浙江省嘉興市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期9月基礎(chǔ)測(cè)試數(shù)學(xué)試題（解析版）

2024年高三基礎(chǔ)測(cè)試數(shù)學(xué)試題卷（2024.9）本試題卷共6頁(yè)，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.考生注意：1.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫(xiě)在試題卷和答題紙上規(guī)定的位置.2.答題時(shí)，請(qǐng)按照答題紙上“注意事項(xiàng)”的要求，在答題紙上的相應(yīng)位置規(guī)范作答，在本試題卷上的作答一律無(wú)效.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合補(bǔ)集的定義求出集合A，然后根據(jù)元素與集合的關(guān)系即可得解【詳解】，又，所以，所以，，，，故選：A2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)和復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，則（）A. B. C.5 D.【答案】C【解析】【分析】由對(duì)稱性確定，結(jié)合乘法運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)和復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，所以，所以故選：C3.已知向量，若，則（）A. B. C.0 D.1【答案】B【解析】【分析】由向量平行的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】由條件可得因?yàn)?，所以所以故選：B4.嘉興河流眾多，許多河邊設(shè)有如圖所示的護(hù)欄，護(hù)欄與護(hù)欄之間用一條鐵鏈相連.數(shù)學(xué)中把這種兩端固定的一條均勻?柔軟的鏈條，在重力的作用下所具有的曲線形狀稱為懸鏈線（Catenary）.已知函數(shù)的部分圖象與懸鏈線類似，則下列說(shuō)法正確的是（）A.為奇函數(shù) B.的最大值是C.在上單調(diào)遞增 D.方程有2個(gè)實(shí)數(shù)解【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而確定最值，即可判斷ABC；對(duì)D解出，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可判斷.【詳解】對(duì)A，∵，則為偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；對(duì)BC，又∵，根據(jù)，在R上均單調(diào)遞增，則在在R上單調(diào)遞增，且，則當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，故C錯(cuò)誤；則，即的最小值為，B錯(cuò)誤；對(duì)D，法一：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，且最小值為，，并且根據(jù)C中的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，且時(shí)，，所以有2個(gè)實(shí)數(shù)解，故D正確.法二：令,，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根,故D正確.,故選：D5.已知，則（）A. B. C. D.12【答案】C【解析】【分析】先利用切化弦的思想將、都進(jìn)行切化弦的處理，然后利用兩角和的正弦公式以及兩角差的余弦公式即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，即又所以所以，故選：C6.已知四面體的每條棱長(zhǎng)都為2，若球與它的每條棱都相切，則球的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求正四面體的棱切球，轉(zhuǎn)化到正方體中即可.【詳解】將正四面體補(bǔ)成一個(gè)正方體球與正四面體的棱都相切．則球與正方體的內(nèi)切球，正方體邊長(zhǎng)為，故選：B.7.將數(shù)字隨機(jī)填入的正方形格子中，則每一橫行?每一豎列以及兩條斜對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字之和都相等的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】用列舉法寫(xiě)出符合題意的填寫(xiě)方法，然后根據(jù)概率公式計(jì)算．【詳解】符合題意的填寫(xiě)方法有如下8種：而9個(gè)數(shù)填入9個(gè)格子有種方法所以所求概率為，故選：A．8.《測(cè)圓海鏡》是金元之際李冶所著中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作，這是中國(guó)古代論述容圓的一部專著，也是論述天元術(shù)的代表作.天元術(shù)與現(xiàn)代數(shù)學(xué)中列方程的方法基本一致，先立“天元一”為…，相當(dāng)于“設(shè)為…”，再根據(jù)問(wèn)題的已知條件列出兩個(gè)相等的多項(xiàng)式，最后通過(guò)合并同類項(xiàng)得到方程.設(shè)，若，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】令，結(jié)合得到，又，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和，從而得解.【詳解】令，當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得①，當(dāng)時(shí)，，滿足①式，所以，故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法正確的是（）A.樣本數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)是17B.在比例分配的分層隨機(jī)抽樣中，若第一層的樣本量為10，平均值為9，第二層的樣本量為20，平均值為12，則所抽樣本的平均值為11C.若隨機(jī)變量，則D.若隨機(jī)變量，若，則【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A由下四分位數(shù)的概念即可判斷；對(duì)于B，由平均數(shù)的計(jì)算公式即可判斷；對(duì)于C由二項(xiàng)分布即可判斷;對(duì)于D由正態(tài)分布的對(duì)稱性即可判斷.【詳解】對(duì)于A.從小到大排序得：16，17，19，20，22，24，26，由，所以下四分位數(shù)是17正確；對(duì)于B，正確；對(duì)于C，由二項(xiàng)分布可得：，錯(cuò)誤；對(duì)于D，由正態(tài)分布的對(duì)稱性可得：，正確故選：ABD10.