專升本高等數(shù)學(xué)一（解答題）模擬試卷1（共135題）

專升本高等數(shù)學(xué)一（解答題）模擬試卷1（共9套）（共135題）專升本高等數(shù)學(xué)一（解答題）模擬試卷第1套一、簡(jiǎn)單解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、計(jì)算．標(biāo)準(zhǔn)答案：．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析2、設(shè)f(x)=討論f(x)在x=0處的連續(xù)性和可導(dǎo)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因=1．故=1=f(0)，f(x)在x=0處連續(xù)，又故f(x)在x=0處連續(xù)、可導(dǎo)，且f’(0)=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析3、設(shè)函數(shù)y=f(x)由方程xef(y)=ey所確定，其中f具有二階導(dǎo)數(shù)，且f’≠1，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程兩邊先取對(duì)數(shù)再求導(dǎo)得：lnx+f(y)=y，方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)可得：+f’(y)y’=y’，再對(duì)x求導(dǎo)，一+f’’(y)(y’)2+f’(y)y’’=y’’，代y’并解出：y’’=一．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析4、設(shè)函數(shù)y=alnx+bx2+5x在x=1處取極值且x=為其拐點(diǎn)橫坐標(biāo)，求a，b之值．標(biāo)準(zhǔn)答案：y’=＋2bx+5，y’’=+2b，又有已知條件可得y’(1)=a+2b+5=0，y’’()=—4a+2b=0，聯(lián)立解得a=一1，b=一2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析5、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=f(1)=0，=1，證明至少存在一個(gè)ξ∈(0，1)，使f’(ξ)=1．標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=f(x)一x，則有F(0)=f(0)一0=0，F(xiàn)(1)=f(1)一1=一1＜0，＞0．又F(x)在[，1]上連續(xù)，故由零點(diǎn)定理知，存在η∈(，1)，使F(η)=0，在[0，η]上利用羅爾定理知，至少存在ξ∈(0，η)(0，1)，使F’(ξ)=0，f’(ξ)=1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析6、一艘輪船甲以20海里／小時(shí)的速度向東行駛，同一時(shí)間另一艘輪船乙在其正北82海里處以16海里／小時(shí)的速度向南行駛，問經(jīng)過多少時(shí)間后，兩船相距最近?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)經(jīng)過t小時(shí)兩船相距S海里，則S=，即S2=(82—16t)2+(20t)2，所以(S2)’=2．(82—16t)．(一16)+2．20t．20，令(S2)’=0，得駐點(diǎn)t=2，即經(jīng)過兩小時(shí)后兩船相距最近．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)函數(shù)f在[a，b]上連續(xù)，且f(x)＞0，若F(x)=∫axf(t)dt+∫bxdt，證明：7、F(x)為[a，b]上的嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)；標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)镕’(x)=+2≥2，所以F(x)在[a，b]上嚴(yán)格單調(diào)增加．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析8、方程F(x)=0在(a，b)內(nèi)有且只有一個(gè)根．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)镕(a)=∫badt=—∫abdt＜0，F(xiàn)(b)=∫abf(t)dt＞0，所以由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的根的存在性定理可知，方程F(x)=0在(a，b)內(nèi)至少存在一個(gè)根，又由于F(x)在[a，b]上嚴(yán)格單調(diào)增加，所以方程F(x)=0在(a，b)內(nèi)有且只有一個(gè)根．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析9、設(shè)2sin(x+2y一3z)=x+2y一3z，確定了函數(shù)z=f(x，y)，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：在2sin(x+2y一3z)=x+2y一3z兩邊對(duì)x求導(dǎo)，則有2cos(x＋2y—3z)．，整理得．同理，由2cos(x＋2y一3z)，得=1．也可使用公式法求解：記F(x，y，z)=2sin(x+2y一3z)一x一2y+3z，則Fx=2cos(x+2y一3z)．(一3)＋3，F(xiàn)y=2cos(x+2y一3z)．2—2，F(xiàn)x=2cos(x+2y一3z)一1，故=1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析10、求解方程∫0x(x—s)y(s)ds=sinx+∫0xy(s)ds．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫0x(x—s)y(s)ds=x∫0xy(s)ds－∫0xsy(s)ds=sinx+∫0xy(s)ds，兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得∫0xy(s)ds=cosx+y(x)，且y(0)=一1，再次對(duì)x求導(dǎo)，得y’一y=sinx為一階線性非齊次微分方程．其中P(x)=一1，Q(x)=sinx，故解為y=e－∫P(x)dx[∫Q(x)eP(x)dxdx+C]=ex[∫sinxe－xdx+C]=Cex一(sinx+cosx)，又由y(0)=一1，得C=，故原方程解為y(x)=(ex+sinx+cosx)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析11、將f(x)=展成x的冪級(jí)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、將函數(shù)展開成x的冪級(jí)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、將xOz平面上的拋物線z2=5x繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：在z2=5x中，把z換成±得所求旋轉(zhuǎn)曲面方程為y2＋z2=5x．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，且滿足f(x)=3x2-x∫01f(x)dx，求f(x)。