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·江西·中考真題）如圖，是的直徑，，點C在線段上運動，過點C的弦，將沿翻折交直線于點F，當?shù)拈L為正整數(shù)時，線段的長為．【例2】（2024·山東東營·中考真題）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，點在上，點是的中點，，垂足為點D，的延長線交的延長線于點F．（1）求證：是的切線；（2）若，，求線段的長．2、拓展延伸【例1】（2024·四川瀘州·模擬預(yù)測）如圖，中，，點O為的外心，，，是的內(nèi)切圓．則的長為（

）A．2 B．3 C． D．【例2】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，中，，D在線段上，連，以為的直徑交于P，，當D在線段上自C向B運動的過程中，點P運動的路徑長是（

）A．3 B． C． D．專題2.21對稱圖形——圓（全章知識梳理與考點分類講解）第一部分【知識點歸納】【知識點一】點和圓的位置關(guān)系點在圓外，；點在圓上，；點在圓內(nèi)，；【知識點二】四量定理在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弦、兩條弧、兩條弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等.【知識點三】垂徑定理及其推論垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩條弧.垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.【知識點四】圓周角定理及其推論圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對的弧上的圓心角的一半.推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等.推論2：直徑所對的圓周角是直角；圓周角所對的弦是直徑.推論3：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角.【知識點五】直線和圓的位置關(guān)系直線和圓的位置關(guān)系：（圓心到直線距離為，圓的半徑為）相交：直線與圓有兩個公共點，；相切：直線與圓有一個公共點，；相離：直線與圓無公共點，.【知識點六】直線和圓的位置關(guān)系切線定理：圓的切線垂直于過切點的半徑.切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.切線的判定方法：直線與交點個數(shù)；直線到圓心的距離與半徑關(guān)系；切線的判定定理.【知識點七】切線長定理（1）切線長定理：過圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線，這兩條切線的夾角.（2）弦切角定理：弦切角等于它所夾弧所對的圓周角.【知識點八】確定圓的條件（1）經(jīng)過兩點可作無數(shù)個圓，這些圓的圓心在這兩點連線的垂直平分線上.（2）不在同一條直線上的三個點確定一個圓.【知識點九】圓的外心與內(nèi)心（1）外心：三角形外接圓的圓心叫三角形的外心.外心是三角形三邊垂直平分線的交點，它到三角形各頂點的距離相等.（2）銳角三角形的外心在三角形內(nèi)，直角三角形的外心是斜邊重點，鈍角三角形的外心在三角形外部。（3）三角形的一個內(nèi)角等于它另外兩個角頂點與外心連線夾角的一半.（4）內(nèi)心：內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做內(nèi)心，它的性質(zhì)是到三角形三邊的距離相等?！局R點十】三角形內(nèi)切圓半徑與三角形三邊關(guān)系（1）三角形的一個內(nèi)角等于它另外兩個角頂點與內(nèi)心連線夾角減去再乘以2..（2）三角形周長為，面積為，內(nèi)切圓半徑為,則.（3）直角三角形兩直角邊分別是，斜邊為，內(nèi)切圓半徑為，則.【知識點十一】相交弦定理、切割線定理、割線定理（1）相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等.如圖1，是的兩條弦且交于點，則.圖1圖2圖3（2）切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。如圖2，是的切線，線段交于兩點，則.（3）割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓交點的兩條線段長的積相等。如圖3，線段交于兩點，交于兩點，則.【知識點十二】正多邊形與圓、弧長公式、扇形面積公式、圓錐的側(cè)面積公積（1）正變形的圓心角為度.（2）弧長計算公式：在半徑為的圓中，的圓心角所對的弧長計算公式為.（3）如果扇形的半徑為，圓心角為，那么扇形面積的計算公式為.（4）如果扇形的半徑為，弧長為，那么扇形面積的計算公式為.（5）圓錐的母線長為l，底面半徑為r，側(cè)面展開圖中的扇形圓心角為n°，則圓錐的側(cè)面積，圓錐的全面積：.

