湘教版九年級(上)期末數(shù)學試卷(含解析)

第米 C．米 D．50米【考點】解直角三角形的應(yīng)用．【分析】過B作BM⊥AD，根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系可得∠ABC=30°，再根據(jù)等角對等邊可得BC=AC，然后再計算出∠CBM的度數(shù)，進而得到CM長，最后利用勾股定理可得答案．【解答】解：過B作BM⊥AD，∵∠BAD=30°，∠BCD=60°，∴∠ABC=30°，∴AC=CB=100米，∵BM⊥AD，∴∠BMC=90°，∴∠CBM=30°，∴CM=BC=50米，∴BM=CM=50米，故選：B．7．如圖，以點O為位似中心，將△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，則△ABC與△DEF的面積之比為（）A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：6【考點】位似變換．【分析】利用位似圖形的性質(zhì)首先得出位似比，進而得出面積比．【解答】解：∵以點O為位似中心，將△ABC放大得到△DEF，AD=OA，∴OA：OD=1：2，∴△ABC與△DEF的面積之比為：1：4．故選：B．8．某中學隨機地調(diào)查了50名學生，了解他們一周在校的體育鍛煉時間，結(jié)果如下表所示：時間（小時）5678人數(shù)1015205則這50名學生這一周在校的平均體育鍛煉時間是（）A．6.2小時 B．6.4小時 C．6.5小時 D．7小時【考點】加權(quán)平均數(shù)．【分析】根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計算公式列出算式（5×10+6×15+7×20+8×5）÷50，再進行計算即可．【解答】解：根據(jù)題意得：（5×10+6×15+7×20+8×5）÷50=（50+90+140+40）÷50=320÷50=6.4（小時）．故這50名學生這一周在校的平均體育鍛煉時間是6.4小時．故選：B．9．某同學在用描點法畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象時，列出了下面的表格：x…﹣2﹣1012…y…﹣11﹣21﹣2﹣5…由于粗心，他算錯了其中一個y值，則這個錯誤的數(shù)值是（）A．﹣11 B．﹣2 C．1 D．﹣5【考點】二次函數(shù)的圖象．【分析】根據(jù)關(guān)于對稱軸對稱的自變量對應(yīng)的函數(shù)值相等，可得答案．【解答】解：由函數(shù)圖象關(guān)于對稱軸對稱，得（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）在函數(shù)圖象上，把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函數(shù)解析式，得，解得，函數(shù)解析式為y=﹣3x2+1x=2時y=﹣11，故選：D．10．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D，AC=6，AB=9，則AD的長是（）A．6 B．5 C．4 D．3【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】直角三角形斜邊上的高線把直角三角形分的得兩個三角形與原三角形相似．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D∴△ACD∽△ABC∴AC：AB=AD：AC∵AC=6，AB=9∴AD=4．故選C．11．已知函數(shù)y=kx+b的圖象如圖所示，則一元二次方程x2+x+k﹣1=0根的存在情況是（）A．沒有實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．無法確定【考點】根的判別式；一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．【分析】先根據(jù)函數(shù)y=kx+b的圖象可得；k＜0，再根據(jù)一元二次方程x2+x+k﹣1=0中，△=12﹣4×1×（k﹣1）=5﹣4k＞0，即可得出答案．【解答】解：根據(jù)函數(shù)y=kx+b的圖象可得；k＜0，b＜0，則一元二次方程x2+x+k﹣1=0中，△=12﹣4×1×（k﹣1）=5﹣4k＞0，則一元二次方程x2+x+k﹣1=0根的存在情況是有兩個不相等的實數(shù)根，故選：C．12．