經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（第六版）（上冊）課件 第13講3.4函數(shù)的極值

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)輔導(dǎo)第13講顧靜相3.4

函數(shù)的極值教學(xué)要求

理解函數(shù)極值的概念；

掌握求函數(shù)極值的方法．函數(shù)極值的定義

定義3.1設(shè)函數(shù)

y=f(x)在點(diǎn)

x0的某個鄰域內(nèi)有定義．(1)如果對該鄰域內(nèi)任意的

x(x

x0)，總有

f(x)<f(x0)，則稱

f(x0)為函數(shù)

f(x)的極大值，并且稱點(diǎn)x0為

f(x)的極大值點(diǎn)；函數(shù)極值的定義

定義3.1設(shè)函數(shù)

y=f(x)在點(diǎn)

x0的某個鄰域內(nèi)有定義．(1)如果對該鄰域內(nèi)任意的

x(x

x0)，總有

f(x)<f(x0)，則稱

f(x0)為函數(shù)

f(x)的極大值，并且稱點(diǎn)x0為

f(x)的極大值點(diǎn)；(2)如果對該鄰域內(nèi)任意的

x(x

x0)，總有

f(x)>f(x0)，則稱

f(x0)為函數(shù)

f(x)的極小值，并且稱

點(diǎn)x0為

f(x)的極小值點(diǎn)．

函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)．函數(shù)極值的概念

函數(shù)

f(x)在

x1，x4兩點(diǎn)處取得極大值，而在x2，x5兩點(diǎn)處取得極小值，其中極大值

f(x1)小于極小值

f(x5)．o

a

x1x2x3

x4

x5

by=f(x)yx函數(shù)極值的概念

函數(shù)

f(x)在

x1，x4兩點(diǎn)處取得極大值，而在x2，x5兩點(diǎn)處取得極小值，其中極大值

f(x1)小于極小值

f(x5)．o

a

x1x2x3

x4

x5

by=f(x)yx

在函數(shù)的極值點(diǎn)處，曲線或者有水平切線，如

f

(x1)=0,f

(x5)=0，或者切線不存在，如在點(diǎn)x2,x4處

f

(x)不存在．但是，有水平切線的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，如點(diǎn)

x3．由此可知，極值點(diǎn)應(yīng)該在導(dǎo)數(shù)為

0或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)中尋找．極值點(diǎn)的必要條件

定理3.5如果

f(x)在點(diǎn)

x0處取得極值且在

x0處可導(dǎo)，則

f

(x0)=0

．極值點(diǎn)的必要條件

定理3.5如果

f(x)在點(diǎn)

x0處取得極值且在

x0處可導(dǎo)，則

f

(x0)=0

．

幾何意義：如果函數(shù)

y=f(x)在點(diǎn)

x0處具有極值，且曲線

y=f(x)在點(diǎn)

(x0,f(x0))處有不垂直于

x軸的切線，則該切線平行于

x軸．

使

f

(x0)=0的點(diǎn)，稱為函數(shù)

f(x)的駐點(diǎn)．極值點(diǎn)的必要條件注意：1.可導(dǎo)函數(shù)

f

(x0)=0是點(diǎn)

x0為極值點(diǎn)的必要條件，但不是充分條件．也就是說，使

f

(x0)=0成立的點(diǎn)（駐點(diǎn)）并不一定是極值點(diǎn)，例如

f(x)=x3的駐點(diǎn)

x0=0不是它的極值點(diǎn)．極值點(diǎn)的必要條件注意：1.可導(dǎo)函數(shù)

f

(x0)=0是點(diǎn)

x0為極值點(diǎn)的必要條件，但不是充分條件．也就是說，使f

(x0)=0成立的點(diǎn)（駐點(diǎn)）并不一定是極值點(diǎn)，例如

f(x)=x3的駐點(diǎn)

x0=0不是它的極值點(diǎn)．2.使

f

(x)不存在的點(diǎn)

x0可能是函數(shù)

f(x)

的極值點(diǎn)，也可能不是極值點(diǎn)，如,

，顯然

f

(0)不存在，但在

x0=0處卻取得極小值

f(0)=0．極值點(diǎn)的第一判別法

定理3.6設(shè)函數(shù)

f(x)在點(diǎn)

x0的鄰域內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)

(允許

f

(x0)不存在)，當(dāng)x由小增大經(jīng)過x0點(diǎn)時，若

(1)f

(x)由正變負(fù)，則x0是極大值點(diǎn)；(2)f

(x)由負(fù)變正，則x0是極小值點(diǎn)；(3)f

(x)不改變符號，則x0不是極值點(diǎn).極值點(diǎn)的第一判別法

定理3.6設(shè)函數(shù)

f(x)在點(diǎn)

x0的鄰域內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)

(允許

f

(x0)不存在)，當(dāng)x由小增大經(jīng)過x0點(diǎn)時，若

(1)f

(x)由正變負(fù)，則x0是極大值點(diǎn)；(2)f

(x)由負(fù)變正，則x0是極小值點(diǎn)；(3)f

(x)不改變符號，則x0不是極值點(diǎn).