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)∫01f(x)dx=A，則f(x)=3x2-Ax，將其兩端在區(qū)間[0，1]上取定積分，則∫01f(x)dx=∫01(3x2-Ax)dx，可得A=，故f(x)=3x2-知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：令x=sint，則dx=costdt，t∈因此引入直角三角形如圖1所示，則銳角t的直角鄰邊也為，所以知識(shí)點(diǎn)解析：由于所給積分為的形式，所以考慮利用三角置換求解。專升本高等數(shù)學(xué)一（解答題）模擬試卷第2套一、簡(jiǎn)單解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、求極限(sinx+cosx)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析2、設(shè)f(x)=討論f(x)在x=0處的連續(xù)性和可導(dǎo)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因=1．故=1=f(0)，f(x)在x=0處連續(xù)，又故f(x)在x=0處連續(xù)、可導(dǎo)，且f’(0)=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析3、設(shè)函數(shù)y=alnx+bx2+5x在x=1處取極值且x=為其拐點(diǎn)橫坐標(biāo)，求a，b之值．標(biāo)準(zhǔn)答案：y’=＋2bx+5，y’’=+2b，又有已知條件可得y’(1)=a+2b+5=0，y’’()=—4a+2b=0，聯(lián)立解得a=一1，b=一2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析4、將長(zhǎng)為a的鐵絲切成兩段，一段圍成正方形，另一段圍成圓形，問這兩段鐵絲各長(zhǎng)多少時(shí)，正方形與圓形面積之和最小．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)正方形長(zhǎng)度為x，則圓形周長(zhǎng)為a一x．那么正方形邊長(zhǎng)為，則圓形半徑為．它們的面積之和S=，S’=，令S’=0，則有唯一駐點(diǎn)x=，即當(dāng)x=時(shí)，S取得最小值．因此，．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析5、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析6、求∫03dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：令=t，則x=t2一1，dx=2tdt，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析7、求反常積分∫0＋∞dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析8、設(shè)μ=f(x，y，z)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，y=y(x)和z=z(x)分別由方程exy一y=0和ez一xz=0所確定，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：．方程exy一y=0兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，有exy，方程ez一xz=0兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，有ez，由上式可得．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析9、設(shè)f(x—y，x+y)=x2一y2，證明=x+y．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x—y，x+y)=x2一y2=(x+y)(x—y)，故f(x，y)=xy．=x+y．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析10、計(jì)算，D是由y≤R+x，x2+y2≤R2，y≥0確定．標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖5—6所示，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析11、求微分方程dy=sin(x+y+100)dx的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程可寫成y’=sin(x+y+100)，令μ=x+y+100，則，于是原方程化為=1+sinμ，就得到了可分離變量方程．分離變量，得=dx，恒等變形，有=dx，即(sec2μ—tanμsecμ)dμ=dx．兩邊積分，得tanμ—secμ=x+C，將μ=x+y+100回代，得方程通解為tan(x+y+100)一sec(x+y+100)=x+C，其中C為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、求微分方程y’+3x2y=xe－x3的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：由通解公式得y=e－∫3x2dx(∫xe－x3e3x2dxdx+C)=e－x3(∫xdx+C)=x2e－x3+Ce－x3．C為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、已知連續(xù)函數(shù)f(x)滿足f(x)=∫03xf()dt＋e2x,求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：等式兩端對(duì)x求導(dǎo)得f’(x)一3f(x)=2e2x，利用通解公式得y=e∫3dx[∫2e2xe－∫3dxdx+C]=e3x[∫2e－xdx+C]=e3x(一2e－x+C)=Ce3x一2e2x，又f(0)=0+1=1，所以C一2=1，C=3，故f(x)=3e3x一2e2x．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、將xOz平面上的拋物線z2=5x繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：在z2=5x中，把z換成±得所求旋轉(zhuǎn)曲面方程為y2＋z2=5x．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、求∫xln(1+x2)dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：由于∫xln(1+x2)dx=∫ln(1+x2)d(1+x2)，令t=1+x2,則∫xln(1+x2)dx=令u=lnt，υ’=1，則∫lntdt=tlnt-.tdt=tint-t+C1。故原式=t(lnt-1)+C=(1+x2)[ln(1+x2)-1]+知識(shí)點(diǎn)解析：依據(jù)所給積分形式考慮使用分部積分求解。專升本高等數(shù)學(xué)一（解答題）模擬試卷第3套一、簡(jiǎn)單解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、求極限．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于x→0時(shí)，xcotx=→1，故原極限為型，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析2、設(shè)f(x)=其中a、b、A為常數(shù)，試討論a、b、A為何值時(shí)，f(x)在x=0處可導(dǎo)?