第二部分【題型展示與方法點撥】【題型1】圓的基礎(chǔ)知識【例1】（2022·江蘇南京·中考真題）如圖，在中，，點、在上，，過、、三點作，連接并延長，交于點．（1）求證：；（2）若，，，求的半徑長．【答案】(1)見解析(2)的半徑為5【分析】（1）連接、、、，先證明，得到，再由，可得垂直平分，即，（2）設(shè)求的半徑為，由（1）可知為中點，則，利用勾股定理求出，再求出，，，由勾股定理建立方程，解得，則的半徑為5．解：（1）證明：連接、、、，∵，∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴垂直平分，即，（2）解：設(shè)求的半徑為，由（1）可知，∴為中點，為中點，∴，在中，，在中，，，，∵∴，解得，∴的半徑為5．【點撥】本題主要考查了三線合一定理，線段垂直平分線的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，圓的基本性質(zhì)等等，靈活運用所學知識是解題的關(guān)鍵．【變式1】（22-23九年級上·江蘇連云港·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，，，半徑為4，P為上任意一點，E是的中點，則的最大值是（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】本題考查點與圓的位置關(guān)系，坐標與圖形的性質(zhì)，三角形的中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是利用中位線和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半輔助線，屬于中考選擇題中的壓軸題．如圖，連接，取的中點，連接，．利用三角形的中位線定理可得，再求出OH，從而得出．當點O、H、E三點共線，且點H在O、E之間時，的最大值．解：如圖，連接，取的中點，連接，．，，，，，，，∴當點O、H、E三點共線，且點H在O、E之間時，的最大值，故選：B．【變式2】（23-24九年級上·江蘇連云港·階段練習）如圖，點A，B，C在上，四邊形是平行四邊形，若，則四邊形的面積為．【答案】【分析】證明四邊形是菱形，連接，得到是等邊三角形，過點作交于點，利用等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理，求出，利用菱形的面積公式進行求解即可．解：∵點A，B，C在上，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是菱形，∴，連接，過點作交于點，則，∴為等邊三角形，∴，∴，∴四邊形的面積為：；故答案為：．【點撥】本題考查菱形了圓的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握菱形的判定方法以及等邊三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【題型2】弧、弦、圓心角、圓周角的關(guān)系及垂徑定理【例2】（2024九年級下·浙江·專題練習）如圖，在直角坐標系中，直線與坐標軸相交于點A，B，過點O，A的與該直線相交于點C，連結(jié)，．（1）求點E到x軸的距離．（2）連結(jié)，求的長．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。部疾榱藞A周角定理、勾股定理和一次函數(shù)圖象上點的坐標特征．（1）過點作軸于點，先確定，再根據(jù)垂徑定理得到，然后利用勾股定理計算出即可；（2）連結(jié)，，如圖，先求出，則可判斷為等腰直角三角形，所以，再根據(jù)圓周角定理得到，所以為等腰直角三角形，于是根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可求出的長．解：（1）解：過點作軸于點，如圖，當時，，解得，，，，在中，，點到軸的距離為；（2）連結(jié)，，如圖，當時，，，，為等腰直角三角形，，，為等腰直角三角形，．【變式1】（2024·新疆烏魯木齊·模擬預(yù)測）如圖，在半徑為5的圓O中，，是互相垂直的兩條弦，垂足為P，且，則的長為（）A．3 B．4 C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了垂徑定理以及勾股定理，作出輔助線是解題的關(guān)鍵．作于M，于N，連接，，首先利用勾股定理求出的長，然后判定四邊形是正方形即可得到答案．解：作于M，于N，連接，，由垂徑定理得勾股定理得：，弦互相垂直，，于M，于N，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，故選：D．【變式2】（2024九年級下·浙江·專題練習）如圖，點在半徑長為4的上，點分別是弦，弦的中點，連接，若弧的度數(shù)為，弧的度數(shù)為，則的長度為．【答案】【分析】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，三角形中位線定理以及勾股定理的運用，題目的綜合性較強，解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線構(gòu)造直角三角，連接，作于點，根據(jù)已知得，可得，，所以，再根據(jù)是的中位線，即可得出答案．解：連接，作于點，∵弧的度數(shù)為，弧的度數(shù)為，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∵點分別是弦，弦的中點，∴是的中位線，∴．故答案為：．【題型3】與圓有關(guān)的位置關(guān)系【例3】（2024·云南·模擬預(yù)測）如圖，是的直徑，點，在上，，交的延長線于點，延長交的延長線于點，連接，平分．

（1）求證：是的切線；（2）若點為的中點，的半徑為，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題考查了圓周角定理，切線的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)的知識．（1）連接，則，得到，結(jié)合平分可推出，根據(jù)平行線的性質(zhì)并結(jié)合，交的延長線于點，即可證明；（2）連接，則，由圓周角定理和角平分線的定義可推出是等邊三角形，得到，，推出，得到，最后由勾股定理即可求解．解：（1）證明：如圖，連接，則，

，平分，，，，

，，交AE的延長線于點，，，即，是的半徑，是的切線；（2）解：如圖，連接，則，

由（1）知，，，點為的中點，，，

是等邊三角形，，，

由（1）知是的切線，，，

，，．【變式1】（2023九年級下·上?！ｎ}練習）如圖，在中，，，，點在邊上，，的半徑長為，與相交，且點在外，那么的半徑長可能是（

）

A．r=1 B． C． D．【答案】B【分析】連接交于，根據(jù)勾股定理求出的長，從而求出的長，再根據(jù)相交兩圓的位置關(guān)系得出的范圍即可．解：連接交于，如圖，