極值點(diǎn)第一判別法通常叫做極值存在的充分條件．求函數(shù)極值的步驟（1）確定函數(shù)

f(x)的定義域，并求其導(dǎo)數(shù)f

(x)；（2）解方程

f

(x)=0，求出

f(x)在其定義域內(nèi)的所有駐點(diǎn)；

（3）找出

f(x)的連續(xù)但導(dǎo)數(shù)不存在的所有點(diǎn)；（4）討論

f

(x)在駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的左、右兩側(cè)附近符號變化的情況，確定函數(shù)的極值點(diǎn)；（5）求出極值點(diǎn)所對應(yīng)的函數(shù)值（極大值和極小值）．用第一判別法求函數(shù)極值例1求函數(shù)

的極值．用第一判別法求函數(shù)極值例1求函數(shù)

的極值．解（1）函數(shù)

f(x)的定義域?yàn)?-∞,+∞)，且

；（2）令

f

(x)=0，得駐點(diǎn)

x1=0，x2=1；（3）該函數(shù)沒有導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；（4）駐點(diǎn)將定義域分成三個子區(qū)間

(-∞,0),

(0,1),(1,+∞)．用第一判別法求函數(shù)極值解……

駐點(diǎn)將定義域分成三個子區(qū)間

(-∞,0),

(0,1),(1,+∞)．

當(dāng)x

(-∞,0)時，f

(x)>0；

當(dāng)x

(0,1)時，f

(x)<0；所以

x1=0是

f(x)的極大值點(diǎn)，極大值是f(0)=2；

又當(dāng)

x

(0,1)時，f

(x)<0；

當(dāng)

x

(1,+∞)時，f

(x)<0；所以

x2=1不是

f(x)的極值點(diǎn)．用第一判別法求函數(shù)極值例2求函數(shù)

的極值．用第一判別法求函數(shù)極值例2求函數(shù)

的極值．解（1）函數(shù)

f(x)的定義域?yàn)?-∞,+∞)，且

；（2）令

f

(x)=0，得駐點(diǎn)

x1=8；（3）f

(x)在點(diǎn)

x2=0處不存在；（4）導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)

x2=0和駐點(diǎn)

x1=8，將定義域分成三個子區(qū)間

(-∞,0),(0,8),(8,+∞)．用第一判別法求函數(shù)極值解……

導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)

x2=0和駐點(diǎn)

x1=8，將定義域分成三個子區(qū)間

(-∞,0),(0,8),(8,+∞)．

當(dāng)

x

(-∞,0)時，f

(x)<0；

當(dāng)

x

(0,8)時，f

(x)>0；所以

x2=0是函數(shù)

f(x)的極小值點(diǎn)，極小值是

f(0)=0．

又當(dāng)

x

(0,8)時，f

(x)>0；

當(dāng)

x

(8,+∞)時，f

(x)<0；所以

x1=8是

f(x)的極大值點(diǎn)，極大值是

f(8)=4.極值點(diǎn)的第二判別法

定理3.7設(shè)函數(shù)

f(x)在點(diǎn)

x0處具有二階導(dǎo)數(shù)，且

f

(x0)=0，

（1）若

f

(x0)<0，則函數(shù)

f(x)在點(diǎn)

x0處取得極大值；

（2）若

f

(x0)>0，則函數(shù)

f(x)在點(diǎn)

x0處取得極小值

（2）若

f

(x0)=0，則不能判斷

f(x0)是否是極值．極值點(diǎn)的第二判別法

極值點(diǎn)第二判別法也是極值存在的充分條件，它表明在函數(shù)

f(x)的駐點(diǎn)

x0處，若二階導(dǎo)數(shù)

f

(x0)

0，那么該駐點(diǎn)一定是極值點(diǎn)，可以用

f

(x0)的符號判定

f(x0)是極大值還是極小值.

若二階導(dǎo)數(shù)

f

(x0)=0，那么該駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)還要用第一判別法進(jìn)行判別．用第二判別法求函數(shù)極值例3求函數(shù)

的極值．用第二判別法求函數(shù)極值例3求函數(shù)

的極值．解

函數(shù)

f(x)的定義域?yàn)?-∞,+∞)，且

；令

f

(x)=0，得駐點(diǎn)

x1=1，

，x3=-1；該函數(shù)沒有導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)．用第二判別法求函數(shù)極值例3求函數(shù)

的極值．解……因?yàn)?/p>

，，所以

x1=1是

f(x)的極小值點(diǎn)，極小值是

f(1)=0；

是

f(x)的極大值點(diǎn)，極大值是

．用第二判別法求函數(shù)極值解……

由于

，不能用第二判別法判別

x3=-1是否為極值點(diǎn)．改用第一判別法，

當(dāng)

x

(-∞,-1)時，f

(x)>0；

而當(dāng)

時，f

(x)>0；故由第一判別法可知，x3=-1不是

f(x)的極值點(diǎn)．最大值、最小值及其求法

因此，求連續(xù)函數(shù)

f(x)在閉區(qū)間

[a,b]上的最大值和最小值，只需分別求出

f(x)在其駐點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)以及端點(diǎn)

a,b處的函數(shù)值．這些函數(shù)值中的最大者就是函數(shù)在

[a,b]上的最大值，最小者就是函數(shù)在

[a,b]上的最小值．最大值、最小值及其求法

當(dāng)

x0

[a,b]是

f(x)的最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn)時，那么對任意的

x

[a,b]，都有

f(x0)≥

f(x)，或

f(x0)≤

f(x)．

也就是說，最大值、最小值是對整個區(qū)間而言的，它可能在區(qū)間的內(nèi)點(diǎn)取得（則它必是極值點(diǎn)），也可能在區(qū)間的端點(diǎn)取得．最大值、最小值及其求法例4求函數(shù)

在區(qū)間[-4,4]上的最大值和最小值．最大值、最小值及其求法例4求函數(shù)

在區(qū)間[-4,4]上的最大值和最小值．解

因?yàn)?/p>