標(biāo)準(zhǔn)答案：若函數(shù)f(x)在x=0可導(dǎo)，則函數(shù)f(x)也連續(xù)，故有=f(0)，f＋’(0)=f－’(0)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析給定曲線y=。3、求曲線在橫坐標(biāo)為x0的點(diǎn)處的切線方程；標(biāo)準(zhǔn)答案：由y’=可知曲線y=在橫坐標(biāo)為x0的點(diǎn)處的切線方程為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析4、求曲線的切線被兩坐標(biāo)軸所截線段的最短長(zhǎng)度．標(biāo)準(zhǔn)答案：由切線方程y一(x—x0)分別令y=0，x=0可求得該切線在x軸，y軸上的截距分別為設(shè)該切線被兩坐標(biāo)軸所截線段長(zhǎng)度為L(zhǎng)，則L2=X2＋Y2=．令=0，得駐點(diǎn)x0=．由此可知，L2在x0=處取得極小值，即最小值，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析5、一艘輪船甲以20海里／小時(shí)的速度向東行駛，同一時(shí)間另一艘輪船乙在其正北82海里處以16海里／小時(shí)的速度向南行駛，問經(jīng)過多少時(shí)間后，兩船相距最近?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)經(jīng)過t小時(shí)兩船相距S海里，則S=，即S2=(82—16t)2+(20t)2，所以(S2)’=2．(82—16t)．(一16)+2．20t．20，令(S2)’=0，得駐點(diǎn)t=2，即經(jīng)過兩小時(shí)后兩船相距最近．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析6、設(shè)z=μ2ν一μν2，而μ=xcosy，ν=xsiny，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于所以=(2μν一ν2)cosy+(μ2一2μν)siny=(2x2cosysiny—x2sin2y)cosy+(x2cos2y一2x2cosysiny)siny=2x2sinycos2y—x2sin2ycosy+x2sinycos2y一2x2sin2ycosy=3x2sinycosy(cosy—siny)．=(2μν一ν2)(一xsiny)+(μ2一2μν)xcosy=(2x2cosysiny—x2sin2y)(一xsiny)+(x2cos2y一2x2cosysiny)xcosy=一2x3sinycosy(siny+cosy)+x3(siny+cosy)(sin2y—sinycosy＋cos2y)=x3(siny+cosy)(1—3sinycosy)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析7、計(jì)算∫0πdydx．標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域又可表示為｛(x，y)｜0≤x≤，0≤y≤x2｝，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析8、計(jì)算，D是由y≤R+x，x2+y2≤R2，y≥0確定．標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖5—6所示，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析9、設(shè)函數(shù)f(x，y)連續(xù)，且f(x，y)=x+yf(μ，ν)dμdν，其中D由y=，x=1，y=2圍成，求f(x，y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)A=，故f(x，y)=x＋yf(μ，ν)dμdν=x+yA，兩邊求二重積分，則從而A=，故f(x，y)=x+y．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析10、計(jì)算x3dy—y3dx，其中L為x2＋y2=a2順時(shí)針方向．標(biāo)準(zhǔn)答案：L為順時(shí)針方向，即為反向，故x3dy—y3dx=一=－3x2一(一y2)dxdy=一3∫02πdθ∫0ar2．rdr=．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析11、求微分方程xy’一=0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程分離變量得，兩邊積分有+C1，則方程的通解為2ln｜y｜+y2一ln2x=C，其中C為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、求微分方程(1+y2)arctanydx+(1+x2)arctanxdy=0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程分離變量得，兩邊積分有，即ln｜arctany｜=一ln｜arctanx｜+ln｜C｜，則方程的通解為arctany．a(chǎn)rctanx=C，其中C為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、判別的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)椋?，故級(jí)數(shù)收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、求點(diǎn)P(3，一1，2)到直線的距離．標(biāo)準(zhǔn)答案：據(jù)題意，已知直線的方向向量為s=n1×n2==一3j一3k，所以過點(diǎn)P且與已知直線垂直的平面方程為一3(y+1)－3(z－2)=0，即y＋z－1=0聯(lián)立方程組，所以點(diǎn)P(3，一1，2)到直線的距離為點(diǎn)P(3，一1，2)與之間的距離，由兩點(diǎn)之間距離公式可得d=．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)z=sin(x2-xy+y2)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：令u=，υ=x2-xy+y2，則z=eusinυ，于是有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析專升本高等數(shù)學(xué)一（解答題）模擬試卷第4套一、簡(jiǎn)單解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、設(shè)函數(shù)y=f(x)由方程xef(y)=ey所確定，其中f具有二階導(dǎo)數(shù)，且f’≠1，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程兩邊先取對(duì)數(shù)再求導(dǎo)得：lnx+f(y)=y，方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)可得：+f’(y)y’=y’，再對(duì)x求導(dǎo)，一+f’’(y)(y’)2+f’(y)y’’=y’’，代y’并解出：y’’=一．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析2、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0，f(1)=1，試證明對(duì)任意給定的正數(shù)a及b，在(0，1)內(nèi)必存在不相等的x1，x2，使=a+b．