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別是，以為直徑的圓與在第一象限交于點(diǎn)，延長(zhǎng)線段交于點(diǎn).若，則（）A. B.的面積為C.橢圓的離心率為 D.直線的斜率為【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，結(jié)合橢圓的定義即可得解；對(duì)于B，設(shè)，結(jié)合橢圓定義，和直角三角形中勾股定理，得出，從而得出面積；對(duì)于C，在中，利用勾股定理得出a與c的齊次方程，從而得解；對(duì)于D，在中，求得，在中，求得，結(jié)合兩角差的正切公式可以求得，從而得到直線的斜率.【詳解】對(duì)于A，由橢圓的定義可得，，，又，所以，故A正確；對(duì)于B，如圖，連接，，設(shè)（x>0），則.因?yàn)?，，所以?因?yàn)闉閳A的直徑，所以，在中，，即，整理得，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在中，，.所以，即，解得；，即，故C正確；對(duì)于D，在中，在中，所以，所以直線的斜率為．故D正確；故選：ACD11.定義在上的函數(shù)滿足，其值域是.若對(duì)于任何滿足上述條件的都有，則實(shí)數(shù)的取值必可以為（）A. B. C. D.1【答案】AB【解析】【分析】通過(guò)選項(xiàng)逐個(gè)驗(yàn)證即可.【詳解】因?yàn)?，設(shè)當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，令，當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，滿足條件；當(dāng)時(shí)，，令，當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，滿足條件；當(dāng)時(shí)，，令，則始終有，即無(wú)法轉(zhuǎn)到定義域0,1求解，故不滿足；當(dāng)時(shí)，，令，則始終有，即無(wú)法轉(zhuǎn)到定義域0,1求解，故不滿足.故選：AB三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理中的二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)公式即可求解【詳解】的展開(kāi)式通項(xiàng)是：，依題意得，，即，所以，故答案為：13.已知直線與圓交于兩點(diǎn)，寫(xiě)出滿足“”的實(shí)數(shù)的一個(gè)值：__________.【答案】或（寫(xiě)出其中一個(gè)即可）【解析】【分析】利用勾股定理求弦長(zhǎng)的方法求解．【詳解】圓心為，到直線的距離為，又，圓半徑為2，則，解得，故答案為：或．14.在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)滿足，平面與底面的夾角為，平面與底面的夾角為，當(dāng)最小時(shí)，__________.【答案】【解析】【分析】由面面的定義做出平面角，再結(jié)合兩角和的正切公式即可求解.【詳解】作，垂足，則底面，再作，垂足分別為，則，又正方體中，設(shè)，則，當(dāng)，易知，，此時(shí)，，當(dāng)，易知，，此時(shí)，，當(dāng)且時(shí)，，所以，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取到最小值，時(shí)，時(shí)，且時(shí)遞減，時(shí)遞增，綜上，恒成立，即，所以當(dāng)時(shí)，取到最小，此時(shí).綜上可知當(dāng)時(shí)，取到最小.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.記的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知.（1）求；（2）若為邊上一點(diǎn)，，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）等價(jià)變形已知條件，得到，結(jié)合余弦定理即可得解.（2）法①：由余弦定理求出，結(jié)合正弦定理即可求得，最后根據(jù)即可得解；法②：由法①得，在中由正弦定理得，又，從而得解；法③：由法①得，在直角中，由（1）問(wèn)知，代入建立關(guān)于的方程，解方程得，從而得出；法④：由等面積法得，建立關(guān)于的方程，求得，代入求得，最后結(jié)合正弦定理即可得解.【小問(wèn)1詳解】，則，所以，因?yàn)?，所?【小問(wèn)2詳解】法①：由（1）得，，因?yàn)?，所以，如圖在中，由余弦定理，即，在中由正弦定理，即，所以，因?yàn)椋?，在?法②：同解法①，在中由正弦定理，即，所以，又因?yàn)?，即，所?法③同上，在直角中，所以，由（1）問(wèn)知，所以，即，得即，所以，.法④如圖由（1）知，則，因?yàn)?，所以，即，解得，所以，即，在中，由正弦定理，即，解?16.如圖，已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為6的正方形，側(cè)面底面，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上且.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成的角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）解法一：取的中點(diǎn)，連接，證明四邊形是平行四邊形，得線線平行，然后得證線面平行；解法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用向量法證明線面平行；（2）解法一：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，證得為直線與平面所成的角，在三角形中求出此角的正弦值后可得；解法二：由空間向量法求線面角．【小問(wèn)1詳解】解法一：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，且，正方形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，所以，且，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面.解法二：，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，又側(cè)面底面，側(cè)面底面平面，所以平面，如圖以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，則所以，所以設(shè)平面一個(gè)法向量為，則，取得，所以，所以，即，又不在平面內(nèi)，所以平面.小問(wèn)2詳解】解法一：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，由題意知，又側(cè)面底面，側(cè)面底面平面，所以底面，又平面，所以，又平面，所以底面，所以為直線與平面所成的角，記直線與平面所成的角為，由（1）知，所以，又由題意知，，所以，又，所以，所以，所以直線與平面所成的角的正弦值為.