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通州區(qū)2023—2024學(xué)年第一學(xué)期高三年級(jí)期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷2023年11月本試卷共4頁(yè),共150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效.考試結(jié)束后,請(qǐng)將答題卡交國(guó).第一部分(選擇題共40分)一、選擇題共10小題,每小題4分,共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合,,則()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意,由交集的運(yùn)算,即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)榧?,,則.故選:B2.已知復(fù)數(shù),則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡(jiǎn)即可求解.詳解】,故對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,在第三象限,故選:C3.已知向量,,,則下列結(jié)論中正確的是()A. B.C. D.與的夾角為120°【答案】D【解析】【分析】利用向量平行,向量數(shù)量積,向量模,向量夾角的坐標(biāo)表示驗(yàn)證各選項(xiàng)正誤即可得答案.【詳解】A選項(xiàng),因,則與平行,故A錯(cuò)誤;B選項(xiàng),因,故B錯(cuò)誤;C選項(xiàng),,又,則,故C錯(cuò)誤;D選項(xiàng),,又,則,即與的夾角為120°,故D正確.故選:D.4.已知函數(shù),則()A.當(dāng)且僅當(dāng),時(shí),有最小值B.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),有最小值2C.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),有最小值D.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),有最小值.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意,由基本不等式,代入計(jì)算,即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋瑒t,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即時(shí),等號(hào)成立,所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),有最小值2.故選:B5.下列命題中的假命題是()A., B.,C., D.,【答案】C【解析】【分析】對(duì)于A,根據(jù)指數(shù)的值域?yàn)榭膳袛啵粚?duì)于B,取可判斷;對(duì)于C,取可判斷;對(duì)于D,取可判斷.【詳解】對(duì)于A,因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)的值域?yàn)?,所以,,A對(duì);對(duì)于B,當(dāng)時(shí),,B對(duì);對(duì)于C,當(dāng)時(shí),,C錯(cuò);對(duì)于D,當(dāng)時(shí),,D對(duì).故選:C.6.已知,,,則()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得,,又,從而可得.【詳解】因?yàn)椋?,即,因?yàn)?,所以,即,而,所?故選:B.7.在平面直角坐標(biāo)系中,角以為始邊,則“角的終邊過點(diǎn)”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義即可判斷.【詳解】當(dāng)角的終邊過點(diǎn)時(shí),根據(jù)三角函數(shù)的定義,可得,充分性成立;當(dāng)時(shí),為第二象限角或第四象限角,若為第四象限角,則角的終邊不過點(diǎn),必要性不成立.所以“角的終邊過點(diǎn)”是“”的充分不必要條件.故選:A.8.下列函數(shù)中,在區(qū)間上單調(diào)遞減的是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求導(dǎo)可判斷A,根據(jù)指數(shù)函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判定BC,根據(jù)函數(shù)圖象即可判定D.【詳解】對(duì)于A,,所以在上單調(diào)遞增,故A錯(cuò)誤,對(duì)于B,由于,所以在上單調(diào)遞增,B錯(cuò)誤,對(duì)于C,,故在上單調(diào)遞減,C正確,對(duì)于D,的圖象如下所示:故在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,故D錯(cuò)誤,故選:C9.已知函數(shù)是奇函數(shù),且,將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變,所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為,則()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)及圖象變換計(jì)算即可.【詳解】由題意可知,,所以或,由因?yàn)椋?,即,?故選:A.10.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,則下列四個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是()①;②若,則;③若,則;④若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列,則的取值范圍是.