標(biāo)準(zhǔn)答案：因a，b＞0，故0＜＜1，又因f(x)在[0，1]上連續(xù)，且f(0)=0，f(1)=1，由介值定理，必存在ζ∈(0，1)，使f(ζ)=．又分別在[0，ζ]，[ζ，1]上用拉格朗日中值定理，得f(ζ)一f(0)=(ζ一0)f’(x1)，f(1)一f(ζ)=(1一ζ)f’(x2)(其中0＜x1＜ζ＜x2＜1)即有=1－ζ．考慮到1－，并將上兩式相加，得=1，即存在不相等的x1，x2使=a+b．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析3、求在t=1處的切線方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：由dy=，而t=1時(shí)，y=a，x=∫01，故切線方程為y一a=x．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析4、設(shè)D為曲線y=x2與直線y=x所圍成的有界平面圖形，求D繞x軸轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V．標(biāo)準(zhǔn)答案：由可解得兩曲線的交點(diǎn)為(0，0)，(1，1)．旋轉(zhuǎn)體的體積V=∫01π[x2一(x2)2]dx=．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析5、設(shè)2sin(x+2y一3z)=x+2y一3z，確定了函數(shù)z=f(x，y)，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：在2sin(x+2y一3z)=x+2y一3z兩邊對(duì)x求導(dǎo)，則有2cos(x＋2y—3z)．，整理得．同理，由2cos(x＋2y一3z)，得=1．也可使用公式法求解：記F(x，y，z)=2sin(x+2y一3z)一x一2y+3z，則Fx=2cos(x+2y一3z)．(一3)＋3，F(xiàn)y=2cos(x+2y一3z)．2—2，F(xiàn)x=2cos(x+2y一3z)一1，故=1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析6、某工廠建一排污無蓋的長(zhǎng)方體，其體積為V，底面每平方米造價(jià)為a元，側(cè)面每平方米造價(jià)為b元，為使其造價(jià)最低，其長(zhǎng)、寬、高各應(yīng)為多少?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬分別為x，y，則高為，又設(shè)造價(jià)為z，由題意可得z=axy+2b(x+y)(x＞0，y＞0)，由于實(shí)際問題可知造價(jià)一定存在最小值，故x=y=就是使造價(jià)最小的取值，此時(shí)高為．所以，排污無蓋的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為時(shí)，工程造價(jià)最低．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析7、計(jì)算ydy．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析8、計(jì)算，其中D由Ox軸及曲線y=圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析9、設(shè)函數(shù)f(x，y)連續(xù)，且f(x，y)=x+yf(μ，ν)dμdν，其中D由y=，x=1，y=2圍成，求f(x，y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)A=，故f(x，y)=x＋yf(μ，ν)dμdν=x+yA，兩邊求二重積分，則從而A=，故f(x，y)=x+y．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析求下列曲線積分：10、∫Lxds，其中L為拋物線y=x2上從點(diǎn)O(0，0)到點(diǎn)A(1，)的一段??；標(biāo)準(zhǔn)答案：因y=x2，0≤x≤1，且y’=x，所以ds=dx，于是∫Lxds=∫01x．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析11、∫L第一拱．標(biāo)準(zhǔn)答案：x’(t)=1一cost，y’(t)=sint，所以于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、求9y’’＋6y’+y=0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)應(yīng)的特征方程為9r2+6r＋1=0，解得r=，為二重根，故原方程的通解為y=(C1+C2x)．其中C1，C2為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、求在Oy軸上的截距為4且垂直于Oy軸的平面方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：平面在Oy軸上的截距為4，則平面過點(diǎn)(0，4，0)，平面垂直O(jiān)y軸則平面的法向量為n=｛0，1，0｝，因此平面的方程為y一4=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，由∫0xtf(t)dt=x2+f(x)所確定，求f(x)。標(biāo)準(zhǔn)答案：由于f(x)為連續(xù)函數(shù)，所以∫0xtf(t)dt出可導(dǎo)，進(jìn)而可知f(x)=j∫0xtf(t)dt-x2可導(dǎo)，如果對(duì)所給關(guān)系式兩端關(guān)于x求導(dǎo)，可得f(x)=2x+f’(x)，記y=f(x)，則上式可化為y’-xy=-2x，為一階線性微分方程，且此時(shí)為標(biāo)準(zhǔn)形式，p(x)=-x，q(x)=-2x，從而由所給關(guān)系可知，當(dāng)x=0時(shí)有∫00tf(t)dt=02+f(0)，從而f(0)=0，即y|x=0，代入前面求得的通解0=y|x=0=C.e0+2，得知C=-2，故y=2-為所求解。知識(shí)點(diǎn)解析：所給關(guān)系式中含有變上限積分，為了能求得f(x)，通?？梢岳梦⒎址ㄏ兩舷薹e分，將所給關(guān)系式化為微分方程。15、求微分方程y"+6y’+13y=0的通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=e-3x(C1cos2x+C2sin2x)知識(shí)點(diǎn)解析：所給問題為求二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解。特征方程為r2+6r+13=0，故r=-3±2i為共軛復(fù)數(shù)根，于是通解為y=e-3x(C1cos2x+C2sin2x)。專升本高等數(shù)學(xué)一（解答題）模擬試卷第5套一、簡(jiǎn)單解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、求極限．標(biāo)準(zhǔn)答案：．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析2、已知y=，f’(x)=arctanx2，計(jì)算．標(biāo)準(zhǔn)答案：令y=f(μ)，μ=，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析3、設(shè)一物體下端為直圓柱，上端為半球形，如果此物體的體積為V，問這物體的尺寸各是多少時(shí)，才能使其表面積最小?