解法二：由（1）知設(shè)n=x,y,取得，所以，所以，設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成的角的正弦值為.17.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在，使得函數(shù)成立，求證：.參考數(shù)據(jù)：.【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）先求函數(shù)的定義域，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)，分與兩類進(jìn)行討論即可得解；（2）法一：先進(jìn)行參變量分離，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)，求即可得證，在求最小值過(guò)程中，再此構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理和單調(diào)性，判斷出存在，使得，即，則，從而得出，得證；法二：構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求，求最大值過(guò)程中，結(jié)合零點(diǎn)存在定理和單調(diào)性，存在，即，得到，又單調(diào)遞增，又，得出，所以得證.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)定義域?yàn)?,+∞，則當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，即的單調(diào)遞增區(qū)間是0,+∞，當(dāng)時(shí)，令，又，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是0,+∞，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是的單調(diào)遞增區(qū)間是.【小問(wèn)2詳解】方法一：由得，所以，因?yàn)閤∈1,+∞，所以，由題意知記函數(shù)，則，記，則當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在1,+∞上單調(diào)遞增，又，因?yàn)?，所以所以存在，使得，即，則，所以當(dāng)x∈0,x0時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)x所以，所以，證畢.方法二：存x∈1,+∞，使得函數(shù)存在x∈1,+∞，使得函數(shù)記，則，當(dāng)時(shí)，，所以hx單調(diào)遞減，則，不合題意；當(dāng)時(shí)，存在，即，所以hx在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，則單調(diào)遞增，又，所以，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第（1）小問(wèn)的關(guān)鍵在于分類討論的標(biāo)準(zhǔn)：與，第（2）小問(wèn)，方法一的關(guān)鍵是參變量分離轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，結(jié)合零點(diǎn)存在定理和導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)求出最值即可得證，方法二的關(guān)鍵是直接移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)進(jìn)行兩次構(gòu)造函數(shù)，同樣求出最值即可得證.18.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，且.（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)（其中）是上異于的兩點(diǎn)，的角平分線與軸垂直，為線段的中點(diǎn).（i）求證：點(diǎn)在定直線上；（ii）若的面積為6，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）（2）（i）證明見(jiàn)解析；（ii）或【解析】【分析】（1）由拋物線焦半徑公式即可求解；（2）（i）由題意得到的斜率互為相反數(shù)，構(gòu)造方程即可求解；（ii）寫(xiě)出直線方程，由點(diǎn)到線的距離公式求得高，代入三角形面積公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，由拋物線的定義得，又，所以，因此，即，解得，從而拋物線的方程為.【小問(wèn)2詳解】（i）由（1）知點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)榈慕瞧椒志€與軸垂直，所以可知的傾斜角互補(bǔ)，即的斜率互為相反數(shù)，，同理，則，化簡(jiǎn)得，則，所以點(diǎn)在定直線上.（ii），則直線，即線段的長(zhǎng)度：，點(diǎn)到直線的距離，可得的面積為，因?yàn)?，且，化?jiǎn)得，令，則，即.解得或，由知或，所以或所求點(diǎn)的坐標(biāo)為，或者.19.當(dāng)，且時(shí)，我們把叫做數(shù)列的階子數(shù)列，若成等差（等比）數(shù)列，則稱為數(shù)列的階等差（等比）子數(shù)列.已知項(xiàng)數(shù)為，且的等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差.（1）寫(xiě)出數(shù)列的所有3階等差子數(shù)列；（2）數(shù)列中是否存在3階等比子數(shù)列，若存在，請(qǐng)至少寫(xiě)出一個(gè)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）記數(shù)列的3階和4階等差子數(shù)列個(gè)數(shù)分別為，求證：.【答案】（1）（2）不存在，理由見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題干中數(shù)列an的階等差子數(shù)列的定義，直接寫(xiě)出所有三階等差子數(shù)列即可；（2）先假設(shè)存在三階等比子數(shù)列，結(jié)合等比中項(xiàng)的定義，得到一個(gè)方程，解方程的解與條件矛盾，假設(shè)不成立，從而得出結(jié)論；（3）分別求出與的值，得出當(dāng)時(shí)，，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性，得出，即；同理可以證出當(dāng)，，、、時(shí)，同樣成立，從而得證.【小問(wèn)1詳解】所求三階等差子數(shù)列為.【小問(wèn)2詳解】由題意得等差數(shù)列bn的通項(xiàng)為，假設(shè)存在三階等比子數(shù)列，則，即，化簡(jiǎn)得，所以消得，即，所以與矛盾，故假設(shè)不成立，因此數(shù)列bn不存在三階等