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】由,可得,兩式相減得到,進(jìn)而可得,可判斷①,根據(jù)的值可判斷是否為等差,再根據(jù)等差數(shù)列得前項(xiàng)和公式即可求解②③;根據(jù)條件得,,再根據(jù)數(shù)列單調(diào)遞增,則必有,且,求解即可得出的取值范圍.【詳解】因?yàn)?,?dāng),,兩式相減得,所以,兩式相減得,故①錯(cuò)誤,當(dāng)時(shí),令,則,,得,所以,令,則,,得,所以,則,所以,故奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,則,所以②正確;當(dāng)時(shí),令,則,,得,所以,令,則,,得,故偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,奇數(shù)項(xiàng)從第二項(xiàng)開始以為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,則,所以③正確;由于,,,則,又?jǐn)?shù)列單調(diào)遞增,則必有,且,所以,且,解得,所以的取值范圍是,所以④正確.故選:C.第二部分(非選擇題共110分)二、填空題共5小題,每小題5分,共25分.11.已知函數(shù),則的定義域?yàn)開___________.【答案】【解析】【分析】依題意可得,,求解即可.【詳解】依題意可得,,解得且,所以的定義域?yàn)?故答案:.12.已知數(shù)列是等比數(shù)列,,,則數(shù)列的通項(xiàng)公式________;數(shù)列的前9項(xiàng)和的值為__________.【答案】①.②.171【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解,,進(jìn)而根據(jù)公式即可求解.【詳解】由,可得,,所以,,故答案為:,17113.已知實(shí)數(shù)a,b滿足關(guān)于x的不等式的解集為,且滿足關(guān)于的不等式的解集為,則滿足條件的一組a,b的值依次為______.【答案】故答案為:(答案不唯一,只要滿足就行)【解析】【分析】利用一元一次不等式的解集和二次不等式恒成立列不等式即可求解.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于x不等式的解集為,所以,又關(guān)于的不等式的解集為,所以,解得,所以滿足條件的一組a,b的值依次為,(答案不唯一,只要滿足就行)故答案為:(答案不唯一,只要滿足就行)14.在等腰中,,,則____________;若點(diǎn)滿足,則的值為___________.【答案】①.②.【解析】【分析】利用余弦定理、平面向量及其線性運(yùn)算、平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算分析運(yùn)算即可得解.【詳解】解:如上圖,由題意等腰中,,則,∵,,∴,∴,即,∵由余弦定理得,∴,即,又因邊長(zhǎng),∴.∴是等邊三角形,則,,∵,∴,,∴.故答案為:;.15.已知函數(shù),,給出下列四個(gè)結(jié)論:①函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減;②函數(shù)的最大值是;③若關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解,則的最小值為;④若對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b,不等式都成立,則的取值范圍是.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_______.【答案】②④【解析】【分析】對(duì)于①,由分段函數(shù)的單調(diào)性判斷①;對(duì)于②,先得到函數(shù)的奇偶性,求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性,畫出的圖象,數(shù)形結(jié)合得到的最大值;對(duì)于③,考慮方程有且只有一個(gè)交點(diǎn);對(duì)于④,轉(zhuǎn)化為恒成立問題即可判斷.【詳解】對(duì)于①,當(dāng)時(shí),,二次函數(shù)開口向下,對(duì)稱軸為,故在區(qū)間上單調(diào)遞減,;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,;但無(wú)法判斷與的大小,故無(wú)法判斷函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性,①錯(cuò)誤;對(duì)于②,定義域?yàn)镽,且,故為奇函數(shù),當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,且,時(shí),時(shí),畫出的圖象如下:由圖象可得最大值是,②正確;對(duì)于③,當(dāng)時(shí),由可得或,因此,故無(wú)解;可化為,故,故只有一個(gè)實(shí)數(shù)解,故③錯(cuò)誤.對(duì)于④,由②可得,,若對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b,不等式都成立,則,所以只需,,故的取值范圍是,④正確.故答案為:②④【點(diǎn)睛】函數(shù)零點(diǎn)問題:將函數(shù)零點(diǎn)問題或方程解的問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的圖象交點(diǎn)問題,將代數(shù)問題幾何化,借助圖象分析,大大簡(jiǎn)化了思維難度,首先要熟悉常見的函數(shù)圖象,包括指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),冪函數(shù),三角函數(shù)等,還要熟練掌握函數(shù)圖象的變換,包括平移,伸縮,對(duì)稱和翻折等,涉及零點(diǎn)之和問題,通??紤]圖象的對(duì)稱性進(jìn)行解決.三、解答題共6小題,共85分.解答應(yīng)寫出文字說明,演算步驟或證明過程.16.已知函數(shù),.