如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，則S△ADE：S△ABC=（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：9【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】已知DE∥BC，可得出的條件是△ADE∽△ABC；已知了AD、DB的比例關(guān)系，可得出AD、AB的比例關(guān)系，也就求出了兩三角形的相似比，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，可求出兩三角形的面積比．【解答】解：AD：DB=1：2，則=；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC；∴S△ADE：S△ABC=1：9．故選D．二、填空題（每小題3分，共18分）13．若關(guān)于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的兩根互為倒數(shù)，則k=﹣1．【考點】根與系數(shù)的關(guān)系．【分析】根據(jù)已知和根與系數(shù)的關(guān)系x1x2=得出k2=1，求出k的值，再根據(jù)原方程有兩個實數(shù)根，求出符合題意的k的值．【解答】解：∵x1x2=k2，兩根互為倒數(shù)，∴k2=1，解得k=1或﹣1；∵方程有兩個實數(shù)根，△＞0，∴當k=1時，△＜0，舍去，故k的值為﹣1．故答案為：﹣1．14．在△ABC中，∠C=90°，若tanA=，則sinA=．【考點】同角三角函數(shù)的關(guān)系．【分析】根據(jù)正切函數(shù)數(shù)對邊比鄰邊，可得BC與AC的關(guān)系，根據(jù)勾股定理，可得AB的長，再根據(jù)正弦函數(shù)是對邊比斜邊，可得答案．【解答】解：設(shè)tanA===，由勾股定理，得AB==5a．sinA===，故答案為：．15．將一副三角尺如圖所示疊放在一起，則的值是．【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】設(shè)AC=BC=x，則CD===x，證AB∥CD得△ABE∽△DCE，即可知===．【解答】解：設(shè)AC=BC=x，則CD===x，∵∠BAC=∠ACD=90°，∴∠BAC+∠ACD=180°，∴AB∥CD，∴△ABE∽△DCE，∴===，故答案為：16．已知雙曲線y=經(jīng)過點（﹣1，3），如果A（a1，b1），B（a2，b2）兩點在該雙曲線上，且a1＜a2＜0，那么b1＜b2（選填“＞”、“=”、“＜”）．【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；反比例函數(shù)的性質(zhì)．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的增減性解答．【解答】解：把點（﹣1，3）代入雙曲線y=得k=﹣3＜0，故反比例函數(shù)圖象的兩個分支在第二、四象限，且在每個象限內(nèi)y隨x的增大而增大，∵A（a1，b1），B（a2，b2）兩點在該雙曲線上，且a1＜a2＜0，∴A、B在同一象限，∴b1＜b2．故答案為：＜．17．某校圖書館的藏書在兩年內(nèi)從5萬冊增加到7.2萬冊，設(shè)平均每年藏書增長的百分率為x，則依據(jù)題意可得方程5（1+x）2=7.2．【考點】由實際問題抽象出一元二次方程．【分析】利用平均增長率問題，一般用增長后的量=增長前的量×（1+增長率），參照本題，如果設(shè)平均每年增長的百分率為x，根據(jù)“某校圖書館的藏書在兩年內(nèi)從5萬冊增加到7.2萬冊”，即可得出方程．【解答】解：設(shè)平均每年增長的百分率為x；第一年藏書量為：5（1+x）；第二年藏書量為：5（1+x）（1+x）=5（1+x）2；依題意，可列方程：5（1+x）2=7.2．故答案為：5（1+x）2=7.2．18．二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①2a+b=0；②a+c＞b；③拋物線與x軸的另一個交點為（3，0）；④abc＞0．其中正確的結(jié)論是①④【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．【分析】根據(jù)拋物線對稱軸方程對①進行判斷；根據(jù)自變量為1時對應(yīng)的函數(shù)值為負數(shù)可對②進行判斷；根據(jù)拋物線的對稱性，由拋物線與x軸的一個交點為（﹣2，0）得到拋物線與x軸的另一個交點為（4，0），則可對③進行判斷；由拋物線開口方向得到a＞0，由對稱軸位置可得b＜0，由拋物線與y軸的交點位置可得c＜0，于是可對④進行判斷．