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)底面半徑為r，圓柱高為h，則V=πr2h+πr3，S=3πr2+2πrh，經(jīng)驗(yàn)證其為極小值點(diǎn)，在此問題中也為最小值點(diǎn)，r代入h中解得h=，所以底面半徑和直圓柱的高均為時(shí)，S有最小值．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析4、假設(shè)某企業(yè)在兩個(gè)互相分割的市場(chǎng)上出售同一種產(chǎn)品，兩個(gè)市場(chǎng)的銷售量分別是Q1=，Q2=12一x，其中x為該產(chǎn)品在兩個(gè)市場(chǎng)的價(jià)格(萬元／噸)，該企業(yè)生產(chǎn)這種產(chǎn)品的總成本函數(shù)是C=2(Q1+Q2)+5，試確定x的值，使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)，并求出最大利潤(rùn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知條件得利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)=(Q1+Q2)x—C=(Q1+Q2)x一2(Q1+Q2)一5=[＋(12－x)](x－2)一5=x2+24x一47，求導(dǎo)得L’=一3x+24，令L’=0，得駐點(diǎn)x=8．根據(jù)實(shí)際情況，L存在最大值，且駐點(diǎn)唯一，則駐點(diǎn)即為最大值點(diǎn)．Lmax=．82+24．8—47=49．故當(dāng)兩個(gè)市場(chǎng)價(jià)格為8萬元／噸時(shí)，企業(yè)獲得最大利潤(rùn)，此時(shí)最大利潤(rùn)為49萬元．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析5、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析6、求∫03dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：令=t，則x=t2一1，dx=2tdt，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析7、曲線y=ax－x2(a＞0)與x軸圍成的平面圖形被曲線y=bx2(b＞0)分成面積相等的兩部分，求a，b的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：由ax一x2=bx2得兩條曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1=0，x2=．由題設(shè)有(ax一x2一bx2)dx=∫0a(ax一x2)dx，即，a為大于零的任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析8、設(shè)μ=f(x，y，z)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，y=y(x)和z=z(x)分別由方程exy一y=0和ez一xz=0所確定，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：．方程exy一y=0兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，有exy，方程ez一xz=0兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，有ez，由上式可得．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析9、某工廠建一排污無蓋的長(zhǎng)方體，其體積為V，底面每平方米造價(jià)為a元，側(cè)面每平方米造價(jià)為b元，為使其造價(jià)最低，其長(zhǎng)、寬、高各應(yīng)為多少?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬分別為x，y，則高為，又設(shè)造價(jià)為z，由題意可得z=axy+2b(x+y)(x＞0，y＞0)，由于實(shí)際問題可知造價(jià)一定存在最小值，故x=y=就是使造價(jià)最小的取值，此時(shí)高為．所以，排污無蓋的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為時(shí)，工程造價(jià)最低．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析10、計(jì)算∫01dy∫y1y2dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：由于被積函數(shù)先對(duì)x積分不易計(jì)算，故選擇改變積分次序．積分區(qū)域?yàn)椋?x，y)｜y≤x≤1，0≤y≤1｝，也可為｛(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤x｝，原式=∫01dx∫0xy2dy=∫01dx=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析11、求y’’－4y’+5y=e2x(sinx+cosx)的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為，r2—4r+5=0，解得r=2±i，所以對(duì)應(yīng)的齊次方程的解為=(C1sinx+C2cosx)e2x，λ±ωi=2±i，是特征方程的根，故設(shè)原方程的特解為y=xe2x(Asinx+Bcosx)，則Y’=e2x(Asinx+Bcosx)+xe2x[(2A—B)sinx+(A+2B)cosx]，Y’’=e2x[(4A一2B)sinx+(2A+4B)cosx]+xe2x[(3A一4B)sinx+(4A+3B)cosx]，代入原方程得e2x[(4A一2B)sinx+(2A+4B)cosx]+xe2x[(3A一4B)sinx+(4A+3B)cosx]一4e2x(Asinx+Bcosx)一4xe2x[(2A—B)sinx+(A+2B)cosx]+5xe2x(Asinx+Bcosx)=e2x(sinx+cosx)，解得，故原方程的通解為y=(C1sinx+C2cosx)e2x+(sinx一cosx)．其中C1，C2為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、判別的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)椋?，故級(jí)數(shù)收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、將函數(shù)展開成x的冪級(jí)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、求兩平行直線所確定的平面方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)所求平面方程的方向向量為n，又因?yàn)辄c(diǎn)M1(一3，一2，0)、M2(一3，一4，一1)分別是兩條直線上的點(diǎn)，s=｛3，一2，1｝是直線的方向向量，所以所求平面過這兩個(gè)點(diǎn)，且n⊥s，n⊥，而=｛0，一2，一1｝，則n==｛一4，一3，6｝，于是所求平面方程為一4(x＋3)一3(y+2)+6z=0，即為4x+3y一6z+18=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、求∫xln(1+x2)dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：由于∫xln(1+x2)dx=∫ln(1+x2)d(1+x2)，令t=1+x2,則∫xln(1+x2)dx=令u=lnt，υ’=1，則∫lntdt=tlnt-.tdt=tint-t+C1。