(1)當(dāng)時(shí),若,求的值域(2)若有兩個(gè)零點(diǎn),分別為,,且,求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由題意可得在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,從而可求解;(2)根據(jù)題意可得,進(jìn)而可求解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí),的對(duì)稱軸為,且開口向上,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,又,所以,所以當(dāng),的值為;【小問2詳解】的兩個(gè)零點(diǎn)分別為,且,,即,解得或,故的取值范圍為.17.已知函數(shù).(1)求的值;(2)求的最小正周期及單調(diào)區(qū)間;(3)比較與的大小,并說明理由.【答案】(1)(2),遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為(3),理由見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)二倍角的正余弦公式和兩角和的正弦公式化一,從而可求解;(2)根據(jù)周期公式可求周期,令,求解可得增區(qū)間,令,求解可得減區(qū)間;(3)由周期可得,再利用單調(diào)性即可求解.【小問1詳解】,所以;【小問2詳解】的最小正周期,令,解得;令,解得,所以的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問3詳解】,理由如下:由(2)可知的最小正周期,所以,由(2)可知,在上單調(diào)遞增,又,所以,即.18.已知的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,其中,,再?gòu)南旅娼o出的條件①,條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知,使存在且唯一.(1)求的值;(2)求的面積.條件①:;條件②:;條件③:.注:如果選擇的條件不符合要求,得0分;如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)若選①,先求出,然后利用正弦定理可求;若選條件②,由余弦定理可檢驗(yàn)是否存在;若選條件③,由余弦定理可求;(2)結(jié)合三角形面積公式即可求解.【小問1詳解】若選①,又因?yàn)?所以,所以,由正弦定理得,所以;若選條件②,由余弦定理得,整理得,此時(shí)方程無(wú)解,即這樣的三角形不存在,所以條件②不能選;若選條件③,由余弦定理得,整理得,解得或(舍去),所以.【小問2詳解】由(1)可知,所以.19.已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2)求的極值;(3)若對(duì)于任意,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)極小值為,無(wú)極大值(3)【解析】【分析】(1)求導(dǎo),即可得斜率,進(jìn)而可求直線方程,(2)求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性,即可求解極值,(3)將恒成立問題參數(shù)分離,構(gòu)造函數(shù)即可求導(dǎo)求解最值求解.【小問1詳解】由得,又,所以在切線為【小問2詳解】令,則,故在單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,所以當(dāng)時(shí),取極小值,無(wú)極大值,【小問3詳解】由得,故,構(gòu)造函數(shù)則,令,則,故當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,時(shí),單調(diào)遞減,故當(dāng)取極小值也是最小值,,所以,即20.已知函數(shù),,.(1)求的值;(2)求在區(qū)間上的最大值;(3)當(dāng)時(shí),求證:對(duì)任意,恒有成立.【答案】(1)(2)時(shí),,時(shí),時(shí),,(3)證明見解析【解析】【分析】(1)求導(dǎo)即可代入求解,(2)分類討論,即可根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性并求解最值,(3)將問題轉(zhuǎn)化為,對(duì)分類討論,構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性,即可利用單調(diào)性求解最值求證.【小問1詳解】由得,所以,【小問2詳解】由得,當(dāng)時(shí),,故區(qū)間上單調(diào)遞增,所以,當(dāng)時(shí),令,則,令,則,故在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞減,所以,當(dāng)時(shí),,此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以,當(dāng)時(shí),,此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,綜上可得:時(shí),,時(shí),時(shí),,【小問3詳解】要證,即證,即證明,當(dāng)時(shí),,而,所以,當(dāng)時(shí),記,則,記,由于,所以當(dāng)單調(diào)遞增,所以,故在單調(diào)遞增,故,故,綜上,對(duì)任意,恒有【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟(1)作差或變形;(2)構(gòu)造新的函數(shù);(3)利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值;(4)根據(jù)單調(diào)性及最值,得到所證不等式.21.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),且滿足(,且
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