【解答】解：∵拋物線的對稱軸為直線x=﹣=1，∴2a+b∵x=﹣1時，y＜0，∴a﹣b+c＜0，即a+c＜b，所以②錯誤；∵拋物線與x軸的一個交點為（﹣2，0）而拋物線的對稱軸為直線x=1，∴拋物線與x軸的另一個交點為（4，0），所以③錯誤；∵拋物線開口向上，∴a＞0，∴b=﹣2a∵拋物線與y軸的交點在x軸下方，∴c＜0，∴abc＞0，所以④正確．故答案為①④．三、綜合與應(yīng)用（每小題7分，共28分）19．計算：2﹣2﹣（π﹣）0+|﹣3|﹣cos60°．【考點】實數(shù)的運算；零指數(shù)冪；負整數(shù)指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值．【分析】原式第一項利用負整數(shù)指數(shù)冪法則計算，第二項利用零指數(shù)冪法則計算，第三項利用絕對值的代數(shù)意義化簡，最后一項利用特殊角的三角函數(shù)值計算即可得到結(jié)果．【解答】解：原式=﹣1+3﹣×=2．20．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+2=2（1﹣x）有兩個實數(shù)根x1，x2．（1）求實數(shù)k的取值范圍；（2）若方程的兩實根x1，x2滿足|x1+x2|=x1x2﹣1，求k的值．【考點】根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系．【分析】（1）根據(jù)方程有兩個實數(shù)根可以得到△≥0，從而求得k的取值范圍；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系將兩根之和和兩根之積代入代數(shù)式求k的值即可．【解答】解：x2﹣2kx+k2+2=2（1﹣x），整理得x2﹣（2k﹣2）x+k2=0．（1）∵方程有兩個實數(shù)根x1，x2．∴△=（2k﹣2）2﹣4k2≥0，解得k≤；（2）由根與系數(shù)關(guān)系知：x1+x2=2k﹣2，x1x2=k2，又|x1+x2|=x1x2﹣1，代入得，|2k﹣2|=k2﹣1，∵k≤，∴2k﹣2＜0，∴|2k﹣2|=k2﹣1可化簡為：k2+2k﹣3=0．解得k=1（不合題意，舍去）或k=﹣3，∴k=﹣3．21．某學校為了解該校七年級學生的身高情況，抽樣調(diào)查了部分同學，將所得數(shù)據(jù)處理后，制成扇形統(tǒng)計圖和頻數(shù)分布直方圖（部分）如下（每組只含最低值不含最高值，身高單位：cm，測量時精確到1cm（1）請根據(jù)所提供的信息計算身高在160～165cm范圍內(nèi)的學生人數(shù)，并補全頻數(shù)分布直方圖；（2）樣本的中位數(shù)在統(tǒng)計圖的哪個范圍內(nèi)？（3）如果上述樣本的平均數(shù)為157cm，方差為0.8；該校八年級學生身高的平均數(shù)為159cm，方差為0.6，那么【考點】頻數(shù)（率）分布直方圖；扇形統(tǒng)計圖；加權(quán)平均數(shù)；中位數(shù)；方差．【分析】（1）根據(jù)155﹣160的頻數(shù)和百分比求總數(shù)．從而求出160﹣165的頻數(shù)，根據(jù)數(shù)據(jù)正確補全頻數(shù)分布直方圖即可；（2）根據(jù)中位數(shù)的確定方法求解；（3）利用方差的意義判斷．【解答】解：（1）總數(shù)為：32÷32%=100，則160﹣165的頻數(shù)為：100﹣6﹣12﹣18﹣32﹣10﹣4=18或100×18%=18．根據(jù)數(shù)據(jù)正確補全頻數(shù)分布直方圖，如下圖：（2）第50和51個數(shù)的平均數(shù)在155～160cm的范圍內(nèi)，所以樣本的中位數(shù)在155～160cm的范圍內(nèi)；（3）方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，所以八年級學生的身高比較整齊．故答案為：八年級．22．如圖，一次函數(shù)y1=x+1的圖象與反比例函數(shù)（k為常數(shù)，且k≠0）的圖象都經(jīng)過點A（m，2）（1）求點A的坐標及反比例函數(shù)的表達式；（2）結(jié)合圖象直接比較：當x＞0時，y1和y2的大?。究键c】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．