故原式=t(lnt-1)+C=(1+x2)[ln(1+x2)-1]+知識(shí)點(diǎn)解析：依據(jù)所給積分形式考慮使用分部積分求解。專升本高等數(shù)學(xué)一（解答題）模擬試卷第6套一、簡(jiǎn)單解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、計(jì)算．標(biāo)準(zhǔn)答案：=一1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析2、求極限．標(biāo)準(zhǔn)答案：這是“1∞”型未定式．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析3、設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)．證明：若f(x)不恒為常數(shù)，則至少ξ∈(a，b)，有f’(ξ)＞0．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(a)=f(b)，且f(x)不恒為常數(shù)．所以至少存在x0∈(a，b)，使f(x0)≠f(a)，則f(x0)＞f(a)或f(x0)＜f(a)．不妨設(shè)f(x0)＜f(a)，則在[x0，b]上用拉格朗日中值定理得．至少存在ξ∈[(x0，b)∈(a，b)，有f’(ξ)=＞0．對(duì)于f(x0)＞f(a)情形同理可證．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析4、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=f(1)=0，=1，證明至少存在一個(gè)ξ∈(0，1)，使f’(ξ)=1．標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=f(x)一x，則有F(0)=f(0)一0=0，F(xiàn)(1)=f(1)一1=一1＜0，＞0．又F(x)在[，1]上連續(xù)，故由零點(diǎn)定理知，存在η∈(，1)，使F(η)=0，在[0，η]上利用羅爾定理知，至少存在ξ∈(0，η)(0，1)，使F’(ξ)=0，f’(ξ)=1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析5、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析6、求在t=1處的切線方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：由dy=，而t=1時(shí)，y=a，x=∫01，故切線方程為y一a=x．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析7、計(jì)算∫0xt2et2dt．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)f是(一∞，+∞)內(nèi)的連續(xù)奇函數(shù)，且單調(diào)增加，F(xiàn)(x)=∫0x(x一2t)f(t)dt，證明：8、F(x)是奇函數(shù)；標(biāo)準(zhǔn)答案：F(一x)=∫0－x(一x一2t)f(t)dt－∫0x(一x+2μ)f(一μ)dμ=－∫0x(x一2μ)f(μ)dμ=一F(x)，所以F(x)為奇函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析9、F(x)是[0，+∞)內(nèi)的單調(diào)遞減函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：F(x)=x∫0xf(t)dt一2∫0xtf(t)dt，故F’(x)=∫0xf(t)dt—xf(x)=xf(ξ)一xf(x)=x[f(ξ)一f(x)]＜0，(ξ∈(0，x))所以F(x)為[0，+∞)內(nèi)的單調(diào)遞減函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析10、計(jì)算∫01dy∫y1y2dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：由于被積函數(shù)先對(duì)x積分不易計(jì)算，故選擇改變積分次序．積分區(qū)域?yàn)椋?x，y)｜y≤x≤1，0≤y≤1｝，也可為｛(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤x｝，原式=∫01dx∫0xy2dy=∫01dx=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析11、計(jì)算x3dy—y3dx，其中L為x2＋y2=a2順時(shí)針方向．標(biāo)準(zhǔn)答案：L為順時(shí)針方向，即為反向，故x3dy—y3dx=一=－3x2一(一y2)dxdy=一3∫02πdθ∫0ar2．rdr=．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、求∫L(y－x)ds，其中L：y=｜1一x｜—x；0≤x≤2．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，y=1一x—x=1—2x當(dāng)1≤x≤2時(shí)，y=x－1一x=一1．∫L(y－x)ds=∫01(1－2x)一x]+∫12(－1－x)=．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、求y’’一2y’+y=x3的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為r2一2r＋1=0，解得r=1，為二重根，故λ=0不是特征方程的根．由f(x)=x3，設(shè)特解為y=Ax3+Bx2＋Cx+D，則y’=3Ax2+2Bx＋C，y’’=6Ax＋2B，代入原方程得6Ax＋2B一2(3Ax2＋2Bx+C)＋Ax3+Bx2+Cx＋D=Ax3+(B一6A)x2＋(6A+C一4B)x＋2B+D－2C=x3，則A=1，B=6，C=18，D=24，故特解為y=x3+6x2+18x+24．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、求y’’一5y’一14y=9e7x的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為r2一5r一14=0，解得r=一2，7，λ=7是特征方程的一重根，故設(shè)原方程的特解為y=Axe7x，則y’=A(7x+1)e7x，y’’=A(49x+14)e7x，代入原方程得A(49x+14)e7x一5A(7x+1)e7x一14Axe7x=9e7x，則A=1，故特解為y=xe7x．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)z=z(x，y)由方程yz+x2+2=0所確定，求dz。