在中，由勾股定理得：，則，，，與相交，且點在外，必須，即只有選項B符合題意，故選：B．【點撥】本題考查了相交兩圓的性質(zhì)，點與圓的位置關(guān)系，勾股定理等知識點，能熟記相交兩圓的性質(zhì)和點與圓的位置關(guān)系的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2024·河南周口·模擬預(yù)測）如圖，在中，是邊上的一點，以為直徑的經(jīng)過點，且是的切線．若半徑，，則的長為．【答案】【分析】本題考查了切線的性質(zhì)—“圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑”，也考查了圓周角定理和勾股定理．掌握切線的性質(zhì)和圓周角定理是解本題的關(guān)鍵．連接，如圖，先根據(jù)切線的性質(zhì)得到，則可計算出，再判斷為等邊三角形得到，接著利用圓周角定理得到，然后根據(jù)勾股定理計算的長．解：連接，如圖，是的切線，，，，，，為等邊三角形，，為直徑，，．故答案為：．【題型4】圓中有關(guān)的計算【例4】（23-24九年級上·海南?？凇て谀┤鐖D，的直徑為，弦為，的平分線交于點D，（1）求的度數(shù)；（2）求的長；（3）求，的長．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了圓的相關(guān)概念，勾股定理，角平分線的性質(zhì)，熟記“直角所對的圓周角為”是解題關(guān)鍵．（1）直接根據(jù)圓周角定理即可求解；（2）根據(jù)勾股定理求解即可；（3）根據(jù)角平分線得出，再由同一圓內(nèi)，圓周角和弦的關(guān)系確定，利用勾股定理即可求解解：（1）解：是的直徑，，；（2），；（3）是的平分線，，，在中，，，，，．【變式1】（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，平面直角坐標系中，正六邊形的頂點A，B在x軸上，頂點F在y軸上，若，則中心P的坐標為（

）A． B．（1，） C．（2，2） D．（3，2）【答案】A【分析】此題考查了正多邊形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，連接，作于Q，由正六邊形的性質(zhì)得到，得到，勾股定理求出，再證得四邊形是矩形，得到，即可得到點P的坐標解：如圖，連接，作于Q，由正六邊形的性質(zhì)可得．在中，．∴．∵∴四邊形是矩形，∴，∴點P的坐標為．【變式2】（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）如圖，已知中，，，，點是邊上的動點，以為直徑作，連接交于點，則的最小值．【答案】/【分析】連接，由以為直徑作，，，得，，即可得動點在以中點為圓心，2為半徑的圓上運動，當，，在一直線上時，，故．本題主要考查了勾股定理，圓周角定理，圓中動點問題，解題關(guān)鍵是動中抓不變．解：連接，由以為直徑作，，，得，，得動點在以中點為圓心，2為半徑的圓上運動，當，，在一直線上時，，故，即的最小值，故答案為：．【題型5】圓與其他知識的綜合運用【例5】（2024·江蘇淮安·模擬預(yù)測）如圖，點是的直徑延長線上一點，，繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，點旋轉(zhuǎn)到點，連接交于點，連接．（1）判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若，求陰影部分的面積．【答案】(1)是的切線；見解析(2)【分析】此題考查了切線的判定與性質(zhì)、扇形面積的計算，熟練切線的判定與性質(zhì)、扇形面積的計算是解題的關(guān)鍵．（1）連接，根據(jù)題意推出是等邊三角形，進而推出是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)求出，則，根據(jù)切線的判定定理即可得解；（2）根據(jù)陰影部分的面積求解即可．解：（1）證明：如圖，連接，根據(jù)題意得，，，是等邊三角形，，，是等邊三角形，，，，，，，，，，是的半徑，是的切線；（2）解：，，，，，，陰影部分的面積．【變式1】（2024·重慶·模擬預(yù)測）如圖，內(nèi)接于，為的直徑，直線與相切于點，過點作，交于點，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，等邊對等角，直角三角形的兩個銳角互補，連接，根據(jù)為的直徑，得出，進而可得，再根據(jù)等邊對等角，得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，進而即可求解．解：如圖所示，連接，∵為的直徑，∴，∵∴，又∵∴，∵，∴，∵直線與相切于點C，∴，∴，故選：B．【變式2】（2024·浙江嘉興·二模）如圖，銳角三角形內(nèi)接于于點D，連結(jié)并延長交線段于點E（點E不與點B，D重合），設(shè)（m，n為正數(shù)），則m關(guān)于n的函數(shù)表達式為【答案】【分析】設(shè)，得到，，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到，根據(jù)平角的定義即可得到結(jié)論．本題考查了三角形的外接圓與外心，三角形內(nèi)角和公式，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．解：連接，設(shè)，，，，，，，，，，故答案為：．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·江西·中考真題）如圖，是的直徑，，點C在線段上運動，過點C的弦，將沿翻折交直線于點F，當?shù)拈L為正整數(shù)時，線段的長為．【答案】或或2【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，折疊的性質(zhì)，根據(jù)，可得或2，利用勾股定理進行解答即可，進行分類討論