【分析】（1）將A點代入一次函數(shù)解析式求出m的值，然后將A點坐標代入反比例函數(shù)解析式，求出k的值即可得出反比例函數(shù)的表達式；（2）結(jié)合函數(shù)圖象即可判斷y1和y2的大?。窘獯稹拷猓海?）將A的坐標代入y1=x+1，得：m+1=2，解得：m=1，故點A坐標為（1，2），將點A的坐標代入：，得：2=，解得：k=2，則反比例函數(shù)的表達式y(tǒng)2=；（2）結(jié)合函數(shù)圖象可得：當0＜x＜1時，y1＜y2；當x=1時，y1=y2；當x＞1時，y1＞y2．四、實踐與應(yīng)用（每小題9分，共18分）23．某商品的進價為每件30元，現(xiàn)在的售價為每件40元，每星期可賣出150件，如果每件漲價1元（售價不可以高于45），那么每星期少賣出10件，設(shè)每件漲價x元，每星期銷量為y件．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；（2）如何定價才能使每星期的利潤為1560元？每星期的銷量是多少？【考點】一元二次方程的應(yīng)用．【分析】（1）依據(jù)題意易得出平均每天銷售量（y）與漲價x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=150﹣10x；（2）一個商品原利潤為40﹣30=10元，每件漲價x元，現(xiàn)在利潤為（10+x）元；根據(jù)題意，銷售量為150﹣10x，由一個商品的利潤×銷售量=總利潤，列方程求解．【解答】解：（1）∵如果售價每漲1元，那么每星期少賣10件，∴每件漲價x元（x為非負整數(shù)），每星期銷量為：y=150﹣10x；（2）設(shè)每件漲價x元，依題意得（10+x）=1560，解這個方程，得x1=2，x2=3，∵售價不高于45元，∴x1=2，x2=3均符合題意，當x1=2時，每星期的銷量是150﹣10×2=130（件）；當x2=3時，每星期的銷量是150﹣10×3=120（件）；答：該商品每件定價42元或43元才能使每星期的利潤為1560元，此時每星期的銷量是130件或120件．24．如圖，平臺AB高為12m，在B處測得樓房CD頂部點D的仰角為45°，底部點C的俯角為30°，求樓房CD的高度（=1.7）．【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題．【分析】首先分析圖形，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形．本題涉及多個直角三角形，應(yīng)利用其公共邊構(gòu)造關(guān)系式求解．【解答】解：如圖，過點B作BE⊥CD于點E，根據(jù)題意，∠DBE=45°，∠CBE=30°．∵AB⊥AC，CD⊥AC，∴四邊形ABEC為矩形．∴CE=AB=12m在Rt△CBE中，cot∠CBE=，∴BE=CE?cot30°=12×=12．在Rt△BDE中，由∠DBE=45°，得DE=BE=12．∴CD=CE+DE=12（+1）≈32.4．答：樓房CD的高度約為32.4m六、探究與應(yīng)用（每小題10分，共20分）25．如圖，頂點M在y軸上的拋物線與直線y=x+1相交于A、B兩點，且點A在x軸上，點B的橫坐標為2，連結(jié)AM、BM．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）判斷△ABM的形狀，并說明理由．【考點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．【分析】（1）由條件可分別求得A、B的坐標，設(shè)出拋物線解析式，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；（2）結(jié)合（1）中A、B、C的坐標，根據(jù)勾股定理可分別求得AB、AM、BM，可得到AB2+AM2=BM2，可判定△ABM為直角三角形．【解答】解：（1）∵A點為直線y=x+1與x軸的交點，∴A（﹣1，0），又B點橫坐標為2，代入y=x+1可求得y=3，∴B（2，3），∵拋物線頂點在y軸上，∴可設(shè)拋物線解析式為y=ax2+c，把A、B兩點坐標代入可得，解得，∴拋物線解析式為y=x2﹣1；（2）△ABM為直角三角形．理由如下：由（1）拋物線解析式為y=x2﹣1，可知M點坐標為（0，﹣1），∴AM2=12+12=2，AB2=（2+1）2+32=18，BM2=22+（3+1）2=20，∴AM2+AB2=2+18=20=BM2，∴△ABM為直角三角形．26．如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=10，將∠MPN的頂點P在矩形ABCD的邊AD上滑動，