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)F(x，y，z)=yz+x2+z，則F’x=2x，F(xiàn)’y=z，F(xiàn)’z=y+1，當(dāng)y+1≠0時(shí)，為連續(xù)函數(shù)，有知識(shí)點(diǎn)解析：為了求全微分dz，可以先求，如果兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都是連續(xù)函數(shù)，那么由全微分的充分條件可知dz=，由于所給函數(shù)為隱函數(shù)形式，可利用隱函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的公式。專升本高等數(shù)學(xué)一（解答題）模擬試卷第7套一、簡(jiǎn)單解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：型，使用洛必達(dá)法則．=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析2、求極限x[ln(x+1)一lnx]．標(biāo)準(zhǔn)答案：=lne=1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析3、求極限．標(biāo)準(zhǔn)答案：=e．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析4、設(shè)函數(shù)y=alnx+bx2+5x在x=1處取極值且x=為其拐點(diǎn)橫坐標(biāo)，求a，b之值．標(biāo)準(zhǔn)答案：y’=＋2bx+5，y’’=+2b，又有已知條件可得y’(1)=a+2b+5=0，y’’()=—4a+2b=0，聯(lián)立解得a=一1，b=一2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析5、利用拉格朗日中值定理證明：當(dāng)x＞1時(shí)，ex＞ex．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(μ)=eμ，μ∈[1，x]．容易驗(yàn)證f(μ)在[1，x]上滿足拉格朗日中值定理的條件，故存在ξ∈(1，x)，使=f’(ξ)，即=eξ，因?yàn)棣巍?1，x)，所以eξ＞e．即＞e，整理得，當(dāng)x＞1時(shí)，ex＞ex．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析6、設(shè)a＞b＞0，n＞1，證明：nbn－1(a一b)＜an一bn＜nan－1(a一b)．標(biāo)準(zhǔn)答案：構(gòu)造函數(shù)f(x)=xn(n＞1)，因?yàn)閒(x)=xn在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，所以，存在一點(diǎn)ξ∈(a，b)使得f’(ξ)==nξn－1，又0＜a＜ξ＜b，故an－1＜ξn－1＜bn－1，所以nan－1＜nξn－1＜nbn－1，即nan－1＜＜nbn－1，整理得nan－1(b一a)＜bn一an＜nbn－1(b一a)．兩邊取負(fù)號(hào)得nbn－1(a一b)＜an一bn＜nan－1(a一b)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析已知函數(shù)f(x)=．7、證明：當(dāng)x＞0時(shí)，恒有f(x)+；標(biāo)準(zhǔn)答案：則可知F(x)=C，C為常數(shù)．當(dāng)x=1時(shí)，F(xiàn)(1)=C=f(1)+f(1)=，故當(dāng)x＞0時(shí)，F(xiàn)(x)=f(x)+恒成立；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析8、試問方程f(x)=x在區(qū)間(0，+∞)內(nèi)有幾個(gè)實(shí)根?標(biāo)準(zhǔn)答案：令g(x)=f(x)一x，則g‘(x)=一1＜0，故g(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減，又則g(x)=0在(0，+∞)上有且僅有一個(gè)實(shí)根，即f(x)=x在(0，+∞)上只有一個(gè)實(shí)根．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析9、一艘輪船甲以20海里／小時(shí)的速度向東行駛，同一時(shí)間另一艘輪船乙在其正北82海里處以16海里／小時(shí)的速度向南行駛，問經(jīng)過多少時(shí)間后，兩船相距最近?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)經(jīng)過t小時(shí)兩船相距S海里，則S=，即S2=(82—16t)2+(20t)2，所以(S2)’=2．(82—16t)．(一16)+2．20t．20，令(S2)’=0，得駐點(diǎn)t=2，即經(jīng)過兩小時(shí)后兩船相距最近．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析10、將長(zhǎng)為a的鐵絲切成兩段，一段圍成正方形，另一段圍成圓形，問這兩段鐵絲各長(zhǎng)多少時(shí)，正方形與圓形面積之和最?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)正方形長(zhǎng)度為x，則圓形周長(zhǎng)為a一x．那么正方形邊長(zhǎng)為，則圓形半徑為．它們的面積之和S=，S’=，令S’=0，則有唯一駐點(diǎn)x=，即當(dāng)x=時(shí)，S取得最小值．因此，．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析11、設(shè)D為曲線y=x2與直線y=x所圍成的有界平面圖形，求D繞x軸轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V．標(biāo)準(zhǔn)答案：由可解得兩曲線的交點(diǎn)為(0，0)，(1，1)．旋轉(zhuǎn)體的體積V=∫01π[x2一(x2)2]dx=．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、設(shè)f(x—y，x+y)=x2一y2，證明=x+y．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x—y，x+y)=x2一y2=(x+y)(x—y)，故f(x，y)=xy．=x+y．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、求y’’一2y’+y=x3的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為r2一2r＋1=0，解得r=1，為二重根，故λ=0不是特征方程的根．由f(x)=x3，設(shè)特解為y=Ax3+Bx2＋Cx+D，則y’=3Ax2+2Bx＋C，y’’=6Ax＋2B，代入原方程得6Ax＋2B一2(3Ax2＋2Bx+C)＋Ax3+Bx2+Cx＋D=Ax3+(B一6A)x2＋(6A+C一4B)x＋2B+D－2C=x3，則A=1，B=6，C=18，D=24，故特解為y=x3+6x2+18x+24．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、求=0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：令y’=p，y’’=－p=0，分離變量得，兩邊積分得ln｜p｜=ln｜y｜+ln｜C1｜即p=C1y，即y’=C1y，再分離變量得dy=C1dx，兩邊積分得ln｜y｜=C1x+C，即通解y=C2eC1x，其中C1，C2為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：這是“∞一∞”型不定式，應(yīng)先化為型不定式，再用洛必達(dá)法則。專升本高等數(shù)學(xué)一（解答題）模擬試卷第8套一、簡(jiǎn)單解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、求極限．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于x→0時(shí)，xcotx=→1，故原極限為型，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析2、求極限．標(biāo)準(zhǔn)答案：原式=．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析3、證明方程4x=2x在區(qū)間(0，)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=4x一2x，f(0)=一1＜0，＞0，由連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理可知至少存在一點(diǎn)C∈(0，)使得f(c)=0，即方程4x=2x在(0，)內(nèi)至少有一個(gè)根．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析4、求曲線處的切線方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：則根據(jù)點(diǎn)斜式求得切線方程為y=a+[x一a[一1)]=x－+2a．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析5、設(shè)y=y(x)由所確定，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：，由隱函數(shù)求導(dǎo)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析6、計(jì)算lnl．01的近似值．標(biāo)準(zhǔn)答案：由微分定義可知f(x+△x)=f(x)+f’(x)△x，令f(x)=lnx，則ln1．01=f(1．01)=f(1)+f’(1)．0．01=0+1．0．01=0．01．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析7、設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)．證明：若f(x)不恒為常數(shù)，則至少ξ∈(a，b)，有f’(ξ)＞0．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(a)=f(b)，且f(x)不恒為常數(shù)．所以至少存在x0∈(a，b)，使f(x0)≠f(a)，則f(x0)＞f(a)或f(x0)＜f(a)．不妨設(shè)f(x0)＜f(a)，則在[x0，b]上用拉格朗日中值定理得．至少存在ξ∈[(x0，b)∈(a，b)，有f’(ξ)=＞0．對(duì)于f(x0)＞f(a)情形同理可證．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析8、設(shè)一物體下端為直圓柱，上端為半球形，如果此物體的體積為V，問這物體的尺寸各是多少時(shí)，才能使其表面積最小?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)底面半徑為r，圓柱高為h，則V=πr2h+πr3，S=3πr2+2πrh，經(jīng)驗(yàn)證其為極小值點(diǎn)，在此問題中也為最小值點(diǎn)，r代入h中解得h=，所以底面半徑和直圓柱的高均為時(shí)，S有最小值．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析9、求∫ln(1+x2)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫ln(1+x2)dx=xln(1+x2)一=xln(1+x2)一=xln(1+x2)一2(x—arctanx)+C．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析10、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析11、設(shè)z=μ2ν一μν2，而μ=xcosy，ν=xsiny，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于所以=(2μν一ν2)cosy+(μ2一2μν)siny=(2x2cosysiny—x2sin2y)cosy+(x2cos2y一2x2cosysiny)siny=2x2sinycos2y—x2sin2ycosy+x2sinycos2y一2x2sin2ycosy=3x2sinycosy(cosy—siny)．=(2μν一ν2)(一xsiny)+(μ2一2μν)xcosy=(2x2cosysiny—x2sin2y)(一xsiny)+(x2cos2y一2x2cosysiny)xcosy=一2x3sinycosy(siny+cosy)+x3(siny+cosy)(sin2y—sinycosy＋cos2y)=x3(siny+cosy)(1—3sinycosy)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、求=0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：令y’=p，y’’=－p=0，分離變量得，兩邊積分得ln｜p｜=ln｜y｜+ln｜C1｜即p=C1y，即y’=C1y，再分離變量得dy=C1dx，兩邊積分得ln｜y｜=C1x+C，即通解y=C2eC1x，其中C1，C2為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)函數(shù)f(x)在[1，+∞)上連續(xù)，若由曲線y=f(x)，直線x=1，x=t(t＞1)與x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積為V(t)=[t2f(t)一f(1)]，求：13、y=f(x)所滿足的微分方程；標(biāo)準(zhǔn)答案：據(jù)題意，V(t)=π∫1t[f(x)]2dx=[t2f(t)一f(1)]，即3∫1t[f(x)]2dx=t2f(t)一f(1)，上式兩邊同時(shí)對(duì)t求導(dǎo)得，3f2(t)=2tf(t)+t2f’(t)，即y=f(x)所滿足的微分方程為x2y’+2xy一3y2=0；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、該微分方程滿足條件y｜x=2=的解．標(biāo)準(zhǔn)答案：將微分方程x2y’+2xy一3y2=0，化為，即為齊次方程．令μ=＋μ，代入方程并化簡(jiǎn)得=3μ2一3μ．變量分離得，兩端積分并代入μ=得通解為y—x=Cx3y，再把y｜x=2=代入可得C=－1，故該微分方程滿足條件y｜x=2=的解為y—x=一x3y．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、求與z軸反向，模為3的向量a的坐標(biāo)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意可設(shè)a=｛0，0，一λ｝，滿足λ＞0且=3，所以λ=3，即向量a=｛0，0，一3｝．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析專升本高等數(shù)學(xué)一（解答題）模擬試卷第9套一、簡(jiǎn)單解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、求極限．標(biāo)準(zhǔn)答案：．知識(shí)